Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
PHẦN I – ĐỀ BÀI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với n∈N với cặp số a, b ta có: n (a + b) n = ∑ Cnk a n − k b k k =0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n k n−k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) k n− k 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cn = Cn n k −1 k k 5) Cn = Cn = , Cn + Cn = Cn +1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn ⇒Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n n n −1 n n n n (x–1)n = Cn x − Cn x + + (−1) Cn ⇒Cn − Cn + + (−1) Cn = Từ khai triển ta có kết sau n n * Cn + Cn + + Cn = 2 n n * Cn − Cn + Cn − + (−1) Cn = B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: ( ax p n + bx q ) = ∑ Cnk ( ax p ) n k =0 n−k n ( bx ) = ∑ C a q k k =0 k n n−k bk x np − pk + qk Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np − pk + qk = m m − np Từ tìm k = p−q k n−k k Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cn a b với giá trị k tìm m Nếu k không nguyên k > n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển P ( x ) = ( a + bx p + cx q ) viết dạng a0 + a1 x + + a2 n x n n Ta làm sau: n p q k n −k p q * Viết P ( x ) = ( a + bx + cx ) = ∑ Cn a ( bx + cx ) ; n k k =0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng ( bx p + cx q ) thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak −1 ≤ ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển ( 2a − b ) , hệ số số hạng thứ bằng: A −80 B 80 C −10 D 10 n+6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức ( a + ) , ( n ∈ ¥ ) Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 Câu 3: Trong khai triển ( 3x − y ) , hệ số số hạng là: 10 4 B −3 C10 4 A C10 5 C C10 Câu 4: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số số hạng chứa x5 y là: A −22400 B −40000 C −8960 5 D −3 C10 D −4000 Câu 5: Trong khai triển x + ÷ , hệ số x , ( x > ) là: x A 60 B 80 C 160 D 240 1 Câu 6: Trong khai triển a + ÷ , số hạng thứ là: b −4 A 35.a b B −35.a b −4 C 35.a b −5 Câu 7: Trong khai triển ( 2a − 1) , tổng ba số hạng đầu là: A 2a − 6a + 15a C 64a − 192a + 480a ( Câu 8: Trong khai triển x − y A −16 x y15 + y ) D −35.a b B 2a − 15a + 30a D 64a − 192a + 240a 16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15 + y B −16 x y15 + y D 16 xy15 + y Câu 9: Trong khai triển 8a − b ÷ , hệ số số hạng chứa a 9b3 là: A −80a b B −64a b3 C −1280a b3 D 60a b Câu 10: Trong khai triển x + ÷ , số hạng khơng chứa x là: x A 4308 B 86016 C 84 10 Câu 11: Trong khai triển ( x − 1) , hệ số số hạng chứa x8 là: A −11520 B 45 C 256 Câu 12: Trong khai triển ( a − 2b ) , hệ số số hạng chứa a b là: A 1120 B 560 C 140 Câu 13: Trong khai triển ( x − y ) , số hạng chứa x y là: D 43008 D 11520 A −2835 x y B 2835x y C 945x y Câu 14: Trong khai triển ( 0,2 + 0,8 ) , số hạng thứ tư là: A 0, 0064 B 0, 4096 C 0, 0512 D 70 D −945 x y Câu 15: Hệ số x3 y khai triển ( + x ) ( + y ) là: A 20 B 800 C 36 Câu 16: Số hạng khai triển ( x + y ) là: 2 A C4 x y B ( x ) ( 2y) D 0, 2048 2 C 6C4 x y D 400 2 D 36C4 x y Câu 17: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số số hạng chứa x8 y 11 B − C11 A C11 C −C11 D C11 Câu 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x ) = (1 − x )10 A −15360 B 15360 C −15363 D 15363 Câu 19: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x) = x(2 + x) A 489889 B 489887 C −489888 D 489888 Câu 20: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: g ( x) = (1 + x) + (1 − x) + (2 + x)9 A 29 B 30 C 31 D 32 10 Câu 21: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: f ( x ) = (3 + x ) A 103680 B 1301323 C 131393 D 1031831 Câu 22: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau: h( x) = x(1 − x) A −4608 B 4608 C −4618 D 4618 10 Câu 23: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = (3x + 1) A 17010 B 21303 C 20123 D 21313 2 Câu 24: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) = − x ÷ x A 1312317 B 76424 C 427700 D 700000 12 3 x Câu 25: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) = + ÷ x 2 297 29 27 97 A B C D 512 51 52 12 10 Câu 26: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = (1 + x + x ) A 37845 B 14131 C 324234 D 131239 8 Câu 27: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = 8(1 + x ) − 9(1 + x) + 10(1 + 10 x )10 8 8 A 8.C8 − C9 + 10.C10 10 8 8 B C8 − C9 + C10 10 8 8 C C8 − 9.C9 + 10.C10 10 8 8 D 8.C8 − 9.C9 + 10.C10 10 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x) = 8(1 + x )8 + 9(1 + x)9 + 10(1 + x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển ( x + xy ) A 2080 B 3003 15 là: C 2800 D 3200 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x + là: x 10 A C18 B C18 C C18 D C18 Câu 31: Khai triển ( 1− x) , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B – 33 C –72 D –792 12 (x ≠ 0) Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f ( x ) = ( x − ) x A 59136 B 213012 C 12373 D 139412 17 ( x > 0) Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x) = ( + x ) x A 24310 B 213012 C 12373 D 139412 n Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niutơn + x ÷ biết x n +1 n Cn + − Cn +3 = ( n + 3) A 495 B 313 C 1303 D 13129 n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức − ( x + x ) với n số x nguyên dương thoả mãn Cn3 + 2n = An2+1 ( Cnk , Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử) A −98 B 98 C −96 D 96 40 Câu 36: Trong khai triển f ( x ) = x + ÷ , tìm hệ số x 31 x A 9880 B 1313 C 14940 18 1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức x + ÷ số hạng độc lập x x A 9880 B 1313 C 14940 12 x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển − ÷ 3 x 55 13 621 A B C 113 Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển ( x + xy ) D 1147 D 48620 D 1412 3123 15 A 300123 B 121148 C 3003 D 1303 20 Câu 40: Cho đa thức P ( x ) = ( + x ) + ( + x ) + + 20 ( + x ) có dạng khai triển P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 B 130414 Câu 41: Tìm số hạng khai triển ( 3+ A 4536 B 4184 20 Câu 42: Xét khai triển f ( x) = (2 x + ) x Viết số hạng thứ k + khai triển k 20 − k 20 − k A Tk +1 = C20 x k 20 − k 20 − k x C Tk +1 = C20 ) C 511313 D 412674 số nguyên C 414 12 D 1313 k 20 − k 20 − k B Tk +1 = C10 x k 20 − k 20 − k D Tk +1 = C20 x Số hạng khai triển không chứa x 10 10 10 A C20 B A20 10 C C20 10 10 D C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x ) = (3x + x + 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 D 11312 2n Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 − x) , biết n số nguyên dương thỏa n +1 mãn : C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = 1024 A 2099529 B −2099520 C −2099529 D 2099520 10 14 Câu 45: Tìm hệ số x khai triển f ( x) = (1 + x) + (1 + x ) + + (1 + x) A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 10 Câu 46: Tìm hệ số x khai triển đa thức của: x ( − x ) + x ( + 3x ) A 3320 B 2130 C 3210 Câu 47: Tìm hệ số cuả x khai triển đa thức f ( x) = 1 + x ( − x ) A 213 B 230 C 238 D 1313 D 214 Câu 48: Đa thức P ( x ) = ( + 3x + x ) = a0 + a1 x + + a20 x 20 Tìm a15 10 10 5 A a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 10 5 6 7 B a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 10 5 6 7 C a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 10 5 6 7 D a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 3.2 n n −1 n −2 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x − ) , biết Cn + Cn = 78 với x x>0 A −112640 B 112640 C −112643 D 112643 n − Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n −3 hệ số x khai triển thành đa thức ( x + 1) n ( x + 2) n Tìm n để a3n−3 = 26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 n Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x 26 khai triển nhị thức Newton + x ÷ , biết x n 20 C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = − A 210 B 213 C 414 D 213 n n Câu 52: Cho n ∈ ¥ * (1 + x) = a0 + a1 x + + an x Biết tồn số nguyên k ( ≤ k ≤ n − ) a a a cho k −1 = k = k +1 Tính n = ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 10 Câu 53: Trong khai triển ( + x) thành đa thức 3 10 a0 + a1 x + a2 x + + a9 x + a10 x , tìm hệ số ak lớn ( ≤ k ≤ 10 ) 210 210 210 210 B C D a = 3003 a = 3003 a = 3003 315 315 315 315 n n Câu 54: Giả sử (1 + x) = a0 + a1 x + a2 x + + an x , biết a0 + a1 + + an = 729 Tìm n số lớn số a0 , a1 , , an A a10 = 3003 A n=6, max { ak } = a4 = 240 C n=4, max { ak } = a4 = 240 B n=6, max { ak } = a6 = 240 D n=4, max { ak } = a6 = 240 n n Câu 55: Cho khai triển (1 + x) = a0 + a1 x + + an x , n ∈ ¥ * Tìm số lớn số a a a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 + + + nn = 4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 n DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG ∑a C b k =0 k k n k Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a + b) n = Cn0 a n + a n −1bCn1 + a n − 2b 2Cn2 + + b nCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: k n− k * Cn = C n n n * Cn + Cn + + Cn = n * ∑ (−1) C k k =0 * =0 n n k =0 k =0 ∑ C22nk = ∑ C22nk −1 = n * k n ∑C a k =0 k n k 2n k ∑ C2 n k =0 = (1 + a ) n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số khơng chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn n Câu 1: Tổng T = Cn + Cn + Cn + Cn + + Cn bằng: A T = n B T = 2n – C T = 2n + D T = 4n Câu 2: Tính giá trị tổng S = C6 + C6 + + C6 bằng: A 64 B 48 C 72 D 100 5 Câu 3: Khai triển ( x + y ) thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S = C5 + C5 + + C5 A 32 B 64 C D 12 n n Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn + 2Cn + 4Cn + + Cn = 243 A B 11 C 12 D 5 x , y Câu 5: Khai triển ( x + y ) thay giá trị thích hợp Tính tổng S = C5 + C5 + + C5 A 32 B 64 C D 12 Câu 6: Khai triển ( + x + x + x3 ) = a0 + a1 x + a2 x + + a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 4 A a10 = C5 + C5 + C5 C5 4 B a10 = C5 C5 + C5 C5 + C5 C5 4 C a10 = C5 C5 + C5 C5 − C5 C5 4 D a10 = C5 C5 − C5 C5 + C5 C5 b) Tính tổng T = a0 + a1 + + a15 S = a0 − a1 + a2 − − a15 A 131 B 147614 C Câu 7: Khai triển ( + x + x a) Hãy tính hệ số a4 A a4 = C10 ) 10 = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 4 B a4 = C10 20 b) Tính tổng S = a1 + 2a2 + 4a3 + + a20 A S = 1710 B S = 1510 D 20 C a4 = C10C10 4 D a4 = C10 C10 C S = 17 20 D S = 710 1 1 ( −1) n n S = C − C + C − C + + Cn Câu 8: Tính tổng sau: n n n n 2( n + 1) A B C 2(n + 1) n −1 n−2 n −3 n Câu 9: Tính tổng sau: S = Cn + 2Cn + 3Cn + + nCn A n.4n −1 B C 1 1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1 = Cn + Cn + Cn + + n +1 2n +1 + 2n +1 − 2n +1 − A B C +1 n +1 n +1 n +1 n Câu 11: Tính tổng sau: S = Cn + 2Cn + + nCn A 2n.2n −1 B n.2n +1 C 2n.2n +1 D (n + 1) D 4n −1 D 2n +1 − −1 n +1 D n.2n −1 n Câu 12: Tính tổng sau: S3 = 2.1.Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + + n(n − 1)Cn A n(n − 1)2n − B n(n + 2)2n− Câu 13: Tính tổng S = Cn0 + C n(n − 1)2 n −3 D n(n − 1)2n + 32 − 1 3n +1 − n Cn + + Cn n +1 4n +1 − 2n +1 n +1 n +1 − 2n +1 C S = +1 n +1 4n +1 + 2n +1 −1 n +1 4n +1 − 2n +1 D S = −1 n +1 A S = B S = 22 − 1 n +1 − n Cn + + Cn n +1 3n +1 − 2n +1 3n − 2n +1 3n +1 − 2n 3n +1 + 2n +1 A S = B S = C S = D S = n +1 n +1 n +1 n +1 2 n n +1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C2 n +1 − 2.2C2 n +1 + 3.2 C2 n +1 − + (2n + 1)2 C2 n +1 = 2005 A n = 1001 B n = 1002 C n = 1114 D n = 102 n −1 n −1 n−2 n−2 n −1 0 Câu 16: Tính tổng 1.3 Cn + 2.3 Cn + + n.3 Cn Câu 14: Tính tổng S = Cn0 + A n.8n −1 B ( n + 1).8n −1 C (n − 1).8n n Câu 17: Tính tổng S = 2.1Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + + n (n − 1)Cn A n(n + 1)2n − B n(n − 1)2n − Câu 18: Tính tổng ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn ) n A C2 n 2 n −1 B C2 n C n(n − 1)2n D (n − 1)2n − n C 2C2 n n −1 D C2 n −1 n n −1 n −1 n −2 n−2 n Câu 19: Tính tổng sau: S1 = Cn + 3.Cn + Cn + + Cn A 28n B + 8n C 8n −1 2 2010 2010 Câu 20: S = C2011 + C2011 + + C2011 32011 + 3211 − B 2 Câu 21: Tính tổng S3 = Cn + 2Cn + + nCnn A A 4n.2n −1 B n.2n −1 D n.8n C 32011 + 12 C 3n.2n −1 D 8n D 32011 − D 2n.2n −1 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với n∈N với cặp số a, b ta có: n (a + b) n = ∑ Cnk a n −k b k k =0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n k n−k k 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cn a b ( k =0, 1, 2, …, n) k n−k 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cn = Cn n k −1 k k 5) Cn = Cn = , Cn + Cn = Cn +1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn ⇒Cn0 + Cn1 + + Cnn = 2n n n −1 n n n n (x–1)n = Cn x − Cn x + + (−1) Cn ⇒Cn − Cn + + (−1) Cn = Từ khai triển ta có kết sau n n * Cn + Cn + + Cn = 2 n n * Cn − Cn + Cn − + (−1) Cn = B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: ( ax p + bx n n ) = ∑ C ( ax ) ( bx ) = ∑ C a q n k =0 k n p n−k q k k =0 k n n −k bk x np − pk +qk Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa: np − pk + qk = m m − np Từ tìm k = p−q k n −k k Vậy hệ số số hạng chứa x m là: Cn a b với giá trị k tìm m Nếu k khơng ngun k > n khai triển khơng chứa x m , hệ số phải tìm Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x m khai triển P ( x ) = ( a + bx p + cx q ) viết dạng a0 + a1 x + + a2 n x n n Ta làm sau: n p q k n −k p q * Viết P ( x ) = ( a + bx + cx ) = ∑ Cn a ( bx + cx ) ; n k k =0 * Viết số hạng tổng quát khai triển số hạng dạng ( bx p + cx q ) thành đa thức theo luỹ thừa k x * Từ số hạng tổng quát hai khai triển ta tính hệ số x m Chú ý: Để xác định hệ số lớn khai triển nhị thức Niutơn Ta làm sau: * Tính hệ số ak theo k n ; * Giải bất phương trình ak −1 ≤ ak với ẩn số k ; * Hệ số lớn phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn thoả mãn bất phương trình Câu 1: Trong khai triển ( 2a − b ) , hệ số số hạng thứ bằng: A −80 B 80 C −10 Hướng dẫn giải: Chọn B 5 Ta có: ( 2a − b ) = C50 ( 2a ) − C51 ( 2a ) b + C52 ( 2a ) b + D 10 Do hệ số số hạng thứ C5 = 80 n+6 Câu 2: Trong khai triển nhị thức ( a + ) , ( n ∈ ¥ ) Có tất 17 số hạng Vậy n bằng: A 17 B 11 C 10 D 12 Hướng dẫn giải: Chọn C n+6 Trong khai triển ( a + ) , ( n ∈ ¥ ) có tất n + số hạng Do n + = 17 ⇔ n = 10 Câu 3: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số số hạng là: 10 4 B −3 C10 A C10 Hướng dẫn giải: Chọn D 5 C C10 5 D −3 C10 Trong khai triển ( 3x − y ) có tất 11 số hạng nên số hạng số hạng thứ 10 Vậy hệ số số hạng −3 C10 5 Câu 4: Trong khai triển ( x − y ) , hệ số số hạng chứa x5 y là: A −22400 B −40000 C −8960 D −4000 Hướng dẫn giải: Chọn A k k 8− k k k k − k k 8− k k Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = (−1) C8 (2 x) (5 y ) = ( −1) C8 x y Yêu cầu toán xảy k = Khi hệ số số hạng chứa x5 y là: −22400 Câu 5: Trong khai triển x + ÷ , hệ số x , ( x > ) là: x A 60 B 80 C 160 Hướng dẫn giải: Chọn C D 240 Số hạng tổng quát khai triển T = C k x 6− k 2k.x − k k +1 Yêu cầu toán xảy − k − k = ⇔ k = 3 Khi hệ số x là: C6 = 160 1 Câu 6: Trong khai triển a + ÷ , số hạng thứ là: b −4 A 35.a b B −35.a b −4 C 35.a b −5 Hướng dẫn giải: Chọn A k 14 − k − k b Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C7 a D −35.a b −4 −4 Vậy số hạng thứ T5 = C7 a b = 35.a b Câu 7: Trong khai triển ( 2a − 1) , tổng ba số hạng đầu là: A 2a − 6a + 15a C 64a − 192a + 480a Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: ( 2a − 1) = C60 26 a − C61 25 a + C62 24 a − B 2a − 15a + 30a D 64a − 192a + 240a Vậy tổng số hạng đầu 64a − 192a5 + 240a ( Câu 8: Trong khai triển x − y A −16 x y15 + y Hướng dẫn giải: Chọn A ( Ta có: x − y ) 16 ) 16 , tổng hai số hạng cuối là: C 16 xy15 + y B −16 x y15 + y 15 = C160 x16 − C161 x15 y + − C16 x ( y) 15 + C1616 ( y) D 16 xy15 + y 16 Câu 9: Trong khai triển 8a − b ÷ , hệ số số hạng chứa a 9b3 là: A −80a b B −64a b3 C −1280a b3 Hướng dẫn giải: Chọn C k Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = ( −1) C6k 86−k a12−2 k 2− k b k D 60a b Yêu cầu toán xảy k = Khi hệ số số hạng chứa a 9b3 là: −1280a b3 Câu 10: Trong khai triển x + ÷ , số hạng khơng chứa x là: x A 4308 B 86016 C 84 Hướng dẫn giải: Chọn D k − k k −2 k Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C9 x x Yêu cầu toán xảy − k − 2k = ⇔ k = 3 Khi số hạng khơng chứa x là: C9 = 43008 Câu 11: Trong khai triển ( x − 1) , hệ số số hạng chứa x8 là: A −11520 B 45 C 256 Hướng dẫn giải: Chọn D k Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C10k 210− k x10− k ( −1) Yêu cầu toán xảy 10 − k = ⇔ k = Khi hệ số số hạng chứa x8 là: C10 = 11520 D 43008 10 Câu 12: Trong khai triển ( a − 2b ) , hệ số số hạng chứa a b là: A 1120 B 560 C 140 Hướng dẫn giải: Chọn A k Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C8k a8−k ( −2 ) b k D 11520 Yêu cầu toán xảy k = 4 Khi hệ số số hạng chứa a b là: C8 = 1120 D 70 2 Câu 24: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = − x ÷ x A 1312317 B 76424 C 427700 Hướng dẫn giải: Chọn D D 700000 k 8− k k k −8 Ta có: f ( x ) = ∑ C8 (−5) x , số hạng chứa x8 ứng với k = nên hệ số x8 là: k =0 C84 4.(−5) = 700000 12 3 x Câu 25: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = + ÷ x 2 297 29 27 A B C 512 51 52 Hướng dẫn giải: Chọn A D 97 12 12 k 12 − k − k k −12 Ta có: f ( x) = ∑ C12 x , số hạng chứa x8 ứng với k = 10 nên hệ số x8 là: k =0 297 C1210 32.2−10 = 512 Câu 26: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) = (1 + x + x )10 A 37845 B 14131 C 324234 Hướng dẫn giải: Chọn A 10 10 k =0 k =0 j =0 D 131239 k k 10 − k k k j 10 − k 20 − k + j Ta có: f ( x ) = ∑ C10 (2 x ) (1 + x ) = ∑∑ C10Ck x 0 ≤ j ≤ k ≤ 10 Số hạng chứa x8 ứng với cặp ( k , j ) thỏa: j = 2k − 12 Nên hệ số x8 là: C106 C60 24 + C107 C72 23 + C108 C84 22 + C109 C96 + C1010C108 = 37845 Câu 27: Xác định hệ số x8 khai triển sau: f ( x) = 8(1 + x )8 − 9(1 + x) + 10(1 + 10 x )10 8 8 8 8 A 8.C8 − C9 + 10.C10 10 B C8 − C9 + C10 10 8 8 C C8 − 9.C9 + 10.C10 10 Hướng dẫn giải: Chọn D 8 8 D 8.C8 − 9.C9 + 10.C10 10 8 k 8− k 8− k Ta có: (1 + x) = ∑ C8 x k =0 (1 + x)9 = ∑ C9k 99 −k x9− k k =0 10 (1 + 10 x)10 = ∑ C10k 1010 − k x10 − k k =0 8 8 Nên hệ số chứa x8 là: 8.C8 − 9.C9 + 10.C10 10 Câu 28: Tìm hệ số x8 khai triển biểu thức sau: g ( x) = 8(1 + x )8 + 9(1 + x)9 + 10(1 + x)10 A 22094 B 139131 C 130282 D 21031 Hướng dẫn giải: Chọn A n k k k k k Ta có: ( + ax ) = ∑ Cn a x nên ta suy hệ số x k khai triển (1 + ax) n Cn a Do đó: n i =0 Hệ số x8 khai triển (1 + x)8 : C8 8 Hệ số x8 khai triển (1 + x)9 : C9 8 Hệ số x8 khai triển (1 + 3x)10 : C10 8 8 Vậy hệ số chứa x8 khai triển g ( x) thành đa thức là: 8C8 + 9.2 C9 + 10.3 C10 = 22094 Câu 29: Hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển ( x + xy ) 15 là: D 3200 A 2080 B 3003 C 2800 Hướng dẫn giải: Chọn B k 45 − 3k x k y k Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C15 x Yêu cầu toán xảy k = 10 ( ) Vậy hệ số đứng trước x 25 y10 khai triển x3 + xy 15 10 là: C15 = 3003 18 Câu 30: Số hạng không chứa x khai triển x + là: x 10 A C18 B C18 C C18 Hướng dẫn giải: Chọn A k 54 − 3k x −3 k Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C18 x Yêu cầu toán xảy 54 − 3k − 3k = ⇔ k = Khi số hạng không chứa là: C18 D C18 Câu 31: Khai triển ( 1− x) , hệ số đứng trước x là: 12 A 330 B – 33 C –72 Hướng dẫn giải: Chọn D k Số hạng tổng quát khai triển Tk +1 = C12k ( −1) x k Yêu cầu toán xảy k = Khi hệ số số hạng chứa x là: −C12 = −792 D –792 12 Câu 32: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: f ( x ) = ( x − ) x A 59136 B 213012 C 12373 Hướng dẫn giải: Chọn A (x ≠ 0) D 139412 12 −1 12 k 12 − k −1 k Ta có: f ( x) = ( x − 2.x ) = ∑ C12 x (−2 x ) k =0 12 ∑C k =0 k 12 ( −2) k x12− k Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 − 2k = ⇔ k = ⇒ số hạng không chứa x là: C126 26 = 59136 Câu 33: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển sau: g ( x) = ( A 24310 B 213012 Hướng dẫn giải: Chọn A − Vì = x ; x = x nên ta có x C 12373 x + x3 )17 ( x > 0) D 139412 17 − k k 17 k −136 17 −2 3 f ( x ) = ∑ C x ÷ x ÷ = ∑ C17k x 12 k =0 k =0 Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17 k − 136 = ⇔ k = 8 Vậy hệ số không chứa x là: C17 = 24310 17 k 17 n Câu 34: Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn + x ÷ biết x n +1 n Cn + − Cn +3 = ( n + 3) A 495 B 313 C 1303 D 13129 Hướng dẫn giải: Chọn A n +1 n n n +1 n Ta có: Cn + − Cn +3 = ( n + 3) ⇔ ( Cn +3 + C n+3 ) − Cn +3 = ( n + ) ⇔ Cnn++31 = ( n + 3) ⇔ ( n + ) ( n + 3) 2! ⇔ n + = 7.2! = 14 ⇔ n = 12 = ( n + 3) 12 − k n 60 −11k 12 12 k −3 k k + x = C x x = C x Khi đó: ) ÷ ∑ 12 ÷ ∑ 12 ( x k =0 k =0 60 − 11k =8⇔ k = Số hạng chứa x8 ứng với k thỏa: 12! = 495 Do hệ số số hạng chứa x8 là: C12 = 4!( 12 − ) ! n 1 Câu 35: Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khai triển biểu thức − ( x + x ) với n số x nguyên dương thoả mãn Cn3 + 2n = An2+1 ( Cnk , Ank tương ứng số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k n phần tử) A −98 B 98 C −96 D 96 Hướng dẫn giải: Chọn A n ≥ Ta có: Cn + 2n = An +1 ⇔ n ( n − 1) ( n − ) + 2n = ( n + 1) n n ≥ ⇔ ⇔ n=8 n − 9n + = Theo nhị thức Newton ta có: 8 1 1 1 x − ( x + x ) = x − x ( + x ) = C8 x8 − C8 x ( + x ) + 1 +C82 ( + x ) − C83 ( + x ) + C84 ( + x ) − + C88 x8 ( + x ) x x Số hạng khơng phụ thuộc vào x chỉ có hai biểu thức −C83 ( + x ) C84 ( 1+ x ) x Trong có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: −C8 C3 C8 C4 Do số hạng khơng phụ thuộc vào x là: −C8 C3 + C8 C4 = −98 40 Câu 36: Trong khai triển f ( x ) = x + ÷ , tìm hệ số x 31 x A 9880 B 1313 C 14940 Hướng dẫn giải: Chọn A D 1147 18 1 Câu 37: Hãy tìm khai triển nhị thức x + ÷ số hạng độc lập x x A 9880 B 1313 C 14940 Hướng dẫn giải: Chọn D C189 = 48620 D 48620 12 x 3 Câu 38: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển − ÷ 3 x 55 13 621 A B C 113 Hướng dẫn giải: Chọn A 55 (−3) C124 = Câu 39: Tính hệ số x 25 y10 khai triển ( x + xy ) A 300123 Hướng dẫn giải: Chọn C C1510 = 3003 B 121148 D 1412 3123 15 C 3003 Câu 40: Cho đa thức P ( x ) = ( + x ) + ( + x ) + + 20 ( + x ) 20 D 1303 có dạng khai triển P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 20 Hãy tính hệ số a15 A 400995 Hướng dẫn giải: Chọn A a15 = 20 ∑ kC k =15 15 k B 130414 A 4536 Hướng dẫn giải: Chọn A ( D 412674 = 400995 Câu 41: Tìm số hạng khai triển Ta có C 511313 3+3 ( ) số nguyên B 4184 ) = ∑C ( 3) ( ) 3+ k =0 k k C 414 12 9− k Số hạng số nguyên ứng với giá trị k thỏa: k = 2m 9 − k = 3n ⇔ k = 0, k = k = 0, ,9 Các số hạng số nguyên: C90 ( 2) = C96 20 Câu 42: Xét khai triển f ( x) = (2 x + ) x ( 3) ( 2) 3 D 1313 Viết số hạng thứ k + khai triển k 20 − k 20 − k A Tk +1 = C20 x k 20 − k 20 − k B Tk +1 = C10 x k 20 − k 20 − k x C Tk +1 = C20 k 20 − k 20 − k D Tk +1 = C20 x Số hạng khai triển không chứa x 10 10 10 10 A C20 B A20 C C20 Hướng dẫn giải: k 20 − k = C20k 220− k.x 20− k Ta có: Tk +1 = C20 (2 x) k x Số hạng không chứa x ứng với k: 20 − 2k = ⇔ k = 10 10 10 Số hạng không chứa x: C20 10 10 D C20 Câu 43: Xác định hệ số x khai triển sau: f ( x) = (3x + x + 1)10 A 8089 B 8085 C 1303 Hướng dẫn giải: Chọn B 10 f ( x ) = ( + x + x ) = ∑ C10k ( x + x ) 10 D 11312 k k =0 10 k 10 k k =0 i =0 k =0 i =0 = ∑ C10k ∑ Cki (2 x) k −i (3x )i = ∑ C10k ∑ Cki k −i.3i x k +i với ≤ i ≤ k ≤ 10 Do k + i = với trường hợp i = 0, k = i = 1, k = i = k = 4 2 Vậy hệ số chứa x : C10 C4 + C10 C3 + C10 C2 = 8085 Câu 44: Tìm hệ số x khai triển thành đa thức (2 − x) n , biết n số nguyên dương thỏa n +1 mãn : C2 n +1 + C2 n+1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = 1024 A 2099529 B −2099520 C −2099529 D 2099520 Hướng dẫn giải: Chọn B n +1 k n +1 ∑ C2 n +1 = n k =0 ⇒ C22ni ++11 = 22 n = 1024 ⇒ n = Ta có: n ∑ n i=0 C 2i +1 = C 2i ∑ ∑ n +1 n +1 i =0 i =0 10 2n k 10− k k k Suy (2 − x) = ∑ C10 ( −3) x k =0 10 Hệ số x C (−3) = −2099520 Câu 45: Tìm hệ số x9 khai triển f ( x) = (1 + x )9 + (1 + x )10 + + (1 + x )14 A 8089 B 8085 C 3003 D 11312 Hướng dẫn giải: Chọn C 9 9 9 Hệ số x9 : C9 + C10 + C11 + C12 + C13 + C14 = 3003 Câu 46: Tìm hệ số x5 khai triển đa thức của: x ( − x ) + x ( + 3x ) A 3320 B 2130 C 3210 Hướng dẫn giải: Chọn A 10 Đặt f ( x) = x ( − x ) + x ( + x ) 10 D 1313 10 k k i Ta có : f ( x) = x ∑ C5 ( −2 ) x + x ∑ C10 ( 3x ) k k =0 i i =0 10 = ∑ C5k ( −2 ) x k +1 + ∑ C10i 3i.xi + k k =0 i =0 Vậy hệ số x khai triển đa thức f ( x) ứng với k = i = là: C54 ( −2 ) + C103 33 = 3320 Câu 47: Tìm hệ số cuả x8 khai triển đa thức f ( x) = 1 + x ( − x ) A 213 B 230 C 238 Hướng dẫn giải: Chọn C Cách 1 + x ( − x ) = C80 + C81 x ( − x ) + C82 x ( − x ) + C83 x ( − x ) D 214 +C84 x8 ( − x ) + C85 x10 ( − x ) + C88 x16 ( − x ) Trong khai triển ta thấy bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Do x8 chỉ có số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: C8 C3 , C8 C4 Vậy hệ số cuả x8 khai triển đa thức 1 + x ( − x ) là: a8 = C83 C32 + C84 C40 = 238 Cách 2: Ta có: 8 n n =0 k =0 1 + x ( − x ) = ∑ C8n x n ( − x ) = ∑ C8n ∑ Cnk ( −1) x n + k n n =0 k với ≤ k ≤ n ≤ Số hạng chứa x8 ứng với 2n + k = ⇒ k = − 2n số chẵn Thử trực tiếp ta k = 0; n = k = 2, n = Vậy hệ số x8 C8 C3 + C8 C4 = 238 Câu 48: Đa thức P ( x ) = ( + x + x ) = a0 + a1 x + + a20 x 20 Tìm a15 10 10 5 A a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 10 5 6 7 B a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 10 5 6 7 C a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 10 5 6 7 D a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 3.2 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: P ( x ) = ( + x + x ) 10 10 = ∑ C10k ( 3x + x ) k k =0 10 k 10 k k =0 i =0 k =0 i=0 = ∑ C10k ∑ Cki (3x) k −i (2 x )i = ∑ C10k ∑ Cki 3k −i.2i x k +i với ≤ i ≤ k ≤ 10 Do k + i = 15 với trường hợp k = 10, i = k = 9, i = k = 8, i = 10 5 6 7 Vậy a15 = C10 C10 + C10 C9 + C10 C8 3.2 n n −1 n −2 Câu 49: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau ( x − ) , biết Cn + Cn = 78 với x x>0 A −112640 B 112640 C −112643 D 112643 Hướng dẫn giải: Chọn A n −1 n−2 Ta có: Cn + Cn = 78 ⇔ n! n! + = 78 (n − 1)!1! ( n − 2)!2! n(n − 1) = 78 ⇔ n + n − 156 = ⇔ n = 12 12 12 2 Khi đó: f ( x ) = x − ÷ = ∑ C12k (−2) k x 36− k x k =0 Số hạng không chứa x ứng với k : 36 − 4k = ⇒ k = 9 Số hạng không chứa x là: (−2) C12 = −112640 ⇔ n+ Câu 50: Với n số nguyên dương, gọi a3n −3 hệ số x3n −3 khai triển thành đa thức ( x + 1) n ( x + 2) n Tìm n để a3n−3 = 26n A n=5 B n=4 C n=3 D n=2 Hướng dẫn giải: Chọn A Cách 1:Ta có : (x + 1) = Cn0 x n + Cn1 x n − + Cn2 x n − + + Cnn n ( x + 2) n = Cn0 x n + 2Cn1 x n −1 + 22 Cn2 x n − + + n Cnn Dễ dàng kiểm tra n = , n = không thoả mãn điều kiện toán Với n ≥ dựa vào khai triển ta chỉ phân tích x 3n −3 = x n x n −3 = x n − x n −1 Do hệ số x3n −3 khai triển thành đa thức (x + 1) n ( x + 2) n 3 1 : a3n −3 = Cn Cn + 2.Cn Cn 2n ( 2n2 − 3n + ) Suy a3n −3 = 26n ⇔ Vậy n = giá trị cần tìm Cách 2: Ta có: ( x + 1) n ( x + 2) n = 26n ⇔ n = − n n = n 2 = x 1 + ÷ 1 + ÷ x x 3n i k n n n 2 = x ∑ C ÷ ∑ Cnk ÷ =x3n ∑ Cni x −2i ∑ Cnk 2k x − k x k =0 x i=0 k =0 i =0 x n − Trong khai triển trên, luỹ thừa −2i − k = −3 ⇔ 2i + k = Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện i = 0, k = i = 1, k = (vì i, k nguyên) 3n n i n Hệ số x3n −3 khai triển thành đa thức ( x + 1) n ( x + 2) n 3 1 Là : a3n −3 = Cn Cn + Cn Cn Do a3n −3 = 26n ⇔ 2n ( 2n − 3n + ) Vậy n = giá trị cần tìm = 26n ⇔ n = − n = n Câu 51: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton + x ÷ , biết x n 20 C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = − A 210 B 213 C 414 D 213 Hướng dẫn giải: Chọn A 26 k n +1− k Do C2 n +1 = C2 n +1 ∀k = 0,1, 2, , 2n + ⇒ C20n +1 + C21n+1 + + C2nn+1 = C2nn++11 + C2nn++21 + + C22nn++11 2 n +1 n +1 Mặt khác: C2 n +1 + C2 n +1 + + C2 n +1 = ⇒ 2(C20n +1 + C21n +1 + C22n +1 + + C2nn +1 ) = 2 n +1 ⇒ C21n +1 + C22n+1 + + C2nn +1 = 22 n − C20n +1 = 22 n − ⇒ 22 n − = 220 − ⇒ n = 10 10 10 10 10 k 11k − 40 Khi đó: + x ÷ = ( x −4 + x ) = ∑ C10k ( x −4 )10 −k x k = ∑ C10 x k =0 x k =0 26 Hệ số chứa x ứng với giá trị k : 11k − 40 = 26 ⇒ k = Vậy hệ số chứa x 26 là: C10 = 210 n n Câu 52: Cho n ∈ ¥ * (1 + x) = a0 + a1 x + + an x Biết tồn số nguyên k ( ≤ k ≤ n − ) a a a cho k −1 = k = k +1 Tính n = ? 24 A 10 B 11 C 20 D 22 Hướng dẫn giải: Chọn A n! n! 1 (k − 1)!( n − k + 1)! = ( n − k )!k ! k Ta có: ak = Cn , suy hệ n! n! 1 = (n − k )!k ! 24 (n − k − 1)!(k + 1)! 9k = 2( n − k + 1) 2n − 11k = −2 ⇔ ⇔ ⇔ n = 10, k = 24(k + 1) = 9(n − k ) 9n − 33k = 24 10 Câu 53: Trong khai triển ( + x) thành đa thức 3 a0 + a1 x + a2 x + + a9 x + a10 x10 , tìm hệ số ak lớn ( ≤ k ≤ 10 ) 210 210 210 210 B C D a = 3003 a = 3003 a = 3003 315 315 315 315 Hướng dẫn giải: Chọn A 15 15 − k k 15 15 2k 1 2 k 1 Ta có: + x ÷ = ∑ C15 ÷ x ÷ = ∑ C15k 15 x k 3 3 k =0 k =0 k k Hệ số x k khai triển ak = 15 C15 k −1 k −1 k k k −1 k Ta có: ak −1 < ak ⇔ C15 < C15 ⇔ C15 < 2C15 32 ⇔k< ⇒ k ≤ 10 Từ đó: a0 < a1 < < a10 Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được: 32 ak −1 < ak ⇔ k > ⇒ a10 > a11 > > a15 210 210 Vậy hệ số lớn phải tìm là: a10 = 15 C1510 = 3003 15 3 n n Câu 54: Giả sử (1 + x) = a0 + a1 x + a2 x + + an x , biết a0 + a1 + + an = 729 Tìm n số lớn số a0 , a1 , , an A a10 = 3003 A n=6, max { ak } = a4 = 240 B n=6, max { ak } = a6 = 240 C n=4, max { ak } = a4 = 240 Hướng dẫn giải: Chọn A n n Ta có: a0 + a1 + + an = (1 + 2.1) = = 729 ⇒ n = D n=4, max { ak } = a6 = 240 ak = C6k 2k suy max { ak } = a4 = 240 n n Câu 55: Cho khai triển (1 + x) = a0 + a1 x + + an x , n ∈ ¥ * Tìm số lớn số a a a0 , a1 , , an , biết hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức: a0 + + + nn = 4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 Hướng dẫn giải: Chọn A n n Đặt f ( x) = (1 + x) = a0 + a1 x + + an x a a1 1 + + nn = f ÷ = n ⇒ 2n = 4096 ⇔ n = 12 2 2 k k k +1 k +1 Với k ∈ { 0,1, 2, ,11} ta có: ak = C12 , ak +1 = C12 ⇒ a0 + ak 2k C k k +1 23 < ⇔ k +1 12k +1 < ⇔ ⇔ k > ⇒ a8 > a9 > > a12 Tương tự: ak +1 ⇔ 8 Số lớn số a0 , a1 , , a12 a8 = C12 = 126720 n DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG ∑a C b k =0 k k n k Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a + b) n = Cn0 a n + a n −1bCn1 + a n − 2b 2Cn2 + + b nCnn Ta chọn giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức Một số kết ta thường hay sử dụng: k n− k * Cn = C n n n * Cn + Cn + + Cn = n * ∑ (−1) C k k =0 * =0 n n k =0 k =0 ∑ C22nk = ∑ C22nk −1 = n * k n ∑C a k =0 k n k 2n k ∑ C2 n k =0 = (1 + a ) n Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng Mẫu chốt cách giải ta tìm đẳng thức (*) ta thường gọi (*) đẳng thức đặc trưng Cách giải trình bày theo cách xét số hạng tổng quát vế trái (thường có hệ số chứa k ) biến đổi số hạng có hệ số không chứa k chứa k tổng dễ tính có sẵn n Câu 1: Tổng T = Cn + Cn + Cn + Cn + + Cn bằng: A T = n B T = 2n – C T = 2n + Hướng dẫn giải: Chọn A Tính chất khai triển nhị thức Niu – Tơn Câu 2: Tính giá trị tổng S = C6 + C6 + + C6 bằng: A 64 B 48 C 72 Hướng dẫn giải: Chọn A S = C06 +C16 + +C66 = 26 = 64 D T = 4n D 100 5 Câu 3: Khai triển ( x + y ) thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S = C5 + C5 + + C5 A 32 B 64 C D 12 Hướng dẫn giải: Chọn A 5 Với x = 1, y = ta có S= C5 +C5 + +C5 = (1 + 1) = 32 n n Câu 4: Tìm số nguyên dương n cho: Cn + 2Cn + 4Cn + + Cn = 243 A B 11 C 12 Hướng dẫn giải: Chọn D n 2 n n Xét khai triển: (1 + x ) = Cn + xCn + x Cn + + x Cn D n n n Cho x = ta có: Cn + 2Cn + 4Cn + + Cn = Do ta suy 3n = 243 = 35 ⇒ n = 5 Câu 5: Khai triển ( x + y ) thay x, y giá trị thích hợp Tính tổng S = C5 + C5 + + C5 A 32 Hướng dẫn giải: Chọn A B 64 C D 12 5 Với x = 1, y = ta có S= C5 +C5 + +C5 = (1 + 1) = 32 Câu 6: Khai triển ( + x + x + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a15 x15 a) Hãy tính hệ số a10 4 A a10 = C5 + C5 + C5 C5 4 B a10 = C5 C5 + C5 C5 + C5 C5 4 C a10 = C5 C5 + C5 C5 − C5 C5 4 D a10 = C5 C5 − C5 C5 + C5 C5 b) Tính tổng T = a0 + a1 + + a15 S = a0 − a1 + a2 − − a15 A 131 B 147614 C Hướng dẫn giải: Đặt f ( x) = (1 + x + x + x )5 = (1 + x)5 (1 + x )5 D 4 a) Do hệ số x10 bằng: a10 = C5 C5 + C5 C5 + C5 C5 b) T = f (1) = 45 ; S = f (−1) = Câu 7: Khai triển ( + x + x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 20 10 a) Hãy tính hệ số a4 A a4 = C10 4 B a4 = C10 20 b) Tính tổng S = a1 + 2a2 + 4a3 + + a20 A S = 1710 B S = 1510 Hướng dẫn giải: C a4 = C10C10 4 D a4 = C10 C10 C S = 17 20 D S = 710 10 10 k k 2k 10− k Đặt f ( x ) = (1 + x + 3x ) = ∑ C10 x (1 + x) k =0 10 10 − k k =0 i=0 = ∑ C10k 3k x k ∑ C10i − k 210−k −i x10−k −i 10 10 − k = ∑ ∑ C10k C10i − k 3k 210− k −i x10+ k −i k =0 i =0 4 a) Ta có: a4 = C10 C10 + b) Ta có S = f (2) = 1710 1 1 ( −1) n n Cn Câu 8: Tính tổng sau: S = Cn − Cn + Cn − Cn + + 2( n + 1) A B C 2(n + 1) Hướng dẫn giải: Chọn A 1 1 (−1) n n Cn ÷ Ta có: S = Cn − Cn + Cn − + 2 n +1 D (n + 1) n (−1)k k (−1) k k +1 (−1) k Cnk++11 Cn = Cn +1 nên: S = ∑ 2( n + 1) k +1 n +1 k =0 n +1 −1 = (−1) k Cnk+1 − Cn0+1 ÷ = ∑ 2(n + 1) k =0 2(n + 1) Vì n −1 n−2 n −3 n Câu 9: Tính tổng sau: S = Cn + 2Cn + 3Cn + + nCn A n.4n −1 B C Hướng dẫn giải: Chọn A D 4n −1 k 1 Ta có: S = ∑ kC ÷ 3 k =1 n n k n k k 1 1 Vì kC ÷ = n ÷ Cnk−−11 ∀k ≥ nên 3 3 k n k k n n −1 n −1 1 1 n −1 n −1 S = 3n.n∑ ÷ Cnk−−11 = 3n −1.n∑ ÷ Cnk−1 = n(1 + ) = n.4 k =1 k =0 1 Cnn Câu 10: Tính tổng sau: S1 = Cn + Cn + Cn + + n +1 n +1 n +1 +1 −1 2n +1 − A B C +1 n +1 n +1 n +1 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: 1 n! (n + 1)! Cnk = = k +1 k + k !( n − k )! n + (k + 1)![(n + 1) − (k + 1))! = Cnk++11 (*) n +1 n k +1 n +1 k 2n +1 − ⇒ S1 = C = C − C = ∑ n+1 n + ∑ n +1 n +1 ÷ n + k =0 n +1 k =0 n Câu 11: Tính tổng sau: S = Cn + 2Cn + + nCn A 2n.2n −1 B n.2n +1 C 2n.2n +1 D 2n +1 − −1 n +1 D n.2n −1 Hướng dẫn giải: Chọn D n! n! = k !( n − k )! ( k − 1)![( n − 1) − ( k − 1)]! (n − 1)! =n = nCnk−−11 , ∀k ≥ (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! k Ta có: kCn = k n n −1 k =1 k =0 ⇒ S = ∑ nCnk−−11 = n ∑ Cnk−1 = n.2n −1 n Câu 12: Tính tổng sau: S3 = 2.1.Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + + n( n − 1)Cn A n(n − 1)2n − Hướng dẫn giải: Chọn A k Ta có k (k − 1)Cn = B n(n + 2)2n − C n(n − 1)2n −3 n! = n(n − 1)Cnk−−22 (k − 2)!(n − k )! n ⇒ S3 = n(n − 1)∑ Cnk−−22 = n(n − 1)2n − k =2 Câu 13: Tính tổng S = Cn0 + 4n +1 − 2n +1 n +1 n +1 − n +1 C S = +1 n +1 Hướng dẫn giải: Chọn D A S = 32 − 1 3n +1 − n Cn + + Cn n +1 4n +1 + 2n +1 −1 n +1 4n +1 − 2n +1 D S = −1 n +1 B S = D n(n − 1)2n + Ta có S = S1 − S2 , 32 33 3n +1 n Cn + Cn + + Cn n +1 1 S = Cn1 + Cn2 + + Cnn n +1 n +1 −1 Ta có S = −1 n +1 Tính S1 = ? S1 = Cn0 + Ta có: 3k +1 k n! 3k +1 (n + 1)! 3k +1 k +1 Cn = 3k +1 = = C k +1 (k + 1)!( n − k )! n + (k + 1)![(n + 1) − ( k + 1)]! n + n +1 ⇒ S1 = n k +1 k +1 n +1 k k 4n +1 − 0 C − C = C − C − C −2 ∑ n+2 n n + ∑ n +1 n ÷ n = n + k =0 n +1 k =0 4n +1 − 2n +1 Vậy S = −1 n +1 Câu 14: Tính tổng S = Cn0 + 3n +1 − 2n+1 n +1 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có: S = S1 − S A S = n k Trong S1 = ∑ Cn k =0 22 − 1 n +1 − n Cn + + Cn n +1 3n − 2n +1 B S = n +1 C S = 3n +1 − 2n n +1 D S = 3n +1 + 2n +1 n +1 n Ck 2k +1 n +1 − ; S2 = ∑ n = −1 k +1 n +1 k =0 k + k +1 2k +1 k +1 3n +1 − Cnk = Cn +1 ⇒ S1 = −1 k +1 n +1 n +1 3n +1 − 2n+1 Suy ra: S = n +1 2 n n +1 Câu 15: Tìm số nguyên dương n cho : C2 n +1 − 2.2C2 n +1 + 3.2 C2 n +1 − + (2n + 1)2 C2 n +1 = 2005 A n = 1001 B n = 1002 C n = 1114 D n = 102 Hướng dẫn giải: Chọn B Mà n +1 k −1 k −1 k Đặt S = ∑ (−1) k C2 n +1 k =1 k −1 k −1 k k −1 k −1 k −1 Ta có: (−1) k C2 n +1 == ( −1) (2 n + 1).2 C2 n 2 n 2n Nên S = (2n + 1)(C2 n − 2C2 n + C2 n − + C2 n ) = 2n + Vậy 2n + = 2005 ⇔ n = 1002 n −1 n −1 n−2 n−2 n −1 0 Câu 16: Tính tổng 1.3 Cn + 2.3 Cn + + n.3 Cn A n.8n −1 Hướng dẫn giải: Chọn A B ( n + 1).8n −1 n k −1 n − k n−k Ta có: VT = ∑ k Cn k −1 Mà k k =1 n −k n −k n C = n.3k −1.5n − k Cnk−−11 n −1 n−2 n −1 n −1 Suy ra: VT = n(3 Cn −1 + Cn −1 + + Cn −1 ) C (n − 1).8n D n.8n = n(5 + 3) n −1 = n.8n −1 n Câu 17: Tính tổng S = 2.1Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + + n(n − 1)Cn A n(n + 1)2n − Hướng dẫn giải: Chọn B B n(n − 1)2n − C n(n − 1)2n D (n − 1)2n − n k Ta có: S = ∑ k (k − 1)Cn k =2 k n k −2 Mà k (k − 1)C = n(n − 1)Cn− 2 n−2 n−2 Suy S = n(n − 1)(Cn − + Cn − + Cn − + + Cn − ) = n (n − 1)2 Câu 18: Tính tổng ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn ) 2 2 n n −1 A C2 n B C2 n Hướng dẫn giải: Chọn A n n 2n Ta có: ( x + 1) ( + x ) = ( x + 1) n −1 D C2 n−1 n C 2C2 n Vế trái hệ thức là: ( Cn0 x n + Cn1 xn −1 + + Cnn ) ( Cn0 + Cn1 x + + Cnn x n ) Và ta thấy hệ số x n vế trái (C ) +(C ) +(C ) n Còn hệ số x n vế phải ( x + 1) 2n n 2 n + + ( Cnn ) n C2 n Do ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + ( Cnn ) = C2nn 2 2 n n −1 n −1 n −2 n−2 n Câu 19: Tính tổng sau: S1 = Cn + 3.Cn + Cn + + Cn A 28n B + 8n C 8n −1 Hướng dẫn giải: Chọn D n n Ta có: S1 = (5 + 3) = D 8n 2 2010 2010 Câu 20: S = C2011 + C2011 + + C2011 32011 + A Hướng dẫn giải: Chọn D Xét khai triển: 3211 − B 32011 + 12 C 32011 − D 2 2010 2011 (1 + x ) 2011 = C2011 + xC2011 + x 2C2011 + + x 2010C2011 + x 2011C2011 Cho x = ta có được: 2010 2011 32011 = C2011 + 2.C2011 + 22 C2011 + + 22010 C2011 + 22011 C2011 (1) Cho x = −2 ta có được: 2010 2011 −1 = C2011 − 2.C2011 + 22 C2011 − + 22010 C2011 − 22011 C2011 (2) Lấy (1) + (2) ta có: 2010 ( C2011 + 2 C2011 + + 2010 C2011 ) = 32011 −1 32011 − Suy ra: S = C + C + + C = Câu 21: Tính tổng S3 = Cn1 + 2Cn2 + + nCnn 2011 A 4n.2n −1 Hướng dẫn giải: 2 2011 2010 B n.2n −1 2010 2011 C 3n.2n −1 D 2n.2n −1 Chọn B k Ta có: kCn = k n! n! (n − 1)! = =n = nCnk−−11 , ∀k ≥ k !( n − k )! (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! n n −1 k =1 k =0 ⇒ S3 = ∑ nCnk−−11 = n ∑ Cnk−1 = n.2n −1 ... C 3n.2n −1 D 8n D 32011 − D 2n.2n −1 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI NHỊ THỨC NEWTON A- LÝ THUYẾT TĨM TẮT Cơng thức khai triển nhị thức Newton: Với n∈N với cặp số a, b ta có: n (a + b) n = ∑ Cnk a n... , , an thỏa mãn hệ thức: a0 + + + nn = 4096 2 A 126720 B 213013 C 130272 D 130127 n DẠNG 2: BÀI TOÁN TỔNG ∑a C b k =0 k k n k Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton (a + b) n =... * Cn + Cn + + Cn = 2 n n * Cn − Cn + Cn − + (−1) Cn = B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC HỆ SỐ, SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Phương pháp: ( ax p + bx n n ) = ∑ C ( ax ) ( bx ) = ∑