GA 12NC: Chương II_Bài 5: Hàm số mũ và hàm số lôgarit (3 tiết)

GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh CHƯƠNG II: HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT §5 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (3 tiết) TIẾT 34: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (tiết 1) I. MỤC TIÊU: 1. Về kiến thức - Hiểu và ghi nhớ được khái niệm và các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit - Hiểu và ghi nhớ các công thức tính đạo hàm của hai hàm số nói trên. 2. Về kỹ năng - Biết vận dụng các công thức để tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit 3. Về tư duy và thái độ - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập. - Rèn luyện tư duy sáng tạo, khả năng làm việc theo nhóm II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH: 1. Chuẩn bị của GV: Ngoài giáo án, phấn bảng… còn có: - Bảng phụ. 2. Chuẩn bị của HS: Ngoài đồ dùng học tập như SGK, bút… còn có: - Kiến thức cũ về đạo hàm và khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC. Vận dụng linh hoạt các PPDH nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong phát hiện, chiếm lĩnh tri thức, như: thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đáp, nêu vấn đề. Phương pháp chính được sử dụng là đàm thoại, gợi và giải quyết vấn đề. IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: 1. Ổn định lớp. 2. Kiểm tra bài cũ. 3. Bài mới. Trong bài này ta luôn giả thiết α là một số dương khác 1 và J là một khoảng hay hợp của nhiều khoảng nào đó. HĐ 1: Khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Cho hs tính: x -2 0 1 2 5 2 x … … … … … x -8 0 1 4 3 7 log 2 x … … … … … Hãy nhận xét sự tương ứng giữa mỗi giá trị của x và giá trị 2 x (log 2 x)? Từ đó dẫn dắt đến định nghĩa hàm số mũ, hàm số lôgarit. Hs thực hiện yêu cầu. sự tương ứng là 1:1 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT Ta luôn giả thiết 0 <a ≠ 1 1. Khái niệm hàm số mũ và lôgarit. 1 GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh Tìm tập xác định hàm số y = a x ? Tương tự tìm txđ của hs y = log 2 x? Gv nêu chú ý: Khi không cần nhấn mạnh đến cơ số thì ta goi tắt là hàm số mũ (hàm số lôgarit). D = R D= R * + ĐỊNH NGHĨA: Cho 0 < a ≠ 1 Hàm số y = a x là hàm số mũ cơ số a. Hàm số y = log a x là hàm số lôgarit cơ số a. - Hàm số logarit cơ số 10 y = logx - Hàm số lôgarit cơ số e: y = lnx - y =e x = exp(x) HĐ 2: Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit HĐTP1: Giới thiệu tính liên tục của hàm số mũ và lôgarit. Ta thừa nhận hàm số mũ, hàm số lôgarit liên tục trên tập xác định của nó. Tức là có 0 lim x x→ a x = … (x ∈R) 0 lim x x→ log a x = … (x 0 ∈R * + ) Điền vào … trên? 0 lim x x→ a x = a x 0 0 lim x x→ log a x = log a x 0 2. Một số giới hạn liên quan đếm hàm số mũ và hàm số lôgarit. a) Hàm số mũ, hàm số lôgarit liên tục trên tập xác định của nó. Tức là có ∀ x 0 R∈ : 0 lim x x→ a x = 0 x a ∀ x 0 * R ∈ : 0 lim x x→ log a x = log a x 0 HĐTP2: Tái hiện kiến thức về hàm số liên tục. H1 Tìm các giới hạn sau: a) 1 lim x x e →+∞ b) 2 8 lim log x x → c) 0 sinx lim log x x → a) lim x→+∞ x e 1 = 0 b) 8 lim x→ log 2 x = log 2 8 = 3 c) x xsin →1 khi x→0 0 lim x→ log x xsin = 0 HĐTP3: Hình thành định lý 1. Đã biết lim t→+∞ (1+ 1 t ) t = e lim t→−∞ (1+ 1 t ) x = e , tính 0 lim x→ x x 1 )1( + ? Cho hs thảo luận để tìm ghạn trên. ? Hãy tính giới hạn của ln x x 1 )1( + từ đó suy ra giới hạn của x x)1ln( + Đặt 1 x t = , được 0 lim x→ x x 1 )1( + = e 0 lim x→ x x)1ln( + = 0 lim x→ ln x x 1 )1( + = lne = 1 b) Ta có: 0 lim x→ x x 1 )1( + = e (1) ĐỊNH LÝ 1: 2 GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh → Giáo viên nêu định lí 1 Hướng dẫn chứng minh (3) Đặt t = e x -1 Hs chứng minh 0 lim x→ x x)1ln( + = 1 (2) 0 lim x→ x e x 1 − = 1 (3) HĐ 3: Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit Ta sẽ chứng tỏ được rằng hàm số mũ và hàm số lôgarit có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó. HĐTP1: Hình thành định lý 2. Hãy nêu cách tính đạo hàm của một hàm số, áp dụng tính đạo hàm của hs y = e x . Cho hs thảo luận nhóm, sau đó các nhóm cử đại diện trình bày. Dựa vào đạo hàm hàm số y = e x Hãy tính đạo hàm của hs y =a x GV trình bày nội dung định lý 2. Cho x số gia x ∆ y ∆ = e x+ x ∆ -e x = e x (e x ∆ -1) . x y ∆ ∆ = x e e x x ∆ − ∆ 1 . 0 lim x∆ → x e e x x ∆ − ∆ 1 = e x 0 lim x∆ → x e x ∆ − ∆ 1 = e x → (e x ) ’ = e x (a x ) ’ = ( ln x a e ) ’ = (e xlna )’ = lna.a x 3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit. a) Đạo hàm của hàm số mũ. ĐỊNH LÝ 2: ( ) ' ln x x a a a= ; (e x )' = e x ( ) ( ) ( ) ' '( ) ln u x u x a u x a a= ; (e u(x) )' = u'(x)e u(x) HĐTP2: Củng cố định lý 2. Yêu cầu HS thực hiện ví dụ 1 và hoạt động 2. H2 Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) (x+1)e 2x b) xe x sin HS làm theo sự hướng dẫn của giáo viên. a) [(x+1)e 2x ] ’ = (x+1) ’ e 2x + (x+1)(e 2x ) ’ = e 2x + 2(x+1)(e 2x ) = (2x+3)(e 2x ) b) [ xe x sin ] ’ = xexe x xx cossin 2 1 + Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số: y = (2x 2 + 1)e x Giải: y' = (4x+1)e x + e x (2x 2 + 1) = 2(x+1) 2 e x 3 GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh HĐTP 3: Tiếp cận định lí 3 Tính (lnx) ’ ? Cho hs thảo luận nhóm, sau đó các nhóm cử đại diện trình bày Hd x y ∆ ∆ = … = x x x x x ∆ ∆ + )1ln( 1 →kq? ? Hãy đổi log a x sang cơ số e: ? Tính (log a x) ’ ? Từ kq trên tính (lnu(x)) ’ , (log a u(x)) ’ ? Tổng kết lại thành định lý 3. Cho x số gia x ∆ . y ∆ = ln(x+ x ∆ ) – lnx x y ∆ ∆ = …= x x x x x ∆ ∆ + )1ln( 1 0 lim x∆ → x y ∆ ∆ = 0 lim x∆ → x x x x x ∆ ∆ + )1ln( 1 = 1 x log a x = a x ln ln (log a x)' = ln 1 ' ln ln x a x a   =  ÷   (lnu(x)) ’ = )( ))(( ' xu xu ( ) '( ) log ( ) ' ( )ln a u x u x u x a = b) Đạo hàm của hàm số lôgarit. ĐỊNH LÝ 3: a) Với mọi x > 0. ( ) 1 log ' ln a x x a = ; ( ) 1 ln 'x x = a) Nếu hàm số u = u(x) > 0 ∀ x ∈ J ⇒ ( ) '( ) log ( ) ' ( )ln a u x u x u x a = ( ) '( ) ln ( ) ' ( ) u x u x u x = HĐTP 4: Củng cố định lý 3.Cho HS làm hoạt động 3 ( trang 105) H3 Chứng minh rằng: [ln(-x)] ’ = x 1 Đặt –x = u(x) được (lnu(x)) ’ = )( ))(( ' xu xu = x x − − ' )( = x 1 → [ln(-x)] ’ = x 1 Từ định lý 3 và bài toán trong hoạt động 3 ta có hệ quả sau: HỆ QUẢ: a) ( ) 1 ln 'x x = với ∀ x ≠ 0 b) ( ) '( ) ln ( ) ' ( ) u x u x u x = (u(x) ≠ 0 và có đạo hàm trên J) 4. Củng cố - Định nghĩa hàm số mũ và lôgarit. - Một số công thức giới hạn - Các công thức tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit. 5. Hướng dẫn công việc ở nhà. - Học lý thuyết. 4 GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh - Đọc trước phần còn lại của bài. TIẾT 35: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (tiếp) I. MỤC TIÊU: Qua bài học HS cần: 1. Về kiến thức: - Biết cách khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ và hàm số lôgarit. - Nắm được cách vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit. 2. Về kỹ năng - Rèn luyện kỹ năng lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit. 3. Về tư duy và thái độ: - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH: 1. Chuẩn bị của GV: Ngoài giáo án, phấn bảng còn có: Bảng phụ. 2. Chuẩn bị của HS: Ngoài đồ dùng học tập như SGK, bút… còn có: - Kiến thức cũ về hàm số mũ và hàm số lôgarit, phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC. Phương pháp chính được sử dụng là đàm thoại, gợi và giải quyết vấn đề. IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: 1. Ổn định lớp. 2. Kiểm tra bài cũ. 3. Bài mới. HĐ4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs mũ lôgarit Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng HĐTP 1:Sự biến thiên và vẽ đồ thị của hsy = a x - Nêu các bước khảo sát sự biến thiên của một hàm số ? - Tính y'. - Nhận xét dấu của a x - Căn cứ vào đâu dể biết dấu của y ’ Khi nào lna >0, lna <0? → xét sự biến thiên của hs dựa vào hai trường hợp của hệ số a TH a > 1 - Dựa vào bbt cho biết TGT của hàm số y = a x HS đứng tại chỗ trả lời. y ’ = a x lna Nhận xét a x >0, Rx ∈∀ Căn cứ vào dấu của lna lna > 0 ⇔ a > 1 lna < 0 ⇔ 0 < a < 1 T = [0 ; + ∞ ) Quan sát và nhận xét 4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit a) Hàm số mũ y = a x * TH1: a > 1 ⇒ y' > 0 ∀ x ⇒ hàm số đồng biến trên R. Ta có lim x x a →+∞ = + ∞ lim x x a →−∞ =0 ⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi x → -∞ là y = 0 Ta có bảng biến thiên: x -∞ 0 +∞ y = a x +∞ 1 0 5 GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh Cho học sinh quan sát đồ thị H2.1 và cho học sinh nhận xét về các dặc điểm của đồ thị hàm số y = a x T/h 0 < a < 1 Cho học sinh thực hiện hđ 4 sgk. H4 a) Hãy kết luận về tiệm cận ngang của hàm số y = a x b) Lập bảng biến thiên. - Nhận xét về đặc điểm của đồ thị hàm số ở hình 2.2 Tổng kết và cho học sinh ghi nhớ Đặc điểm của đồ thị: (i) Luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. (ii) Nằm hoàn toàn ở phía trên trục hoành lim x x a →+∞ =0 ⇒ đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi x → +∞ là y = 0 - Đồ thị hàm số y = (1/2) x cũng có các đặc điểm (i) và (ii) như trường hợp a > 1 -4 -2 2 4 3 6 9 x y ( ) 3 x y = O Hình 2.1 * TH2: 0<a < 1 ⇒ y' < 0 ∀ x ⇒ hàm số nghịch biến trên R. lim x x a →+∞ = 0 ⇒ TCN y = 0 (x →+∞) Ta có bảng biến thiên: x -∞ 0 +∞ y = a x 0 1 +∞ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 2 4 6 8 x y O y= x y=( / ) x Hình 2.2 GHI NHỚ: Hàm số y = a x * TXĐ: R, TGT: (0;+∞ ) * Đồng biến trên R khi a > 1, nghịch biến trên R khi 0 < a < 1. * Đồ thị: - Đi qua điểm (0;1) - Nằm ở phía trên trục Ox. - Nhận Ox làm tiệm cận ngang. * Đồ thị có một trong hai dạng sau: 6 GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh x y x y a = O a a > 1 x y O y=a x a 0 < a <1 HĐTP 1:Sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs y = log a x Tương tự như đối với hàm số y = a x . GV yêu cầu HS tự khảo sát và điền vào phiếu học tập đã được chuẩn bị trước. (GV treo bảng phụ 1) - Nhận xét về tiệmcận của hàm số y = log a x. Cho HS quan sát hình 2.4 vẽ 2 đồ thị hàm số y = log 2 x và log 1/2 x. Yêu cầu HS nhận xét đặc điểm đồ thị. (treo bảng phụ 2) - Đồ thị của hàm số nhận đường thẳng x = 0 làm tiệm cận đứng. - Đặc điểm của đồ thị hàm số y = log a x: (i) luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0) (vì log a 1 = 0) (ii) Nằm hoàn toàn về bên phải trục tung (vì x > 0) b) Hàm số y = log a x (Bảng phụ 1) (Bảng phụ 2) Yêu cầu HS làm Hoạt động 5 (trang108). H5 Lập bảng biến thiên của hàm số y = log a x khi a > 1 và 0 < a < 1. GV tổng kết lại thành bảng HS thực hiện HĐ5 theo sự hướng dẫn của giáo viên. 7 GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh ghi nhớ. Yêu cầu HS nhận xét về hai đồ thị hàm số y = a x và y = log a x. - Gọi (G 1 ) là đồ thị của hàm số y = a x và (G 2 ) là đồ thị của hàm số y = log a x thì (G 1 ) đối xứng với (G 2 ) qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. GHI NHỚ: Hàm số y = log a x * TXĐ: R* + , TGT: R * Đồng biến trên R* + khi a > 1, nghịch biến trên R* + khi 0 <a < 1. * Đồ thị: - Đi qua điểm (0;1) - Nằm ở bên phải trục Oy. - Nhận Oy làm tiệm cận đứng. * Đồ thị có một trong hai dạng sau: x y x y a = O a p p q q log a y x = x y a = y=x M M' a > 1 x y O y=a x p M q q p M' 0 < a < 1 4. Củng cố toàn bài - Hai bảng ghi nhớ về hàm số mũ và hàm số lôgarit. - Cách vẽ đồ thị của hàm số mũ, lôgarit. 5. Hướng dẫn công việc ở nhà. - Học lý thuyết. - Làm bài tập trang 111-113. 8 GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh V. PHỤ LỤC Bảng phụ 1: Một số kết quả khi khảo sát hàm số y = log a x Hàm số y = log a x với a > 1 Hàm số y = log a x với 0<a <1 * y' > 0 ∀ x ∈ TXĐ:(0;+∞) * Hàm số đồng biến trên (0;+∞); TGT: R * 0 lim log a x x + → = -∞ 0 lim log a x x − → = +∞ * y' < 0 ∀ x ∈ TXĐ:(0;+∞) * Hàm số nghịch biến trên (0;+∞); TGT: R * 0 lim log a x x + → = +∞ 0 lim log a x x − → = -∞ Bảng phụ 2: -3 -2 -1 1 2 3 x y O 2 logy x = 1 2 logy x = Hình 2.4 9 GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh TIẾT 36: BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT I. MỤC TIÊU: Qua bài học HS cần: 1. Về kiến thức: - Củng cố lại lý thuyết về hàm số mũ và hàm số lôgarit mà học sinh đã được học trong giờ lý thuyết. - Củng cố các công thức tính giới hạn và đạo hàm. Cách vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit. 2. Về kỹ năng - Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit. - Rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit. - Rèn luyện kỹ năng vẽ đồ thị hàm số. 3. Về tư duy và thái độ. - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH: 1. Chuẩn bị của GV: - Hệ thống bài tập. 2. Chuẩn bị của HS: - Kiến thức lý thuyết đã học. - Bài tập đã được chuẩn bị ở nhà. III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC. Phương pháp chính được sử dụng là đàm thoại, gợi và giải quyết vấn đề. IV. TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: 1. Ổn định lớp. 2. Kiểm tra bài cũ. Câu hỏi 1: Nêu các công thức tính đạo hàm của hàm mũ, logarit Câu hỏi 2: Nêu tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, logrit Câu hỏi 3: ( ) 2 3 2 0 0 ln 1 1 lim ?,lim ? 3 x x x x e x x → → + − = = GV: Gọi HS lên bảng. Nhận xét và cho điểm. 3. Bài mới. HĐ1: Rèn luyện kỹ năng tính giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit Hoạt động của GV Hoạt động của HS Bài 48 (112). Tính các giới hạn sau: a) 2 3 2 lim 0 x e e x x + − → b) 2 5 lim x x x e e x →∞ − a) 2 2 (1 )3 1 3 . 3 2 3 2 2 3 lim lim 3 0 0 3 lim 3 0 = − = − = − + − − → → → e e x x e e e e x x x x x e x x b) 2 5 lim x x x e e x →∞ − = 2 5 0 1 1 lim x x x e e x x →   − − −  ÷   10 [...]... đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số mũ và lôgarit Bài 50-55 (112-113) Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số: x π  a) y =  ÷ 3 b) x 3   y = ÷  2+ 3 c) y = log 2 x e y = log a x; a = d) 3 ( - Ta phải so sách cơ số a với số 1 1 3− 2 ) - Hàm số đồng biến: a) và d) vì cơ số lớn hơn 1 - Hàm số nghịch biến: b) và c) vì cơ số nhỏ hơn 1 ? Để xét tính đơn điệu của hàm số ta 11 GIẢI TÍCH 12_... luyện kỹ năng tính đạo hàm liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit Bài 49 (112) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2x a) y = ( x − 1) e 2x a) y ' = ( 2 x − 1) e 2 x ( x + 1) e 4 x + 1   b) y' = e4 x + 1 1 c) y' = e x + e − x 2 1 d) y' = e x − e − x 2 b) y = x 2 e 4 x + 1 1 x −x e −e 2 1 d) y = e x + e − x 2 ( ) ( c) y = ) ( ( Bài 54 (113) Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = (3x – 2)ln2x b) y =... 2 4 6 -2 y = log 2 x 3 4 Củng cố toàn bài Chú ý cho học sinh 3 dạng toán 5 Hướng dẫn học bài ở nhà - Xem lại các bài toán đã chữa - Ôn tập các tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit, các công thức tính giới hạn, tính đạo hàm của hàm số mũ và lôgarit, các kỹ năng giải toán để tiết sau kiểm tra một tiết V.PHỤ LỤC 1 Phiếu học tập 2 Bảng phụ 12 GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh 13 ... GIẢI TÍCH 12_ n©ng cao GV: §oµn thÞ kim oanh phải xét đại lượng nào? Bài 51 – 56 (113): Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = ( ) 2 y x y = log x d) y = ( 2) 6 x 2 b) y =  ÷ 3 c) y = log log y= 4 2 x 2 x log 2 x 3 2 x -4 -2 Chú ý rằng Hai hàm số câu a và d đối xứng nhau, hai hàm số ở câu b và d đối xứng nhau qua đt y = x 2 4 6 -2 -4 y 4 x 2  y =  3  2 x -4 -2 2 4 6 -2 y = log 2 x 3 4 Củng . thÞ kim oanh CHƯƠNG II: HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT §5 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (3 tiết) TIẾT 34: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT (tiết. hàm số lôgarit cơ số a. - Hàm số logarit cơ số 10 y = logx - Hàm số lôgarit cơ số e: y = lnx - y =e x = exp(x) HĐ 2: Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và