Bài tập nhị thức Newton

Tài liệu nhằm giúp học sinh luyện giải các bài tập trắc nghiệm nhị thức newton một cách dễ dàng và nhanh chóng để chuẩn bị cho kì thi thpt quốc gia trắc nghiệm đối với môn toán, tài liệu có đề và lời giải cụ thể để hiểu sâu hơn về bài toán tránh những trường hợp hiểu lang mang hoặc hiểu sai bản chất của một bài toán tổ hợp.Tài liệu nhằm giúp học sinh luyện giải các bài tập trắc nghiệm nhị thức newton một cách dễ dàng và nhanh chóng để chuẩn bị cho kì thi thpt quốc gia trắc nghiệm đối với môn toán, tài liệu có đề và lời giải cụ thể để hiểu sâu hơn về bài toán tránh những trường hợp hiểu lang mang hoặc hiểu sai bản chất của một bài toán tổ hợp.Tài liệu nhằm giúp học sinh luyện giải các bài tập trắc nghiệm nhị thức newton một cách dễ dàng và nhanh chóng để chuẩn bị cho kì thi thpt quốc gia trắc nghiệm đối với môn toán, tài liệu có đề và lời giải cụ thể để hiểu sâu hơn về bài toán tránh những trường hợp hiểu lang mang hoặc hiểu sai bản chất của một bài toán tổ hợp.Tài liệu nhằm giúp học sinh luyện giải các bài tập trắc nghiệm nhị thức newton một cách dễ dàng và nhanh chóng để chuẩn bị cho kì thi thpt quốc gia trắc nghiệm đối với môn toán, tài liệu có đề và lời giải cụ thể để hiểu sâu hơn về bài toán tránh những trường hợp hiểu lang mang hoặc hiểu sai bản chất của một bài toán tổ hợp.Tài liệu nhằm giúp học sinh luyện giải các bài tập trắc nghiệm nhị thức newton một cách dễ dàng và nhanh chóng để chuẩn bị cho kì thi thpt quốc gia trắc nghiệm đối với môn toán, tài liệu có đề và lời giải cụ thể để hiểu sâu hơn về bài toán tránh những trường hợp hiểu lang mang hoặc hiểu sai bản chất của một bài toán tổ hợp.Tài liệu nhằm giúp học sinh luyện giải các bài tập trắc nghiệm nhị thức newton một cách dễ dàng và nhanh chóng để chuẩn bị cho kì thi thpt quốc gia trắc nghiệm đối với môn toán, tài liệu có đề và lời giải cụ thể để hiểu sâu hơn về bài toán tránh những trường hợp hiểu lang mang hoặc hiểu sai bản chất của một bài toán tổ hợp.Tài liệu nhằm giúp học sinh luyện giải các bài tập trắc nghiệm nhị thức newton một cách dễ dàng và nhanh chóng để chuẩn bị cho kì thi thpt quốc gia trắc nghiệm đối với môn toán, tài liệu có đề và lời giải cụ thể để hiểu sâu hơn về bài toán tránh những trường hợp hiểu lang mang hoặc hiểu sai bản chất của một bài toán tổ hợp.

www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng NGUYỄN VĂN NĂM - LÊ HOÀNG NAM M AT HV N co m THPT Lê Hông Phong ( Đồng Nai) – THPT Lê Quý Đôn (Đà Nẵng) ww w www.MATHVN.com Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG m A LÝ THUYẾT CÔNG THỨC NEWTON: a  b n co Cho số thực a, b số nguyên dương n thì: n   Cnk a n  k b n Cn0 a n  Cn1a n 1b   Cnnb n  k 0 n n k n    1 Cnk a n k b n Cn0 a n  Cn1a n 1b    1 Cnnb n  N  a  b k 0 HV Tính Chất a Số số hạng công thức n  b Tổng số mũ a b số hạng luôn số mũ nhị thức: n  n  k  n c Số hạng tổng quát nhị thức là: Tk 1  Cnk a n  k b k n M AT (Đó số hạng thứ k  khai triển  a  b  ) d Các hệ số nhị thức hai số hạng đầu, cuối e 2n  Cnn  Cnn 1   Cn0 n ww w f  Cn0  Cn1    1 Cnn g Tam giác Pascal: n  01 n  111 n  2121 n  k 1 Ckm 1Ckm  n  k  1Ckm1 Với Ckm1  Ckm  Ckm1  a  b   1 a  b #0  a  b  a  b  a  b   a  2ab  b  a  b   a3  3a 2b  3ab  b3 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 3 Một số khai tiển hay sử dụng: n n 2n  1  1   Cnk Cn0  Cn1   Cnn n k m k 0 n n 0  1  1    1 Cnk Cn0  Cn1    1 Cnn k 0 n n k 0 n n co  1  x    Cnk x n  k Cn0  Cn1 x n 1   Cnn x k n k 0 n n N  1  x     1 Cnk x n k Cn0 x  Cn1 x1    1 Cnn x n k n   x  1    1 Cnk x n k Cn0  Cn1 x n 1    1 Cnn x  k 0 HV Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức NEWTON n Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có i n C với i số tự i 1 nhiên liên tiếp M AT n Trong biểu thức có ta dùng đạo hàm  i    i n  i  i  1 C i 1 n  Trong biểu thức có  i  k  C i n ta nhân hai vế với x k , lấy đạo hàm i 1 n  Trong biểu thức có k a C i 1 n  Trong biểu thức có i n ta chọn giá trị x a thích hợp i n  i 1 C ta lấy tích phân xác định  a; b  thích ww w i 1 hợp n n  Nếu toán cho khai triển  x a  x b    Cni  x a  n i i 1 i n  xb    Cni x a  n  i   ib i 1 hệ số x C cho phương trình a  n  i   b.i  m có nghiệm i   m  i n Cni đạt MAX k  n 1 n 1 n hay k  với n lẻ, k  với n chẵn 2 Việc nhận biết dấu hiệu giúp cho giải tốt dạng toán liên quan đến nhị thức NEWTON, đặt biệt đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng B CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC Bài toán tìm hệ số khai triển NEWTON Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng Ví dụ 1.1: (D(H Thủy lợi sở II, 2000) Khai triển rút gọn đa thức: 10 14 Q  x   1  x   1  x    1  x  Q  x   a0  a1 x   a14 x14 Ta đa thức: m Xác định hệ số a9 Giải 10 14 Hệ số x đa thức: 1  x   1  x    1  x  là: C99 , C105 , , C149 co N Do đó: a9  C99  C109   C149 1 1   10  10.11  10.11.12  10.11.12.13  10.11.12.13.14 24 20  11  55  220  715  2002  3003 A2 x  Ax2  C x3  10 x HV Ví dụ 1.2(ĐHBKHN- 2000) Giải bất phương trình: Giải M AT Điều kiện: x số nguyên dương x  Ta có: bất phương trình tương đương với  x  1 x  x  x   x   x  1  10   3! x  x  x  1  x  x  1   x   x  1  10  3x  12  x  Vì x nguyên dương x  nên x  3.4 10 Ví dụ 1.3: Tìm hệ số x16 khai triển  x  x  Giải   10 10  k    2 x    C10k x ww w Ta có: x  x 10 k k 0 10 k 10   C10k x 20 k x k  2   C10k x 20 k  2  k 0 k k 0 Ta chọn: 20  k 16 k 4  Hệ số x16 khai triển là: C104  3360   Ví dụ 1.4: Tìm hệ số x1008 khai triển  x   x   Giải Số hạng thứ k  khai triển: Tk 1  C k 2009 2009  k x  2009 k 1  k 4018 5 k    C2009 x x  Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng Ta chọn: 4018  5k 1008 k 602 602  Hệ số x1008 khai triển C2009 Ví dụ 1.5:(ĐH KA 2004) Tìm hệ số x8 khai triển đa thức m 1  x 1  x   Giải N co 8 k  k  i Cách 1: Ta có f  x    C8k  x 1  x     C8k x k    1 Cki x i  k 0 k 0  i 0   i 0 0  i  k    i  k 4 Vậy ta có hệ số x8  1 C8k Cki thỏa 2k  i 8    i 2 i,k  N    k 3 HV  Hệ số x8 là:  1 C84C40   1 C83C32 238 Cách 2: Ta có: f  x   C80   C83  x 1  x    C84  x 1  x     C88  x 1  x    M AT Nhận thấy: x8 có số hạng: Số hạng thứ tư: C83  x 1  x   Số hạng thứ năm: C84  x 1  x   Với hệ số tương đương: A8  C83C32  C84C40  238  Ví dụ: 1.6:(ĐH SPQN 2000) Xác định hệ số x khai triển hàm số 10 ww w P  x  1  x  3x  theo lũy thừa x Ta có: P  x  1  x  3x 10  Giải 10  1  x   x   10 10 10  C100  C101 x   x   C102 x   3x   C103 x   3x    C10 x   3x  Nhận thấy hệ số x xuất trong:   C102 x   x   C103 x   x   C102 x  12 x3  x  C103 x   x   Hệ số x khai triển P  x  là: 12C102  C103  540  960  1500 Ví dụ 1.7: Tìm hệ số x16 khai triển thành đa thức   16 f  x   1  x  x  Giải Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng n 16 i Xét khai triển: f  x    C i 1 k 16 C k 0 k   x 1  x       k  16  k  k i i    1 C16k x k    1 Cki x i       1 C16k Cki x 2 k i   k 0  i 0  k 0  i 0  i 0  k   0  i  k  16 i   k  k 1  Vậy ta có hệ số x16  1 C16k Cki thỏa k  i 8  i   k   i,k  N  i   k  i   k  co m 16 N Vì hệ số x16 đa thức là: C168 C80  C167 C71  C166 C82  C165 C83  C164 C84  258570 200 HV Ví dụ 1.8: Tìm hệ số số hạng x 101 y 99 khai triển  x  y  Giải Ta có:  x  y  200   x   3 y   200 200 k   C200 2x k 0 200 200  k  3 y  k k M AT k    1 C200 200 k 3k x 200k y k k 0 200  k  101 Ta chon:   k  99 k  99 99 99 99 Vậy hệ số cần tìm là:  1 C200 299.399  C200 299.399 Ví dụ 1.9: (ĐH HCQG, 2000) 12 1  a) Tìm hệ số x khai triển  x   x  ww w n b) Cho biết tổng tấc hệ số khai triển nhị thức  x  1 1024 Hãy tìm hệ số a  a  N *  số hạng ax12 khai triển ((ĐHSPHN, khối D, 2000) ) Giải k a) Số hạng thứ  k  1 khai triển là: ak  C x k 12  k 12 1 k 12  k   k  12     C12 x x   Ta chọn 12  2k  8 k  Vậy số hạng thứ khai triển chứa x8 có hệ số là: C122  66 n n b) Ta có: 1  x    Cnk x n  Cnk  Cn1 x   Cnk x12 2 k k 0 n Với x  thì:  Cn0  Cn1   Cnn  1024 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng  2n  210  n  10 Do hệ số a (của x12 ) là: C106  210 c) Ví dụ 10: (D(H Khối A- 2006) Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị m n co   thức NEWTON   x  biết C21n 1  C22n 1   C2nn 1  220  ( n nguyên x  k dương Cn tổ hợp chập k n phần tử) Giải n Từ giả thiết suy ra: C2 n 1  C2 n 1   C2 n 1  220 1 C20n 1  C21n 1   C22nn11 1  1 n 1   2 n 1 1,   22 n  220  n 10  3 HV N Mặt khác: C2kn 1  C22nn11k ,k ,0  k  2n  , nên: C20n 1  C21n 1   C2nn 1   C20n 1  C21 n 1   C22nn11   2 n 1 Từ khai triển nhị thức của: 1  1 suyra :  3 10 M AT n n 10  k k   Ta có số hạng tổng quát nhị thức   x    C10k  x 4   x    C10k x11k 40 x  k 0 k 0 26 k Hệ số x C10 với k thỏa mãn 11k  40  26  k  Vậy hệ số x 26 C106  210 Ví dụ 1.11: (ĐHKT HN- 1998) Tìm hệ số đứng trước x5 khai triển biểu thức sau thành đa thức: f  x    x  1   x  1   x  1   x  1 ww w Giải 4  x  1   C4k  x  Ta xét khai triển sau:  x  1 Nhận xét: Số hạng chứa x 4 k k 0   C6k  x  k 0 5 ; x  1   C5k  x  5 k k 0 6 k 7 ; x  1   C7k  x  k k 0  x  1 0 5 Số hạng chứa x5  x  1 C50  x  Số hạng chứa x5  x  1 C61  x  Số hạng chứa x5  x  1 C52  x  5 Vậy hệ số cần tìm là:  C50  x   C61  x   C72  x  896 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng Ví dụ 1.12( Khối D- 2003) Với n số nguyên dương, gọi a3n 3 hệ số x 3n 3 n n khai triển thành đa thức  x  1  x   Tìm n để a3n 3  26n Giải x  m Cách 1: Ta có n   Cn0 x 2n  Cn1 x n  Cn2 x n   Cnn Dễ thấy với n  1,n 2 không thỏa mãn điều kiện toán Với n  x 3n 3  x n x n 3  x 2n 2 x n1 n co n  x    Cn0 x n  2Cn1 x n 1  2 Cn2 x n2   n Cnn n  2n 2n  3n    n  ( Loai )  Vậy n 5 giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện toán ( n nguyên dương) HV a3n 3 26n   26n   n 5 N Vì hệ số x 3n 3 khai triển thành đa thức  x  1  x   là: Cách 2: Xét khai triển: n  n k  k n i  i    3n   x   Cn    Cn       x   k 0  x  i   x   n  n  x 3n   Cnk k x  k  Cni x 2i  i 0  k 0   i   k  Trong khai triển lũy thừa x 3n   2i  k  3    i    k  Nên hệ số x 3n 3 là:  n 5 2n 2n  3n  a3n 3 26n  26n     n  ( Loai )  Vậy n 5 giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện toán ( n nguyên dương) n  n  2 x   x3n 1    x n  ww w M AT  x  2   Ví dụ: 1.13( Khối A- 2002)Cho khai triển nhị thức: n n x x 1 x 1    x21   0 1  x   Cn  x   Cn  x        n 1 x 1   3x     3x  n 1      Cn  x         n 1   3x  C 2    n n n ( n số nguyên dương) Biết khai triển Cn3  5Cn1 số hạng thứ tư 20n Tính n x Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng Giải Điều kiện: n  N n  n! n! Ta có: Cn3  5Cn1  5 3! n  3 !  n  1! m n  n  1 n    5n  n  3n  28  n 7 (Nhận)  n  4 (loại) x    x 1  x 1  Với n 7 ta có:  x     C7k  x    k 0   k   3x  2    co   x21    3x  Vậy số hạng thứ tư khai triển là: C  x     35.22 x  2.2 x     2x2  x x 2 Kết hợp với giả thiết ta được: 35.2  140    x  N n M AT HV x   Ví dụ 1.14: Tìm x biết khai triển nhị thức:  x  2  có tổng số   hạng thứ thứ 135 , tổng hệ số số hạng cuối 22 Giải 22 x 1  22 2 x 9 C  x  n  21 x  C  x n  135  n Từ giải thiết ta có:  n   n  n  1  n   22 Cnn   Cnn 1  Cnn 22    t 4  x 1  2 x  22    x  1   x   t  t    t   t   t  x  2          t n  n  42 0   n 6    n  7( Loai)  ww w 1  Vậy x  1,  giá trị cần tìm 2  17   Ví dụ 1.15: Tìm hệ số lớn khai triển:   x    Giải 17 17   1 Xét khai triển:   x    C17k     5 k 0 k k k 1 k  x  k 0,1, 2, ,17  5  x   ak    k k  k 1 k 1   C17    C17 ak  ak 1   5 Ta có ak đặt max  k k 1 ak  ak 1   k   k 1 C    17   C17  Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 1 Với k 2 hệ số là: C172    5.44 5  1 Với k  hệ số là: C173    5.44 5 co  m 17! 17!  5 k !17  k !   k  1!16  k ! 5k   17  k     2k 3 17! 17! 18  k  5k   5  k !17  k !  k  1!18  k ! 10 N 1 Vậy hệ số lớn là: C    5.44 5 Từ Ví dụ ta đến toán tổng quát sau: 17 n HV Ví dụ: 1.15.2 Tìm hệ số lớn khai triển nhị thức NEWTON  a  bx  n Phương pháp giải: Xét khai triển  a  bx  có số hạng tổng quát Cnk a n k b k x k M AT Ta đặt: uk Cnk a n  k b k ,0  k  n ta dãy số uk  Việc lại tìm số hạng lớn dãy ta làm sau: u  Giải bất phương trình k  tìm k0 uk0 uk0 1  un uk 1 u  Giải bất phương trình k  tìm k0 uk1 uk1 1  u0 uk 1   Từ ta có số hạng lớn dãy max uk0 ,uk1  ww w Tuy nhiên để đơn giản làm sau: uk  uk 1 k0 Giải hệ bất phương trình uk  uk 1 Suy hệ số lớn khai triển nhị thức NEWTON Cnk0 a n  k0 b k0 Ví dụ 1.16: (HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức 12 P  x   1  x   a0  a1 x   a12 x12 Tìm max a0 , a1 , a2 , a12  Giải 12 12 k Cách 1: Xét khai triển: 1  x    C12k 112 k  x   k 0 k 12 k ak  C  k 0,1, 2, ,12 1 Xét bất đẳng thức: ak  ak 1 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 10 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 27 III Sử dụng tích phân xác định Dấu hiệu: Ý tưởng phương pháp dựa vào hệ thức b b  x k 1  a k 1  b k 1 x dx     a k 1  k 1 a Từ dễ dàng tìm dấu hiệu để sử dụng phương pháp số hạng tổng có b a k 1  b k 1 k dạng Cn Cụ thể, xét tích phân I   (c  dx) n dx ta tính hai cách k 1 a co m k b N b 1  (c  dx) n1  Tính trực tiếp: I   (c  dx )n d (c  dx )    da d  n 1  a b b n    n k n k k k  k nk k Hoặc gián tiếp: I    Cn c d x  dx    Cn c d  x k dx  k 0   a  k 0 a  HV b k 1    n  a k 1  b k 1 k n k k  k n k k  x   Cn c d  Cn c d      k    k 0  k  k 0    a   Hai cách nên từ ta có được: n b  a k 1  b k 1 k n  k k   (c  dx )n 1  Cn c d       k 1 k 0   d  n 1  a Tùy Ví dụ toán ta chọn hệ số a, b, c, d thích hợp M AT n 22 23 2 n1 n 3n1  Cn  Cn   Cn  ( III 1) n 1 n 1 Giải Nhìn vào tử phân số dễ dàng tìm hai cận a  0, b  Tiếp tục để ý chút ta chọn tiếp c  d  suy đpcm ww w Ví dụ II.1: CMR 2Cn0  Chú ý: Khi trình bày thi phải ghi rõ tích phân  (1  x) n dx tính hai cách trọn điểm Cách khác: Ta tránh không dùng tích phân cách áp dụng đẳng thức: Cnk C k 1  n1 Việc tính toán đơn giản mà giảm thiểu sai sót k 1 n 1 làm bài: (1  2) n1  VT ( III 1)  2Cn11  22 Cn21  23 Cn31   n1 Cnn11  n 1 n 1 Để thấy rõ hữu ích đẳng thức đơn giản đó, ta xét Ví dụ khác Tính tổng   Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 27 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 2 28         m  Cn0   Cn1   Cn3   Cnn  S                  n 1  Rõ ràng dùng tích phân gần áp dụng đẳng thức lại chuyện khác: 2  S Cn 1  Cn21  Cn31   Cnn11    (n  1)  co Việc lại tính tổng ngoặc vuông Có nhiều cách để tính nên quay lại tổng phần “ Các phương pháp khác “ N Trở lại phần tích phân, với việc thay a, b, c, d cách số thích hợp ta “chể” Ví dụ toán phức tạp hơn, chẳng hạn a  2, b  3, c  1, d  1 ta có: M AT HV 23 22  32 23  33 22010  32010 2009  42010 C2009  C2009  C2009   C2009 = 2010 2010 n 2 1  1 1 2 1 n Ví dụ II.2: Tính Cn  Cn  Cn   Cn n2 Giải k 2 1 k Mỗi số hạng tổng có dạng Cn nên ta nghĩ đến dùng tích phân Nhưng k2 mẫu hệ số lại k  so với dấu hiệu k  Do ta phải thay tích b n b phân  (1  x) dx tích phân khác Ở ta chọn I   x(1  x) n dx Dễ dàng tìm a a cận 2, cận Thử lại: 2 n   n  2k   k   n k k 1  k I    Cn x  dx    Cn  x k 1dx     Cn  k 0     k 0  k 0  k  Việc lại tính trực tiếp I:  1  x n  (1  x) n1  n n 1 n    I   ( x   1)(1  x ) dx    (1  x )  (1  x) dx     n2 n   1  Với ý tưởng ta xét tổng sau: 1 1 (1)n n Cn  Cn  Cn  Cn   Cn 2n  Mẫu hệ số trước tổ hợp không mẫu mực mà “nhảy cóc” 2, 4, 6, …, Cnk 2n + để ý số hạng có dạng nên số hạng ban đầu trước lấy 2k  2 ww w k nguyên hàm Cnk x k 1 hay Cnk  x  x đến phần ta đoán tích phân ban đầu n  x(1  x ) dx Nhưng dấu trừ đâu ? Tinh ý chút ta sửa lại được:  x (1  x ) dx Việc thay cận đơn giản hơn, ta chọn cận 1, cận n Thử lại tí chút: Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 28 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 29 1 n   n  Cnk (1) k   n k n k k 1  k k k 1 x (1  x ) d x  C (  1) x dx  C (  1) x dx  n     n   0 0   0 k 0 k 0    k 0  2k   Phần lại Ví dụ toán tính tích phân đó: 1 1  (1  x ) n 1  n x (1  x ) dx  (1  x ) d (1  x )    0 0  n  0 n m 1 co Với việc thay đổi tích phân ta làm ti tỉ tổng khác phức tạp ^^! Ví dụ n n n  x (1  x) dx,  x (2  x ) dx,  ( x  1)(1  x ) dx 1 n 1 n 1 Giải n   C x  C x    1 Cnn x n n n HV Xét: f  x   1  x  n  n   1  x  dx    Cn1 x  Cn2 x    1 Cnn x 0 N  1 C n ; (1  n  Z ) 1 Ví dụ II.3: Rút gọn: S  Cn1  Cn2   n n 1 M AT n  1  x  n 1   1 Cnn Cn1 Cn2       1 n 1    n  1   n 1 Cn1 Cn2  1 C n  n     n n 1 n 1 1 1 1 n 1 Ví dụ II.4: Chứng minh rằng: Cn1  Cn2  Cn3    1 Cnn     n n Giải n n 1  1  x    1  x   ww w Ta có: x k 0 n 1 n k k   Cnk  1 x k n k 0 x n k 1   Cnk  1 x k 1 x   k 0 k 1   1  x    Cnk  1 x k 1 k 0  k 0 n 1 k  1  x  dx   n k 0 k n  C  1 k 1 k 1 x dx k 0 k n  1  x k 1  k 1  x  k      Cn  1   k 1  k 0   k 0   k 1 n n 1  C k n  1 k n k n  1 k 1  C k  k 1 k 1 1 1 n 1  Cn1  Cn2  Cn3    1 Cnn     ĐPCM n n k 1 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 29 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng IV Công cụ số phức Ý tưởng phương pháp dựa tính chất đặc biệt i: i k  , i k 1  i , i k   1 , i k 3  i với k  N Từ đó, ta xét đa thức f ( x )  a0  a1 x  a2 x  a3 x   an x n Đặt S0   , S1  i 4 k  i  k 1 , S2   i 4 k  , S3   Ta có: i4k 3 N co f (1)  f (1)   S0  S   f (1)  (S0  S2 )  ( S1  S3 )  f (1)  f (1)    f (1)  ( S0  S2 )  ( S1  S3 )   S1  S3   f (i )  ( S  S )  ( S  S )i   S  S  Re ( f ( i ))   S  S  Im( f (i ))  m 30 M AT HV f (1)  f (1)  Re( f (i ))  (1)  S0    S  f (1)  f (1)  Im( f (i )) (2)    S  f (1)  f (1)  Re( f (i )) (3)   f (1)  f (1)  Im( f (i ))  S3  (4)  Với Re( f (i )), Im( f (i )) phần thực phần ảo f (i ) Ví dụ IV.1: Rút gọn T1  C40n  C42n  C44n   C44nn ww w Giải Rõ ràng S1  S0  S2 đa thức f ( x)  (1  x) 4n Mặt khác ta có f (i )  ( S0  S )  ( S1  S3 )i nên công việc tính f (i ) phần thực 2n 2n tổng T1 cần tìm: f (i )  (1  i) n  (1  i )    2i   4n ( 1) n Ta sử dụng (1), (3) ta tìm để giải công giải lại hệ phương trình ẩn thật giết ruồi mà lại dùng đến dao mổ trâu ^^! Tương tự ta tính tổng C41n  C43n  C45n   C44nn 1  Ví dụ IV.2: Tính T2  1C81n  3C83n   (8n  1)C88nn 1 Giải Trước tiên ta phải dùng đạo hàm để có hệ số đứng trước tổ hợp Xét đa thức: 8n 8n f ( x )  (1  x)8 n  C80n  Cnk x k  f '( x )  8n(1  x )8n 1  kCnk x k 1 k 1 k 0 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 30 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 31 8n Lại nhân với x ta g ( x )  8nx(1  x)8 n 1  kCnk x k k 0 Nhận thấy T2 phần ảo g (i ) : g (i )  8ni(1  i )8n1  4n.16n  4n.16n i m Do T2  4n.16n Tương tự ta dùng đạo hàm lần để tính tổng 22 C82n  42 C84n  62 C86n   (8n) C88nn : 8n 8n k 8n k (1  x )  C  C x  8n(1  x) n 1 k 1 8n k 8n  kC x k 1 n 1  kC8kn x k co 8n 8n  8nx (1  x ) k 1 k 1 8n 8n  8n(1  x)8 n (1  8nx)  k 2C8kn x k 1  8nx (1  x )8 n (1  8nx )  k 2C8kn x k  f ( x) k 1 Tổng cần tính phần thực f (i )  8ni(1  i ) 8n N k 1 (1  8ni )  16 n  128n 16 n i HV V Một số phương pháp khác n 1 M AT 0  m  k  n Ví dụ V.1:(ĐHQG TP.HCM, 1997) Cho  k , m, n  Z Chứng minh: Cnk Cm0  Cnk 1.Cm1   Cnk  m Cmm  Cmk  n Giải m m m 1  x   Cm  Cm x   Cm x  n  Ta có: 1  x   Cn0 x n  Cn1 x n 1   Cnk x k   Cnn  mn mn mn 1  x   Cm  n  Cm  n x   Cm  n x m n Suy hệ số x k 1  x  1  x  là: Cm0 Cnk  Cn1 Cnk 1   CmmCnk  m Và hệ số x k 1  x  m m n Cmk  n n Đồng thức: 1  x  1  x  = 1  x  m n ww w Ta được: Cmk  n  Cm0 Cnk  Cm1 Cnk 1   Cmm Cnk m  ĐPCM  0  k  n Ví dụ V.2: Cho  Chứng minh: k ,n Z Cn0Cnk  Cn1Cnk 1   Cnn k Cnn   2n  ! !  n  k !  n  k  Giải n n 2n  1 Ta có:    1  x   n 1  x  ,x  x  x  1    Cn0  Cn1   Cnn n   Cn0  Cn1 x   Cnn x n  x x    n  C20n  C21n x   C22nn x n  x Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 31 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 32 2 m Đồng thức hai vế đẳng thức với ta được:  2n  ! Cn0Cnk  Cn1Cnk 1   Cnn k Cnn  C2nn k  !  n  k !  n  k  Với k 0 ta có toán đẹp sau: Ví dụ V.3:(BĐ Tuyển Sinh ) Rút gọn S1   Cn0    Cn1    Cn2     Cnn  n n     Cnn n n Cách 2: Xét đồng thức 1  x  1  x   1  x   2n N    C   C   Cn0 co Giải Cách 1: Tương tự Ví dụ V.2 xét trường hợp m  k  n C2nn  Cn0 Cnn  Cn1 Cnn 1   Cnn Cn0 1   HV VT 1  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n     Cn0Cnn  Cn1Cnn 1  Cn2Cnn    Cnn 1Cn1  CnnCn0 x n  M ( x)  Sx n  M ( x) Trong M ( x) đa thức không chứa x n Do S hệ số x n VP (1) nên S  C2nn M AT Tổng quát với việc tìm hệ số x p đồng thức (1  x )n (1  x )m  (1  x )n m ta có hệ thức sau: Cnp  Cnp 1Cm1  Cnp  2Cm2   Cnp  q Cmq   Cmp  Cnp m Cách 3: Xét công việc sau: Chọn từ n nam n nữ nhóm có n người Có hai hướng giải: - Xét trường hợp chọn k nam n  k nữ: Cnk Cnn k   Cnk  Do k nhận giá trị ww w từ đến n theo quy tắc cộng ta có S tất số cách chọn để làm công việc - Mặt khác ta chọn trực tiếp n người từ hai nhóm nam nữ sau ghép chung hai nhóm lại với nhau, đó: S  C2nn Tương tự ta xét Ví dụ toán mạnh 2 Ví dụ V.4:(Đề 2- TH&TT-2008) S   Cn1    Cn2    Cn3    n  Cnn  , với n số tự nhiên lẻ Giải Cách 1: Ta có:   n    n 1 2  n    n1   n     C    C    n Cn     n     n         n  1 C    n   C    C     C    n  n   C    C     C    n n S C n n 1 n n 1 n n 2 n n 1 n   2 n 1 n Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 32 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng    C  n 2   Cnn   n    2n Mặt khác ta có: 1  x    C20n  C21n x   C2nn x n   C22nn x n  2n  hệ số x n là C2nn (*) n Trong đó:  x  1  Cn0 x n  Cn1 x n 1   Cnn  Cn0  Cn1   Cn0 x n 2 HV  f '( x )  n (1  x ) n 1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x   nCnn x n 1 N 2 Từ (*)và(**) C2nn   n  Cn1    Cn2     Cnn      n n Sn  C2 n  ĐPCM  Cách 2: Ta có: f ( x )  (1  x ) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3  Cnn x n (1) co  hệ số x n là  Cn0    Cn1      Cnn  (**) m  2S n  n  Cn1  33  xf '( x )  nx(1  x ) n 1  Cn1 x  2Cn2 x  3Cn3 x3   nCnn x n Thay x vào đẳng thức ta x n 1 n 1 M AT n 1 1 n     Cn  2Cn  3Cn   nCn n    x x x x x x Nhân vế theo vế 1   1 1 n 1 2 3 n n n    (1  x )  Cn xCn  2Cn x Cn  3Cn x Cn   nCn x Cn n  M  x  x x x x x x Trong M  x  đa thức không chứa số hạng tự Khai triển tìm hệ số số hạng n 1 ww w 1 1 n tự đa thức 1   1  x  ta tìm S  nC2nn 1 x x Cách 3: Xét công việc chọn từ n nam n nữ nhóm có n người có đội trưởng nam Xét trường hợp chọn k nam n – k nữ, sau chọn từ k nam người làm đội trưởng số cách kCnk Cnn k  k  Cnk  Do k nhận giá trị từ đến n theo quy tắc cộng ta có số cách chọn đội S Mặt khác, ta chọn n nam làm đội trưởng trước, chọn chọn n  người khác sau ghép hai nhóm thành Do S  nC2nn1 0  k , n Ví dụ V.5: Cho  Chứng minh: Ck01  Ck11   Ckn n  Ckn n1 k ,  n  Z  Giải k 1 k k n Xét đa thức: P  x    x  1   x  1    x  1 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 33 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 34 Nhận thấy hệ số x k đa thức là: Ck0  Ck11   Ckn n Mặt khác: P  x    x  1 k k k  n 1 1   x  1 n 1      x  1   x  1 x x m Có hệ số x k : Ckkn11  Ckn n 1 Đồng thức ta có: Ck01  Ck11   Ckn n  Ckn n1  ĐPCM co Bài Tập Áp Dụng b) C n3 n  C n1 n 1   ( 1) n C nn  C n0  C n1  C nn N Bài tập1 Chứng minh a) n C n0  n 1.71.C n1  n 2 2.C n2   n C nn  n c) C1n 3n 1  2C 2n 3n   3C3n 3n 3   nC nn  n4n 1 ( ĐH Luật- 2001) Cn0 Cn1 Cn2 Cn n1 (n  n  2)      n  4 n  (n  1)(n  2)(n  3) Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n 1       e) 3(n  1) 3(n  1) 2 2 n f) Cn  Cn   n Cn  n  n  1 2n  (Đề 1-TH&TT- 2008) Bài tập Tính tổng sau: 27 29 a) C130  3.22 C330  5.24 C530   27.226 C30  29.2 28 C30 M AT HV d) b) 2.1C 2n 3n  22  3.2C3n 3n 3 23  4.3C 4n 3n  4   ( 1) n n(n  1)Cnn 2n Cn1 Cn2 Cn   (1) n n n 1 1 (1) n n 1 n  (1)n d) 2Cn  Cn  Cn   Cn  n 1 n 1 2002 e) S C2003  C2003  C2003  C200 (Đề TH&TT- 2004) n 1 k 1 Bài Tập 3:(TTĐH- Đề 8- Thầy Nguyễn Tất Thu) Đặt Tk   1 3k C62nk 1 Chứng ww w c) Cn0  3n minh: T k 0 k 1 Bài Tập 4:(TTĐH- Đề 7- Thầy Nguyễn Tất Thu) Tính Tổng 2009 P  C2010  3C2010  32 C2010  33 C2007   31004 C2010 Bài Tập 5: Cho khai triển ( x  3x  1)10  a0  a1 x  a2 x   a20 x 20 Tính tổng a T1  a0  a4  a8   a20 b T2  a1  a5  a9   a17 c T3  a0  a1  a4  a5   a16  a17 d T4  a2  a3  a6  a7   a18  a19 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 34 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 35 D ÁP DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC Ví dụ D.1: (ĐHQG TPHCM) Cho  n  Z Chứng minh rằng: n n n n Ta có: 1  x    Cn01n k x k  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cnn x n k 0 n n k 0 N Cho x 1 ta được: 2n   Cn01n k1k   Cn0 Cn0  Cn1  Cn2  Cnn co n n m  2n   C C C     n 1  Giải n k 0 n Áp dụng BĐT Cauchy với n số    Cn1  Cn2  Cnn  n n Cn1Cn2 Cnn n  2n    C C C  C C C    ĐPCM  n 1  n n n n n n n HV n 0  k  n Ví dụ D.2:(ĐH Y Dược TPHCM- 1998) Cho:  Chứng minh rằng: k , n  Z   M AT C2nn  k C2nn k  C2nn Giải Với  k  n,k  Z ww w Ta Đặt ak  C2nn  k C2nn k   2n  k  !  n  k  !  ak  n ! n  k  ! n ! n  k !   n  k  ! n  k  !     a   k 1 n ! n  k  1 n ! n  k  1!  Để chứng minh BĐT ta cần chứng minh dãy ak giảm cách chứng minh ak  ak 1   2n  k !  2n  k !   2n  k  1!  2n  k  1! n ! n  k  ! n ! n  k  ! n ! n  k  1 n ! n  k  1! 2n  k n  k  n n   1  1  Đúng  nk n  k 1 nk n  k 1  ak  ak 1  dãy ak giảm  a0  a1   ak  ak 1  a0  ak   C2nn  k C2nn  k   C2nn  Ví dụ D.3: Chứng minh với n  N và n  thì: 1 Cn  2Cn2  3Cn3   nCnn  n ! 1  n Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 35 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 36 Giải Xét khai triển: (1  x )  C  C x  C x  Cn3 x  Cnn x n n n n n co Chọn x 1  n2n 1  Cn1  2Cn2  3Cn3  nCnn  1  n.2n 1   n !  2n 1  n !  n Việc lại ta chứng minh   n  N ,n  m Lấy đạo hàm hai vế theo biến x ta được: n(1  x) n1  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x  nCnn x n 1 N Cách 1: Ta có: n !  1.2.3.4 n  2.2.2  2n 1 ( n  số)  2n1  n !   hay dùng quy nạp để chứng minh Cách 2: Chứng minh quy nạp  Với n   n !  2n 1      231  (đúng)  Giả sử   với n  k với k   k  2k 1 HV Vậy  k  1 k !   k  1 2k 1  k  1!  2.2k 1  2k  vìk 3  k    M AT Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có: n ! 2n 1 n  “Từ kết ta áp dụng để giải số toán phần Bài tập áp dụng” Vậy    Cn1  2Cn2  3Cn3   nCnn  n !ĐPCM n Ví dụ D.4:(ĐH AN- 2000) n a) Cho  n  Z Chứng minh rằng: nn 1   n  1 b)  1     1! 2! n! n  1 c) Cho  n  Z Chứng minh rằng:       n m n ww w 1   1 d) m  n với số nguyên dương m, n Chứng minh:     1    m  n Giải a) Ta có: n 1 n  1 n n1   n  1  n  1    Cn0  Cn1  Cn2   Cnn n n n n  n        1  1     2!  n  3!  n   n      k        n 1      1       1       k !  n  n   n  n!  n   n   n    1    1  n   n  soá 1 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 36 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 37 N co m b) Ta có:  1  1!     1  2!  1  1  2! 1 1  Cộng vế theo vế 1        3 ĐPCM 1 1 1! 2! n! n     4! 3.4  1 1      5! 4.5 1 1   n  n!   n  1 n  n  n k     k   Cn  1  1   1   nk k !  n  n   n  k! M AT  HV 1 1  1 c) Xét khai triển:     Cn0  Cn1  Cn2   Cnn n   Cn2   Cnn n 2 n n n n n  n n  n  1  n  k  1 n! Mà: Cnk     k  n  k ! n  k  ! k! n 1  1 Áp dụng kết câu b    1         2! 3! n!  n n  1 Vậy:       n d) Xét khai triển: n ww w   1 1 n     Cn  Cn  Cn   Cn  n 1  n  n n n   n n n  n  1 n  n  1 n     n     n 2! n 3! n3 n  n  1 n  n  1 1   n 1 n! nn  n  1! n              n 1        1        1     * 2!  n  3!  n  n  n!  n   n   n  Tương tự ta có:  1 1    n n 1 1  1   1    1   1     2!  n   3!  n    n   1    n   1  1      n !  n   n    n    11 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 37 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng     n   n  1 1   1 **       n  1!  n    n    n   n   m 1   1 So sánh  *và ** suy ra:     1    m  n n Giải  k  1!i !   k  1! i  1! 1997  k  k      k 1 Ci  k  i  k !  i  k ! i  !  HV  k  1!m !   k  1! m  1! i  k  k      k 1 Ci  k  m  k !  m  k ! m  !  N Ta có: co Ví dụ D 5(TH&TT) Cho n  N * ,3  m  N * Chứng minh rằng: 1 1    n1  Cm Cm1 Cm  n m  m  38  m  1   m  1! k  1!   m  ! k  !    m     m  1  k  !  m  k !   m  1      m    Ckkm1 1 Cmk 2k  m  m  1      m  1  ĐPCM   k 1   m    Cm1 1 Cmk 2k   m   Cm1 1 m  k 0 Cm  k M AT  Ví dụ D 6: Chứng minh rằng: a) lim n n  n  b) Nếu m  lim n m  lim n n ww w n  n 2 Giải n Đặt m  n  0(n  2) n k  n   m  1   Cnk m k  Cn2 m  k 0 n n  n  1 m n  n  1 2 m 0  m  n n   n 1   n n  1 n 1   n Mặt khác: lim   n   ĐPCM  1  xlim x   n    Sử dụng kết câu a) kết hợp với nguyên lí kẹp ta suy câu b) Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 38 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 39 1  x  n n Ví dụ D.7: Cho  Chứng minh rằng: 1  x   1  x   2n * n  N Giải a   x  n Đặt:   2n   a  b    Cnk a n k b k  Cn0 a n  Cnnb n  a n  b n k 0 b   x  n n n  1  x   1  x   co n m n   N a n  bn  a  b  Ví dụ D.8: Cho a, b  Chứng minh rằng:   , 1  b  Z   Giải n i n i i i n n n i Ta có: a  b a  b a  b a  bi  b ni  0  i  n   n n n Mặt khác ta có khai triển:  a  b    Cnk a n k b k  Cnk b n  k a k n  k 0 HV k 0 n n n     a  b    Cnk a n k b k  b n k a k  n  a  b    Cnk a n  b n k 0 n M AT a n  bn  a  b       Ví dụ D.9: Chứng minh 2000 a) Chứng minh rằng: 1001  1001    cho 11 n   b) 3n Cn0  Cn1    1 n Cn1  ,3  n  Z 3   Giải   1001  x  2000  C2000   1001 ww w a) Ta có:    2000  Với x 1  1001   Với x   1001     1001   k 0 2000     2000  C2000 2000 2000 1001     C2000   C2000 1001   2000 1001   1999  1001 2000 1001    C2000 2000   C2000  số tự nhiên chia hết  2000 2000 x  C2000 x 1999 1001   2000   C2000 1999 1001  2000   C2000 1999  1001  C2000  C2000 1001   C2000 10011999   1001 X  X  N   1001 b) Ta có:  1001 1 2000    1001  2000   2002  11.18211 ĐPCM  n    1  1  3n Cn0  Cn1    1 n Cn1   3n Cn01n     Cn11n 1     n  Cnn  3    3     n n  1 2      3n    2n 8,n   n  Z   3 3 Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) n Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 39 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 40 Ví dụ ID 10 a) Cho  p số nguyên tố Chứng minh rằng: C pk  p,k  1, 2, , p  b) ( Định lí Fermat nhỏ) n  N , p  số nguyên tố Ta có n p  n  p co m Giải a) Với k 1, 2, , p  P số nguyên tố Ta có: p  p  1 p    p  k  1 p! C pk    q Vì p số nguyên tố nên không chia k ! p  k  ! 1.2.3 k hết cho k Mặt khác C pk  N  p  p  1 p    p  k  1   1.2 k  N  C pk  p.q  C pk  p b) Đặt an  n p  n Với n 1  an  n p  n  a1  1p   0 P Giả sử an với n  k  an  P Với n k  : Xét HV    p ak 1  ak   k  1  k p   C p0 k p  C 1p k p 1  C 2p k p 2   C pp 1k  k p  C 1p k p1  C p2 k p    C pp 1k  k p  M AT a  a  p Áp dụng kết câu a  C kp  p,k  1, 2, , p    k 1 k  ak 1  p  ak  p p Vậy theo nguyên lí nguyên nạp cho ta n  n  p Bài Tập Ứng Dụng ww w Bài 1: Cho  n  Z Tính an an a) lim ,  a   b) lim , a  R  n  n ! n  n ! Bài 2: Cho a  0,1   m  n m, n  Z  Chứng minh m a) 1  n   1  m  n Bài 3: n  N * Chứng minh rằng: b) 19982001  19992001  20002001 1!2! 2!3!  n ! n  1! n n 1!  n !  22 n n ! S a1  a2   an  Bài 4: Cho a1 , a2 , , an  Chứng minh rằng: 1  n  Z  S S2 Sn 1  a1 1  a2  1  an       1! 2! n! Bài 5: Chứng minh rằng: 1999 2.1C200  3.2C2000   2000.1999C2000  3998000 2  n  Z  Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 40 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Nhị Thức NEWTON Và Ứng Dụng 41 MỤC LỤC co m LỜI MỞ ĐẦU………………………………………………………………………….2 A LÝ THUYẾT……………………………………………………………………… B CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ NHỊ THỨC……………………………………… C ÁP DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH HỆ THứC VÀ TÍNH TỔNG TỔ HỢP……………………………………………………………………….20 D ÁP DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC………………………………………………………36 N TÀI LIỆU THAM KHẢO ww w M AT HV Phương pháp giải toán Đại Số Tổ Hợp – Võ Giang Giai Đại Số Tổ Hợp- Nguyễn Phú Khánh Tạp Chí Toán Học Và Tuổi Trẻ Các đề thi HSG- Olimpic Các Diễn đàn Toán học như: nguyentatthu.violet.vn- k2pi.violet.vn- maths.vnmathscope.org- diendantoanhoc.net……… Thân Tặng Tập Thể Lớp 11B2 – Trường THPT Lê Hồng Phong ( 2008 – 2009) Nguyễn Văn Năm - Lê Hoàng Nam www.DeThiThuDaiHoc.com 41