Bài tập nhị thức Newton

III) TOÁN VỀ CÁC SỐ n P , k n A , k n C : Bài 1: Giải bất phương trình: 3 4 1 3 1 14 1 P A C n n n < + − − Bài 2: Tìm các số âm trong dãy số x 1 , x 2 , …, x n , … với: x n = nn n PP A 4 143 2 4 4 − + + Bài 3: Cho k, n là các số nguyên và 4 ≤ k ≤ n; Chứng minh: k n k n k n k n k n k n CCCCCC 4 4321 464 + −−−− =++++ Bài 4: Cho n ≥ 2 là số nguyên. Chứng minh: P n = 1 + P 1 + 2P 2 + 3P 3 + … + (n - 1)P n - 1 Bài 5: Cho k và n là các số nguyên dương sao cho k < n. Chứng minh rằng: 1 1 11 2 1 1 − − −− − − − ++++= k k k k k n k n k n CC .CCC VI) NHỊ THỨC NEWTON: Bài 1: Chứng minh rằng: 1332211 433323 −−−− =++++ nn n n n n n n n .nC.n .C.C.C Bài 2: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng từ biểu thức: ( ) ( ) ( ) 14109 111 x .xx ++++++ ta sẽ được đa thức:P(x) = A 0 + A 1 x + A 2 x 2 + … + A 14 x 14 Hãy xác định hệ số A 9 Bài 3: 1) Tính ( ) ∫ + 1 0 1 dxx n (n ∈ N) 2) Từ kết quả đó chứng minh rằng: 1 12 1 1 3 1 2 1 1 1 21 + − = + ++++ + n C n .CC n n nnn Bài 4: Chứng minh rằng: ( ) ( ) 242 2112312 − −=−+++ nn nnn .nnCnn .C C Bài 5: Tính tổng S = ( ) n n n nnnn nC .C.C.C.C 1 4321 1432 − −++−+− (n ≥ 2) Bài 6: Chứng minh rằng: 1616 16 2 16 141 16 150 16 16 2333 =+−+− C .CCC Bài 7: Tìm hệ số của x 5 trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức: f(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) 7654 12121212 +++++++ xxxx Bài 8: Trong khai triển của 10 3 2 3 1       + x thành đa thức: P(x) = 10 10 9 910 xaxa .xaa ++++ Hãy tìm hệ số a k lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10) Bài 9: Tìm số nguyên dương n sao cho: 243242 210 =++++ n n n nnn C .CCC . Bài10:CMR: ( ) 122333 200120002000 2001 20004 2001 42 2001 20 2001 −=++++ C .CCC Bài 11: Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng: 1) ( ) n n n nnn C n .CCC 1 1 1 3 1 2 1 210 + −+−+− 2) nn nnnnn C n .C.C.CC 2 1 1 2 4 1 2 3 1 2 2 1 332210 + +++++ Bài 12: Cho đa thức P(x) = (3x - 2) 10 1) Tìm hệ số của x 2 trong khai triển trên của P(x) 2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x) Bài 13: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: ( ) n x 1 2 + bằng 1024 hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng a.x 12 trong khai triển đó. Bài 14: Trong khai triển nhị thức: n xxx         + − 15 28 3 hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết rằng: 79 21 =++ −− n n n n n n CCC Bài15: Chứng minh: 144332111 3242322 −−−−− =+++++ nn nn n n n n n n n .nnC .C.C.CC Bài 16: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức: 17 4 3 2 1         + x x x ≠ 0 Bài 17: Khai triển nhị thức: n x n n n x x n n x n x n n x n n xx CC .CC         +         ++         +         =         + − − − − − − − −−−− 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 22 1 22222222 Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x Bài 18: Trong khai triển: 21 3 3       + a b b a Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau. Bµi 19: Chøng minh r»ng 0 2 4 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 . . n n n n n n n n n n C C C C C C C C − + + + = + + + . Bµi 20: Chøng minh r»ng )12(23 33. 200120002000 2001 20004 2001 42 2001 20 2001 −=++++ CCCC . Bµi 21: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P= 10 10 103 10 32 10 21 10 10 10 3 333 CCCCC ++−+− . Bµi 22: T×m n nguyªn d¬ng sao cho 2432 .42 210 =++++ n n n nnn CCCC . Bài 23: Tính giá trị của biểu thức A= n n n nnn CCCC 2 12 . 2 12 2 12 1 2 3 1 2 0 ++ + + + với n N . Bài 24: Tìm hệ số của x 8 trong khai triển 5 3 1 ( ) , x>0 n x x + biết : )3(7 3 1 4 += + + + nCC n n n n . Bài 25: Tìm hệ số của x 4 trong khai triển 3 2 1 ( ) , x>0 n x x + biết tổng ba hệ số đầu tiên của khai triển bằng 79. Bài 26: Tìm hệ số của x 26 trong khai triển ( 4 1 x +x 7 ) n Biết: 12 . 20 12 2 12 1 12 =+++ +++ n nnn CCC . Bài 27: Cho khai triển 3 4 4 3 3 n x x y y + ữ ữ với x, y >0 biết rằng 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 . 1024 n n n n C C C + + + + + + + = a. Tìm n nguyên dơng. b. Tìm số hạng có chứa x 14 y 3 trong khai triển. Bài 28: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 3 4 1 ( ) n x x + với x>0 biết rằng 3 1 5 n n C C= . Bài 29: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 19 1 (2 )x x + với x>0. Bài 30: Có bao nhiêu số hạng là các số nguyên dơng trong khai triển 121 3 ( 7 5)+ . Bài 31: Trong khai triển ( 21 3 3 ) a b b a + hãy tìm hệ số của số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau. Bài 32: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển (a+b) n biết tổng các hệ số của khai triển là 4096. Bài 33: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất trong khai triển 8 1 2 3 3 + ữ . Bài 34: Cho khai triển 10 2 10 0 1 2 10 1 2 . 3 3 x a a x a x a x + = + + + + ữ . Hãy tìm hệ số a k lớn nhất trong khai triển trên ( 0 10k ). Bài 35: Tìm hệ số của x 6 trong khai triển (x+2) 4 (x+1) 5 . Bài 36: Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 y 4 z 3 t 3 trong khai triển (x+y+z+t) 20 . Bài 37: Gọi a 3n-3 là hệ số của x 3n-3 trong khai triển của đa thức (x 2 +1) n .(x+2) n . Hãy tìm n nguyên d- ơng để a 3n-3 =26n. Bài 38: Tìm hệ số của x n-1 trong khai triển 2 1 1 1 . 2 2 2 n x x x + + + ữ ữ ữ . Bi 18. Chng minh rng: . Bi 19. Chng minh rng: Bi 20. Vi n l s nguyờn dng, chng minh h thc sau: Bài 21. Chứng minh rằng: Bài 22. Tính tổng: Bài 23. Tính tổng: Bài 24. Chứng minh rằng: Bài 25. Cho n là một số nguyên dương: a. Tính : I = ∫ + 1 0 )1( dxx n b. Tính tổng: Bài 26. Tìm số nguyên dương n sao cho: Bài 27. Tìm số nguyên dương n sao cho: Bài 28. Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau: Bài 29. Tính tổng: , biết rằng, với n là số nguyên dương: Bài 30. Tìm số nguyên dương n sao cho: Bài 31. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của: Bài 32. Gọi a 3n - 3 là hệ số của x 3n - 3 trong khai triển thanh đa thức của:(x 2 + 1) n (x + 2) n . Tìm n để a 3n - 3 = 26n Bài 33. Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x       + 7 4 1 Biết rằng: 12 . 20 12 2 12 1 12 −=+++ +++ n nnn CCC Bài 34. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: với x > 0 Bài 35. Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức: ; Bài 36. Cho : Sau khi khai triên và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng? Bài 37. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của , biết rằng: Bài 38. khai triển biểu thức (1 - 2x) n ta được đa thức có dạng: . Tỡm hệ số của , biết a o +a 1 +a 2 = 71 Bài 39. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển đa thức: Bài 40. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức n x x       + 3 2 1 Biết rằng: Bài 41. Giải các phương trình: ; ; Bài 42. Giải các hệ phương trình: 1. 2. 3. 4. Bài 43. Giải các bất phương trình: Các bài toán về đẳng thức tổ hợp Bài 18. Chứng minh rằng: . Bài 19. Chứng minh rằng: Bài 20. Với n là số nguyên dơng, chứng minh hệ thức sau: Bài 21. Chứng minh rằng: Bài 22. Tính tổng: Bài 23. Tính tổng: Bài 24. Chứng minh rằng: Bài 25. Cho n là một số nguyên dơng: a. Tính : I = + 1 0 )1( dxx n b. Tính tổng: Bài 26. Tìm số nguyên dơng n sao cho: Bài 27. Tìm số nguyên dơng n sao cho: Bài 28. Tìm số tự nhiên n thảo mãn đẳng thức sau: Bµi 29. TÝnh tæng: , biÕt r»ng, víi n lµ sè nguyªn d¬ng: Bµi 30. T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho: Bài tập khai triển nhị thức Newton Bài 31. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của: Bài 32. Gọi a 3n - 3 là hệ số của x 3n - 3 trong khai triển thanh đa thức của:(x 2 + 1) n (x + 2) n . Tìm n để a 3n - 3 = 26n Bài 33. Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x + 7 4 1 Biết rằng: 12 . 20 12 2 12 1 12 =+++ +++ n nnn CCC Bài 34. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: với x > 0 Bài 35. Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức: ; Bài 36. Cho : Sau khi khai triên và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng? Bài 37. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của , bit rng: Bài 38. khai triển biểu thức (1 - 2x) n ta đợc đa thức có dạng: . Tỡm h s ca , bit a o +a 1 +a 2 = 71 Bài 39. Tìm hệ số của x 5 trong khai triển đa thức: Bài 40. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức n x x + 3 2 1 BiÕt r»ng: Bài tập về phơng trình, Hệ phơng trình, bất phơng trình đại số tổ hợp Bài 41. Giải các phơng trình: Bài 42. Giải các hệ phơng trình: Bài 43. Giải các bất phơng trình: . CCC Bài 34. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của: với x > 0 Bài 35. Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển nhị thức: ; Bài. sè nguyªn d¬ng n sao cho: Bài tập khai triển nhị thức Newton Bài 31. Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của: Bài 32. Gọi a 3n - 3 là hệ