HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT Chuyên đề 18 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Tìm tập xác định Hàm số mũ Dạng: y  ax ya u a  với  a  Tập xác định: D   Hàm số logarit y  log a x a  với  y  log a u a   y  ln x ; a  10   y  log x  lg x Đặc biệt: a  e  Điều kiện xác định: u  Dạng: Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập xác định hàm số y  log x A  0;   Câu B  0;   B (0;  ) B  0;   B  0;   B  0;   Câu 10 D  ;   C (; ) D [0;  ) C  0;   D  ;   C  \ 0 D  0;    C  0;   D  \ 0 x3 x2 B D  ( 2; 3) (Mã 123 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  log A D  ( ; 2)  (3;  ) C D  (  ; 2)  [3;  ) Câu C  ;0  (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tập xác định hàm số y  x A  Câu D   ;    (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tập xác định hàm số y  x A  Câu C  0;    (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x A ( ;0) Câu B   ;0  (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x A ( ;0) Câu D  2;   (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x A  0;   Câu C  0;   (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x A  0;    Câu B  ;   D D   \{2} (Đề Minh Họa 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  log  x  x  3 A D   ; 1  3;   B D   1;3 C D   ; 1   3;   D D   1;3 (Mã 104 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  log  x  x   Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A D  1;3  B D   ;1   3;       C D  ;    2;  Câu 11  B D   0;    D D   0; 3 C  ; 2  3;    D  ;    3;    (THPT Lê Quy Đơn Điện Biên 2019) Tìm tập xác định hàm số y  log C  0;  B  6 x D  6;   (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tập xác định hàm số y  log2  2x  x A D  (1;1) Câu 15 C D   ;    3;    B  2; 3 A  ;6 Câu 14  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập xác định y  ln   x  x   A  2; 3 Câu 13  (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm tập xác định hàm số y  log 2018 3x  x A D   Câu 12   D D   2;1  3;2  B D  (1; 3) C D  (3;1) D D  (0;1) (Sở Vĩnh Phúc 2019) Tập xác định hàm số y  log  x  x  3 B  1;3 A  1;3  C   ;  1   3;    D   ;  1  3;    Câu 16 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tập xác định hàm số: y  A  0;   Câu 17 B  0;3  log   x  D 0;3  (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Tập xác định hàm số y   ln  x    A  Câu 18 C  ;3 x B  3;   C  0;   D  2;     (THPT Ba Đình 2019) Tìm tập xác định D hàm số y  log 2019  x   2x  3 3 3   A D   2;    ; 2 2 2   3  C D   ;  D D   2;  2  A D   2;3 B 3 3   B D   2;    ;  2 2    x    log   x2  D   3;3 \ 2 C D   3;   Câu 19 Tìm tập xác định hàm số y  D D   3;3 Dạng Tìm đạo hàm Đạo hàm hàm số mũ y  a x   y  a x ln a y  a u   y  au ln a u Đặc biệt: (e x )  e x (eu )  eu u 2019 với e  2,71828 Đạo hàm hàm số logarit Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 y  log a x   y  x ln a u y  log a u   y  u ln a x u (ln u )  u (ln x )  Đặc biệt: Câu (Đề Minh Họa 2021) Đạo hàm hàm số y  x A y  x ln Câu B y   x Câu Câu Câu D  0;   (Mã 104 - 2021 Lần 1) Tập xác định hàm số y  8x A  \ 0 B  C  0;   D  0;   (Mã 103 - 2021 - Lần 1) Tập xác định hàm số y  x A  0;   B  \ 0 C  0;   D  (Mã 102 - 2021 Lần 1) Tập xác định hàm số y  x B  0;  (Mã 103 - 2019) Hàm số y  x x x có đạo hàm  x 1 D (2 x  1).2 x x  x x có đạo hàm  B x  x 3x  x 1 2 C  x  1 3x  x.ln D 3x  x.ln (Đề Minh Họa 2017) Tính đạo hàm hàm số y  13x A y  13x ln13 B y  x.13x 1 C y  13x ln13 D y  13x (Mã 110 2017) Tính đạo hàm hàm số y  log2  2x  1 A y  Câu 11 x (Mã 104 - 2019) Hàm số y  A  x  1 3x D y  C ( x  x).2 x Câu 10 D  B (2 x  1).2 x  x.ln A x  x.ln Câu C  0;  (Đề Tham Khảo 2017) Tìm đạo hàm hàm số y  log x ln10 1 A y  B y  C y  x x ln10 10ln x Câu D y  x.2 x 1 C  \ 0 B  0;   A  \ 0 Câu 2x ln (Mã 101 - 2021 Lần 1) Tập xác định hàm số y  x A  Câu C y   x  1 ln B y   x  1 ln C y  (Đề Minh Họa 2017) Tính đạo hàm hàm số y  A y '  C y '    x  1 ln 2x   x  1 ln 2x B y '  D y '  2x 1 D y  2x 1 x 1 4x   x  1 ln 22 x   x  1 ln 2x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 12 (Đề Tham Khảo 2019) Hàm số f  x   log  x  2x  có đạo hàm ln x  2x A f '  x    2x  2 ln C f '  x   Câu 13 x  2x  x  2x  ln D f '  x   2x   x  2x  ln (Mã 101 - 2019) Hàm số y  x A  x  3 x 3 x C  x   x Câu 14 B f '  x   3 x A  x  3 3x   2 có đạo hàm ln B D  x  x  x 3 x C x  x 3x 3 x x 3 x (Mã 102 - 2019) Hàm số y  3x 2 B 3x 3 x 1 2 ln 3 x  x 1 có đạo hàm 3 x ln D  x   3x 3 x ln   Câu 15 Tính đạo hàm hàm số y = ln 1+ x +1 A y   x 1 1 x 1   x 1 1 x 1 Câu 16 B y  2e12 x  x  1 ln x  x 1 Câu 22 D y  e12 x  B y '  2x 1 2x 1 C y '  x  x 1  x  x  1 ln x B  x  1 e x2  x C  x  1 e x 1  x  x  1 ln D y '  x D  x  x  e x 1 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hàm số f  x   log  x  1 , tính f  1 B f  1  ln C f  1  D f  1  ln (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Tìm đạo hàm hàm số y  ln 1  e2 x  A y  Câu 21 e12 x (THPT Lê Quy Đơn Điện Biên 2019) Tính đạo hàm hàm số y  e x A f  1  Câu 20 C y    A  x  1 e Câu 19  1 x 1 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Đạo hàm hàm số y  log x  x  là: A y '  Câu 18 D y    (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đạo hàm hàm số y  e12 x A y  2e12 x Câu 17  x 1 1 x 1 C y  B y  2e x e 2x  1 B y  e2 x e2 x  C y  2x e 1 D y  (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tính đạo hàm hàm số y  A y   2 x 2x B y  C y   x2 2x D y   ln  x  1  x 2  2e2 x e2 x  1 x 2x ln  x  1  2x (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tính đạo hàm hàm số y  log9  x  1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 A y   x  1 ln Câu 23 x B y   x  1 ln x ln C y  x 1 D y   ln x2  (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Tính đạo hàm hàm số y  e x sin x A e x  sin x  cos x  B e x cos x C e x  sin x  cos x  D e x  sin x  cos x  Câu 24 x 1 4x   x  1 ln   x  1 ln B C 2x 2x (VTED 2019) Đạo hàm hàm số y  A   x  1 ln 22 x D   x  1 ln 2x y' với x  Khi  y x   ln x x x x 1 A B  C D x 1 x  x  ln x  x  ln x Câu 26 (Chuyên Lê Q Đơn Điện Biên 2019) Tính đạo hàm hàm số y  x ln x  x e  x1 A y     ln  ln x    x B y  x ln   e x x x  e Câu 25 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hàm số y  1 ln  x D y  x ln   ex x e x (VTED 2019) Đạo hàm hàm số f ( x )  log x  x C y  x Câu 27 A Câu 28  2x  x  x ln 2 B   x  x ln 2  C (2 x  2) ln x2  2x D 2x  x  x ln 2 (Chuyên KHTN 2019) Đạo hàm hàm số f (x)  ln(lnx) là: 1 A f ( x)  B f ( x )  x ln x ln  ln x  ln  ln x  C f ( x)  x lnx ln  ln x  D f ( x)  lnx ln  ln x  Dạng Khảo sát hàm số mũ, logarit Sự biến thiên hàm số mũ: y  a x Nếu a  hàm đồng biến  Nếu  a  hàm nghịch biến  Sự biến thiên hàm số logarit: y  log a x Nếu a  : hàm đồng biến (0;  ) Nếu  a  : hàm nghịch biến (0;  ) ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ Đồ thị hàm số mũ logarit ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta thấy: a x   a  1; b x   b  Ta thấy: c x  c  1; d x  d  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a  b So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c  d Vậy  b  a   d  c Câu Ta thấy: log a x   a  1; log b x   b  Ta thấy: log c x  c  1; log d x  d  So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logb x trước: b  a So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d  c Vậy  a  b   c  d (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số f  x   x ln x Một bốn đồ thị cho bốn phương án A, B, C, D đồ thị hàm số y  f   x  Tìm đồ thị đó? Câu A Hình B Hình C Hình D Hình x x Cho ba số thực dương a , b, c khác Đồ thị hàm số y  a , y  b , y  c x cho hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A b  c  a B c  a  b C a  b  c D a  c  b Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Câu (Mã 105 2017) Cho hàm số y  a x , y  b x với a, b hai số thực dương khác 1, có đồ thị  C1   C2  hình bên Mệnh đề ? Câu A  b   a B  a  b  C  b  a  D  a   b (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong hàm số sau hàm số nghịch biến  ? Câu e C y    4   B y  log x3 A log3 x2 x 2 D y    5 x Mệnh đề mệnh đề sai?  2018  A Hàm số y       x2 1 đồng biến  B Hàm số y  log x đồng biến  0;   C Hàm số y  ln   x  nghịch biến khoảng  ;0  D Hàm số y  x đồng biến  Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Hàm số đồng biến tập xác định nó? x Câu x x x 1 2 A y    B y    C y  D y   0,5  π 3 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số y  log x Mệnh đề sai?   x ln B Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng A Đạo hàm hàm số y   C Tập xác định hàm số  ;   D Hàm số đồng biến khoảng  0;   Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Trong hàm số sau, hàm số đồng biến ? x Câu x    2015  A y   B y   C y  (0,1) x    2016   2016   Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số đây? D y  (2016) x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A y  e x Câu 10 B y  ln x D y  e x C y  ln x (Chun Lê Thánh Tơng 2019) Tìm hàm số đồng biến  x   C f  x    D f  x   x   3 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  log x Mệnh đề mệnh đề sai? A f  x   3x Câu 11 B f  x   3 x A Hàm số cho đồng biến tập xác định B Hàm số cho có tập xác định D   \ 0 C Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng trục tung D Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận ngang Câu 12 Cho đồ thị hàm số y  a x y  logb x hình vẽ Khẳng định sau đúng? 1 b B  a   b C  b   a D  a  ,  b  2 Câu 13 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến? A y  ln x B y  log 2018 x C y  log  x D y  log  x A  a  1 Câu 14 (Sở Hà Nội 2019) Đồ thị hàm số y  ln x qua điểm  A  1;  Câu 15 2019  B 2; e C  2e;  D  0;1 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong hàm số sau,hàm số nghịch biến tập xác định nó? x 1 2 A y    B y  log x C y  2x D y    2 3 Câu 16 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Chọn khẳng định sai khẳng định sau: A Hàm số y  log x đồng biến  B Hàm số y  log x nghịch biến tập xác định x C Hàm số y  đồng biến  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 D Hàm số y  x Câu 17 có tập xác định  0;   (KTNL GV Bắc Giang 2019) Hàm số đồng biến khoảng (0;   ) ? A y  log x B y  log  x C y  log e x Câu 18 D y  log x (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Đồ thị hàm số y  x y  log x đối xứng với qua đường thẳng y   x B Đồ thị hai hàm số y  e x y  ln x đối xứng với qua đường thẳng y  x đối xứng với qua trục hoành 2x D Đồ thị hai hàm số y  log x y  log đối xứng với qua trục tung x Câu 19 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Hàm số sau có đồ thị hình bên? C Đồ thị hai hàm số y  x hàm số y  A y  log x Câu 20 C y  log  x  1 B y  log x  D y  log  x  1 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Trong hàm số đây, hàm số nghịch biến tập số thực R x x    2 A y    B y  log  x  C y    D y  log x 3 e Câu 21 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Hàm số nghịch biến tập xác định nó?  A y  log x B y  log    C y  log  x x 1   D y    3 x x Câu 22 (Chuyên Bắc Giang -2019 Cho hàm số y  A Hàm số nghịch biến khoảng  ;0  C Hàm số đạt cực trị x  Câu 23  x  17 Mệnh đề sau sai? ln B Hàm số đồng biến khoảng  0;   D Hàm số có giá trị cực tiểu y  1 ln (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên -2019) Đồ thị  L  hàm số f  x   ln x cắt trục hoành điểm A , tiếp tuyến  L  A có phương trình là: A y  x  Câu 24 B y  x  C y  x D y  x  (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số y  xe 3x đạt cực đại Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A x  Câu 25 3e B x  C x  e D x    (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Hàm số y  log3 x2  x nghịch biến khoảng nào? A  2;    B   ;0  C 1;    D  0;1 Câu 26 Cho đồ thị hàm số y  a x y  log b x hình vẽ Trong khẳng định sau, đâu khẳng định A  a  1,  b  B a  1, b  C  b   a D  a   b Câu 27 Hình vẽ bên thể đồ thị ba bốn hàm số y  6x , y  8x , y  Hỏi (C2) đồ thị hàm số nào? A y  6x B y  x Câu 28 C y  5x 1 y  x x D y  8x (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Giá trị nhỏ hàm số y  ln x đoạn x  2;3 A Câu 29 ln B ln C e2 D e (Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số f  x   ln x  x Khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  0;1 B Hàm số đồng biến khoảng  0;  C Hàm số đồng biến khoảng  ;0 1;   D Hàm số đồng biến khoảng 1;  Câu 30   (HSG Bắc Ninh 2019) Giá trị nhỏ hàm số f  x   x  e2 x đoạn  1; 2 bằng: A 2e4 B e2 C 2e2 D 2e2 Câu 31 Giá trị nhỏ hàm số y  x 1   8x  1;0 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  log5  4a  2b  5   4a  2b  5  log5 5  a  b     a  b  (*) Xét hàm f  x   log x  x, x  Đạo hàm f   x     0, x  Suy hàm số f  x  đồng biến  0;   x.ln Phương trình (*) viết lại: f  4a  2b  5  f   a  b    4a  2b    a  b   a  3b  Mặt khác: 52   a  3b   12  32   a  b2   T  a  b2  Dấu "  " xảy  a b   a  ;b  2 Câu 36 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Với hai số thực a, b bất kì, ta kí hiệu f a ,b  x   x  a  x  b  x   x  Biết tồn số thực x0 để f  a ,b   x   f  a ,b   x0  với số thực a, b thỏa mãn ab  ba  a  b Số x0 xR B 2,5 A 2e  C e D 2e Lời giải Ta có a b  b a  b ln a  a ln b  Xét hàm số y  ln a ln b   * a b lnx , tập xác định D   0;   x  ln x , y   x  e x2 Bảng biến thiên y  x y/ a b e + +∞ _ y e -∞ 0  a  b Có   f  a   f  b  Kết hợp với bảng biến thiên suy a  e  b 1 Ta lại có f a,b   x   x  a  b  x  x    x  x  a  b  x  x    x  b  a  a  x  b Suy f a,b   x   b  a     2 x 2  x  Từ 1   suy số thực thỏa mãn yêu cầu toán x  e Thử lại: x  e f  e   b  a  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 28 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Vậy f a ,b   x   f  a ,b   x0   f  a ,b   e  xR   Câu 37 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho x , y số thực lớn cho y x e x ey  xy ey  ex Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log x xy  log y x A 2 B 2 C 1 2 D 1 2 Lời giải Cách y x y x e e e e y x  e x   x y  e y   ln  y x  e x    ln  x y  e y       x y  x ln y  xe y  y ln x  ye x   y  e x  ln x (*) (vì có x ln x  e ln y  e y Ta y '  ex  có:  0; x  nên y  y 1  e  ) x Xét hàm số: f t   t ln t  et 1;  ta có f 't   ln t  et   tet  ln t  et  Với hàm số g  t   ln t  et   tet có g '  t    ln t  et   tet  '   tet  0, t  t Nên g  t   g 1  1  f '  t   0; t   y  f  t  hàm nghịch biến 1;   nên với (*) f  x   f  y   y  x  Khi P  log x xy  log y x  1 log x y    log x y    y  x log x y Dấu “=” xảy khi: Vậy: Pmin  1 1 1 1 2  log x y    log x y  2 log x y 2 log x y 2 1 2 Cách 2: Với x , y  log x y;log y x số dương, ta có: P  log x xy  log y x  Dấu “=” xảy khi:  y  x Thay   x  1 1 1 1 2  log x y   2 log x y  2 log x y 2 log x y 1 log x y    log x y    y  x , log x y vào điều kiện thấy thỏa mãn điều kiện ban đầu Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Vậy Pmin  1 2 Câu 38 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log3 1 y  3xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin x  3xy P  x  y A Pmin  34 B Pmin  34 C Pmin  34 D Pmin  34 Lời giải Để 1 y  mà từ giả thiết x, y  suy  y   y  Vậy ĐKXĐ: x  0;0  y  x  3xy Ta có: log3  1  y  x  3xy 1  y  xy  x3 y 3 1 y 1 y 3  3xy  x  y    33 xy  x 3 y   x  3xy x  3xy x  3xy  33 xy  x    y  333 y   xy  x  33 xy  x (*) 333 y Xét f  t   t.3t với t  Ta có f   t   3t  t.3t.ln  với t  , suy f  t  đồng biến khoảng  0;   Từ (*) ta có  y  3xy  x  y  Ta có P  x  y  x  P   x  1  Vậy Pmin f   y   f  xy  x  với  y  0,3xy  x  nên 3 x 3( x  1)  3 x 3 x 1   x  1       x  1   x  1  4  2  x  1  x  1 4 34    x  1 3   x    x  1   x   34 3 x    y  3 x     y   x  0;0  y     3 1 Câu 39 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f ( x)  2x  2 x Gọi m0 số lớn số nguyên m thỏa mãn f (m)  f (2m  212 )  Mệnh đề sau đúng? A m0  1513; 2019  B m0  1009;1513 C m0  505;1009  D m0  1;505  Lời giải Chọn B Hàm số f ( x)  2x  2 x xác định x   x x x x Khi  x   , ta có f ( x)    (2  )   f ( x) Suy f ( x) hàm số lẻ 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 30 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Mặt khác f ( x)  (2x  2 x )ln  , x   Do hàm số f ( x) đồng biến    12 12 Ta có f (m)  f (2m  )   f (2m  )   f (m) Theo 1 suy f (2m  212 )  f (m) Theo   ta 2m  212  m  3m  212  m  212 Vì m   nên m  1365  m0  1365 Vậy m0  1009;1513 Câu 40 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho x; y hai số thực dương thỏa mãn x  y y x x2  y2  x   y  P  Giá trị nhỏ biểu thức        xy  y 2x   2y   A 13 B C  D Lời giải Chọn D y x y x     Ta có  x  x    y  y    x  1   y  1      y ln  x  1  x ln  y  1  Xét hàm số f  t   ln  4t  1 t ln  x  1 x  ln  y  1 y (vì x, y  ) khoảng  0;   4t ln t  ln  4t  1 4t ln 4t   4t  1 ln  4t  1 t  Ta có f   t     0, t  t2  4t  1 t  f  t  nghịch biến khoảng  0;    Lại có f  x   f  y   x  y Đặt t  t2  x , t  1;    P  t 1 y Cách 1: Xét P  t  1 t  2t  t2  ; P    với t  1;   , ta có P  t 1  t  1 t  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, suy giá trị nhỏ P t  hay x  y Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 t2  Cách 2: Ta có P   t 1     (AM – GM) t 1 t 1 Suy ra, giá trị nhỏ P t  hay x  y Câu 41 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Xét số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 x x  y   log      xy   Khi x  y đạt giá trị nhỏ nhất, y x y 1 A B C D   Lời giải Chọn A 2 2 Ta có: x  y   log      xy   x y     x  y   xy    log  x  y   log  xy    xy   xy  2  2x  y  xy   xy   log  x  y      log       1 Xét hàm số f  t   2t  log t , với t   0;     0, t  , suy hàm số f  t  đồng biến khoảng t.ln xy 1  f  x  y   f     x  y   xy   f   t   4t  Ta có:  x  y   xy  x( y  2)  y  x  P  x  4y  Từ 2y ;y  y2 2y 4  y  10   y     10   y    18 y2 y2 y2  Pmin  18  y    y 3 x   0;     y  1  y  y2 2y x    y2 y Câu 42 (Chuyên KHTN - 2020) Cho x, y số thực dương thỏa mãn 3x  y  log   x  y  1 x  y  1   xy  1 Giá trị lớn biểu thức x2  y2 5x  y  P 2x  y 1 A B C D Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 32 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 3x  y   Ta có: log   x  y  1 x  y  1   xy  1 x2  y2  log 3x  y   x  y  3x  y  x2  y2 2 2 3x  y  22 x  y   x 3 y 3   x  y   23 x 3 y 3   x  y  22 x  y 2 x y   x  y   23 x 3 y 3   x  y  22 x   x  y   23 x 3 y    x  y  22 x 2  y2 2 y2 1  Đặt f  t   t.2t  t   Ta xét: f   t   2t  t.2t.ln  0, t  Suy hàm số f  t  đồng biến  0;   Lúc đó; 1 có dạng: f  3x  y    f  x  y   x  y   x  y  x  xy  y   x  y     x  xy  y 2   x  y   3 x  y      x  y  2   x  y    x  y     1  x  y   x  y    Khi đó: P  5x  y  x y4  2  2  2x  y 1 2x  y  x  y    Vậy P đạt giá trị lớn , đạt 3 x  y   x  y  x  y  x  y   Câu 43 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho số thực x, y thỏa mãn  x, y   x y  log3    x  y    Tìm giá trị nhỏ P với P  2x  y   xy  A B C D    Lời giải Chọn B  x y   x y  Ta có log3     x  1 y  1    log    xy  x  y    xy     xy   log3  x  y   x  y  log 1  xy    xy Xét hàm số đặc trưng f  t   log3 t  t với t  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Ta có f '  t     0, t  t ln Hàm số f  t  đồng biến với t  Có f  x  y   f 1  xy   x  y   xy  x  y  1   y  x  Ta có P  x  y  1 y y 1  2y 4  y  3   y   3   y  1  y 1 y 1 y 1 Vậy giá trị nhỏ P Câu 44 (Chuyên Chu Văn An - 2020) Cho x, y số thực dương thỏa mãn log Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  A B x y  xy  y x( x  y )2 C x  4y  x  y  x y D Lời giải Chọn D Ta có log x  4y  x  y   log ( x  y )  (x  y)  log 3( x  y )  3( x  y ) (1) x y Xét hàm số f (t )  log t  t khoảng (0; ) Ta có f '(t )    0, t  Suy hàm số f (t ) đồng biến khoảng (0; ) t ln Từ (1) suy f ( x  y)  f (3( x  y)) ( x  y)  0;3( x  y)  Do đó, (1)  x  y  3( x  y)  y  2x P x y  xy  y x  12 x  12   6     x     x     9 x  9 x x x( x  y ) x3 Dấu "  " xảy  x  Vậy PMin  Câu 45 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x  x  x  y   log   y   x Giá trị nhỏ biểu thức T  x  y A 16 B 18 C 12 D 20 Lời giải Chọn A Điều kiện: x  ,  y  Ta có log x  x  x  y   log   y   x  log x  x  log   y   x  xy  log x  log x  x  log   y   log x  x  xy  log  x   x  log  x   y    x   y  * Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 34 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Xét hàm số f  t   log t  t  0;  Ta có f   t     0, t   0;   nên hàm số f  t  đồng biến  0;  t.ln Khi *  f  x   f  x   y    x  x   y   x   y  y   x  T  x3    x   x3  3x  18  g  x  Xét hàm số g  x   x3  3x  18  0;   x  1   0;   Ta có g   x   3x  ; g   x      x    0;   Bảng biến thiên: x  Từ bảng biến thiên suy T  g  x   g 1  16 Dấu “=” xảy  y   x  Câu 46 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Xét số thực dương a , b thoả mãn  ab log  2ab  a  b  Tìm giá trị nhỏ Pmin P  a  b ab A Pmin  1  B Pmin   C Pmin  1  D Pmin   Lời giải Chọn C Điều kiện  ab   ab   ab Ta có log  2ab  a  b   log 1  ab   log  a  b    a  b   1  ab   ab  log 1  ab    1  ab   log  a  b    a  b   log 2 1  ab   1  ab   log  a  b    a  b  f  t   log t  t với t  có Xét hàm số f  t   1   0, t  nên hàm số t.ln f  t   log t  t đồng biến khoảng  0;   Ta có 1  f  1  ab    f  a  b   1  ab   a  b   a  b  2a  1  b  Do a, b   2a 2a  2a    a  2a  Khi P  a  b  a  Xét hàm g  a    a 2a   2a  2a  2a  4a  4a  1   ga   ga   a  2a   2a  1 Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Vậy Pmin  1  2 x  Câu 47 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho số thực x, y thỏa mãn log    log y  x  y  xy   2 x Hỏi giá trị nhỏ P  x  y  xy bao nhiêu? A 30  20 B 33  22 C 24  16 D 36  24 Lời giải Chọn D 2 x x2 0 0  2  x    Điều kiện xác định:   x  x2   y0  y   y  Theo ta có:  2 x  log    log y  x  y  xy   2 x  log (2  x)  log ( x  2)  log y  2( x  2)  y ( x  2)   log (2  x)   (2 x  4)  log  ( x  2) y   y ( x  2)  log (4  x)  (4  x)  log  y ( x  2)  y ( x  2) Xét hàm số f (t )  log t  t (t  0) :   0t  t.ln Suy ra: f (t ) hàm đồng biến khoàng (0; ) f '(t )  Mà f (4  x)  f  y ( x  2)  nên  x  y ( x  2)  y   2x x2 Vì P  x  y  xy  ( x  y ) Thay vào P ta có: 3  2x   x2   P x     4 x2  4 x2  x2  khoảng (2; 2) : x2 x ( x  2)  ( x  4) x  x  y'   ( x  2) ( x  2) Xét hàm số y   x  2  2 y '   x2  4x      x  2  2(l ) (Vì x  (2; 2) ) Lập bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 36 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Dựa vào bảng biến thiên, ta có ymin  4  Vậy Pmin  4  4    36  24 x  2021 y  y  2022 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x3  y  x  xy Tính M m A  B 5 C D 3 Lời giải Chọn D Ta có Câu 48 (Sở Yên Bái - 2020) Cho số thực x, y thuộc đoạn  0;1 thỏa mãn 20201 x  y  20201 x  y  x  2021  20201 x  y y  y  2022  x  2021 y  y  2022    20201 y 1  y   2021  2020 x  x  2021   Ta có f  t   2020t  t  2021 với t   0;1 có f  t   2020t.ln 2020. t  2021  2.2020t.t    Do f  t   2020t t  2021 đồng biến khoảng t   0;1 Suy f 1  y   f  x   x   y  y   x Do x3  y  3x  xy  x3  1  x   3x  x 1  x   x3   18 x  18 x  x3  3x  x  x  4 x3  30 x  27 x  Xét f  x   4 x  30 x  27 x  với x   0;1  x  Mà f  x   4 x  30 x  27 x  nên f   x   12 x  60 x  27     x  (loai)  1 1 Mặt khác f    6, f 1  5, f     Do M  m   2 2 Vậy nên M m  3 Câu 49 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Với số thực dương x, y , z thay đổi cho  x  y  2z  log   x  x    y  y    z  z    , gọi giá trị lớn giá trị nhỏ 2  x y z  biểu thức T  x  y  z  x  y  11z  thứ tự M m Khi M  m bằng: x  y  86 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 A  C  B D  Lời giải Chọn D  x  y  2z  +) Ta có log   x  x    y  y  8  z  z  8  2  x y z   log  x  y  z   log  x  y  z   x  y  z  4( x  y  z )  log  x  y  z   4( x  y  z )  log  x  y  z   x  y  z (1) +) Xét hàm đặc trưng f  t   log t  t , t  có f   t    t  0, t  t ln +) Ta có (1)  f   x  y  z    f  x  y  z   x  y  z  x  y  z 2   x     y     z    36 +) Thay vào biểu thức , ta T   x  y  z   x  y  11z   x  y  86 y  3z  x  y  86  T  x  y  86   y  3z   6Tx   5T  1 y  3z   86T  6T  x     5T  1 y     z     86T  12T   5T  1  12  6T  x     5T  1 y     z    54T +) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 6T  x     5T  1 y     z     2  6T    5T  1  32 36    54T   36  6T    5T  1  32  720T  360T  360   1  T  Suy M  m   Câu 50 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho x, y số thực dương thỏa mãn 22 xy  x y   xy x y Khi P  xy  xy đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức x  y A B C D Lời giải Chọn C Ta có 22 xy  x y   xy  xy  x  y  log   xy   log  x  y  x y  log 2 1  xy   1  xy   log  x  y    x  y  Xét hàm số f  t   log2 t  t hàm số đồng biến  0;  Do từ * ta có 1  xy   x  y  x  2 y 2y 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 38 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 2 Suy P  xy  xy   y  y  Pmin  y   x  Do 3x  y  Câu 51 (Chuyên KHTN - 2021) Cho a, b số thực dương thỏa mãn 2a b  ab3   ab Giá trị nhỏ ab biểu thức a  b là: A   1 B C 1 D  Lời giải Chọn D  ab 1 Điều kiện ab  ab   ab   log  a  b  ab 3   log    ab   a  b  2ab   log 1  ab   log  a  b   2a b  ab3    a  b   log  a  b    log 1  ab     2ab    a  b   log  a  b     2ab   log   2ab   2  Xét hàm số đặt trưng f  t   t  log t với t  , ta có: , t  nên hàm số f  t  đồng biến  0;   t ln    f  a  b   f   2ab   a  b   ab  Để có a, b thỏa u cầu tốn thì: f t   1 (a  b)  4ab  (2  2ab)  4ab  a 2b  3ab   3     ab   0  ab  0  ab  0  ab   Ta có: P  a  b  (a  b)  2ab  (2  2ab)  2ab  4a 2b  10ab   Bằng biến thiên  Từ bảng biến thiên ta có P   Câu 52 (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Cho hai số thực x, y thỏa mãn y e2 x  e y   ln x  y  2, ( x  0) Giá trị lớn biểu thức P  bằng: x 1 A e B C  D  e e e Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  e x  e   ln x  y  ⇔ e x  e   ln  e x   y ⇔ e x  ln  e2 x   e y  ln  e y  y y 2 Xét hàm số: f  t   t  ln  t  với t  ; f   t     với t  t ⇒ f  t  đồng biến với t  ⇒ e2 x  ln  e2 x   e y  ln  e y  ⇔ e2 x  e y ⇔ x   P ey e2 y y e2 y  y  y x e e e Khảo sát hàm số: P  e2 y e e y  e y.e y e 1  y   ; ; P  ⇔ y  P   y y ey e e   BBT: y 1  Vậy: max P  e ; khi:   x  e Câu 53 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Xét tất số thực dương x, y thỏa mãn  x y   log      xy Khi biểu thức  đạt giá trị nhỏ nhất, tích xy 10 x y  2x y  9 A B C D 200 64 100 32 Lời giải Chọn B  x y   log   Ta có:    xy 10  2x y    x y x y  log     xy 10  xy  x y  log  x  y    xy  log  xy  10 x y  x y   log    xy  log  xy  1 10  10  Xét hàm số: f  t   t  log t  t  0   0, t  nên hàm số f đồng biến  0;  t.ln10 x y x  x y  xy  y  Vậy 1 : f    f  xy   10 20 x   10  f ' t   1 Ta có: 4  20 x  1 400 x  40 x  40 1       400        320  320 2 2 x y x x x x x x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 40 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 1 Đẳng thức xảy  x  ; y   xy  16 64 Câu 54 (THPT Phan Đình Phùng - Quảng Bình - 2021) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log  x  1 y  1  A Pmin  y 1 11    x  1 y  1 Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y B Pmin  25 C Pmin  5  D Pmin  3  Lời giải Chọn D Với x , y  ta có: log  x  1 y  1  y 1    x  1 y  1   y  1 log3  x  1 y  1     x  1 y  1 9  x   log  x  1   x  1   log  y  1  y 1 y 1 9  log3  x  1   x  1  log  1 y 1 y 1 Xét hàm số f  t   log t  t với t   log  x  1  log  y  1    , t  t.ln  Hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;    Ta có: f   t     Khi đó: 1  f  x  1  f    x 1  y 1  y 1  9 Từ suy P  x  y  x   y     y  1   2  y  1   3  y 1 y 1 9 25  27 2 (thỏa   y  1   y  1   y  1  x  y 1 2 mãn điều kiện x , y  ) Dấu "  " xảy  25  27 ; y 1 Câu 55 (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Xét số thực x , y thỏa mãn Vậy Pmin  3  x  5 x  y   25 xy  x  y   xy   53 xy 1  Gọi m , M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức P  x  y  x y Khi 3m  2M 10 A 3m  2M  B 3m  M  C 3m  M  3 D 3m  2M  1 Lời giải Chọn C Ta  5x có:  y2 5 x  y   25 xy  x  y   xy   53 xy 1   5 x  y   xy  xy 1    x  y    xy  1  x  y  5xy 1   xy  1 1 Xét hàm số y  5t  t  0;    có y  5t.ln   0, t   0;    Phương trình 1  x  y  xy   xy  xy    x  y   xy    xy  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Ta có: P   x  y 2  2 2  x y   xy  1  3x y  2  xy   xy  2     Xét hàm số y  2t  2t    ;1 có y   4t    t     ;1      1 1 Ta có: y     , y    , y 1  suy m  M   3 2 10 Vậy 3m  M    https://www.nbv.edu.vn/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 42