CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Giaovienvietnam.com §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM CÁC DẠNG BÀI TẬP: DẠNG 1: Tìm cực trị hàm số DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước)  Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Quy tắc 1: - Tìm TXĐ hàm số - Tính f '( x) Tìm điểm f '( x) f '( x) không xác định - Lập bảng biến thiên - Từ bàng biến thiên điểm cực trị Quy tắc 2: - Tìm TXĐ hàm số - Tính f '( x) Giải phương trình f '( x)  ký hiệu xi  i  1, 2,3, . nghiệm � �  x  f �  xi  - Tính f � �  xi  suy tính chất cực trị điểm - Dựa vào đấu f � xi LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm điểm cực trị hàm số sau: x4 a) y  3x2  2x3 c) y    x2  2  x2  3x  b) y  d) y  x x  x e) y  x2  2x  f) y  x  2x  x2 Bài 2: Tìm điểm cực trị hàm số sau: a) f  x   x  x   b) f  x   2sin x  c) f  x   x  sin x  d) f  x    cos x  cos x Giaovienvietnam.com GIẢI a) TXĐ: D=R � �x  x   voi x �0 f  x  �  x  x   voi x  �  x   x   (vì x  )  Với x  : f �  x   2 x  , f �  x   � x  1  Với x  : f � x0, f�  x  Bảng biến thiên: x y� y � + -1 � - + Kết luận: o Hàm số đạt cực đại x  1 , fCD  f  1  o Hàm số đạt cực tiểu x  , fCT  f    b) TXĐ: D=R    f�  x   cos x , f �  x   � cos x  � x   k � x   k , k �� � f�  x   8sin x 8 voi k  2n � � � �� � Tính: f � , n �� �  k � 8sin �  k � � voi k  2n  2� �4 �2 �� Kết luận:  � �  HS đạt cực đại x   n , fCD  f �  n � 1 �4 �   �3 �  HS đạt cực tiểu x    2n  1 , fCD  2sin �  2n �  2   5 �2 � c) TXĐ: D = R   f�  x    cos x , f �  x   � cos x   cos � x  �  k , k �� � f�  x   4sin x  � � � � � Tính: f � �  k � 4sin �  k 2 �  � x   k điểm cực tiểu �6 � �3 �  � � � � � f�   k 2 � 2  � x    k điểm cực đại �  k � 4sin � �6 � �3 � Kết luận:  � �  + Hàm số đạt cực đại x    k , fCD  f �  k �   k   2 �6 � 6 Giaovienvietnam.com + Hàm số đạt cực tiểu x    � 2  k , fCT  f � �  k �  k  �6 � 6 d) TXĐ: D=R f�  x   2sin x  2sin x  2sin x  4sin x cos x  2sin x   cos x  x  k x  k � � sin x  � f� ��  x  � � 2 � � 2 � �  cos x  cos x    cos x  �  k 2 � 3 � � � f�  x   cos x  cos x Xét: �  k   cos k  cos k 2  cos k   + f� � HS đat cực tiểu điểm x  k , fCT  f  k    cos k  cos k 2   2cos k 2 2 4 1 � � � � � � � �  k 2 � cos  cos  2�  � �  � 3  + f� � 3 � � � 2� � 2� 2 � HS đat cực đại điểm x  �  k 2 2 4 � 2 � fCD  f � �  k 2 �  cos  cos  3 � � Giaovienvietnam.com  Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC TRỊ Lưu ý: 1) Để tính giá trị cực trị hàm bậc 3: f  x   ax  bx  cx  d ta làm sau: f  x x   Ax  B  � f  x    Ax  B  f �  x    x   (*) f�  x Gọi xi f�  x  x   ( xi điểm cực trị) nghiệm pt f � f  xi    Ax  B  f �  x    xi   3i � f  xi    xi   0 Trong  x   phần dư phép chia Đường thẳng qua điểm cực trị là: f  x f�  x y x   x   , nên từ (*) ta suy ( Vì toạ độ điểm cực trị M  x; y  thoả pt f � y x   ) 2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu hàm số: y u�  x  v  x   u  x  v�  x ax  bx  c u  x  � y   , a� x  b� v  x  � v  x � � � y�  � u�  x  v  x   u  x  v�  x   (1) Gọi xi nghiệm (1), từ (1) ta suy ra: u�  xi  v  xi   u  xi  v�  xi   � u  xi  v  xi   u�  xi  v�  xi  Các giá trị cực trị là: u  xi  u �  xi   2axi  b y  xi    v  xi  v� a�  xi  Do pt đường thẳng qua điểm cực trị là: y 2ax  b a� Bài 1: Cho hàm số: y   m   x  mx  Với giá trị m đồ thị hàm số khơng có điểm cực đại điểm cực tiểu Giaovienvietnam.com GIẢI TXĐ: D = �   m   x2  m Đạo hàm: y�  vơ nghiệm có nghiệm kép Để hàm số khơng có cực trị phương trình y� �  �0 �  4.3m  m   �0 � �m �2 2 Bài 2: Cho hàm số: y  x  mx   m  m  1 x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm x  GIẢI TXĐ: D = �  x  2mx  m  m  Đạo hàm: y� � y�  x  2m �  1  � m  3m   �y� � � Hàm số đạt cực tiểu x  � �  2m  � � y    � � m  �m  � � � m 1 � Vậy khơng có giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x  Bài 3: Cho hàm số y  x3  3x  x  a) Tìm cực trị hàm số b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị GIẢI a) TXĐ: D = �  x2  6x  Đạo hàm: y� � x  1 2 � y  � x  x   � � Cho x  1 �  x  , ta được: Chia f  x  cho f � 1� �1 f  x    x  3x  3 � x  � x  3� �3 Giá trị cực trị là: f  x0   4 x0      �f   3  � �� �f   3  � Lập bảng biến thiên � CĐ, CT b) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y  4 x  Giaovienvietnam.com Bài 4: Cho hàm số y  x  x   m   x  m  Xác định m cho: a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có hai cực trị dấu GIẢI a) TXĐ: D = �  3x  12 x   m   Đạo hàm: y�  � x  x  m   (*) Cho y� �    m  2   m Để hàm số có cực trị thì: �  � 2m  � m   x  , ta được: b) Chia f  x  cho f � 2� �1 f  x  � x  12 x   m   �  x  2mx  m  � x � � � 3� �3 � giá trị cực trị là: f  x0   4 x0  2mx0  m   x0  m    m    m    x0  1 Gọi x1 , x2 điểm cực trị Hàm số có cực trị dấu � f  x1  f  x2   �  m    x1  1  m    x2  1  �  m  2  x1  1  x2  1  �  m    x1 x2  x1  x2  1  �  m    x1 x2   x1  x2   1  (1) 12  , x1.x2  m   m    2.4  1� Do (1) �  m   � � � Mặt khác: x1  x2  17 � �m   �  m    4m  17   � � � �m �2 Kết hợp với điều kiện có cực trị m  , ta được:  17 m2 Bài 5: Cho hàm số: y  mx   m  1 x   m   x  3 Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thoả x1  x2  GIẢI TXĐ: D = � Giaovienvietnam.com  mx   m  1 x   m   Đạo hàm: y� � �m �0 Hàm số có cực trị � �   m  1  3m  m    �� �m �0 �m �0 � �� �� (*)  m  m     m   � � � Gọi  thì: x1 , x2 nghiệm phương trình y� � �x1  x2  1 1 �  m  1 �  2 �x1  x2  m � � 3 m  2  3 �x1.x2  m � Từ (1) (2) � x1   , x2  1  m m 2� � � � 3 m  2 1  �  � Thay vào (3) � � � m � m� � m� � 3m  5m   � m  �m  (Nhận so với điều kiện) 3 x3 x Bài 6: Cho hàm số: y    mx (ĐH Y - Dược) Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu có hồnh độ lớn m GIẢI TXĐ: D = �  x2  x  m Đạo hàm: y� Hàm số đạt cực trị điểm có hồnh độ x  m � y�  có nghiệm x1 , x2 thỏa m  x1  x2 Vậy: m  �m  � �  � � �y�  m  �s � m �2 Vậy � m  2 �  4m  � �2 � �m  2m  �1 �  m �2 � �m  � � �m  2 �m  � �m   � � m  2 Bài 7: Cho hàm số: y  f  x   x   m  1 x   m   x  (1) Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y  3 x  Giaovienvietnam.com GIẢI TXĐ: D = �  x   m  1 x   m   Đạo hàm: y�  � x   m  1 x   m    Cho y � Hàm số (1) có cực trị �    m  1   m    �  m۹ 3 Lấy (1) chia cho f�  x  ta được:  x  m  1 f �  x    m  3 x  m  3m  Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y    m  3 x  m  3m  (d) y Để (d) song song với đường thẳng y  3x  thì:   m    3 � m 3  � � m  3� Bài 8: Cho hàm số: y  x  3x  x2 a) Tìm cực trị hàm số b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị GIẢI a) TXĐ: D  �\  2  Đạo hàm: y� x2  4x   x  2 � x  2   � x2  x   � � , y� x  2  � Giá trị cực trị là: y  xo     u�  x0   x0  v�  x0  y 2   1  ,   y 2   1  Lập bảng biến thiên � CĐ, CT b) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y  2x  x  mx  m  m �0  Tìm m để hàm số: Bài 9: Cho hàm số: y  xm a) Có cực đại cực tiểu b) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu a) TXĐ: D  �\  m GIẢI m Giaovienvietnam.com  Đạo hàm: y� x  2mx  m  m  x  m  � x  2mx  m  m  (1) , y� Hàm số có cực đại, cực tiểu � (1) có nghiệm phân biệt   � �  � m2  m2  m  � m  b) Hàm số có giá trị cực trị trái dấu khi: y�  có nghiệm phân biệt Đồ thị khơng cắt trục ox ( Pt y  vô nghiệm) � � m0 m0 � � y� � �� ��2 �� � 0m4   0  m  m  m  � �y � Bài 10: Cho hàm số: y  mx  2mx  m  x 1 Tìm m để giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số dấu GIẢI TXĐ: D  �\  1 mx  2mx  3m    � mx  2mx  3m   Đạo hàm: y� , y�  x  1 Hàm số có giá trị cực trị dấu y�  có nghiệm phân biệt y  có nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt) � � � � 4m  m  m   �m  y � � � �m �� �� � � 4 y  m  � � � m0 � Vậy m ... có giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x  Bài 3: Cho hàm số y  x3  3x  x  a) Tìm cực trị hàm số b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị GIẢI a) TXĐ: D = �  x2  6x  Đạo hàm: y�... trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y  2x  x  mx  m  m �0  Tìm m để hàm số: Bài 9: Cho hàm số: y  xm a) Có cực đại cực tiểu b) Giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu a) TXĐ: D... Cho hàm số: y  mx  2mx  m  x 1 Tìm m để giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số dấu GIẢI TXĐ: D  �  1 mx  2mx  3m    � mx  2mx  3m   Đạo hàm: y� , y�  x  1 Hàm số có giá trị