TÌM CỰC TRỊ của hàm số

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG TOÁN 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Định nghĩa Định nghĩa Hàm số f  x  xác định tập D   Điểm x0  D gọi điểm cực đại hàm số f  x  tồn khoảng  a; b   D cho x0   a; b  f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0   Điểm x0  D gọi điểm cực tiểu hàm số f  x  tồn khoảng  a; b   D cho x0   a; b  f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị Định lí (Điều kiện cần ) Nếu hàm số f  x  đạt cực trị điểm x0 hàm số f có đạo hàm điểm x0 , f '  x0   Tuy nhiên hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm , chẳng hạn với hàm y  x , đạt cực trị x  khơng có đạo hàm Định lí (Điều kiện đủ ) Ta có +) Nếu f '  x   0, x   a; x0  f '  x   0, x   x0 ; b  hàm số f  x  đạt cực tiểu điểm x0 +) Nếu f '  x   0, x   a; x0  f '  x   0, x   x0 ; b  hàm số f  x  đạt cực đại điểm x0 Tức là, đạo hàm hàm số y  f  x  đổi dấu từ âm sang dương qua x0 Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu M  x0 ; yCT  Nếu đạo hàm hàm số y  f  x  đổi dấu từ dương sang âm qua x0 Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại M  x ; y CÑ  Chú ý: Khơng cần xét có hay khơng đạo hàm x0 VÍ DỤ Xét hàm số TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ   x neáu x  ;  1  neáu x  ;  y  x   y   x neáu x  0;   1  neáu x  0;   Nên hàm số đạt cực tiểu x  Định lí Hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp  a; b  chứa x0 mà f '  x0   y  f  x  có đạo hàm cấp hai khác khơng x0 Khi đó,  Nếu f ''  x0   hàm số y  f  x  đạt cực tiểu x0  Nếu f ''  x0   hàm số y  f  x  đạt cực đại x0 Từ đây, ta có phương pháp cực trị hàm số  Tính đạo hàm y ' , tìm điểm y '  y ' không xác định  Xét dấu y ' dựa vào định lí để kết luận điểm cực đại, điểm cực tiểu Hoặc xét dấu y ''  x0  ( x0 nghiệm y ' ) dựa vào định lí để kết luận Chú ý: Hàm phân thức bậc bậc  d \    c Ta có D  y'  ad  bc  cx  d  ax  b cx  d Dấu đạo hàm không phụ thuộc vào x , hay độc lập với x nên hàm số đồng biến nghịch biến khoảng xác định Do hàm số ln khơng có cực trị Bài toán cực trị với hàm đa thức bậc ba Cho hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d Ta có y  3ax  2bx  c  a   có đồ thị  C   a   Số lượng điểm cực trị Hàm số bậc ba có đạo hàm tam thức bậc hai nên  Hàm số có cực trị  có cực đại  có cực tiểu  có cực đại cực tiểu  có hai cực trị  phương trình y '  có hai nghiệm phân biệt     Hàm số khơng có cực trị  phương trình y '  vơ nghiệm có nghiệm kép    Chú ý: Đường thẳng qua hai điểm cực trị Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị sau: Bước 1: Thực phép chia đa thức: y  ax3  bx2  cx  d cho y  3ax2  2bx  c thương q  x  phần dư r  x   mx  n , ta được: y  y.q  x   r  x  Bước 2: Chứng minh đường thẳng  d  : y  r  x   mx  n đường thẳng qua hai điểm cực trị Giả sử M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  x1 , x2 hai nghiệm phương trình y '  nên y '  x1   y '  x2   Khi M , N thuộc  C  nên y1  y ( x1 ).q  x1   r  x1   r  x1   r  x1   mx1  n  M   d  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ y2  y ( x2 ).q  x2   r  x2   r  x2   r  x2   mx2  n  N   d  Tức d  đường thẳng qua hai điểm cực trị Bài toán cực trị với hàm bậc trùng phương Cho hàm bậc trùng phương y  ax  bx  c  a  0   có y  4ax  2bx  x 2ax  b x  y    x   b 2a  Số lượng điểm cực trị Hàm số bậc bốn ln có cực trị  Hàm số có ba cực trị  có cực đại cực tiểu  phương trình y '  có ba nghiệm phân biệt  b  2a  Hàm số có cực trị  phương trình y '  có nghiệm   b 0 2a     b b Chú ý: Khi hàm số có ba điểm cực trị A  0; c  , B   ; y1  , C    ; y2  thì: 2a   2a    y1  y2  B, C đối xứng qua trục Oy , điểm A nằm trục Oy Do tam giác ABC cân A II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết cực trị hàm số  Tìm cực trị hàm số cho cơng thức  Tìm cực trị biết bảng biến thiên đồ thị hàm số  Bài toán cực trị chứa tham số  Cực trị hàm chứa dấu GTTĐ  Cực trị hàm hợp … BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên sau: Điểm cực đại hàm số cho là: A x  3 B x  C x  D x  2 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm điểm cực trị biết bảng biến thiên hàm số HƯỚNG GIẢI: +) Nếu f '  x   0, x   a; x0  f '  x   0, x   x0 ; b  hàm số f  x  đạt cực tiểu điểm x0 +) Nếu f '  x   0, x   a; x0  f '  x   0, x   x0 ; b  hàm số f  x  đạt cực đại điểm x0 Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Nhận thấy f   x  đổi dấu từ dấu dương sang dấu âm qua x  2 suy x  2 điểm cực đại hàm số Bài tập tương tự phát triển:  Mức độ Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục có bảng biến thiên: Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x  B Hàm số có hai điểm cực trị C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 3 D Hàm số có giá trị cực tiểu 1 Lời giải Chọn A Vì f  x  xác định x  f   x  đổi dấu từ dương sang âm qua x  Câu Hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A Đồ thị hàm số có điểm cực đại 1; 1 B Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu 1; 1 C Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu  1;3 D Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu 1;1 Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta có: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu 1; 1 điểm cực đại  1;3 Câu Cho hàm số y  f  x  xác định x x1  y có bảng xét dấu đạo hàm sau  x2   x3   Khi số điểm cực trị hàm số y  f  x  A B Chọn A Do hàm số xác định C Lời giải D có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần x1 ; x2 ; x3 nên hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình bên Tọa độ điểm cực đại đồ thị hàm số y  f  x  A 1;   C  1;   B x  D  0;  3 Lời giải Câu Chọn D Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị hình bên Hàm số có điểm cực tiểu khoảng  a; b  ? y a O A b C Lời giải B x D Chọn A Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1  x  1 Hàm số y  f  x  có điểm cực trị? A C Lời giải B D Chọn A Ta có f   x  đổi dấu x qua điểm ; Câu 16 Mệnh đề đúng? x A Cực tiểu hàm số 12 B Cực tiểu hàm số C Cực đại hàm số 12 D Cực đại hàm số Lời giải Chọn A TXĐ: D  \ 0 Cho hàm số y  x  y  x  16 ; y   x  x2 Bảng biến thiên hàm số y  x  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA 16 x Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Vậy cực tiểu hàm số 12 Gọi x1 điểm cực đại, x2 điểm cực tiểu hàm số y  x3  3x  Tính x1  2x2 B 1 A C Lời giải D Chọn D y  3x2  x  y     x  1 Bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu, điểm cực đại x1  1 điểm cực đại x2  nên x1  2x2  Câu Hàm số bốn hàm số liệt kê khơng có cực trị? 2x  A y  x4 B y   x3  x C y  D y  x  x2 Lời giải Chọn C 2x  Hàm số y  x2 Tập xác định: D   ; 2    2;   Có y '   x  2  x  D  hàm số đồng biến khoảng xác định  hàm số khơng có cực trị Các hàm số khác dễ dàng chứng minh y có nghiệm đổi dấu qua nghiệm Riêng hàm số cuối y không xác định  hàm số xác định y đổi dấu qua  có hàm số có điểm cực trị x  2 Câu 10 Hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x    x  2019  , x  có tất điểm cực tiểu? A 1009 B 2019 C 2020 Lời giải Hàm số y  f  x  D 1010 Chọn D x  x   Ta có: f  x    x  1 x    x  2019        x  2019 f   x   có 2019 nghiệm bội lẻ hệ số a dương nên có 1010 cực tiểu TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  Mức độ Câu Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số có điểm cực trị? A C Lời giải B D Chọn B Tập xác định D  \  x1 Theo định lí điều kiện đủ để hàm số có cực trị dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực trị hàm số là: x2 ; x4 ; x5 Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục có đạo hàm f   x    x  1 x    x  3 x4 Hỏi hàm số y  f  x  có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn C x  Ta có f   x     x   x  Bảng xét dấu f   x  sau: Do f   x  đổi dấu x qua 1, 3, nên hàm số y  f  x  có điểm cực trị Câu Cho hàm số y  f  x  xác định có đồ thị hàm số y  f   x  đường cong hình bên Hỏi hàm số y  f  x  có điểm cực trị ? A B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA C D Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị y  f   x  ta thấy phương trình f   x   có nghiệm giá trị f   x  đổi dấu lần Vậy hàm số y  f  x  có điểm cực trị Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục , đồ thị đạo hàm f   x  hình vẽ sau: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A f đạt cực tiểu x  B f đạt cực tiểu x  2 C f đạt cực đại x  2 D Cực tiểu f nhỏ cực đại Lời giải Chọn B  x  2  x  2 Từ đồ thị ta có f   x     f   x     , f   x    2  x  x  x  Từ suy bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực đại x  2 Câu Biết đồ thị hàm số y  x3  3x2 có dạng hình vẽ: y -3 -2 O x Hỏi đồ thị hàm số y  x3  3x có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ 3 2  x  3  x  3x x  3x   x  3   x  3x có: y  x  3x     3 2   x  3x x  3x   x  3   x  3x x  3 Nên ta lấy phần đối xứng đồ thị hàm số y  x3  3x2 x  3 y -3 -2 O x Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực trị Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Hàm số y  f  x  có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn A Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phải trục Oy qua Oy ta đồ thị hàm y  f  x  Vậy hàm số y  f  x  có cực trị Câu Đồ thị hàm số y   x3  3x2  9x  có hai điểm cực trị A B Điểm thuộc đường thẳng AB ? A M 1;  12  B N 1;12  C P 1;0  D Q  0;  1 Lời giải Chọn B Tập xác định y  3x2  x  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  x  1 y   3x  x     x  Do đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A  1; 4  B  3; 28  Suy đường thẳng AB có phương trình 8x  y   Thay N 1;12  vào phương trình AB ta có 8.1 12   Vậy N thuộc AB Câu Số điểm cực trị hàm số y  x  x  A B Chọn A Tập xác định D  y   2x 2x2   C Lời giải D x2   x x2  x     x   nhan x        y   x   2 x   2  2 x   x    x   loai    Bảng biến thiên Vậy hàm số cho có cực trị Câu Tìm giá trị thực tham số m để hàm số y  x3  mx   m2   x  đạt cực đại x  A m  B m  7 C m  D m  1 Lời giải Chọn C Ta có y  x  2mx   m   ; y  x  2m Hàm số y  x3  mx   m2   x  đạt cực đại x  khi:   y   3     y  3    m  1 L  9  6m  m   m  6m          m  TM  6  m  m   m  Vậy m  giá trị cần tìm Câu 10 Cho hàm số y  x4  2mx2  m Tìm tất giá trị thực m để hàm số có cực trị TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  x  A C Lời giải B Chọn A  D  Ta có g  x   f  x  x   f x  x Số điểm cực trị hàm số f  x  hai lần số điểm cực trị dương hàm số f  x  cộng thêm 1   x  x   Xét hàm số h  x   f  x  x   h  x    x  1 f   x  x     x  x  1       x  x  x   Bảng xét dấu hàm số h  x   f  x  x  Hàm số h  x   f  x2  x   có điểm cực trị dương, hàm số  g  x   f  x  x   f x  x có điểm cực trị Câu   Cho hàm số f   x    x  2 x2  x  với x  Có giá trị nguyên dương m để hàm số y  f  x  10 x  m   có điểm cực trị A 18 B 16 C 15 Lời giải D 19 Chọn B x  Ta có f   x     x  , x  nghiệm kép nên qua giá trị x  f   x   x  không bị đổi dấu Đặt g  x   f  x  10 x  m   g '  x   f   u   x  10  với u  x2 10 x  m  x   x  10    2  x  10 x  m      x  10 x  m      Nên g   x     2  x  10 x  m   1  x  10 x  m      x  10 x  m    x  10 x  m     Hàm số y  f  x  10 x  m   có điểm cực trị g   x  đổi dấu lần Hay phương trình 1 phương trình   phải có hai nghiệm phân biệt khác TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 12 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 1'   '   , (Với h  x   x  10 x  m  p  x   x  10 x  m  )  h     p  5   17  m  19  m     m  17  17  m   19  m  Vậy có 16 giá trị nguyên dương m thỏa mãn Câu Cho hàm số y  f  x  xác định tập số thực  f '  x    x  sin x  x  m  3 x   m2 có đạo hàm  x  ( m tham số) Có giá trị nguyên m để hàm số y  f  x  đạt cực tiểu x  ? C Lời giải B A D Chọn A Điều kiện  m2   3  m  TH 1:  m  ta có BTT TH 2: 3  m  ta có BTT TH 2: m  ta có BTT Từ suy 3  m   có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu Biết hàm số y x đúng? A ab B ab a x b x3 có hai điểm cực trị Mệnh đề sau C ab Lời giải 0 D ab Chọn C Ta có y x3 a b x2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA a2 b2 x a3 b3 Trang 13 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU y 3x a b x a2 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ b2 Hàm số có hai điểm cực trị y có hai nghiệm phân biệt ab Câu 18ab 0 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  m2 x   m2  2019m  x  có cực trị A 2019 B 2020 C 2018 Lời giải D 2021 Chọn A Trường hợp 1: m   y  1 nên hàm số khơng có cực trị  m  (loại) Trường hợp 2: m   m2  Hàm số y  m2 x   m2  2019m  x  có cực trị  m2  m2  2019m    m2  2019m    m  2019 Câu Vì m    m  2019 Do m  nên có 2019 giá trị nguyên tham số m thỏa đề Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x   x  x  1  x  2mx   Có tất giá trị nguyên m để hàm số có điểm cực trị? A B C D Lời giải Chọn C Hàm số f  x  có điểm cực trị tam thức g  x   x  2mx  vơ nghiệm có hai nghiệm phân biệt nghiệm x  1 , g  x  có nghiệm       g  m     2m     m    g  1     kép x  1 Tức   Do tập giá trị     m   m   g       b    m  1    1      a  g  g   nguyên thỏa mãn yêu cầu toán S  2,  1, 0, 1, 2, 3 Câu Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y  x3  x   m  3 x  m có hai điểm cực trị điểm M  9;  5 nằm đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị A m  10 B m  10 C m  Lời giải D m  Chọn D Ta có y  3x2  x  m  , để hàm số có hai điểm cực trị phương trình y  có hai 13 nghiệm phân biệt     m  * TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 14 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ   2m 26  7m 1 Ta có y  y   x       x  nên phương trình đường thẳng qua hai điểm 3 9  9 7m  2m 26  cực trị y     x  Theo giả thiết, đường thẳng qua M  9;  5 nên  9 m  (thỏa mãn điều kiện  * ) Câu Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x4  2mx2  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân 1 A m  B m  1 C m   D m  9 Lời giải Chọn B Hàm số y  x4  2mx2  có tập xác định: D  x  Ta có: y '  x3  4mx ; y '   x3  4mx   x  x  m      x   m   Hàm số có cực trị phương trình    có nghiệm phân biệt khác  m   m     Vậy tọa độ điểm là: A  0;1 ; B  m ;1  m2 ; C   Ta có AB   m ; m2 ; AC   m ; m2  m ;1  m2  Vì ABC vuông cân A  AB.AC    m2  m2 m2    m  m4   m  m4   m  1 ( m  ) Vậy với m  1 hàm số có cực trị tạo thành tam giác vuông cân Câu 10 Cho hàm số y  x4  2mx2  2m2  m4 có đồ thị (C) Biết đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn ABCD hình thoi với D  0; 3 Số m thuộc khoảng sau đây? 1  B m   1;  2  9  A m   ;  5  C m   2;3  1 9 D m   ;  2 5 Lời giải Chọn D Tập xác định: D  x  Ta có y '  x  4mx  y '    x  m Hàm số cho có ba điểm cực trị  m  Khi ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: A  0; 2m2  m4  ; B    m ; m  3m ;  C  m ; m  3m Gọi I trung điểm BC  I  0; m  3m  Vì A, D  Oy , B C đối xứng qua Oy nên tứ giác ABCD hình thoi  I trung điểm AD   m  3m   2m  m   m  4m   m2   m  1 m  m 0     m  m  m   TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ  Mức độ Câu Cho hàm số y  f  x  , hàm số y  f  x có đồ thị hình bên Hàm số  5sin x   (5sin x  1) g ( x)  f   có điểm cực trị khoảng (0;2 )    A B C Lời giải D Chọn B  5sin x   Ta có: g ( x)  5cos xf     cos x  5sin x  1    5sin x   g ( x)   5cos xf     cos x  5sin x  1    cos x     5sin x   5sin x   f      2  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ    cos x   cos x     5sin x   3 cos x   sin x  1  5sin x   6   5sin x  1   1  5sin x   2  sin x      5sin x     5sin x  1   sin x   3    5sin x      5sin x  1 sin x        x    x  3  2  cos x   3  x  sin x  1     1  1  sin x     x    arc sin     x  2  arc sin    , ( Vì  x  2 )   5  5    1 1 sin x   x  arc sin    x    arc sin    3 3    3 3 sin x   x  arc sin    x    arc sin    5 5  3 Suy phương trình g   x   có nghiệm, có nghiệm x  nghiệm kép Vậy hàm số y  g  x  có cực trị Câu Cho hàm số bậc bốn f ( x) có bảng biến thiên sau Số điểm cực trị hàm số g ( x)  x  f ( x  1)  A 11 B D C Lời giải Chọn B g '( x)  x  f ( x  1)   x  f ( x  1)  f '( x  1)  x  f ( x  1)   f ( x  1)  x f '( x  1)  3 g '( x)  ta + TH1: x   x  a  2  x  b  (2; 1) + TH2: f ( x  1)     x  c  (1;0)  x  d  + TH3: f ( x  1)  2x f '( x  1)  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Từ bảng biến thiên ta có hàm số thỏa mãn f ( x)  5x4  10x2   f ( x  1)  x f '( x  1)   h  x   f ( x  1)  2( x  1) f '( x  1)  f '( x  1)  Với t  x  ta có: h(t )  5t  10t   2t (20t  20t )  2(20t  20t )   45t  40t  50t  40t   Lập bảng biến thiên ta suy có nghiệm t  nghiệm x Vậy có cực trị Câu Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hàm đạo hàm f '  x  hình vẽ f b   Số    giá trị nguyên m   5;5  để hàm số g x  f x  f x  m có điểm cực trị A B Chọn A Cách 1: C Lời giải D 10   Ta có bảng biến thiên f x :        h ' x   f ' x  f x   f ' x   h ' x   f ' x   f x   2   ' ' h x    f x   f x   2     f ' x   x  a; x  b    f  x   2 x  c c a  Xét hàm số h x  f x  f x  m Pt có nghiệm phân biệt  có điểm cực trị    f x   f x   m   Xét h x  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ   Để g x  h x có điểm cực trị PT có nghiệm đơn nghiệm bội lẻ phân biệt       Ta có Bảng biến thiên t x  : Xét hàm số t x  f x  f x Từ YCBT  t  x   m có hai nghiệm đơn nghiệm bội lẻ pb    m  t a       4  m   5  m  5; m     m  t a  5      4  m    5  m    5  m   m    m  5; 4; 3; 2; 1; 0;1;2; Cách 2:   Ta có bảng biến thiên hàm số y  f x :        h ' x   f ' x  f x   f ' x   h ' x   f ' x   f x   2   ' ' h x    f x   f x   2     f ' x   x  a; x  b    f  x   2 x  c c a  Xét hàm số h x  f x  f x  m TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU   50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ    m  f a   f (a)  5   Từ YCBT g x  h x  f x  f x  m có điểm cực trị khi:   h a      4  m    m   5  m  m  ; m   5;5    m  ; m   5;5     m  5; 4; 3; 2; 1; 0;1;2;  Câu  Cho hai hàm đa thức y  f  x  , y  g  x  có đồ thị hai đường cong hình vẽ Biết đồ thị hàm số y  f  x  có điểm cực trị A , đồ thị hàm số y  g  x  có điểm cực trị B AB  Có giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng  5;5 để hàm số y  f  x   g  x   m có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn D Đặt h  x   f  x   g  x  , ta có: h  x   f   x   g   x  ; h  x    x  x0 ; TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ h  x    x  x1 x  x2 ( x1  x0  x2 ); h  x0   f  x0   g  x0    Bảng biến thiên hàm số y  h  x  là: Suy bảng biến thiên hàm số y  k  x   f  x   g  x  là: Do đó, hàm số y  k  x   m có ba điểm cực trị Vì số điểm cực trị hàm số y  k  x   m tổng số điểm cực trị hàm số y  k  x   m số nghiệm đơn số nghiệm bội lẻ phương trình k  x   m  , mà hàm số y  k  x   m có ba điểm cực trị nên hàm số y  f  x   g  x   m có năm điểm cực trị phương trình k  x   m  có hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y  k  x  , phương trình k  x   m  có hai nghiệm đơn (hoặc bội lẻ) m  Vì m , m   Câu 7 m 4 m  5;5 nên m4; 3; 2 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y  x8   m   x5   m   x  đạt cực tiểu x  A C Lời giải B D Vô số Chọn A Ta có y  x8   m   x5   m   x   y  x   m   x   m2   x3   y   x x   m   x   m    x    g  x   8x   m   x   m    Xét hàm số g  x   x   m   x   m   có g   x   32 x   m   Ta thấy g   x   có nghiệm nên g  x   có tối đa hai nghiệm + TH1: Nếu g  x   có nghiệm x   m  m  2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Với m  x  nghiệm bội g  x  Khi x  nghiệm bội y y đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x  nên x  điểm cực tiểu hàm số Vậy m  thỏa ycbt x  Với m  2 g  x   x  20 x    x   Bảng biến thiên Dựa vào BBT x  không điểm cực tiểu hàm số Vậy m  2 không thỏa ycbt + TH2: g  0   m  2 Để hàm số đạt cực tiểu x0  g 0   m2    2  m  Do m nên m  1;0;1 Vậy hai trường hợp ta giá trị nguyên m thỏa ycbt Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục xác định có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y   f  x    2mf  x   2m  35 có điểm cực trị A B C Lời giải D Chọn B Xét hàm số: g  x    f  x    2mf  x   2m  35  g   x   f   x   f  x   2m  Cho: g   x   f   x   f  x   2m    f ( x )   x  4 ; x   có thêm hai điểm cực trị  f ( x )  m  có nghiệm đơn  Đã biết hàm số y  g  x  có số cực trị tổng số điểm cực trị hàm số y  g  x  số nghiệm đơn phương trình g  x   TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Để hàm số y  g  x  có điểm cực trị ta phải có:  f  x   m có nghiệm đơn   g  x   f  x   2mf  x   2m  35  nghiệm phân bieät      m   m  3   5  m  3    m  5 ;  ;  ; ; ; 7   m  5 m  5  m       m  2m  35   5  m  Suy có giá trị m nguyên thỏa mãn Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm h  Đặt g  x    x  f   x  2019 thỏa mãn f  x  h   f  x  h   h với x  ,   x  f   x   29  m   m4  29m2  100  sin x  với tham số m Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên m  27 cho g  x  đạt cực tiểu x  Tổng bình phương phần tử S A 100 B 50 Chọn A Với x  C 108 Lời giải D 58 h  , ta có f  x  h   f  x  h   h2  f  x  h  f  x  f  x  f  x  h h h f  x  h  f  x f  x  h  f  x  h h h Cho h  , ta f   x   Khi g  x   x 2019  x 29 m   m4  29m2  100  sin x  g   x   2019 x 2018   29  m  x 28 m   m4  29m  100  sin x  g     Xét g   x   2019.2018 x 2017   29  m  28  m  x 27  m   m4  29m2  100  cos x  g     2  m4  29m2  100   m  5 *) Nếu g      m4  29m2  100     m  2 + Nếu m  g   x   2019 x 2018  24 x 23  x 23  2019 x1995  24  đổi dấu từ âm sang dương qua x  nên thỏa mãn yêu cầu + Nếu m  5 g   x   2019 x 2018  34 x 33  x 33  2019 x1985  34  đổi dấu từ âm sang dương qua x  nên thỏa mãn yêu cầu + Nếu m  g   x   2019 x 2018  27 x 26  x 26  2019 x1992  27  không đổi dấu qua x  nên loại + Nếu m  2 g   x   2019 x 2018  31x 30  x 30  2019 x1988  31 không đổi dấu qua x  nên loại *) Nếu g   x   g  x  đạt cực tiểu x   g      2  m4  29m2  100    m4  29m2  100    m2  25 Vì m nguyên nên m  4; 3;3; 4 Vậy S  5; 4; 3;3; 4;5 Do tổng bình phương phần tử S 100 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 23 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Cho hàm số f  x   x  2m x  m   m3  m  Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn  20; 20 để hàm số cho có điểm cực trị A 40 B 41 C 20 Lời giải D 23 Chọn D Ta có: f  x   x  2m x  m   m3  m   x  2m  x  m    m3  m  x  m   f  x    x  2m  x  m    m  m  x  m  2 x  2m x  m  1  f ' x   2 x  2m x  m    Yêu cầu tốn  f '  x  có điểm qua đổi dấu  *  Nhận xét: x  2m   x  m (thỏa mãn x  m  ) Do x  m điểm cực trị hàm số Do đó:  *    vô nghiệm y ' không đổi dấu qua x  m  m  m      m    2m    m    2m    m   m  20; 19; ; 2 Vậy có 23 số nguyên m thỏa mãn Câu Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục f    0; f    Biết hàm y  f   x  có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị hàm số g  x   f  x   x A C Lời giải B D Chọn C Đặt h  x   f  x   x Ta có h  x   x f   x   Từ đồ thị ta thấy f   x   0, x Do h  x   0, x  Với x  , ta có h  x    f   x   x Đặt t  x , phương trình trở thành f   t   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  t  t0   0;1 Khi h  x    x  t0 t Trang 24 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Ta có h    f    h    f     Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có hàm số y  h  x  có điểm cực trị đồ thị hàm số y  h  x  cắt Ox điểm phân biệt  Hàm số y  g  x   h  x  có ba điểm cực trị Câu 10 Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị đồ thị hàm số y  g  x   f  x  x  3   x    A Chọn D C Lời giải B 10    x   D Ta có g '  x    x   f ' x2  x    x     x   g '  x    x    f '  x  x  3  x  x  1 x  g ' x    2  f '  x  x  3    x  x  3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 25 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Từ đồ thị hàm số Ta có đường thẳng y   x cắt đồ thị y  f '  x  bốn điểm phân biệt có hồnh độ x  2; x  0; x  1; x  x  x    x  x    x    Vậy (*)   x  x     x   x    x2  4x      x    x  4x   Ta có BBT: Từ BBT suy đồ thị hàm số có điểm cực trị TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 26