Bài tập nhị thức Newton

Ví dụ1:Tìm hệsốcủa 4 x trong khai triển Niutơn của biểu thức 2 10 (1 2 3 ) P x x = + + Lời giải: Ta có 10 10 2 10 2 10 10 0 0 0 (1 2 3 ) (2 3 ) ( 2 3 ) k k k k i k i i k i k k k i P x x C x x C C x − + = = = = + + = + = ∑ ∑ ∑ Theo giảthiết ta có 4 0 1 2 0 10 4 3 2 , k i i i i i k k k k i k N + =  = = =     ≤ ≤ ≤ ⇔ ∨ ∨     = = =     ∈  Vậy hệsốcủa 4 x là: 4 4 3 1 2 2 2 2 10 10 3 10 2 2 2 3 3 8085 C C C C C + + = .

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Ví dụ 1: Tìm hệ số của 4 x trong khai triển Niutơn của biểu thức 2 10 (1 2 3 ) P x x = + + Lời giải: Ta có 10 10 2 10 2 10 10 0 0 0 (1 2 3 ) (2 3 ) ( 2 3 ) k k k k i k i i k i k k k i P x x C x x C C x − + = = = = + + = + = ∑ ∑ ∑ Theo gi ả thi ế t ta có 4 0 1 2 0 10 4 3 2 , k i i i i i k k k k i k N + =  = = =     ≤ ≤ ≤ ⇔ ∨ ∨     = = =     ∈  V ậ y h ệ s ố c ủ a 4 x là: 4 4 3 1 2 2 2 2 10 10 3 10 2 2 2 3 3 8085 C C C C C+ + = . Ví dụ 2: Cho khai triển ( ) 0 n n k n k k n k a b C a b − = + = ∑ . Quy ước số hạng thứ i của khai triển là số hạng ứng với 1 k i = − Hãy tìm các giá trị c ủ a x bi ế t r ằ ng s ố h ạ ng th ứ 6 trong khai tri ể n 8 1 1 3 1 log 3 1 log 9 7 2 5 2 2 2 x x       − − − + + +         là 224. L ờ i gi ả i: Ta có ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 2 1 1 1 log 3 1 log 9 7 1 1 5 3 5 2 9 7 ,2 3 1 x x x x − − − + − + − − = + = + S ố h ạ ng th ứ 6 c ủ a khai tri ể n ứ ng v ớ i k = 5 là ( ) ( ) ( )( ) 3 5 1 1 1 5 1 1 1 1 3 5 8 9 7 . 3 1 56 9 7 3 1 x x x x C − − − − − −     + + = + +         Treo gi ả thi ế t ta có ( )( ) 1 1 1 1 1 1 9 7 56 9 7 3 1 224 4 2 3 1 x x x x x x − − − − − =  + + + = ⇔ = ⇔  = +  Ví dụ 3: Cho khai triển: ( ) ( ) 2 10 2 2 14 1 2 14 1 2 1 o x x x a a x a x a x + + + = + + + + . Hãy tìm giá trị của 6 a . L ờ i gi ả i: Ta có 4 3 )12( 4 1 1 22 ++=++ xxx nên ( ) 10121422 10 )21( 16 9 )21( 8 3 )21( 16 1 )1(21 xxxxxx +++++=+++ Trong khai tri ể n ( ) 14 21 x+ h ệ s ố c ủ a 6 x là: 6 14 6 2 C ; Trong khai tri ể n ( ) 12 21 x+ h ệ s ố c ủ a 6 x là: 6 12 6 2 C Trong khai tri ể n ( ) 10 21 x+ h ệ s ố c ủ a 6 x là: 6 10 6 2 C V ậ y h ệ s ố .417482 16 9 2 8 3 2 16 1 6 10 66 12 66 14 6 6 =++= CCCa Ví dụ 4: Cho khai tri ể n đ a th ứ c: ( ) 2013 2 2013 1 2 2013 1 2 o x a a x a x a x − = + + + + . Tính t ổ ng: 0 1 2 2013 2 3 2014S a a a a= + + + + L ờ i gi ả i: Ta có: ( ) 2013 2 2013 0 1 2 2014 (1 2 ) 2 3 2014 . x x a a x a x a x ′ − = + + + + 2013 1012 2 2013 0 1 2 2013 (1 2 ) 4026 (1 2 ) 2 3 2014 x x x a a x a x a x ⇔ − − − = + + + + (*). Nh ậ n th ấ y: ( ) k k k k a x a x = − do đ ó thay 1 x = − vào cả hai vế của (*) ta có: 2213 0 1 2 2013 2 3 2014 1343.3 S a a a a= + + + + = 01. NHỊ THỨC NIU-TƠN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Ví dụ 5: Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của n x x       − 2 2 , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 323 1 24 nnn ACC =+ + . Lời giải: Ta có 3),2)(1()1( 6 )1(()1( .424 323 1 ≥−−=−+ − + ⇔=+ + nnnnnn nnn ACC nnn 2 2 2 2( 1) 3( 1) 3( 3 2), 3 12 11 0, 3 11. n n n n n n n n n ⇔ − + − = − + ≥ ⇔ − + = ≥ ⇔ = Khi đ ó )2.( 2 .)( 2 11 0 322 11 11 0 112 11 11 2 ∑∑ = − = − −=       −=       − k kkk k k kk xC x xC x x S ố h ạ ng ch ứ a 7 x là s ố h ạ ng ứ ng v ớ i k th ỏ a mãn .57322 = ⇔ = − kk Suy ra h ệ s ố c ủ a 7 x trong khai tri ể n là .14784)2.( 55 11 −=−C Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: 1 4 3 7( 3) n n n n C C n + + + − = + . Tìm hệ số của 8 x trong khai triển: 5 3 2 ( ) n P x x x   = +     v ớ i 0 x > L ờ i gi ả i: Ta có 1 4 3 7( 3) ( 4)( 3)( 2) ( 3)( 2)( 1) 42( 3) n n n n C C n n n n n n n n + + + − = + ⇔ + + + − + + + = + 2 2 5 6 14( 3) 9 36 0 n n n n n ⇔ + + = + ⇔ − − = 12. n ⇒ = V ớ i n = 12 ta có nh ị th ứ c: 12 5(12 ) 60 11 12 12 5 3 2 2 12 12 3 0 0 2 2 2 k k k k k k k k k x C x x C x x − − − = =   + = =     ∑ ∑ H ệ s ố ch ứ a 8 x th ỏ a mãn 0 12 4 60 11 8 2 k k k ≤ ≤   ⇔ =  − =   . Hê s ố c ủ a 8 x là 4 4 12 2 7920. C = Ví dụ 7: Cho bi ế t h ệ s ố c ủ a s ố h ạ ng th ứ t ư c ủ a khai tri ể n 2 5 1 2 . n x x x   +     b ằ ng 70 . Hãy tìm s ố h ạ ng không ch ứ a x trong khai tri ể n đ ó. L ờ i gi ả i: Ta có 16 2 2 2 2 5 5 0 1 6 .2 . .2 . 5 2 n k n n k n k k k k n n k k x C x x C x x x − − − − = −   + =     ∑ ∑ Suy ra h ệ s ố c ủ a s ố h ạ ng th ứ t ư là: 3 3 .2 n C − T ừ đ ó có : 3 3 .2 70 ( 1)( 2) 560 16 n C n n n n − = ⇔ − − = ⇒ = Khi đ ó s ố h ạ ng không ch ứ a x trong khai tri ể n ứ ng v ớ i giá tr ị k tho ả mãn: 16 2.16 0 10 5 k k − = ⇔ = V ậ y s ố h ạ ng không ch ứ a x là: 10 10 16 1001 .2 128 C − = BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm h ệ s ố c ủ a x 7 trong khai tri ể n nh ị th ứ c 4 3 1 2 n x x   +     , ( 0 x ≠ ). Bi ế t r ằ ng n là s ố t ự nhiên th ỏ a mãn 2 2 2 112 n n C A n+ + = Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Bài 2: Tìm hệ số của 4 x trong khai triển biểu thức 3 2 n x x   −     , biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức 6 2 4 454 n n n C nA − − + = . Bài 3: Tìm hệ số của 9 x trong khai triển: ( ) 2 * 1 3 ; n x n− ∈ ℕ , biết 2 3 2 14 1 3 n n C C n + = . Bài 4: Tìm h ệ s ố c ủ a 4 x trong khai tri ể n thành đ a th ứ c c ủ a bi ể u th ứ c: 2 10 (1 4 ) x x + + . Bài 5: Tìm h ệ s ố c ủ a 6 x trong khai tri ể n thành đ a th ứ c c ủ a ( ) ( ) 5 7 2 ( ) 2 1 3 3 1 2 P x x x x x = − − + Bài 6: Tìm h ệ s ố c ủ a x 5 trong khai tri ể n bi ể u th ứ c ( ) ( ) 2 2 1 2 1 3 n n P x x x x = − + + , bi ế t r ằ ng 2 1 1 5 n n n A C − + − = . Bài 7: Khai tri ể n và rút g ọ n đ a th ứ c: ( ) ( ) ( ) 9 10 14 ( ) 1 1 1 P x x x x = + + + + + + thành d ạ ng 2 14 0 1 2 14 ( ) P x a a x a x a x = + + + + . Hãy xác đị nh h ệ s ố a 9 Bài 8: Cho đ a th ứ c ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 20 ( ) 1 2 1 3 1 20 1 P x x x x x = + + + + + + + + . Khai tri ể n P(x) thành đ a th ứ c ta đượ c d ạ ng d ạ ng: 2 20 0 1 2 20 ( ) P x a a x a x a x = + + + + . Tìm h ệ s ố a 15 ? Bài 9: Khai tri ể n đ a th ứ c thành d ạ ng: ( ) 80 2 80 0 1 2 80 ( ) 2 P x x a a x a x a x = − = + + + + Tìm h ệ s ố a 78 ? Bài 10: Khai tri ể n ( ) 50 2 50 0 1 2 50 ( ) 3 P x x a a x a x a x = + = + + + + a. Tính h ệ s ố a 46 ? b. Tính t ổ ng S = a 0 + a 1 + a 2 + … a 50 Bài 11: Trong khai tri ể n c ủ a nh ị th ứ c 21 3 3 a b b a   +       , tìm các s ố h ạ ng ch ứ a a, b v ớ i lu ỹ th ừ a gi ố ng nhau? Bài 12: a) Trong khai tri ể n 4 1   +     n x x x cho bi ế t hi ệ u s ố gi ữ a h ệ s ố c ủ a h ạ ng t ử th ứ ba và th ứ hai là 44. Tìm n. b) Cho bi ế t trong khai tri ể n 2 1 n x x   +     , t ổ ng các h ệ s ố c ủ a các h ạ ng t ử th ứ nh ấ t, th ứ hai, th ứ ba là 46. Tìm h ạ ng t ử không ch ứ a x. c) Cho bi ế t t ổ ng c ủ a 3 h ệ s ố c ủ a 3 s ố h ạ ng đầ u tiên trong khai tri ể n 2 2 3 n x   −     là 97. Tìm h ạ ng t ử c ủ a khai tri ể n ch ứ a x 4 . Bài 13: Cho khai tri ể n 0 1 1 1 1 1 ( 1) 3 3 3 n n n n n n n n n x C x C x C −   − = − + −     . Bi ế t h ệ s ố c ủ a s ố h ạ ng th ứ ba trong khai tri ể n là 5. Tìm s ố h ạ ng chính gi ữ a? Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Bài 14: Cho khai triển ( ) 3 0 3 2 2 2 2 n n n n n n x C x C x x     + = + +         . Biết tổng ba hệ số đầu là 33. Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 . Bài 15: Trong khai triển nhị thức 28 3 15 n x x x −   +       hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 79 n n n n n n C C C − − + + =