KHAI THÁC một bài TOÁN KINH điển về cực TRỊ của hàm số

PHIẾU HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN KINH ĐIỂN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Vũ Quốc Triệu , Hà Nội tháng 7.2021 cực tiểu điểm x  ? A B C D (Trích đề thi THPT QG mơn Tốn , BGD năm 2018 ) VŨ QUỐC TRIỆU A BÀI TỐN MỞ ĐẦU Có tất giá trị nguyên m để hàm số y  x8   m   x5   m2   x  đạt Lời bình : Rõ ràng toán cực trị lạ, làm cho khơng thí sinh bất ngờ bối rối y    y    với giá trị m Trước vào lời giải cho toán này, ta cần nắm vững phương pháp tổng quát qua nhận xét B CÁC NHẬN XÉT VÀ ÁP DỤNG NHẬN XÉT Cho y  f  x  hàm số đa thức có đạo hàm f   x    x    n 1 g  x  , n  , g  x  hàm số đa thức g    Rõ ràng ta ln có f '    biểu thức  x   n 1 đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x   Khi ta có kết sau : Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu điểm x    lim g  x   lim g  x    g    Hàm số y  f  x  đạt cực đại điểm x    lim g  x   lim g  x    g    x   x   VŨ QUỐC TRIỆU x   x   Lưu ý : Trong thực tế giải toán, ta cần xét riêng trường hợp g    https://www.facebook.com Vũ Quốc Triệu Trang PHIẾU HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 ÁP DỤNG 1.1 : ( Trích đề thi THPT QG – BGD năm học 2018 ) Có tất giá trị nguyên m để hàm số y  x8   m   x5   m2   x  đạt cực tiểu điểm x  ? A B C D Vô số VŨ QUỐC TRIỆU Lời giải Ta có : y  x   m   x   m   x  x 8 x   m   x   m     x g  x  Suy y    , m Hàm số cho đạt cực tiểu điểm x  y đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x  Ta xét hai trường hợp sau :  Trường hợp : g     4  m2     m  2 +) Khi m   y  x3 8 x   x  Hàm số cho đạt cực tiểu điểm x  +) Khi m  2  y  x3 8 x  20 x   x 8 x3  20   y không đổi dấu qua điểm x   loại  Trường hợp : g    Theo nhận xét suy hàm số cho đạt cực tiểu điểm x  g     4  m2     m   m   2;  Kết hợp hai trường hợp ta m   2; 2 Mà m   m  1;0;1; 2 ÁP DỤNG 1.2 : Cho hàm số y  x13   m2   x8   m2  m   x  Số giá trị nguyên tham số m để hàm số cho đạt cực đại điểm x  : A B C D Vô số Lời giải Ta có: y  13x12   m   x   m  m   x  x5 13x   m   x   m  m     x g  x  Suy y    , m Hàm số cho đạt cực đại điểm x  y đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x  Ta xét hai trường hợp sau : https://www.facebook.com Vũ Quốc Triệu Trang VŨ QUỐC TRIỆU Vậy có tất giá trị nguyên m thỏa mãn đề PHIẾU HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 – 2021  m  2  m3  Trường hợp : g      m2  m      +) Khi m  2  y  x5 13x   13x12  y không đổi dấu qua điểm    VŨ QUỐC TRIỆU x   m  2 không thỏa mãn đề  7 +) Khi m   y  x 13 x  40 x  x 13 x  40 x  y   x 13x5  40      x  40  13 Từ bảng biến thiên hàm số, suy hàm số cho đạt cực đại điểm x   m  thỏa mãn đề  Trường hợp : g    Theo nhận xét suy hàm số cho đạt cực đại Kết hợp hai trường hợp ta m   2;3 Mà m   m  1;0;1; 2;3 Vậy có tất giá trị nguyên m thỏa mãn đề ÁP DỤNG 1.3 : Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x  3  x  x   m2  Số giá trị nguyên tham số m để f  x  đạt cực đại điểm x  3 đạt cực tiểu điểm x  : A B C D Lời giải Đặt g  x    x  3  x  x   m2  h  x    x  1  x  x   m2  Suy f   x    x  1 g  x    x  3 h  x   f  1  f   3  với m Từ đó, hàm số cho đạt cực đại điểm x  3 đạt cực tiểu điểm x  f '  x  đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x  3 đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x  Ta xét trường hợp sau : https://www.facebook.com Vũ Quốc Triệu Trang VŨ QUỐC TRIỆU điểm x  g      m2  m     m   2;3 PHIẾU HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 – 2021  m  3  m3  Trường hợp : g 1   47   m2     Khi m  3  f   x    x  1  x  3  x  x  5   x  1  x  3  x  5 7  m  1  m 1  Trường hợp : h  3   43 1  m2     Khi m  1  f '  x    x  1  x  3  x  x  3   x  1  x  3  x  1 VŨ QUỐC TRIỆU Lập bảng xét dấu f   x   m  3 không thỏa mãn đề Lập bảng xét dấu f '  x   m  1 không thỏa mãn đề  g 1  Theo nhận xét suy hàm số cho hàm số cho  h  3   Trường hợp :  đạt cực đại điểm x  3 đạt cực tiểu điểm x  :   g 1    9  m   m   3;3    m   1;1  m   1;1 h  3     m        Kết hợp hai trường hợp ta m   1;1 Mà m   m  Vậy giá trị nguyên m thỏa mãn đề ÁP DỤNG 1.4 : Cho hàm số y  f  x   ax3  bx  cx  d có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  10;10 để hàm số g  x   f  x  x  m  đạt cực tiểu VŨ QUỐC TRIỆU điểm x  1 : A 11 B C 21 D 10 Lời giải Ta có g   x    x   f  x  x  m  f   x  x  m  https://www.facebook.com Vũ Quốc Triệu Trang PHIẾU HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 Đặt h  x   f  x  x  m  f   x  x  m   g   x    x   h  x  Suy g   1  với m dương qua điểm x  1 Ta xét hai trường hợp sau :  f  m  1   Trường hợp : Xét h  1   f  m  1 f '  m  1    VŨ QUỐC TRIỆU Từ đó, hàm số g  x  đạt cực tiểu điểm x  1 g   x  đổi dấu từ âm sang  f '  m  1   m   1; 2   m  0; 2;3  m   1;1 +) Khi m   g   x    x   f  x  x  f   x  x   2x   x  1    2 g   x     f  x  x     x  x  1; 2  x  1; 1  3; 1    x  x  1;1  f   x2  x      Từ trục xét dấu g   x  suy g  x  đạt cực tiểu điểm x  1 Vậy m  thỏa mãn +) Khi m   g   x    x   f  x  x   f   x  x   Từ trục xét dấu g   x  suy g  x  đạt cực đại điểm x  1 Vậy m  không thỏa mãn +) Khi m   g   x    x   f  x  x  3 f   x  x  3  2x   x  1    2 g   x     f  x  x  3    x  x   1; 2  x  1   x  x   1;1  f   x  x  3   Từ trục xét dấu g   x  suy g  x  đạt cực tiểu điểm x  1 Vậy m  thỏa mãn https://www.facebook.com Vũ Quốc Triệu Trang VŨ QUỐC TRIỆU  2x   x  1    2 g   x     f  x  x      x  x   1; 2  x  1;0; 2   x  x   1;1  f '  x2  2x  2   PHIẾU HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 – 2021  Trường hợp : h    Theo nhận xét suy hàm số cho đạt cực tiểu điểm x  1 h  1   f  m  1 f   m  1  Kết hợp hai trường hợp ta m   0;   3;   VŨ QUỐC TRIỆU  m     f  m  1      1  m    f m           m    m   0;    3;     f m          m   1   f   m  1    m      Mà m  , m   10;10  m  0;1;3; 4; ;10 Vậy có tất 10 giá trị nguyên m thỏa mãn đề Cho y  f  x  hàm số đa thức có đạo hàm f   x    x    NHẬN XÉT 2n2 g  x  , n  , g  x  hàm số đa thức Rõ ràng ta ln có f '    biểu thức  x   2n2 dương, tức dấu f '  x  không thay đổi qua điểm x   Khi điều kiện cần để hàm số y  f  x  đạt cực trị ( cực đại, cực tiểu ) điểm x   g    ÁP DỤNG 2.1 : Cho hàm số y  x10   m   x   m2  25  x5  Có giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu điểm x  ? B 10 C 11 D.Vô số Lời giải Ta có: y  10 x9   m   x   m2  25  x  x 10 x5   m   x   m2  25    x g  x  Suy y    , m biểu thức x có dấu khơng thay đổi qua điểm x  Theo nhận xét 2, để hàm số cho đạt cực tiểu điểm x  điều kiện cần g    Ta có : g      m2  25   m  5  Xét m  Khi y '  x 10 x5   10 x9  y ' đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x   m  thỏa mãn đề https://www.facebook.com Vũ Quốc Triệu Trang VŨ QUỐC TRIỆU A PHIẾU HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 – 2021  Xét m  5 Khi y  x 10 x5  70 x   x 10 x3  70   y ' không đổi dấu qua điểm x   m  5 không thỏa mãn đề Vậy m  DỤNG 2.2 : Cho hàm y  f  x số hàm số đa thức ,có f   x    x    x   m  3 x  m2  25 Tổng tất giá trị tham số m để f  x  đạt cực đại điểm x  : 10 A B C 10 D VŨ QUỐC TRIỆU ÁP Lời giải Đặt g  x    x   m  3 x  m2  25  f   x    x   g  x  10 Dễ thấy f     , m biểu thức  x   10 có dấu khơng thay đổi qua điểm x  Theo nhận xét 2, để hàm số cho đạt cực tiểu điểm x  điều kiện cần g    m 1 m  Ta có : g     m2  4m      Xét m  Khi : f   x    x     x  x  24     x    x    x    f   x  đổi 10 11 Khi : f   x    x     x  16     x    x    x    f   x  không 10 11 đổi dấu qua điểm x   m  thỏa mãn đề Vậy m  1; m  thỏa mãn yêu cầu toán ÁP DỤNG 2.3 : Cho hàm số y  f  x   ax  bx  c có đồ thị hình vẽ Biết k  x  hàm số đa thức có đạo hàm k   x   x f   x  x  m  Có giá trị tham số m để hàm số k  x  đạt cực đại điểm x  ? A B https://www.facebook.com Vũ Quốc Triệu C D.Vô số Trang VŨ QUỐC TRIỆU dấu từ dương sang âm qua điểm x   m  thỏa mãn đề  Xét m  PHIẾU HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 VŨ QUỐC TRIỆU Lời giải Đặt g  x   f   x  x  m   k   x   x g  x  Ta ln có y '    m biểu thức x có dấu khơng thay đổi qua điểm x  Theo nhận xét 2, để hàm số cho đạt cực tiểu điểm x  điều kiện cần g  0  Ta có : g     f '  m    m  1 VŨ QUỐC TRIỆU x0    Xét m   k '  x   x f '  x  x  1     x  x    x  0; 2   x  x   1  ( nghiệm x  0; x  nghiệm bội lẻ ) Từ bảng biến thiên suy hàm số k  x  đạt cực đại điểm x   m  1thỏa mãn x0    Xét m  1  k '  x   x f '  x  x  1     x  x    x  0;1  3;   x  x   1  2  ( nghiệm x  0; x   3; x  nghiệm bội lẻ ) https://www.facebook.com Vũ Quốc Triệu Trang  PHIẾU HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 thỏa mãn Vậy m  VŨ QUỐC TRIỆU Từ bảng biến thiên suy hàm số k  x  đạt cực tiểu điểm x   m  1không C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI TẬP : Có tất giá trị nguyên m để hàm số x18 m  4m  10  m y  x  x  đạt cực tiểu điểm x  ? 18 10 A B C D.Vô số BÀI TẬP : Cho hàm số y  6 x10  10  m   x  15  m  25  x  Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số cho đạt cực tiểu điểm x  ? A B 10 C D.Vô số x11 m  m  5m   x  x  2021 đạt cực đại điểm x  BÀI TẬP : Biết hàm số y  11 m  m0 Tập hợp chứa điểm m0 ? 5  B  0;  C  4; 2  D  2; 1 BÀI TẬP : Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Gọi S   a; b   c;   tập hợp tất giá trị m để hàm số y  f  x  m  đạt cực đại điểm x  Tính T  a  b2  c https://www.facebook.com Vũ Quốc Triệu Trang VŨ QUỐC TRIỆU   A  6;   PHIẾU HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A T  B T  14 NĂM HỌC 2020 – 2021 D T  C T  BÀI TẬP : Có giá trị tham số m để hàm số y   x  1  x  m  đạt cực tiểu 18 điểm x  1 ? B C D.Vô số BÀI TẬP : Cho hàm số f  x   x3  3x Biết hàm số y  x3 f  x  m  đạt cực tiểu điểm x  m  m0 Tập hợp chứa điểm m0 ? A 0;1 B 3;5  C 1;  D  2;3 VŨ QUỐC TRIỆU A …………………………………………… HẾT…………………………………………… VŨ QUỐC TRIỆU https://www.facebook.com Vũ Quốc Triệu Trang 10 ... kiện cần để hàm số y  f  x  đạt cực trị ( cực đại, cực tiểu ) điểm x   g    ÁP DỤNG 2.1 : Cho hàm số y  x10   m   x   m2  25  x5  Có giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu... HỌC TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A T  B T  14 NĂM HỌC 2020 – 2021 D T  C T  BÀI TẬP : Có giá trị tham số m để hàm số y   x  1  x  m  đạt cực tiểu 18 điểm x  1 ? B C D.Vô số BÀI TẬP... TẬP-CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC 2020 – 2021 thỏa mãn Vậy m  VŨ QUỐC TRIỆU Từ bảng biến thiên suy hàm số k  x  đạt cực tiểu điểm x   m  1không C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI TẬP : Có tất giá trị