Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập trắc nghiệm đầy đủ về các phép toán liên quan đến công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; nhị thức newton. Phân dạng cụ thể theo từng bài ,chia theo từng mức độ ( nhận biết,thông hiểu, vận dụng) và có lời giải đáp án rõ ràng. Phù hợp với học sinh tự học và giáo viên làm tài liệu giảng dạy. Đặc biệt: font TimesNew Roman chuẩn, các công thức toán đều có định dạng mathtype .
ĐẠI SỐ 11 -CHƯƠNG II – PHẦN CÁC PHÉP TOÁN VỀ HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP -TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP þ Dạng 08: Tính tốn, rút gọn biểu thức chứa P,A,C Câu Kết sau sai: Cn0+1 = Cnn = A B C Lời giải Cn1 = n + D Cnn −1 = n Chọn C Vì Cn = n nên câu C sai n −k Câu Cho biết Cn = 28 Giá trị n k là: A B C Lời giải D Chọn A n −k Vì phương trình Cn = 28 có ẩn nên khơng giải trực tiếp Dùng phương pháp làm ngược thử đáp án đáp án C thỏa mãn Câu Cho số nguyên k , n thỏa mãn < k ≤ n Công thức ? k !n ! n! n! n! k Ank = Ank = Ank = A = n k !( n − k ) ! ( n − k ) ! ( n − k ) ! k! A B C D Lời giải Chọn D n −3 Câu Cho Cn A 129 An6 + An5 A= = 1140 Tính An4 B 256 C 342 Lời giải D 231 Chọn B n ∈ ¥ ĐK: n ≥ Ta có: Cnn −3 = 1140 ⇔ Khi đó: A= n! = 1140 ⇔ n = 20 3!(n − 3)! n(n − 1) (n − 5) + n(n − 1) (n − 4) = n − + (n − 4)(n − 5) = 256 n(n − 1) (n − 3) Câu Nếu đa giác có 44 đường chéo, số cạnh đa giác là: A B 10 C D 11 Lời giải Chọn D ( n ∈ ¥ , n ≥ 3) đỉnh tạo thành đoạn thẳng (bao gồn cạnh đa giác Cứ hai đỉnh đa giác n đường chéo) n! Cn2 − n = 44 ⇔ − n = 44 n − ) !.2! ( Khi số đường chéo là: n = 11 ⇔ n ( n − 1) − 2n = 88 ⇔ ⇔ n = 11 n = −8 (vì n ∈ ¥ ) 5 * Câu Cho n ∈ ¥ thỏa mãn Cn = 2002 Tính An Trang 1/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 A 10010 B 40040 C 240240 D 2007 Lời giải Chọn C 5 Ta có: An = Cn 5! = 240240 2017 2016 + + + 2015 + 2016 A2017 A2017 A2017 A2017 ? Câu Tính giá trị biểu thức: 1 1 P = 2018 − P = 2018 − P = 2017 − P = 2017 − 2017! 2018! 2018! 2017! A B C D Lời giải Chọn A 2017.2017! 2016.2016! 2.2! 1.1! 2017.2017!+ 2016.2016!+ + 2.2!+ 1.1! P= + + + + = 2017! 2017! 2017! 2017! 2017! ( 2018 − 1) 2017!+ ( 2017 − 1) 2016!+ + ( − 1) 2!+ ( − 1) 1! ⇔P= 2017! ( 2018!− 2017!) + ( 2017!− 2016!) + + ( 3!− 2!) + ( 2!− 1!) = 2018!− 1! ⇔ P = 2018 − ⇔P= 2017! 2017! 2017! P= n−2 n −8 n −8 2 2 n * Câu Cho n ∈ ¥ Cn Cn + Cn Cn = 2Cn Cn Tổng T = Cn + Cn + + n Cn 10 10 A 55.2 B 55.2 C 55.2 D 5.2 Lời giải Chọn B n−2 n −8 n −8 ⇔ C ( n ) + ( Cn8 ) − 2Cn2Cn8 = Ta có Cn Cn + Cn Cn = 2Cn Cn n! n! ⇔ = 2 ⇔ ( C n − Cn ) = ⇔ C n − C n = 2!( n − ) ! 8!( n − ) ! 2 ⇔ ( n − ) ( n − 3) ( n − ) ( n − ) ( n − ) ( n − ) = 20160 ⇔ ( n − 9n ) + 52 ( n − 9n ) + 892 ( n − 9n ) − 15120 = ⇔ n − 9n = 10 ⇒ n = 10 2 2 10 Suy T = C10 + C10 + + 10 C10 k Cnk = nCnk−−11 + n ( n − 1) Cnk−−22 , ( ∀k ∈ Z, k ≥ ) Mặt khác, 9 Do đó, T = 10.2 + 10.9.2 = 55.2 ỵ Dng 09: PT-HPT i s t hp Cõu Số 5!− P4 bằng: A 96 B 12 C 24 Lời giải D Chọn A Ta có: 5!− P4 = 5!− 4! = 96 n −k Câu 10 Cho biết C n = 28 Giá trị n k là: A Khơng thể tìm B C D Lời giải Chọn D Trang 2/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 Thử đáp án, dễ dàng tìm n = k = Cnn++41 − Cnn+3 = 7(n + 3) Câu 11 Tìm n ∈ ¥ , biết A n = 16 B n = 12 C n = 15 Lời giải D n = 18 Chọn B * PP tự luận: ( n + ) ! ( n + 3) ! ( n + ) ( n + 3) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ⇔ − = ( n + 3) , n ∈ ¥ ⇔ − = ( n + 3) 3!( n + 1) ! 3!n ! 6 PT ⇔ ( n + ) ( n + ) − ( n + 1) ( n + ) = 42 ⇔ 3n + = 42 ⇔ n = 12 * PP trắc nghiệm: + Nhập vào máy tính Cnn++41 − Cnn+3 − 7(n + 3) = + Tính (CALC) với X = 15 (không thoả); với X = 18 (không thoả), với X = 16 (không thoả), với X = 12 (thoả) + KL: Vậy n = 12 Câu 12 Nếu A 10 Cnk = 10 Ank = 60 Thì k B C Lời giải D Chọn D Ta có Cnk = 10 ⇔ n! n! = 10 Ank = 60 ⇔ = 60 (n − k )!k ! ( n − k )! , suy k ! = ⇒ k = 2 n n +1 Câu 13 Tìm n biết: C2 n +1 − 2.2C2 n +1 + 3.2 C2 n +1 − + (2n + 1)2 C2 n +1 = 2005 A n = 1102 B n = 1002 C n = 1200 Lời giải Chọn B Đặt S= n +1 ∑ (−1) k −1 k =1 D n = 1100 k.2 k −1 C2kn +1 ( −1) k −1.k k −1 C2kn +1 == ( −1) k −1.(2n + 1).2 k −1 C2kn−1 Ta có: S = (2n + 1)(C20n − 2C21n + 22 C22n − + 22 n C22nn ) = 2n + Nên Vậy 2n + = 2005 ⇔ n = 1002 Câu 14 Biết A n = 11 An2 − Cnn+−11 = 4n + Giá trị n B n = 12 C n = 10 Lời giải D n = 13 Chọn B * PP tự luận: ( n + 1) ! n! − = 4n + 6, n ∈ ¥ , n ≥ ⇔ ( n − 1) n − n ( n + 1) = 4n + A − C = 4n + ( n − ) ! 2!( n − 1) ! PT: n = 12 ( nhan ) ⇔ ⇔ n = 12 ⇔ n − 11n − 12 = n = −1 ( loai ) * PP trắc nghiệm: n n −1 n+1 ⇔ Trang 3/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 + Nhập vào máy tính An2 − Cnn+−11 − 4n − = + Tính (CALC) với X = 12 (thoả); với X = 10 (không thoả), với X = 13 (không thoả), với X = 11 (không thoả) + KL: Vậy n = 12 C n − + C5n−1 + C5n = 25 Câu 15 Giải phương trình sau với ẩn n ∈ ¥ : A n = B n = n = C n = D n = Lời giải Chọn B * PP tự luận: 5! 5! 5! ⇔ + + = 25 , n ∈ ¥ , ≤ n ≤ ( − n ) !( n − ) ! ( − n ) !( n − 1) ! ( − n ) ! n ! PT , tập xác định có số: n ∈ { 2; 3; 4; 5} + + + + Vậy ta số vào PT xem có thoả khơng? 5! 5! 5! + + = 25 n = , PT ( − ) !( − ) ! ( − ) !( − 1) ! ( − ) !2! (không thoả) 5! 5! 5! + + = 25 n = , PT: ( − 3) !( − ) ! ( − 3) !( − 1) ! ( − ) !3! (thoả) 5! 5! 5! + + = 25 n = , PT: ( − ) !( − ) ! ( − ) !( − 1) ! ( − ) !4! (thoả) 5! 5! 5! + + = 25 n = , PT: ( − ) !( − ) ! ( − ) !( − 1) ! ( − ) !5! (không thoả) n = + KL: Vậy n = * PP trắc nghiệm: n−2 n −1 n + Nhập vào máy tính C5 + C5 + C5 − 25 = + Tính (CALC) với X = (thoả); với X = (không thoả), với X = 3, X = (thoả), với X = (thoả) n = + KL: Vậy n = Câu 16 Giải phương trình sau: C x + 6.C x + 6.C x = x − 14 x A B C Lời giải Chọn B D Trang 4/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 x ≥ Điều kiện: x ∈ ¥ ⇔ x + 3x ( x − 1) + x ( x − 1)( x − 2) = x − 14 x Phương trình Giải phương trình ta tìm được: x = n +3 Câu 17 Giá trị n ∈ ¥ thỏa mãn Cn +8 = An + là: A n = 14 B n = 15 C n = 17 D n = Lời giải Chọn C * PP tự luận: ( n + 8) ! ( n + 6) ! ( n + ) ( n + 5) ( n + ) ( n + ) ( n + ) ⇔ = , ( n∈¥ ) ⇔ = ( n + ) ( n + ) ( n + ) ( n + 3) ! 5! PT 5!( n + 3) ! n = 17 ( nhan ) ( n + ) ( n + 8) ⇔ ⇔ n = 17 ⇔ =5 ( ) n = − 32 loai ⇔ n + 15n − 544 = 5! * PP trắc nghiệm: C n +3 − An3+ = + Nhập vào máy tính n +8 + Tính (CALC) với X = 15 (không thoả); với X = 17 (thoả), với X = (không thoả), với X = 14 (không thoả) 14 − n = n n Câu 18 Giá trị n ∈ ¥ bao nhiêu, biết C5 C6 C7 A n = B n = C n = D n = n = Lời giải Chọn C * PP tự luận: 14 ⇔ − = , n ∈ ¥,0 ≤ n ≤ 5! 6! 7! ( − n ) ! n ! ( − n ) !n ! ( − n ) !n ! PT ( − n ) !n ! ( − n ) !n ! 14 ( − n ) !n ! ⇔ − = ⇔ 5.6.7 − 2.7 ( − n ) = 14 ( − n ) ( − n ) 5! 6! 7! n = 11( loai ) ⇔ ⇔n=3 ⇔ 210 − 84 + 14n = 14 n − 182n + 588 ⇔ 14n − 196n + 462 = n = ( nhan ) * PP trắc nghiệm: 14 − n − n =0 n + Nhập vào máy tính C5 C6 C7 + Tính (CALC) với X = 2, X = (không thoả); với X = (không thoả), với X = (không thoả), với X = (thoả) + KL: Vậy n = Trang 5/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 C n − k = 28 Câu 19 Cho biết n Giá trị n k là: A B Khơng thể tìm C D Lờigiải Chọn A Thử đáp án, dễ dàng tìm n = k = Câu 20 Tìm n ∈ ¥ , biết A n = C n = n = An3 + Cnn−2 = 14n B n = D n = Lời giải Chọn D * PP tự luận: An3 + Cnn−2 = 14n PT: ⇔ n! n! + = 14n ⇔ ( n − ) ( n − 1) n + ( n − 1) n = 14n ( n − 3) ! 2!( n − ) ! n = ( nhan ) ⇔ ⇔n=5 n = − ( loai ) ⇔ 2n − 5n − 25 = * PP trắc nghiệm: A3 + Cnn− − 14n = + Nhập vào máy tính n + Tính (CALC) với X = (thoả); với X = (không thoả), với X = 7, X = (không thoả), với X = (không thoả) + KL: Vậy n = 10 Câu 21 Nghiệm phương trình Ax + Ax = Ax A x = 10 ; x = B x = C x = 11 Lời giải Chọn C Điều kiện: 10 ≤ x ∈ N D x = 11 ; x = Khi phương trình A10 x + Ax = Ax ⇔ x! x! x! + = 9× ( x − 10)! ( x − 9)! ( x − 8)! ⇔ x! x! x! + = 9× ( x − 10)! ( x − 9)( x − 10)! ( x − 8)( x − 9)( x − 10)! ⇔ x! 9 × + − − =0 ÷= ⇔ + ( x − 10)! ( x − 9) ( x − 8)( x − 9) ( x − 9) ( x − 8)( x − 9) x! ≠0 ( x − 10)! (do ) ⇔ x = 11 C n +3 = An3+6 Câu 22 Giá trị n ∈ ¥ thỏa mãn n +8 n = 14 n = 15 A B C n = 17 Lời giải Chọn C * PP tự luận: D n = Trang 6/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 PT ⇔ ( n + 8) ! ( n + 6) ! ( n + ) ( n + 5) ( n + ) ( n + ) ( n + ) = , ( n∈¥ ) ⇔ = ( n + ) ( n + ) ( n + ) ( n + 3) ! 5!( n + 3) ! 5! n = 17 ( nhan ) ( n + ) ( n + 8) ⇔ ⇔ n = 17 ⇔ =5 ⇔ n + 15n − 544 = n = −32 ( loai ) 5! * PP trắc nghiệm: C n +3 − An3+6 = + Nhập vào máy tính n +8 + Tính (CALC) với X = 15 (khơng thoả); với X = 17 (thoả), với X = (không thoả), với X = 14 (không thoả) 2 2 Câu 23 Giải phương trình sau: Cx + 2Cx +1 + 3Cx + + 4Cx +3 = 130 A B C Lời giải Chọn B Đáp số: x = D 7n C n = Lời giải Cn1 + Cn2 + Cn3 = Câu 24 Giá trị n ∈ ¥ thỏa mãn A n = B n = D n = Chọn A * PP tự luận: PT Cn1 + Cn2 + Cn3 = n! n! n! 7n 7n ⇔ + + = ( n − 1) !1! ( n − ) !2! ( n − 3) !3! , n ∈ ¥ , n ≥ 1 7n ⇔ n + ( n − 1) n + ( n − ) ( n − 1) n = ⇔ n = 16 ⇔ n = * PP trắc nghiệm: + Nhập vào máy tính Cn1 + Cn2 + Cn3 − 7n =0 + Tính (CALC) với X = (không thoả); với X = (không thoả), với X = (thoả), với X = (không thoả) + KL: Vậy n = A2 = 110 Câu 25 Nếu x A x = 11 C x = 11 hay x = 10 B x = 10 D x = Lời giải Chọn A Điều kiện: ≤ x ∈ ¥ Trang 7/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 Ax2 = 110 ⇔ x = 11 ( n ) x! = 110 ⇔ x ( x − 1) = 110 ⇔ x − x − 110 = ⇔ ( x − 2) ! x = −10 ( l ) Câu 26 Tìm số nguyên dương n cho: An = 10 An A 12 B 13 C 14 Lời giải Chọn D n ∈ ¥ Điều kiện: n ≥ Ta có: An6 = 10 An5 ⇔ D 15 n! n! 10 = 10 ⇔1= (n − 6)! (n − 5)! n − ⇔ n = 15 1 − = 1 Câu 27 Tổng tất số tự nhiên n thỏa mãn Cn Cn +1 6Cn +4 là: A 11 B 10 C 12 D 13 Lời giải Chọn A Điều kiện: n ≥ , n ∈ N 1 ⇔ − = n! ( n + 1) ! ( n + ) ! ⇔ − = 1 − = n − !.1! ( ) ( n − 1) !.2! ( n + 3) !.1! n n ( n + 1) ( n + ) Cn Cn +1 6Cn + n = ⇔ ⇔ n − 11n + 24 = n = 1 − = 1 Vậy Tổng tất số tự nhiên n thỏa mãn Cn Cn +1 6Cn + là: + = 11 24 ( Ax3+1 − Cxx − ) = 23 Ax4 Câu 28 Giải phương trình sau: A B C Lời giải Chọn C x ∈ ¥ Điều kiện: x ≥ D Phương trình ⇔ x − x + = ⇔ x = A10 + Ax9 = Ax8 Câu 29 Nghiệm phương trình x A x = 11 x = B x = 10 x = C x = Lời giải Chọn D Điều kiện: 10 ≤ x ∈ N D x = 11 Khi phương trình x! x! x! + = 9× ( x − 10)! ( x − 9)! ( x − 8)! x! x! x! ⇔ + = 9× ( x − 10)! ( x − 9)( x − 10)! ( x − 8)( x − 9)( x − 10)! A10 x + Ax = Ax ⇔ Trang 8/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 ⇔ x! 9 ì1 + =0 ữ= ⇔ 1+ ( x − 10)! ( x − 9) ( x − 8)( x − 9) ( x − 9) ( x − 8)( x − 9) x! ≠0 (do ( x − 10)! ) ⇔ x = 11 Cn1 + Cn2 + Cn3 = Câu 30 Giá trị n ∈ ¥ thỏa mãn A n = B n = 7n C n = Lời giải D n = Chọn C * PP tự luận: Cn1 + Cn2 + Cn3 = PT n! n! n! 7n 7n ⇔ + + = , n∈¥,n ≥ ( n − 1) !1! ( n − ) !2! ( n − 3) !3! 2 1 7n ⇔ n + ( n − 1) n + ( n − ) ( n − 1) n = ⇔ n = 16 ⇔ n = * PP trắc nghiệm: 7n Cn1 + Cn2 + Cn3 − =0 + Nhập vào máy tính + Tính (CALC) với X = (không thoả); với X = (không thoả), với X = (thoả), với X = (không thoả) + KL: Vậy n = Câu 31 Giải phương trình sau với ẩn n ∈ ¥ : A n = n = B n = C n = D n = C5n − + C5n−1 + C5n = 25 Lời giải Chọn A * PP tự luận: 5! 5! 5! + + = 25 , n ∈ ¥ , ≤ n ≤ ( − n ) !( n − ) ! ( − n ) !( n − 1) ! ( − n ) ! n ! PT , tạp xác định có n ∈ { 2; 3; 4; 5} số: Vậy ta số vào PT xem có thoả khơng? 5! 5! 5! + + = 25 + n = , PT ( − ) !( − ) ! ( − ) !( − 1) ! ( − ) !2! (không thoả) 5! 5! 5! + + = 25 + n = , PT: ( − 3) !( − ) ! ( − 3) !( − 1) ! ( − 3) !3! (thoả) 5! 5! 5! + + = 25 + n = , PT: ( − ) !( − ) ! ( − ) !( − 1) ! ( − ) !4! (thoả) 5! 5! 5! + + = 25 + n = , PT: ( − ) !( − ) ! ( − ) !( − 1) ! ( − ) !5! (không thoả) ⇔ n = + KL: Vậy n = Trang 9/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 * PP trắc nghiệm: + Nhập vào máy tính C5n − + C5n −1 + C5n − 25 = + Tính (CALC) với X = (thoả); với X = (không thoả), với X = 3, X = (thoả), với X = (thoả) n = + KL: Vậy n = C + 3Cn7 + 3Cn8 + Cn9 = 2Cn8+ Câu 32 Giá trị n ∈ ¥ thỏa mãn đẳng thức n A n = 16 B n = 15 C n = 14 Lời giải Chọn B PP sử dụng máy tính để chọn đáp số (PP trắc nghiệm): C + 3Cn7 + 3Cn8 + Cn9 − 2Cn8+ = + Nhập PT vào máy tính: n D n = 18 + Tính (CALC) với X = 18 (khơng thoả); với X = 16 (không thoả); với X = 15 (thoả), với X = 14 (không thoả) Cxy++11 = C xy+1 y +1 3C = 5Cxy+−11 Câu 33 Giải hệ phương trình sau: x +1 A x = 2; y = Chọn C Điều kiện B x = 1; y = C x = 6; y = Lời giải D x = 2; y = x, y ∈ ¥ ; x ≥ y ( x + 1)! ( x + 1)! = C = C ( y + 1)!( x − y )! y !( x − y + 1)! ⇔ y +1 y −1 ( x + 1)! ( x + 1)! 3C x +1 = 5Cx +1 3 =5 ( y + 1)!( x − y )! ( y − 1)!( x − y + 2)! Ta có: y +1 = x − y +1 x = y ⇔ ⇔ 3( y + 1)( y + 2) = y ( y + 1) = y ( y + 1) ( x − y + 1)( x − y + 2) x = y x = ⇔ ⇔ 3 y + = y y = y +1 x +1 y x +1 Trang 10/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 9−k 9 1 1 2 − x + x = + x x − = ( ) ∑ C9k ÷ ÷ x x k =0 x x k ( x − 1) k = ∑∑ Cki C9k ( −1) k k −i 2i x k + i − k =0 i =0 Theo u cầu tốn ta có 2k + i − = ⇔ 2k + i = 12 ; ≤ i ≤ k ≤ ; i, k ∈ ¥ ( i; k ) ( 0;6 ) , ( 2;5 ) , ( 4; ) thỏa mãn là: −0 5− 4−4 C 0C −1 20 + C52C95 ( −1) 2 + C44C94 ( −1) = −2940 Từ hệ số x : ( ) Ta có cặp x − 2) Trong khai triển ( Câu 152 100 = a0 + a1 x + + a100 x100 Hệ số a97 98 98 C −2 C100 Lời giải 97 B −2 C100 A −1293600 D 1293600 Chọn B Ta có ( x − 2) Từ suy 100 100 k = ∑ C100 x k ( −2 ) 100 − k k =0 ak = C ( −2 ) k 100 100 k = ∑ C100 ( −2 ) k =0 97 100 Vậy 97 100 P ( x ) = a0 + a1 x + + a12 x B 10 P ( x) = ( 1+ x) + ( 1+ x ) + ( 1+ x) + ( 1+ x ) + ( 1+ x ) 12 đa thức A 7920 x k = a0 + a1 x + + a100 x100 a97 = C ( −2 ) = −2 C 100 − k Câu 153 Cho đa thức 100 − k 11 12 Khai triển rút gọn ta Tính tổng hệ số , i = 0; 1; 2; ; 12 C 7936 D Lời giải Chọn C Ta có P ( x) = ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) 10 11 12 Áp dụng khai triển ( 1+ x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n n n Cho x = , ta có Cn + Cn + Cn + + Cn = P ( x) Do ta có tổng hệ số là: S = 28 + 29 + 210 + 211 + 212 = 28 ( + + + + 16 ) = 31.28 = 7936 Câu 154 Đồ thị hàm số y = − x + x + có hai điểm cực trị A B Tính diện tích S tam giác OAB với O gốc tọa độ 10 S= A S = B S = C S = 10 D Lời giải Chọn A Ta có: y ′ = −3x + x x = y′ = ⇔ −3 x + x = ⇔ x = Tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số uuu r AB = ( 2; ) ⇒ AB = A ( 0;5 ) B ( 2;9 ) Trang 41/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 Phương trình đường thẳng AB qua 2.0 − + d ( O, AB ) = = 2 + ( −1) A ( 0;5 ) S= Vậy diện tích tam giác OAB là: r n = ( −2;1) có véc tơ pháp tuyến : 2x − y + = 1 d ( O, AB ) AB = 5.2 = 2 n 1 3x + ÷ x , hệ số x Cn Giá trị n Câu 155 Trong khai triển A 15 B 12 C Lời giải Chọn C Tk +1 = Cnk ( 3x ) n−k D 14 k n−k 1 ÷ = Cnk ( ) x n −3 k x Số hạng tổng quát khai triển k = ( Cnk ↔ Cn5 ) Theo đề: số hạng chứa x ứng với Ta tìm n cho: n − k = ⇔ n − = ⇔ n = 10 Câu 156 Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = (3x + x + 1) A 8089 B 8085 C 1303 Lời giải: Chọn B f ( x ) = ( + x + 3x ) 10 10 = ∑ C10k ( x + x ) D 11312 k k =0 10 k 10 k k =0 i =0 k =0 i =0 = ∑ C10k ∑ Cki (2 x)k −i (3x )i = ∑ C10k ∑ Cki 2k −i.3i x k +i với ≤ i ≤ k ≤ 10 Do k + i = với trường hợp i = 0, k = i = 1, k = i = k = 4 2 Vậy hệ số chứa x : C10 C4 + C10 C3 + C10 C2 = 8085 12 x 3 − ÷ Câu 157 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển x 1412 13 621 A 3123 B C 113 Lời giải: Chọn D 55 (−3) C124 = f ( x) = 1 + x ( − x ) Câu 158 Tìm hệ số cuả x khai triển đa thức A 238 B 214 C 213 Lời giải: Chọn A Cách 1 + x ( − x ) = C80 + C81 x ( − x ) + C82 x ( − x ) + C83 x ( − x ) +C84 x ( − x ) + C85 x10 ( − x ) + C88 x16 ( − x ) 55 D D 230 Trang 42/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C8 C3 , C8 C4 1 + x ( − x ) Vậy hệ số cuả x khai triển đa thức là: a8 = C8 C3 + C8 C4 = 238 8 Cách 2: Ta có: 8 n n =0 k =0 1 + x ( − x ) = ∑ C8n x n ( − x ) = ∑ C8n ∑ Cnk ( −1) x 2n + k n n=0 k với ≤ k ≤ n ≤ Số hạng chứa x ứng với 2n + k = ⇒ k = − 2n số chẵn Thử trực tiếp ta k = 0; n = k = 2, n = Vậy hệ số x C8 C3 + C8 C4 = 238 n 1 x+ ÷ x , x ≠ tổng hệ số khai triển nhị thức 1024 Khi Câu 159 Cho nhị thức số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức cho A −252 B 525 C 252 D 125 Lời giải Chọn C n k n n 1 k n −k k n − 2k x + = C x = ÷ ∑ n ÷ ∑ Cn x x x k =0 k =0 n Tổng hệ số ∑C k =0 k n = ( + 1) = 2n = 1024 ⇒ n = 10 n Số hạng không chứa x tương ứng với 10 − 2k = ⇔ k = C = 252 Vậy số hạng không chứa x 10 3 ( 1+ x) ( 1+ y) là: Câu 160 Hệ số x y khai triển A 400 B 800 C 36 Lời giải Chọn A k k m m Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C6 x C6 y 6 D 20 Yêu cầu toán xảy k = m = 3 3 Khi hệ số số hạng chứa x y là: C6 C6 = 400 10 Câu 161 Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: g ( x) = 8(1 + x) + 9(1 + x) + 10(1 + 3x) A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Lời giải: Chọn A ( + ax ) n n = ∑ Cnk a k x k k k n k nên ta suy hệ số x khai triển (1 + ax) Cn a Do đó: 8 Hệ số x khai triển (1 + x) là: C8 8 Hệ số x khai triển (1 + x) là: C9 Ta có: i =0 8 10 Hệ số x khai triển (1 + x) là: C10 8C + 9.28.C98 + 10.38.C108 = 22094 Vậy hệ số chứa x khai triển g ( x) thành đa thức là: Trang 43/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 x + x , hệ số x3 , ( x > ) là: Câu 162 Trong khai triển A 60 B 80 C 160 Lời giải Chọn C T = C6k x 6− k 2k x Số hạng tổng quát khai triển k +1 6−k − k = 3⇔ k = Yêu cầu toán xảy D 240 − k 3 Khi hệ số x là: C6 = 160 n x − ÷ ( x ≠ 0) x Câu 163 Tìm hệ số x khai triển biết 720 C77 + C87 + Cn7 = An10+1 4032 ( ) A 560 C −560 Lời giải B 1820 D −1820 Chọn B Điều kiện: n ∈ ¥, n ≥ Ta có: 720 ( C77 + C87 + Cn7 ) = 1 An10+1 ⇔ 720 ( C88 + C87 + C97 + C170 + Cn7 ) = An10+1 4032 4032 1 An10+1 ⇔ 720 ( C108 + C107 + Cn7 ) = An10+1 4032 4032 ( n + 1) ! ( n + 1) ! ⇔ 720Cn8+1 = An10+1 ⇔ 720 8! n − ! = 4032 n − ! ⇔ n − n − = 72 ( )( ) ( ) ( ) ⇔ n = 16 4032 ⇔ 720 ( C98 + C97 + C107 + Cn7 ) = 16 k C16k x16 − k − ÷ k x− ÷ = ( −1) C16k x16−3k x x Khai triển có số hạng tổng quát ( k ∈ ¥, k ≤ 16 ) Hệ số x ứng với k thỏa 16 − 3k = ⇔ k = −1 Vậy hệ số cần tìm l ( ) C164 = 1820 ỵ Dng 03: Hệ số lớn nhất, nhỏ khai triển Câu 164 A −10 2a − b ) Trong khai triển ( , hệ số số hạng thứ bằng: B 10 C −80 Lời giải D 80 Chọn D 5 2a − b ) = C50 ( 2a ) − C51 ( 2a ) b + C52 ( 2a ) b + Ta có: ( Do hệ số số hạng thứ C5 = 80 P ( x ) = ( x + ) = an x n + an −1 x n −1 + + ak x k + + a1 x + a0 , n ∈ ¥ * Câu 165 Cho biểu thức Biết an −9 > an −8 an −9 > an −10 Giá trị n bằng: A 13 B 14 C 12 D 15 Lời giải Chọn A n Trang 44/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 * Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có: P ( x ) = ( x + ) = Cn0 x n 20 + Cn1 x n −1 21 + + Cnn −k x k 2n− k + + Cnn−1 x1 2n −1 + Cnn x 2n , n ∈ ¥ * n P ( x ) = ( x + ) = an x n + an −1 x n −1 + + ak x k + + a1 x + a0 , n ∈ ¥ * n mà n−k n−k n −k k n −8 8 9 10 10 Ta có: ak = Cn = Cn , ≤ k ≤ n ⇒ an−8 = Cn = Cn , an−9 = Cn , an−10 = Cn * Theo đề với n ≥ 10, n ∈ ¥ * : an −9 > an −8 an −9 > an −10 n! n! 2 9!( n − ) ! > 8!( n − ) ! 25 > n − n > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ n = 13 n! n! 29 > 210 >1 n < 14 9!( n − ) ! 10!( n − 10 ) ! n − n n Câu 166 Cho khai triển (1 + x) = a0 + a1 x + + an x , n ∈ ¥ * Tìm số lớn số an a1 a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 + + + 2n = 4096 A 130272 B 130127 C 126720 D 213013 Lời giải: Chọn C n n Đặt f ( x ) = (1 + x) = a0 + a1 x + + an x a a1 1 + + nn = f ÷ = 2n 2 2 ⇒ 2n = 4096 ⇔ n = 12 k k k +1 k +1 k ∈ { 0,1, 2, ,11} Với ta có: ak = C12 , ak +1 = C12 a 2k C k k +1 23 ⇔ k < ⇔ k +1 12k +1 < ⇔ ⇔ k > ⇒ a8 > a9 > > a12 a k + Tương tự: ⇒ a0 + 8 Số lớn số a0 , a1 , , a12 a8 = C12 = 126720 Câu 167 Cho khai triển thức a0 + ( + 2x) n = a0 + a1 x + a2 x + + an x n * , n ∈ ¥ hệ số thỏa mãn hệ a a1 + + nn = 4096 2 Tìm hệ số lớn ? A 1293600 B 126720 C 924 Lời giải D 792 Chọn B Số hạng tổng quát khai triển k k k k k chứa x Cn ⇒ ak = Cn ( 1+ 2x) n k k k Cn x , ≤ k ≤ n , k ∈ ¥ Vậy hệ số số hạng Khi đó, ta có a a a0 + + + nn = 4096 ⇔ Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = 4096 2 ⇔ ( + 1) = 4096 ⇔ n = 12 n Dễ thấy a0 an hệ số lớn Giả sử ak a0 , a1 , a2 , , an ( < k < n) hệ số lớn hệ số Khi ta có Trang 45/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 12! 12!.2 ≥ C ≥ C ak ≥ ak +1 k ! ( 12 − k ) ! ( k + 1) ! ( 12 − k − 1) ! ⇔ k k ⇔ k −1 k −1 12! 12! ak ≥ ak −1 C12 ≥ C12 ≥ k ! ( 12 − k ) ! ( k − 1) ! ( 12 − k + 1) ! 2 23 ≥ k≥ 23 26 12 − k k + k + − ( 12 − k ) ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤k≤ 3 26 − 3k ≥ 2 ≥ k ≤ 26 k 13 − k Do k ∈ ¥ ⇒ k = k 12 k +1 12 k k +1 8 Vậy hệ số lớn l a8 = C12 = 126720 ỵ Dng 04: Tính tổng hữu hạn C (khơng đạo hàm, tích phân) Câu 168 Tổng n A T = − T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn B T = n C T = + Lời giải n n D T = Chọn D n ( x + 1) n = ∑ Ckn x n − k = Cn0 x n +Cn1 x n −1 + + Cnn −1.x + Cnn k =0 Xét khai triển Thay x = vào khai triển ta (1 + 1) n = Cn0 + Cn1 + + Cnn −1 + Cnn ⇔ Cn0 + Cn1 + + Cnn −1 + Cnn = 2n 2 n n Câu 169 Cho A = Cn + 5Cn + Cn + + Cn Vậy A n A n B Chọn B n A = Cn0 + 5Cn1 + 52 Cn2 + + 5n Cnn = ( + ) = 6n Câu 170 ( x− y) Trong khai triển 15 A −16x y + y 16 , tổng hai số hạng cuối là: 15 B −16x y + y 15 C 16xy + y Lời giải Chọn A ( x− y) Ta có: Câu 171 Cho n A 16 n D n C Lời giải = C160 x16 − C161 x15 y + − C1615 x ( y) 15 + C1616 ( y) A = Cn0 + 5Cn1 + 52 Cn2 + + 5n Cnn Vậy A bằng: n n B C 15 D 16xy + y 16 n D Lời giải Chọn D Xét khai triển ( a + b) n = Cn0 a b n + Cn1 a1.b n−1 + + Cnn a n b ( + 1) = Cn0 50.1n + Cn1 51.1n−1 + + Cnn 5n.10 = Cn0 + 5Cn1 + + 5n Cnn = A Với a = 5, b = ta có n Vậy A = n Câu 172 Cho tập A gồm 20 phần tử Có tập A khác rỗng số phần tử số chẵn? 20 19 19 20 A B C − D − Lời giải Trang 46/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 Chọn C ( 1+ x) Xét khai triển 20 2 3 19 19 20 20 = C20 + C20 x + C20 x + C20 x + + C20 x + C20 x ( 1) Khi x = ta có = C + C + C + C + + C + C 19 20 ( 2) Khi x = −1 ta có = C20 − C20 + C20 − C20 + − C20 + C20 20 20 20 20 20 19 20 20 20 ( 1) ( ) ta được: Cộng vế theo vế 20 220 = ( C20 + C20 + + C20 ) ⇒ 219 − = C202 + C204 + + C2020 19 Vậy số tập A khác rỗng số phần tử số chẵn − phần tử 2 n n Câu 173 Thu gọn biểu thức A = Cn + 5Cn + Cn + + Cn n n n A B C Lời giải Chọn B Ta có: ( x + 5) n n D n = ∑ Cnk x 45− k k k =0 n Chọn x = 1, ta có: ∑C k =0 k n x 45− k k = n ⇔ Cn0 + 5n.Cn1 + 5n.Cnn = ( + ) = n n ( n > ) Hỏi A có tập con? Câu 174 Tập A gồm n phần tử 2 n A B An C Cn Lời giải Chọn D k Số tập gồm k phần tử tập A Cn (với ≤ k ≤ n , k ∈ ¢ ) n D Số tất tập tập A là: n Cn0 + Cn1 + Cn2 + L + Cnk + L + Cnn = ( + 1) = n 3Cn0 + 4Cn1 + 5Cn2 + + (n + 3)Cnn = 3840 Câu 175 Cho n số tự nhiên thỏa mãn Tổng tất hệ số n số hạng khai triển (1 + x − x + x ) 10 A B C Lời giải Chọn C 10 D 3Cn0 + 4Cn1 + 5Cn2 + + (n + 3)Cnn = 3840 ⇔ ( + 3) Cn0 + ( + 3) Cn1 + ( + 3) Cn2 + + ( n + ) Cnn = 3840 ⇔ ( Cn1 + 2Cn2 + + nCnn ) + ( Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn ) = 3840 ⇔ n.2n −1 + 3.2 n = 3840 ⇔ n = (1 + x − x + x )9 = ( + − 12 + 13 ) = 29 Cho x = ⇒ Câu 176 Tổng 2016 A 2016 C2016 + C2016 + C2016 + + C2016 B 2016 +1 bằng: 2016 C − Lời giải 2016 D Chọn C 2016 2016 x + 1) = C2016 x 2016 + C2016 x 2015 + C2016 x 2014 + + C2016 x Ta có: ( 2016 2016 + 1) = C2016 + C2016 + C2016 + + C2016 Cho x = , ta được: ( Trang 47/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 2016 ⇔ C2016 + C2016 + + C2016 = 2016 − C2016 = 22016 − Câu 177 Nếu khai triển nhị thức Niutơn tổng A a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0 ( x − 1) = a5 x5 + a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 bằng: D −32 32 Lời giải B C Chọn A ( x − 1) = C50 ( x)5 + C51 ( x)4 (−1) + C52 ( x)3 (−1) + + C55 ( x)0 ( −1)5 Ta có = C50 x5 − C51.x + C52 x3 − C53 x + C54 x1 − C55 x Khi tổng C20n + C22n + C24n + + C22nn Câu 178 A n−1 a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0 bằng: C50 − C51 + C52 − C53 + C54 − C55 = B n− n−1 C Lời giải n− D Chọn C Xét khai triển ( x + 1) n = C20n x 2n + C21n x n −1 + C22n x n − + + C22nn 22 n = C20n + C21n + C22n + + C22nn Thay x = vào khai triển ta x = −1 Thay vào khai = C − C + C − + C 2n 2n 2n 2n 2n ⇔ C + C + + C 2n 2n 2n 2n = C + C + C 2n 2n (1) triển n −1 2n ta (2) C + C22n + C24n + + C22nn = 22 n−1 Từ (1) (2) suy n C − Cn1 + Cn2 − + ( 1) Cnn Câu 179 Tổng số n có giá trị bằng: A trường hợp B n lẻ C n hữu hạn D n chẵn Lời giải Chọn A n n x − 1) = Cn0 x n ( −1) + Cn1 x n−1 ( −1) + Cn2 x n− ( −1) + + Cnn x ( −1) Ta có: ( n n n n − 1) = Cn − Cn + Cn − + ( −1) Cn ⇔ Cn − Cn + Cn − + ( −1) Cnn = 0, ∀n Cho x = , ta được: ( n 32 − 1 3n +1 − n S =C + Cn + + Cn n +1 Câu 180 Tính tổng 4n +1 − 2n +1 4n +1 + 2n +1 S= S= −1 n +1 n +1 A B n +1 n +1 n +1 n +1 −2 −2 S= +1 S= −1 n +1 n +1 C D Lời giải: Chọn D Ta có S = S1 − S2 , n 32 33 3n +1 n Cn + Cn + + Cn n +1 1 S2 = Cn1 + Cn2 + + Cnn n +1 S1 = Cn0 + Trang 48/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 Ta có S2 = 2n +1 − −1 n +1 Tính S1 = ? 3k +1 k n! 3k +1 (n + 1)! 3k +1 k +1 = Cn = 3k +1 = C (k + 1)!(n − k )! n + (k + 1)![(n + 1) − (k + 1)]! n + n +1 Ta có: k + n +1 n +1 k k n k +1 k +1 = Cn +1 − Cn0 ÷− 2Cn0 = − − ⇒ S1 = Cn + − 2Cn ∑ ∑ n + k =0 n + k =0 n +1 Vậy S= 4n +1 − 2n +1 −1 n +1 n −1 n− n−3 n Câu 181 Tính tổng sau: S = Cn + 2Cn + 3Cn + + nCn n −1 n −1 A B n.4 C Lời giải: Chọn B k n 1 S = 3n ∑ kCnk ÷ 3 k =1 a có: k D k 1 1 kCnk ÷ = n ÷ Cnk−−11 3 3 ∀k ≥ nên Vì k k n n −1 1 1 S = 3n.n∑ ÷ Cnk−−11 = 3n−1.n∑ ÷ Cnk−1 = 3n −1.n(1 + ) n −1 = n.4n −1 k =1 k =0 Câu 182 Tính tổng S = Cn0 + 3n +1 − 2n S= n +1 A 22 − 1 2n +1 − n Cn + + Cn n +1 3n +1 + 2n+1 S= n +1 B 3n +1 − n+1 S= n +1 C Lời giải: 3n − n +1 S= n +1 D Chọn C Ta có: S = S1 − S2 n Cnk k +1 n+1 − S1 = ∑ C ; S2 = ∑ = −1 k +1 n +1 k =0 k =0 k + Trong 2k +1 k 2k +1 k +1 3n +1 − Cn = Cn +1 ⇒ S1 = −1 n +1 n +1 Mà k + n Suy ra: S= k n 3n +1 − 2n +1 n +1 S = Cn1 + 2Cn2 + + nCnn Câu 183 Tính tổng sau: n +1 n −1 n −1 A 2n.2 B n.2 C 2n.2 Lời giải: Chọn B n! n! kCnk = k = k !(n − k )! ( k − 1)![(n − 1) − ( k − 1)]! Ta có: =n n +1 D n.2 (n − 1)! = nCnk−−11 ( k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! , ∀k ≥ Trang 49/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 n n −1 k =1 k =0 ⇒ S2 = ∑ nCnk−−11 = n ∑ Cnk−1 = n.2n −1 Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( −1) Cnn n Câu 184 Tổng số A n chẵn C n hữu hạn có giá trị bằng: n B lẻ D trường hợp Lời giải Chọn D Ta có: ( x − 1) n = Cn0 x n ( −1) + Cn1 x n −1 ( −1) + Cn2 x n− ( −1) + + Cnn x ( −1) n − 1) = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( −1) Cnn ⇔ Cn0 − Cn1 + Cn2 − + ( −1) Cnn = 0, ∀n Cho x = , ta được: ( n Câu 185 Tính tổng n n 1.30.5n −1 Cnn −1 + 2.31.5n −2 Cnn −2 + + n.3n −150 Cn0 C (n + 1).8 Lời giải: n −1 B n.8 n A n.8 n −1 n D (n − 1).8 Chọn B n VT = ∑ k 3k −1.5n −k Cnn − k k =1 Ta có: k −1 n − k k Cnn −k = n.3k −1.5n −k Cnk−−11 Mà n −1 n−2 n −1 n −1 Suy ra: VT = n(3 Cn −1 + Cn −1 + + Cn −1 ) = n(5 + 3) n −1 = n.8n −1 Câu 186 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn A n = B n = C21n +1 + C23n +1 + + C22nn++11 = 1024 C n = 11 Lời giải D n = 10 Chọn A Ta có n +1 22 n+1 = ( + 1) = C20n +1 + C21n +1 + + C22nn++11 = ( − 1) Suy n +1 = C20n +1 − C21n+1 + − C22nn++11 ( C21n +1 + C23n +1 + + C22nn++11 ) = 22n +1 ⇒ C21n +1 + C23n+1 + + C22nn++11 = 22 n 2n 2n 10 Do = 2024 ⇔ = ⇔ n = Câu 187 n A C2 n (C ) +(C ) +(C ) Tính tổng n n 2 n + + ( Cnn ) n −1 B C2 n n C 2C2 n Lời giải: n −1 D C2 n −1 Chọn A x + 1) ( + x ) Ta có: ( n n = ( x + 1) 2n Vế trái hệ thức là: (C x n n + Cn1 x n −1 + + Cnn ) ( Cn0 + Cn1 x + + Cnn x n ) n Và ta thấy hệ số x vế trái (C ) +(C ) +(C ) n n 2 n + + ( Cnn ) n x + 1) Còn hệ số x vế phải ( 2n n C2 n Trang 50/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 (C ) +(C ) +(C ) Do n n 2 n + + ( Cnn ) = C2nn ỵ Dng 05: Tớnh tng hu hn cỏc C (Newton đạo hàm) 2Cn0 + 5Cn1 + 8Cn2 + + ( 3n + ) Cnn = 1600 Câu 188 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn A n = B n = C n = 10 D n = Lời giải Chọn B 2Cn0 + 5Cn1 + 8Cn2 + + ( 3n + ) Cnn Biến đổi = ( 3.0 + ) Cn0 + ( 3.1 + ) Cn1 + ( 3.2 + ) Cn2 + + ( 3n + ) Cnn = ( Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn ) + ( Cn1 + 2Cn2 + + nCnn ) Ta có C + C + C + + C = n n −1 n −1 f ( x ) = ( + x ) ⇒ f ′ ( x ) = n ( + x ) ⇒ f ′ ( 1) = n.2 ( 1) Xét hàm số n f ( x ) = ( + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cn3 x + + Cnn x n Lại có ⇒ f ′ ( x ) = Cn1 + xCn2 + x 2Cn3 + + nx n −1Cnn n n n n n n ⇒ f ′ ( 1) = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn ( ) Từ ( 1) ( 2) n n −1 ta Cn + 2Cn + 3Cn + + nCn = n.2 3n = + ÷.2 n 2Cn0 + 5Cn1 + 8Cn2 + + ( 3n + ) Cnn = 2.2n + 3n.2n −1 Do 3n n + ÷.2 = 1600 2Cn0 + 5Cn1 + 8Cn2 + + ( 3n + ) Cnn = 1600 Bài nên n > I Loại Với 3n 21 ⇒ + ÷.2n < + ÷.27 = 1600 ⇒ 2 Với ≤ n < Loại 3n n + ÷.2 = 1600 ⇔ n = Do n Câu 189 Số tự nhiên n thỏa 1.C n + 2.Cn + + n.C n = 1024 A n = B n = 10 C n = D n = Lời giải Chọn D Xét khai triển ( 1+ x) n n ( 1+ x) = C 0n + C1n x + C n2 x + + C nn x n n −1 = C + 2C x + + nC x n n n.2 Cho x = ta được: n n n −1 Lấy đạo hàm hai vế ta được: n −1 = C + 2C + + nCnn n n mà 1.C1n + 2.Cn2 + + n.C nn = 1024 n −1 n −1 g ( n ) = n.2 − 1024 n ≥ Suy ra: n.2 = 1024 ⇔ n.2 − 1024 = Xét phương trình , n −1 n −1 g ′ ( n ) = + n.2 ln > ∀n ≥ g ( n) [ 1; +∞ ) Do phương trình g ( n ) = có Có , nên đồng biến n −1 nhiều nghiệm Mà g ( ) = 1024 nên n = 2018 2017 S = 12 C2018 20 + 22 C2018 21 + 32 C2018 22 + + 20182 C2018 = 2018.3a ( 2b + 1) Câu 190 Tổng với a , b số nguyên dương 2b + khơng chia hết cho Tính a + b Trang 51/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 A 4034 B 2018 C 2017 Lời giải D 4035 Chọn A Ta có: 2018 2018 C2018 + C2018 x + C2018 x + + C2018 x = ( 1+ x) 2018 2017 ⇒ C2018 + 2C2018 x + + 2018C2018 x = 2018 ( + x ) 2018 2017 2018 2018 ⇒ C2018 x + 2.C2018 x + + 2018C2018 x = 2018 x ( + x ) 2018 2018 ⇒ C2018 + 22.C2018 x + + 20182 C2018 x = 2018 ( + x ) 2017 2016 Thay x = ⇒ S = 2018.3 + 2018.2017.2.3 Vậy a = 2016 , b = 2018 ⇒ a + b = 4034 2017 2017 + 2018.2017.x ( + x ) 2016 = 2018.32016 ( 2.2017 + 3) = 2018.32016 ( 2.2018 + 1) n −1 Câu 191 Cho số nguyên dương n thỏa mãn C2 n + C2 n + L + C2 n = 512 Tính tổng S = 22 Cn2 − 32 Cn3 + L + ( −1) n Cnn n B S = A S = C S = Lời giải D S = Chọn C 2n + x ) = C20n + C21n x + C22n x + C23n x3 + L + C22nn −1.x n −1 + C22nn x n ( 1) Ta có ( 2n n −1 2n ( 1) ta có: = C2 n + C2 n + C2 n + C2 n + L + C2 n + C2 n ( ) Thay x = vào ( 1) ta có: = C20n − C21n + C22n − C23n + L − C22nn−1 + C22nn ( 3) Thay x = −1 vào ( ) ( 3) ta có: Trừ vế 22 n = ( C21n + C23n + L + C22nn −1 ) ⇔ C21n + C23n + L + C22nn −1 = 22 n −1 n −1 n− C + C2 n + L + C2 n = 512 ⇔ = ⇔ 2n − = ⇔ n = Nên n S = 22 C52 − 32 C53 + 42 C54 − 52.C55 Bởi 2 3 + x ) = C5 + C5 x + C5 x + C5 x + C54 x + C55 x Từ ( , lấy đạo hàm hai vế ta được: 4 5 ( + x ) = C5 + 2C5 x + 3C5 x + 4C5 x + 5C5 x ⇒ x ( + x ) = C51 x + 2C52 x + 3C53 x3 + 4C54 x + 5C55 x5 ( 4) ( ) , ta có: Lại lấy đạo hàm hai vế ( + x ) + 20 x ( + x ) = C51 + 2 C52 x + 32 C53 x + 42 C54 x3 + 52 C55 x ( ) ( 5) ta được: Thay x = −1 vào = C51 − 2C52 + 32 C53 − 42 C54 + 52 C55 ⇔ 2C52 − 32 C53 + C54 − 52 C55 = C51 2 Hay S = C5 − C5 + C5 − C5 = ỵ Dng 06: Tớnh tng hu hn C (Newton tích phân) 1 1 (−1)n n S = Cn − Cn + Cn − Cn + + Cn 2(n + 1) Câu 192 Tính tổng sau: A 2(n + 1) B C D (n + 1) Lời giải: Chọn A Trang 52/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 1 1 (−1) n n S = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + Cn ÷ 2 n +1 Ta có: n (−1)k k (−1) k k +1 S= (−1) k Cnk++11 Cn = Cn +1 ∑ 2(n + 1) k = n +1 Vì k + nên: = −1 n +1 (−1) k Cnk+1 − Cn0+1 ÷ = ∑ 2(n + 1) k =0 2(n + 1) ỵ Dng 07: Toỏn v ng thức có dùng nhị thức Newton − 3x ) Câu 193 Biết hệ số x khai triển ( 90 Tìm n n A n = B n = C n = Lời giải D n = Chọn B T = Cnk ( −3 x ) = Cnk ( −3) x k Số hạng tổng quát thứ k + k +1 Vì hệ số x nên cho k = k Cn2 ( −3) = 90 Khi ta có Vậy n = Câu 194 Biết ⇔ Cn2 = 10 ⇔ k n = ( n ) n ( n − 1) = 10 ⇔ n = −4 ( l ) 2n ( Cn0 + iCn1 − Cn2 − iCn3 + L + i k Cnk + L + i n Cnn ) = 32768i T = i k Cnk n i = −1 Đặt k +1 , giá trị T8 A −8i B −36i C −120i Lời giải k , với Cn số tổ hợp chập k D −330i Chọn A Ta có: 2n ( Cn0 + iCn1 − Cn2 − iCn3 + L + i k Cnk + L + i n Cnn ) = 32768i ⇔ 2n ( Cn0 + iCn1 + i 2Cn2 + i 3Cn3 + L + i k Cnk + L + i nCnn ) = 32768i ⇔ 2n ( + i ) = 215 i ( *) n Ta có ( 1+ i) = 2i 1+ i) = ( 1+ i) nên n = 2k + , k ∈ ¥ , ( n k +1 = 2k i k ( + i ) nên không thỏa mãn ( *) + i ) = ( + i ) = 2k i k Xét n = 2k , k ∈ ¥ , ( , nên: 2k k k 15 3k k 15 ( *) ⇔ 2 i = i ⇔ i = i ⇒ k = ⇒ n = 10 n 2k Từ ta có T8 = i C = 8i ỵ Dng 08: PT, BPT, HPT có dùng nhị thức Newton 7 C n = An3+3 Câu 195 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n +5 n = 17 n = 20 A B C n = 15 Lời giải Chọn B Điều kiện: n ≥ , n ∈ ¥ D n = 14 Trang 53/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 ( n + 5) ! ( n + 3) ! Cnn+5 = An3+3 ⇔ n !5! = n ! ⇔ ( n + ) ( n + ) = 600 n = 20 ⇔ ⇔ n + 9n − 580 = n = −29 ⇒ n = 20 Câu 196 Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức biêt n số tự nhiên C 3C n- + 2Cn3Cn4 + Cn4Cnn- = 1225 thỏa mãn n n A - 20 B - D 160 C - 160 Lời giải Chọn C Cn3Cnn- + 2Cn3Cn4 + Cn4Cnn- = 1225 Û Cn3Cn3 + 2Cn3Cn4 + Cn4Cn4 = 1225 Û ( Cn3 + Cn4 ) = 1225 én = Û Cn3 + Cn4 = 35 Û n - 2n3 - n + 2n - 840 = Û ê Û n=6 ê n =5( l ) ë Ta có Xét số hạng thứ k +1 khai triển: x k = Û k = Số hạng khơng chứa khai triển Vậy số hạng cần tìm C63 23 ( - 1) =- 160 Câu 197 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn A n = 98 B n = 99 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2100 − n − + + + + = 1.2 2.3 3.4 ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) D n = 101 C n = 100 Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: Cnk ( n + 2) ! Cnk++22 n! = = = ( k + 1) ( k + ) k !( n − k ) !( k + 1) ( k + ) ( n − k ) !( k + ) !( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) n Cnk Cnk++22 n ∑ ( k + 1) ( k + ) = ∑ ( n + 1) ( n + ) k =0 Suy ra: k =0 C C1 C Cnn C + Cn3+ + Cn4+ + + Cnn++22 ⇔ n + n + n + + = n+2 1.2 2.3 3.4 ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) 1+ x) Ta xét khai triển sau: ( →2 Chọn x = Do đó: Cách S= ( ∗) ⇔ n+ =C n+2 n+2 = Cn0+ + x.Cn1+ + x Cn2+ + x3 Cn3+ + + x n + Cnn++22 +C n +2 +C n+2 n +2 +C n+2 −C −C −n−3 = ( n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) 100 ( ∗) n+ 2: n+2 + + C n+2 n +2 ⇔ 2100 = 2n + ⇔ n = 98 Ta có: Cn0 Cn1 Cn2 Cnn n 1 1 1 1 1 + + + + = − ÷Cn0 + − ÷Cn1 + − ÷Cn2 + + − ÷Cn 1.2 2.3 3.4 ( n + 1) ( n + ) 3 3 4 n +1 n + = 1 1 1 1 1 Cnn ÷− Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cnn ÷ Cn + Cn + Cn + n +1 n+2 1 Trang 54/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 Lại có: ∫ (1+ x) n 1 dx − ∫ x ( + x ) dx = ∫ ( + x ) dx − ∫ ( + x ) n n n +1 dx 1 1 1 1 n +1 n+2 1 1 ⇔ Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cnn ÷− Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cnn ÷ = ( 1+ x ) − ( 1+ x) n +1 n + n +1 n+2 1 0 S= 2.2n +1 − 2n + − n +2 − n − − = n +1 n+2 ( n + 1) ( n + ) 2n + − n − 2100 − n − = n + 1) ( n + ) ( n + 1) ( n + ) ⇒ n = 98 Kết hợp giả thiết có ( 1C 16B 31A 46A 61B 76C 91D 2A 17C 32B 47B 62D 77A 92B 3D 18C 33C 48C 63C 78C 93C 4B 19A 34D 49D 64C 79D 94D 5D 20D 35D 50A 65A 80C 95D 6C 21C 36A 51A 66A 81A 96D 7A 22C 37B 52B 67A 82D 97B 8B 23B 38A 53B 68C 83A 98C 9A 24A 39A 54C 69B 84B 99B 106 D 121 A 136 B 151 D 166 C 181 B 196 C 107 C 122 B 137 B 152 B 167 B 182 C 197 A 108 C 123 B 138 D 153 C 168 D 183 B 109 B 124 A 139 D 154 A 169 B 184 D 110 A 125 A 140 C 155 C 170 A 185 B 111 B 126 B 141 A 156 B 171 D 186 A 112 A 127 A 142 D 157 D 172 C 187 A 113 A 128 B 143 A 158 A 173 B 188 B 114 C 129 D 144 B 159 C 174 D 189 D 10D 25A 40B 55B 70B 85A 100 B 115 D 130 C 145 C 160 A 175 C 190 A 11B 26D 41A 56D 71D 86C 101 C 116 B 131 D 146 D 161 A 176 C 191 C 12D 27A 42B 57A 72D 87D 102 A 117 A 132 C 147 A 162 C 177 A 192 A 13B 28C 43C 58C 73D 88D 103 A 118 B 133 B 148 B 163 B 178 C 193 B 14B 29D 44A 59C 74B 89D 104 A 119 D 134 C 149 A 164 D 179 A 194 A 15B 30C 45D 60B 75C 90D 105 D 120 C 135 B 150 A 165 A 180 D 195 B Trang 55/55 - HỒNG MINH - 077 555 1841 ... C20 < C20 Kết hợp với điều kiện Vậy k = 10 thỏa yêu cầu to? ?n a k= k C Phương pháp trắc nghiệm: Khi tìm n = a n đạt giá trị lớn nht NH THC NEWTON ỵ Dng 00: Cỏc cõu hỏi chưa phân dạng x − 3) Câu 42... = ( x + 2) theo công thức nhị thức Niu tơn lấy ngẫu nhi? ?n hai số hạng k số hạng khai triển Gọi P xác suất để lấy hai số không chứa x k số tự nhi? ?n lẻ Làm tròn P theo quy tắc làm tròn số để số... x , x1 , x , , x 2022 Lấy ngẫu nhi? ?n hai số hạng số hạng khai triển số phần tử khơng gian mẫu là: n(Ω) = C2023 k Gọi A biến cố lấy hai số không chứa x k số tự nhi? ?n lẻ Vì số số chẵn từ đến 2022