Bài tập nhị thức newton

Bài tập nhị thức newton hay và khó giúp phát triển tư duy của học sinh

Nhị thức NIU-TƠN Nhóm TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN A Lý thuyết: I TỔ HỢP: Định nghĩa: Cho n phần tử khác Một tổ hợp chập n phần tử tập chứa r phần tử Số tổ hợp n chập r nn  1(n  2)(n  3) (n  r  1) n!  1.2.3 r r!(n  r )! Cn  r Tính chất: r nr a) C n  C n b) c) d) e) II n 1 C  C 1 , C  C  n C  C C n  r 1 C  r C C  C  C   C  n n n r r n r 1 n n 1 n 1 n r r 1 n n 1 n n n n n n NHỊ THỨC NIUTƠN ab  C a  C a n n n n 1 n b  Cn a n2 b   1 C b n n n (1) n Nhận xét: biểu thức VP công thức (1) - Số hạng tử n+1 - Các hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n, tồng số mũ a b hạng tử n (qui ước a0 = b0 = 1) - Các hệ số hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối - Số hạng tử thứ k+1 la Tk+1= Cnk a n – k b k Chú ý: k n 1 n n a = b = ta có  C n  C n  C n   C n   C n  C n  Cn  C C a=1; b= -1 ta có n n   1 C   1 C k B BÀI TẬP Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức Dạng 3: Giải phương trình Dạng 4: Tìm giá trị hệ số khai triển Newton Phương pháp: Ta có : a b n n  Cn a i 0 i n i i b Khi đó: Trang k n n n n Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Hệ số số hạng tử thứ i Số hạng tử thứ i Ta có: x  x  i n i C i n i Ca b n   C x    n n i 0 i n  n i n i  ( n  i )  i  i  C x n x i 0 Khi đó: k i Hệ số x C n I nghiệm phương trình :  (n  i)  i  k Khi k = số hạng không phụ thuộc vào x Dạng 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN  Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức Dạng 3: Giải phương trình Bài 1: a) a  2b 5  = k 0 C5k (2b)k a5k = C50 (2b)0 a5 + C51.(2b)1.a + … + C55.(2b)5.a0 = a + 10ba + 40b2a3 + 80b3a + 80b4a + 32b5 Bài 2: Viết số hạng đầ tiên theo lũy thừa tăng dần x khai triển 3  x 8 = 5k 0 C5k (3) k (2 x)8k Bài 3: Tính a) S= C50  xC51  x 2C52   x5C55 Ta có: (1  x)  C50  xC 51  x C52   x 5C55  (1  2)  C50  2C51  2 C52   C55  35  C50  2C51  2 C52   C55  S  35  243 C n1 Cnn c) C = C + +…+ n 1 n  1  x  dx =  C 1 n 0 Vậy C = n  C x   C x n n n n  n 1  (1  x) n 1 = dx = n 1 n 1 n 1  n 1 d) D = C n1 - C n2 + … + (1)n1 n C nn (1  x) ' = C n n  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x3    1 Cnn x n n  -n (1  x) n1 =  Cn1  2Cn2 x  3Cn3 x2    1n nCnn xn1 Chọn n (1  1)n1 = D  D = Bài 4: Rút gọn biểu thức: A = C21n  C23n   C22nn1 B = C20n  C22n   C22nn Ta có A + B = C21n  C23n   C22nn1 + C20n  C22n   C22nn = (1  1) n = 2n (1) Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm A - B = C21n  C23n   C22nn1 - C20n  C22n   C22nn  = (1  1) n =0 (2) n 1 Từ (1) (2), ta có A  B  Bài 5: Giải phương trình: Cxx1  Cxx2   Cxc9  Cxx10 = 1023 ( x  10) = 1024  Cx0  C1x  Cx2   Cx9  C10 x   2x x = 210 = 10 Dạng 4: Tìm giá trị hệ số khai triển Niu-tơn   15 Bài 1: Tìm số hạng thứ 13 khai triển 3  Ta có số hạng thứ k+1 khai triển T k 1  C15k (3 3)15k ( )k Theo giả thuyết T k 1  T 13  k+1 = 13  k = 12 Khi 12 T 13  C15 ( )3.( )12 = 87360 Vậy T 13 = 87360 13   Bài 2: Tìm số hạng thứ khai triển  z   , số hạng chứa z với mũ z  số tự nhiên Giải Ta có số hạng thứ k+1 khai triển 1 z T k 1  C13k z13k ( ) k Theo giả thuyết T k 1  T k+1 = k = Khi 1 z z8 z T  C134 z ( ) = 715 z8 Vậy T = 715 z 1 z Mặt khác, ta có: T k 1  C13k z13k ( ) k  C z k 13 394 k (1)k Do đó, z có số mũ tự nhiên 39 – 4k (0 ≤ k ≤13) 4 k 3   39  4k Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm k k   k  k 0 3 6 9 + Với k=0 T = z13 + Với k=3 T = - C133 z = -286 z + Với k=6 T = C136 z = 1716 z + Với k=9 T 10 = - C139 z1 = -175 z Vậy số hạng chứa z với số mũ tự nhiên T = z13 , T = -286 z , T = 1716 z , T 10 = -175 z Bài 3: Viết lại P(x) = 1  x  + 1  x 2 + … + 20 1  x 20 dạng P(x) = a0 + a1 x + a2 x + … + a20 x 20 Tìm a9 Giải Ta có: P(x) = 1  x  + 1  x 2 + … + 20 1  x 20 = (1 + C 20 + C30 + … + 20 C 20 ) + (1 + C 21 + C31 + … + 20 C 20 )x + (2 C22 + C32 + … + 20 C202 ) x + … + 20 C2020 x 20  a9 = C99 + 10 C109 + … + 20 C20 n 28    Bài 4: Trong khai triển  x x  x 15  tìm số hạng không phụ thuộc x, biết:   n n 1 C n + Cn + C nn  = 79 Giải Ta có C nn + Cnn 1 + Cnn  = 79 nn  1 = 79  1+n +  n + n - 156 = n  12 n  13  n = 12     Số hạng thứ k + T k 1  C x x k nk  28   x 15    k = Cnk x   n 16k Số hạng không phụ thuộc biến  4n 16k  =  k =  C125 = 792 n   Bài : Cho biết ba hạng tử khai triển  x   có hệ số x  số hạng liên tiếp cấp số cộng Tìm tất hạng tử hữu tỷ khai triển Giải Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có: Số hạng thứ : C 0n  1 2 Số hạng thứ hai : C 1n    n nn  1 1 Số hạng thứ ba : C    2 nn  1 Theo đề ta có :  n  n  9n   n   n   2 n 8 k k k 4 k    1  1 Với n = ta có T k 1 = C  x   x  =   C8k x 2   2  4 k 16  Xét x để hữu tỷ  k   k  Do k nguyên dương nên ta chọn k k = 6, 7, 1     k = ta T =   C8  x   2   16 x 16 k = ta có T = x3 x k = ta có T = 256 x k 1  Xét   C8k Ta có : 2 k=0 k=1 T  x (loại) T  x x (loại) k=2 T  x x (loại) k= T  x x (loại) k=4 T5 35 x (nhận) T  x (nhận) k=5 n   Vậy khai triển  x   ba số hạng liên tiếp lập thành cấp số x  16 35 x, x cộng ta có hạng tử hữu tỷ , , 34 , , x 16 x x x 256 x 200 Bài : Tìm hệ số x101 y 99 khai triển 2 x  y  Giải Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm 99 99 99 Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T 100  C200 2101. 3  C200 299.3101 Bài : Tính hệ số x y khai triển x  y 13 Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T  C138  1287 Bài : Tìm hệ số x khai triển 2  x 19 Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T 10  C199 210. 19  C199 210  94595072 Bài 10 : Tìm hệ số x khai triển 3  x 15 Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T  C157 38. 27  C157 38.2 Bài 11 : Tìm hệ số x 25 y 10 khai triển x  xy  Giải 15 k Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T k 1  C15k x  xy k  C15k x 452k y k 15 45  2k  25 k  10 Để tìm hệ số x 25 y 10  10 Vậy hệ số x 25 y 10 khai triển x  xy  T 11  C15  3003 15   1 4 n Bài 12 : Biết hệ số x n 2 khai triển  x   31 Tìm n Giải Hạng tử chứa x n 2 khai triển hạng tử chứa hệ số thứ ba, nên theo đề ta có phương trình :  1 C n2     31  4  nn  1  31.32 n  32 ta nhận n = 32  n  n  992    n  31 n Vậy hệ số x n2 1  khai triển  x   31 n = 32 4  Bài 13 : Biết hệ số x khai triển 1 3x n 90 Tìm n Giải Theo đề ta có phương trình : C n2 (3)  90  n  n  20  n  (loại n = -4)  n  4 Vậy hệ số x khai triển 1 3x n 90 n = Trang ... 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN  Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn Dạng 2: Rút... công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T  C138  1287 Bài : Tìm hệ số x khai triển 2  x 19 Giải Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T 10  C199 210. 19  C199 210  94595072 Bài. .. 256 x 200 Bài : Tìm hệ số x101 y 99 khai triển 2 x  y  Giải Trang Nhị thức NIU-TƠN Nhóm 99 99 99 Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T 100  C200 2101. 3  C200 299.3101 Bài : Tính