Ví dụ1:Tìm sốnguyên dương nsao cho thoảmãn 2 0 1 2 2 2 2 121 ... 2 3 1 1 n n n n n n C C C C n n + + + + = + + Lời giải: Xét khai triển 0 1 2 2 (1 ) ... n n n n n n n x C C x C x C x + = + + + + Lấy tích phân 2 vếcận từ0 đến 2, ta được: 1 2 3 1 0 1 3 3 1 2 2 2 2 ... 1 2 3 1 n n n n n n n C C C C n n + + − = + + + + + + ⇔ 2 1 1 0 1 2 1 2 2 2 3 1 121 3 1 ... 3 243 4 2 3 1 2( 1) 1 2( 1) n n n n n n n n n C C C C n n n n n + + + − − + + + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + + + + Vậy n= 4.
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Ví dụ 1: Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn 2 0 1 2 2 2 2 121 2 3 1 1 n n n n n n C C C C n n + + + + = + + Lời giải: Xét khai triển 0 1 2 2 (1 ) n n n n n n n x C C x C x C x + = + + + + Lấy tích phân 2 vế cận từ 0 đến 2, ta được: 1 2 3 1 0 1 3 3 1 2 2 2 2 1 2 3 1 n n n n n n n C C C C n n + + − = + + + + + + ⇔ 2 1 1 0 1 2 1 2 2 2 3 1 121 3 1 3 243 4 2 3 1 2( 1) 1 2( 1) n n n n n n n n n C C C C n n n n n + + + − − + + + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + + + + Vậy n = 4. Ví dụ 2: Chứng minh: 0 1 2 1 2 3 ( 1) ( 2)2 n n n n n n C C C n C n − + + + + + = + , với n nguyên dương. Lời giải: Ta có : 0 1 2 2 3 3 (1 ) (1) n n n n n n n n x x xC xC x xC x xC x C x+ = + + + + + Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được: 1 0 1 2 2 (1 ) (1 ) 2 3 ( 1) (2) n n n n n n n n x nx x C C C x n C x − + + + = + + + + + Thay x = 1 vào (2) ta được điểu cần chứng minh. Ví dụ 3: Tính tổng S = 0 1 2 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 1 1 1 1 3 4 5 2013 2014 C C C C C− + − + − L ờ i gi ả i: Ta có 2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 (1 ) x C C x C x C x C x − = − + − + − Suy ra 2 2011 0 2 1 3 2 4 2010 2012 2011 2013 2011 2011 2011 2011 2011 (1 ) x x C x C x C x C x C x − = − + − + − 1 2 2011 0 (1 ) x x dx − ∫ = ( ) 1 0 2 1 3 2 4 2010 2012 2011 2013 2011 2011 2011 2011 2011 0 C x C x C x C x C x dx − + − + − ∫ = 1 0 3 1 4 2 5 2010 2013 2011 2014 2011 2011 2011 2011 2011 0 1 1 1 1 1 3 4 5 2013 2014 C x C x C x C x C x − + − + − = 0 1 2 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 1 1 1 1 3 4 5 2013 2014 C C C C C− + − + − Vậy 1 2 2011 0 (1 ) S x x dx = − ∫ . Đặt t = 1 – x ⇒ dt = – dx . Với x = 0 thì t = 1; với x = 1 thì t = 0 0 2 2011 1 (1 ) ( ) S t t dt = − − ∫ = 1 2 2011 0 ( 2 1) t t t dt − + ∫ = 1 2013 2012 2011 0 ( 2 ) t t t dt − + ∫ = 1 2014 2013 2012 0 2 2014 2013 2012 t t t − + = 1 2 1 2014 2013 2012 − + = 1 2013.2014.1006 Ví dụ 4: Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng : 2 3 1 1 0 1 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 1 n n n n n n n C C C C n n + + − + + + + = + + Lời giải: Xét khai triển ( ) 0 1 n n k k n k x C x = + = ∑ (1) 01. NHỊ THỨC NIU-TƠN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Lấy tích phân hai vế của (1) ta có: 2 2 1 1 0 0 0 0 2 2 (1 ) (1 ) 0 0 1 1 n k n n n k k k n n k k x x x dx C x C n k + + = = + + = ⇔ = + + ∑ ∑ ∫ ∫ Từ đó dẫn tới : 2 3 1 1 0 1 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 1 n n n n n n n C C C C n n + + − + + + + = + + Ví dụ 5: Tìm số nguyên dương n thoả mãn 0 1 2 3 1 1 1 1 1023 2 3 4 1 10 n n n n n n C C C C C n + + + + + = + ⋯ L ờ i gi ả i: Xét khai tri ể n ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 2 2 0 1 2 2 0 0 1 1 n n n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x x dx C C x C x C x dx + = + + + + ⇒ + = + + + + ∫ ∫ ⋯ ⋯ ( ) 1 1 1 0 1 2 2 3 1 0 0 1 1 1 1 1 2 3 1 n n n n n n n x C x C x C x C x n n + + + ⇒ = + + + + + + ⋯ 1 0 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1023 1 2 3 4 1 1 n n n n n n n C C C C C n n n + − ⇒ = + + + + + = + + + ⋯ 1 1 10 2 1 1023 2 1024 2 1 10 9 n n n n + + ⇒ − = ⇔ = = ⇔ + = ⇔ = Ví dụ 6: Tính tổng: 2 1 2 2 2 3 2 2010 2 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 2 3 2010 2011S C C C C C= + + + + + Lời giải: Ta có ( ) 2011 0 1 2 2 3 3 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 x C C x C x C x C x + = + + + + +⋯ (1) L ấ y đạ o hàm hai v ế (1) ta đượ c: ( ) 2010 1 2 2 3 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 2 3 2011x C xC x C x C+ = + + + +⋯ nhân hai v ế v ớ i x ta đượ c: ( ) 2010 1 2 2 3 3 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 2 3 2011x x xC x C x C x C+ = + + + +⋯ (2) L ấ y đạ o hàm hai v ế (2) ta đượ c ( ) ( ) ( ) 2010 2019 1 2 2 2 2 3 2 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 2010 1 2 3 2011x x x C xC x C x C+ + + = + + + +⋯ (3) Thay x = 1 vào ta đượ c ( ) 2010 2009 2 1 2 2 2 3 2 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2 2010.2 1 C 2 C 3 C 2011 C+ = + + + V ậ y 2009 2011.2012.2 S = Ví dụ 7: Tìm h ệ s ố c ủ a s ố h ạ ng ch ứ a x 2 trong khai tri ể n nh ị th ứ c Niut ơ n c ủ a 1 4 2 n x x + bi ế t r ằ ng n là s ố nguyên d ươ ng th ỏ a mãn: ( ) 1 2 3 1 2 3 1 64 n n n n n n n C C C n C nC n − + + + + − + = ⋯ L ờ i gi ả i: Xét khai tri ể n ( ) 0 1 2 2 1 1 1 n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x − − + = + + + + + L ấ y đạ o hàm hai v ế ta có ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 2 1 n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x − − − − + = + + + − + Thay x = 1 suy ra ( ) 1 2 3 1 1 2 3 1 2 n n n n n n n n C C C n C nC n − − + + + + − + = ⋯ 1 1 64 2 64 2 7 n n n n − − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ( ) 7 7 7 7 4 4 0 1 1 2 2 k k k k x C x x x − = + = ∑ S ố h ạ ng ch ứ a 2 x có h ệ s ố là 7 1 2 k k C v ớ i k tho ả mãn 7 2 2 2 4 k k k − − = ⇔ = Suy ra h ệ s ố ch ứ a 2 x là 2 7 1 21 4 4 C = Ví dụ 8: Tìm h ệ s ố c ủ a 20 x trong khai tri ể n 5 3 2 n x x + bi ế t r ằ ng: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! 0 1 2 1 1 1 1 ( 1) 2 3 1 13 n n n n n n C C C C n − + + − = + + Lời giải: Ta có 1 1 1 1 0 0 0 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 n n n x x dx x d x n n + − − = − − − = − = + + ∫ ∫ Mặt khác, 0 1 2 2 (1 ) ( 1) n n n n n n n n x C C x C x C x − = − + − + − 1 0 1 2 2 0 1 2 0 1 1 1 1 ( ( 1) ) ( 1) 2 3 1 13 n n n n n n n n n n n n n C C x C x C x dx C C C C n ⇒ − + − + − = − + + + − = + ∫ 1 13 12 n n ⇒ + = ⇒ = Khi đ ó ta có ( ) 12 12 12 12 5 5 5 12 8 36 12 12 3 3 3 0 0 2 2 2 . .2 . k n k k k k k k k x x C x C x x x x − − − = = + = + = = ∑ ∑ S ố h ạ ng ch ứ a 20 x ứ ng v ớ i k tho ả mãn: 0 20 7 8 36 20 k k k ≤ ≤ ⇔ = − = ⇒ H ệ s ố c ủ a 20 x là: 7 5 12 .2 25344 C = Ví dụ 9: Cho đẳ ng th ứ c 1 2 3 2 1 2 8 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n C C C C C + + + − + + + + + + + + + + = − . Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển ( ) 3 4 1 n x x x − + − . Lời giải: Đặt 1 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n S C C C C C + + + − + + + + + = + + + + + Ta có ( ) 2 1 0 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (1 1) n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C + − + + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + ( ) ( ) 2 1 0 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C + + − + + + + − + + + + + + + + + + ⇒ = + + + + + + + + + + + 2 1 2 2 8 2 2 2 2 1 2 2 4 n n n S S n + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = . ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 4 3 3 1 (1 ) (1 ) 1 1 n x x x x x x x x ⇒ − + − = − + − = − + ( ) ( ) 0 1 2 2 3 3 4 4 0 1 3 2 6 3 9 4 12 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 C C x C x C x C x C C x C x C x C x = − + − + + + + + . Ta có hệ số của x 10 là: 1 3 4 2 4 4 4 4 . . 10 C C C C − + = − Ví dụ 10: Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức Niutơn của 4 1 2 n x x + , bi ế t r ằ ng n là s ố nguyên d ươ ng th ỏ a mãn: 2 3 1 0 1 2 2 2 2 6560 2 2 3 1 1 n n n n n n C C C C n n + + + + + = + + ⋯ L ờ i gi ả i: Ta có ( ) 2 2 0 1 2 2 0 0 (1 ) n n n n n n n I x dx C C x C x C x dx = + = + + + + ∫ ∫ ⋯ 2 2 3 1 0 1 2 2 3 1 0 1 2 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1 n n n n n n n n n n n n C x C x C x C x I C C C C n n + + = + + + + ⇒ = + + + + + + ⋯ ⋯ (1) M ặ t khác 1 2 1 0 1 3 1 (1 ) 1 1 n n I x n n + + − = + = + + (2) T ừ (1) và (2) ta có 2 3 1 1 0 1 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 1 n n n n n n n C C C C n n + + − + + + + = + + ⋯ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Theo bài ra thì 1 1 3 1 6560 3 6561 7 1 1 n n n n n + + − = ⇔ = ⇒ = + + Ta có khai tri ể n ( ) 7 14 3 7 7 7 4 7 7 4 4 0 0 1 1 1 22 2 k k k k k k x C x C x x x − − + = = ∑ ∑ S ố h ạ ng ch ứ a x 2 ứ ng v ớ i k th ỏ a mãn 14 3 2 2 4 k k − = ⇔ = V ậ y h ệ s ố c ầ n tìm là 2 7 2 1 21 4 2 C = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Niutơn của 7 4 1 n x x + , biết rằng 1 2 20 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n C C C + + + + + + = − Bài 2: Tìm hệ số của x 4 trong khai triển biểu thức ( ) 2 1 3 n A x x = − − thành đa thức. Trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn ( ) 2 2 2 2 2 2 3 4 1 2 3 n n C C C C A + + + + + = Bài 3: Tìm hệ số của x 6 trong khai triển ( ) 7 2 1 1 x x + + thành đa thức. Bài 4: Tìm hệ số của x 8 trong khai triển ( ) 8 2 1 1 x x + − thành đa thức. Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x 4 khi khai triển (1 + 2x + 3x 2 ) 10 . Bài 6: Tìm hệ số chứa x 10 khi khai triển P(x) = (1 + x) + 2(1 + x) 2 + 3(1 + x) 3 + + 15(1 + x) 15 . Bài 7: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của P(x) = x(1 – 2x) 5 + x 2 (1 + 3x) 10 Bài 8: Tìm hệ số của số hạng chứa 3 1 x khi khai triển 7 3 2 1 ( ) 1 2P x x x = − + . tổng S = 0 1 2 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 1 1 1 1 3 4 5 2013 2014 C C C C C− + − + − L ờ i gi ả i: Ta có 2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 (1 ) x C C x. 2 2011 0 2 1 3 2 4 2010 2012 2011 2013 2011 2011 2011 2011 2011 (1 ) x x C x C x C x C x C x − = − + − + − 1 2 2011 0 (1 ) x x dx − ∫ = ( ) 1 0 2 1 3 2 4 2010 2012 2011 2013 2011 2011 2011 . ( ) 2010 1 2 2 3 2010 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 2 3 2011 x C xC x C x C+ = + + + +⋯ nhân hai v ế v ớ i x ta đượ c: ( ) 2010 1 2 2 3 3 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2011 1 2 3 2011 x x