Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
91 Website:tailieumontoan.com CÁC DẠNG TOÁN VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề tốn THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy em chuyên đề toán biểu thức đại số Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán biểu thức đại số thường kì thi gần Chuyên đề gồm mục lớn sau: Chủ đề 1: Rút gọn phân thức hữu tỉ Chủ đề 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức biến Chủ đề 3: Rút gọn tính giá trị biểu thức nhiều biến Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức Chủ đề 5: Biểu thức chứa thức toán liên quan Các vị phụ huynh thầy cô dạy tốn dùng dùng chun đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề biểu thức đại số giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com MỤC LỤC Trang Chủ đề Rút gọn phân thức hữu tỉ Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỉ Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỉ toán liên quan Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 3 Chủ đề Tính giá trị biểu thức biến Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến nghiệm phương trình Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 14 15 15 16 19 Chủ đề Tính giá trị biểu thức nhiều biến có điều kiện Dạng 1: Sử dụng Dạng 2: Sử dụng Dạng 3: Sử dụng Dạng 4: Sử dụng Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải phương pháp phân tích phương pháp hệ số bất định phương pháp hình học Vận dụng tính chất dãy tỉ số 24 25 27 28 28 34 Chủ đề Một số phương pháp chứng minh đẳng thức Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thương đương Dạng 2: Sử dụng đẳng thức quen biết Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Dạng 5: Sử dụng lượng liên hợp Dạng 6: Chứng minh có số số cho trước Dạng 7: Sử dụng Vận dụng tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 49 50 51 53 53 54 56 58 63 Chủ đề Rút gọn biểu thức đại số toán liên quan Dạng 1: Các toán biến đổi thức thường gặp Dạng 2: Sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa toán Dạng 3: Các toán tổng dãy có quy luật Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa có nhiều ẩn Dạng 5: Rút gọn biểu thức toán liên quan Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 77 78 83 84 87 97 101 RÚT GỌN PHÂN THỨC HỮU TỶ Nhắc lại kiến thức: Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thức thành nhân tử, cho tất nhân tử khác Phân tích tử thành nhân tử, chia tử mẫu cho nhân tử chung Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỷ x4 x3 2x A 2x 3x3 2x2 6x Thí dụ Rút gọn biểu thức Lời giải Ta có: x 2 x x 2 x 2 x 1 x 2 6x 2x 8 3x 6x 2x 4 2 x 4 3x x 2 2 x 2 x 2 2x 3x 2 x 2 x 2 2x 1 x4 x3 2x2 x4 x3 2x x2 x2 x x2 2 2x4 3x3 2x2 2 4 2 2 2 x �2, x � Ta có: Điều kiện xác định A x A x �2 Vậy với t � x x 1 x 2 x 2 2x 1 x 2x 1 x A 2x B Thí dụ Rút gọn biểu thức 2xy x2 z2 y2 2x2 z2 y2 2xz Lời giải Ta có: B z2 x2 2xy y2 x z x y 2xz z2 y2 x z 2 y2 x y z �0,x y z �0 � B z x y z x y x z y x z y z x y x y z Với Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỷ toán liên quan x4 5x2 A x 10x2 Thí dụ Cho biểu thức a) Rút gọn A b) Tìm x để A = Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com c) Tìm giá trị A 2x Lời giải a) Ta có: x 1 x 4 x 1 x 1 x 2 x 2 x x 9x 9 x x 1 9 x 1 x 1 x 9 x 1 x 1 x 3 x 3 x4 5x2 x4 x2 x2 x2 x2 x2 x4 10x2 2 2 2 Điều kiện xác định A A x ��1, x ��3 Ta có: x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 3 x 3 x 3 x 3 b) Ta có: A 0� x 2 x 2 � x �2 x 3 x 3 c) Ta có: �2x 1 �x 2x � � �� 2x 7 � x 3 � A Với x = x 2 x 2 4 2 2 1.6 x 3 x 3 4 3 3 1.7 Với x = - A khơng xác định Thí dụ Cho biểu thức B 2x3 7x2 12x 45 3x3 19x2 33x a) Rút gọn B b) Tìm x để B > Lời giải a) Ta có: 10x 3 x 3 � 3x � 3x3 19x2 33x 3x3 9x2 10x2 30x 3x 9 x 3 3x2 Fb: Trịnh Bình 9x x 3 � x 3 � 3x 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com 2x3 7x2 12x 45 2x3 6x2 x2 3x 15x 45 x 3 2x2 x 15 x 3 �2x2 6x 5x 15 � x 3 � � 2x 5 x �3,x � Ta có: Điều kiện xác định A x 3 2x 5 2x B x 3 3x 1 3x 2 b) Ta có: � � x � � � � � � �3x 1 � � � � � x x 2x � 2x � � � � B 0� 0� � �� �� 3x �3x 1 � � � x � x � � � � � 2x � � � � � � � � x � � x �x Vậy để B > P Thí dụ Cho biểu thức: x �0;y �0;x � y y2 x2 y2 � x y � x2 �2 � x �x xy xy xy y2 �x2 xy y2 với 1) Rút gọn biểu thức P x,y thỏa mãn đẳng thức: 2) Tính giá trị biểu thức P, biết x2 y2 10 2 x 3y Lời giải 1) Với x �0;y �0;x � y ta có: x2y x2 y2 x y xy2 � x y � � P � x � �x2 xy y2 xy x y � � x y xy x y x y x y x xy x y x xy y2 2 x y x y x xy y x xy x y x xy y2 x y x y x xy xy Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com 2) Ta có: x2 y2 10 2 x 3y � x2 2x 1 y2 6y � x 1 y 3 2 � x1 �� (tm) y � Lập luận Nên thay x 1;y 3 P vào biểu thức x y 1 3 xy 1. 3 �1 x �1 2x A � : 2� x x x x 1 � � Thí dụ Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên A A c) Tìm x để Lời giải x ��1;x � a) ĐKXĐ: �1 x 2 1 x 5 x A � � 1 x2 � 2 x2 1 x 1 2x 1 2x �x2 � �1 2x � 2M 1 2x , b) A nguyên, mà x nguyên nên từ tìm � x 1(ktm) � x 0(tm) � Vậy x c) Ta có: A ۳� A A � 2x Kết hợp với điều kiện : x 1 �x 2 Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật Ví dụ Tính tổng: S 1 1 1.3 3.5 5.7 2007.2009 Lời giải T 1 n 2 n �1 � � �n n � n n 2 n n 2 � a có: Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com Do đó: S 1� 1 1 � 1� � 1004 1 � 1 � � 2� 3 2007 2009� � 2009 � � 2009 M Ví dụ Cho 2.1 2.2 2.3 1 2 3 2 2 2 2.2012 2012 2012 2 Tính giá trị biểu thức M Lời giải Ta có: 2a a a 2 1 a a 1 Do đó: 1 1 1 2 2 3 2012 20132 1 20132 Ví dụ Rút gọn biểu thức: M 1 M 1.2 2.3 2.n � n n 1 � � � Lời giải Ta có: 2k 2k � k k 1 � � � k k 1 2 1 k k 1 Do đó: M n n 1 1 1 1 1 1 2 2 n 1 2 3 n n n 1 n 1 Ví dụ 10 Rút gọn biểu thức: � 1� � 1� � 1� � 1� M � 1 � 1 � 1 � 1 � � � � � � � � � � � n � Lời giải Ta có: 1 k2 k 1 k 1 k2 k2 k2 Do đó: Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com 1.3 2.4 3.5 n 1 n 1 1.3.2.4 n 1 n 1 22 32 42 n2 22.32.42 n2 1.2.3 n 1 3.4.5 n 1 n n 2.3.4 n n 2n 2.3.4 n 1 n M Bài tập vận dụng Câu Rút gọn biểu thức sau: P Câu Cho biểu thức : �x2 2x �� � 2x2 A � 1 � �� �2x 8 4x 2x x �� x x � �x 1 x2 x x2 � : � � 1 x x2 x � x2 2x � x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P c) Tìm giá trị nhỏ P x Câu Tìm tích: M 14 54 94 174 34 74 114 194 �4x 8x2 �� x � A � � �: 2 x 4 x2 �� x 2x x � � � Câu Cho biểu thức : a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A 1 c) Tìm giá trị x để A �x �� x � P �3 : 1 �� � x �1 x x x x � �� � Câu Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x nghiệm phương trình x 3x �x2 2x �� � 2x2 A � 1 � �� 2x 8 4x 2x x �� x x2 � � Câu Cho biểu thức a) Tìm x để giá trị A xác định Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Câu Cho biểu thức M x4 x2 x2 x6 x4 x2 x4 4x2 a) Rút gọn M b) Tìm giá trị lớn M Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com x x 2 Câu Rút gọn biểu thức: Câu Câu a 1 a a x a 1 a a2x2 2 1 a3 4a2 a P a 7a2 14a Rút gọn biểu thức: 10 Cho biểu thức sau: � 2x 2x � 21 2x 8x2 P� 1 �: 2 �4x 12x 13x 2x 20 2x 1� 4x 4x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P Câu 11 Cho P a3 4a2 a a3 7a2 14a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên A Câu 12 Tính: 1 1 3 3 HƯỚNG DẪN GIẢI � x � x �2 Câu Điều kiện: � �x2 2x � 2x2 � 2� A � 1 � � 3� � x x � �2x 8 4x 2x x � �x2 2x �x2 x 2x2 � � �2 x 4 x x2 x � x2 � � �x2 2x 2x2 � �2 x2 x x � x. x 2 4x2 x 1 x 2 x x x x 4 x 1 x 2x 2x x 4 2 x 2 x2 � x 1 x 2 � � x2 � 4x2 4x 4x2 x x x2 2 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com Vậy A � x x � x �2 2x với � Câu a) ĐKXĐ: x �0;x �1;x �1 Rút gọn P ta có: P x2 x1 � 1� x � � 2 2� x x x x1 � P 1� 1� 1 � 0� 0 x1 x1 x1 x1 b) � x 1 � x Vậy với x 1và x �0;x �1thì P a) Ta có: P x2 x2 1 1 x 1 x 1 2 x x x x1 x 1 Khi x 1;x Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: xảy x Vậy GTNN P � x �2 x1 Dấu " " Câu 2 � n4 � n 1� �n 1 1� �� � Do đó: Nhận xét được: 1 1 16 1 18 1 M 1 1 1 1 18 1 20 1 20 401 22 2 2 2 2 2 Câu a) ĐKXĐ: x �0;x ��2 �4x 8x2 �� x � 4x x 8x x 1 2 x 2 A � : � : �� x x 2 �2 x x ��x 2x x � x x 8x 4x2 8x2 x 1 2x 8x 4x2 3 x : : 2 x 2 x x x 2 2 x 2 x x x 2 4x x 2 x 2 x x x 2 3 x 4x2 x � x 1 4x2 � A 1 � 1� 4x x � � x x � b) 4x2 A 0� 0� x 3 0� x x c) A Vậy x 3;x �0;x �� Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com x � 1;4 Vậy để A nguyên Câu 57 Đặt s x2 t y2 đẳng thức đề viết lại thành s s 2t t t s a Do s, t �0 nên Từ ta có s s 2t s s t , t t s t s t s t st a hay s t a 3 Suy s t a Đây kết cần chứng minh Câu 58 a) Điều kiện: P x � y;x �1;y �1 x3 x2 y2 y3 x3y2 x2y3 x2 xy y2 x y x2y2 (x y)(1 y)(1 x) (1 y)(1 x) x2 x2y x y 1 x x xy y b) Đặt S 1 1 1 1 1 1 2 2 2017 20182 1 �1 � 1 1 � � n (n 1) �n n 1� n(n 1) Ta có (n ��* ) � 1 � 1 � 1 1 � n n1 � n n 1� Áp dụng đẳng thức ta � 1� � 1� � 1 � S � 1 � � 1 � � 1 � � � � 3� � 2017 2018 � = 2018 2018 2018 (điều phải chứng minh) Câu 59 Từ giả thiết cho ta có: 1 � xz yz xy � 2xy 2xz 2yz x y z � x2 y2 z2 x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz � x2 y2 z2 Fb: Trịnh Bình x y z x y z số hữu tỉ TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com Vậy ta có điều phải chứng minh Câu 60 a) Rút gọn T: Với a �b, a 0, b , ta có: T a b ab : a b T a3 a b b a b3 a3 b3 a b a b a b ab a b � a b ab a b a b a b a b ab , với a �b, a 0, b ab Vậy : b) Chứng tỏ T > T a b ab ab Ta có: �T , với a �b, a 0, b (kết câu 1.a) a b ab ab a �b,a 0,b a b ab 1 (vì ab 0, a b �0 với ) Vậy T > Câu 61 Ta có ngay: A 20 45 125 405 15 18 B 9 9 2 2 2.2 2.1 2 21 21 2.2 2.1 2 2 2 1 2 Câu 62 Ta có: Fb: Trịnh Bình 1 (do2 0) 2.3 � 1 2.3 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ab ab 91 Website:tailieumontoan.com 1 3.4 � 1 2 3.4 2018.2019 � 1 3 2018 2018.2019 � � � � � � P� 1 1 � 1 � � � � � 2.3 � � 3.4 � � 2018.2019 � 2.3 3.4 2018.2019 2.3 3.4 2018.2019 1 3 2018 10 4074340 2.3 3.4 2018.2019 1.4 2.5 3.6 2016.2019 2017.2020 2.3 3.4 4.5 2017.2018 2018.2019 1.2 .2017 4.5 .2020 1.2020 2020 1010 2.3 .2018 3.4.5 .2019 2018.3 6054 3027 Câu 63 a) Điều kiện x 0;x �1 x1 1 x1 A : x2 x x x x x x x x x x x1 x x x x x x 1 x1 x x x x x b) Ta có: T B 2A x4 5x2 8x 2025 2 x 1 x 1 x 1 x1 x4 5x2 8x 2025 2x2 4x x4 7x2 4x 2023 x4 8x2 16 x2 4x 4 2003 x2 x 2 2023 x Vì 2 � 4�0, x 2 2 T 2003 �� x � x2 �� �� � �� x 2 � x x 2 � � x � Dấu “=” xảy Vậy với Tmin 2003 � x Câu 64 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com P: a) Rút gọn biểu thức Điều kiện : a 0,b ab P � P: a b ab a b a b a b a b a b a b P a b ab ab a b a b a b a b a b a b a b a2 b2 b) Ta có: � a � a 2019 2018 � � � � � b 2020 2019 � � b � � P a b 2018 2019 1 2018 2 � a 2018 � �� � b 2019 2019 2018 2019 Câu 65 1) Điều kiện a � � � 1 a 1 a 1� Q� � a 2a � � a� a2 a � � 1 a 1 a �a � � � a2 � 1 a a � � � � a 2a � a � 1 a 1 a a� 1 a 1 a 1 a � � � � � � a2 � � � 1 a 1 a � � a 1 � � � a a� 1 a 1 a � � 1 a 1 a � � a a � a2 � � �a ( a 0) � a a 1 a 1 a � � � a a a2 1 1 a a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a ( a 1) a2 1 a a 1 a 1 a a2 1 (1 a) a a a a2 a2 (1 a) a a2 (1 a ) a 2a 2) Điều kiện a Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com Q3 a 1 Ta có: Xét hiệu : Q Q a 1 a 1 a 1 � a 1 a 1 1 a 1 1 a(a 1)(a 2) �a 1 1� � Mà � a � a 1� � a 1 � a a 1 a 2 � a 2 � � Q3 Q � Q3 Q Vậy Q Q Câu 66 10 6 4 15 8 15. 3 16 15 3 3 5 A 15 15 5 5 4 15 4 15 Câu 67 Điều kiện a a) � a a a �4 a P� � a a a 2� � a � � � a a �4 a a � � �a � a a a � � � a a �4 a � � � a2 a 2� � � a a a a 2 a 2 a a2 a a 2 a a a a a a b) Điều kiện a Ta có: � 1� 9 P a a � a � � 2� 4 � 1 � a � a � a (tm) 2 Dấu “=” xảy MaxP a Vậy Câu 68 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com Điều kiện a 0;x �1 x a 1 1 a2 a2 a 1 a2 2a 1 a4 2a3 2a2 (a 1)2 a 1 a4 2a3 a2 2a 1 2a2 a 1 a 1 a a 1 a a 1 2 a2 a a2 a 1� a 1 a 1 � a a � a2 a � 0� a � a2 2a 1 a2 a a 1a a a � x a �P x x x 1 x2 2x x x 11 x1 x x 1 x 1 x 1 x Vậy P 2a 2 x 1 1 2 a 1 2a a a 1 a 1 a Câu 69 2 � �� x y x y y � �� � � � x y x y x 2y x x y y � �� � � � x y xy x y xy y yx x � x y 2x 4y xy x y � � 2(x y) 3(x y) x y xy xy 5 xy. x y � � x y � � � x x y x y xy 1 � x y xy xy Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com � x y xy � x y � x y� 0 x 1 y x 1 y Vậy �a a b a a b P� �a a b a a b � Câu 70 a b a a a b2 a 2 a a b2 a b2 � a a 2b , �: � b � a b 0 b2 a a b2 a a b 2a a b a a b 2a a b a a b2 b2 a a b 4a a b b2 a a b2 b2 a a b a a b � a b2 a � 2 a b � � � a b2 a0 � 2 � a b Câu 71 A a x 2x a a x 2x a = x x 2 x a x x a x x a x a x +) Với x � a x a x a +) Với x a x nên A = x 2x x 2 x x a x a a x a x x a nên A = x a x a a x Câu 72 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com a) Với x 0;x �4 , ta có: � x x �x x � 1 � A � : � � x x x � x x8 � x 2� x � � x2 x x x x Ta có x x x Khi đó, ta có: b) Ta có 3 3 5 14 3 A 24 x 14 2.3 3 � x A � �x x x x � � x x 3 24 3 3 3 3 � A �2 Do A nên A 2 Câu 73 x x x x 1 x x x a) + Biến đổi x2 x 1 x 1 + Biến đổi x 1 x A x 1 + Ta có A + Vậy : x x x1 x1 x 1 x x2 x2 = x x 1 x 1 x 1 x1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x1 x , với điều kiện x 0, x �1 b) Ta có: 1 2018 A ���۳ 2018 1 x 1 1 2018 x 2018 x � 2018 � x �2018 x � 2;3;4; ;2018 x 0, x �1 Vì x nguyên nên Suy có 2017 giá trị x nguyên thỏa mãn tốn Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com Câu 74 Ta có: 2 a 2a b ab : 1 ab 1 ab A 2(1 a) ab(1 a) Khi a 0; b ab a+ b a + b = ab � ab , 1� a b 1� a 1 b �1 � A (1 ) � �� b b � b � Dấu “ = “ xảy � b 4; a Do 1 Vậy giá trị lớn A a b Câu 75 Ta có: �1 a3 � a a P� 1 a � a 1 � a � a � � �1 a 1 a a � a1 � P 1 a � � � a � a 1 a 1 � � � �1 a a � a 1 P� 1 a � (Do a 1� a 1� a 0) � a1 � a � � P P 1 a a a 1 a a a1 a a 1 a1 a a1 a 1 Câu 76 a) P x2 x 3x x x2 x3 x 5 x x x x 5 x 3x x x 1 x5 ( x 2)( x 5) ( x 3)( x 1) (3x x 5) ( x 1)( x 5) x x ( x 1)( x 5) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 5) Fb: Trịnh Bình x2 x5 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com x2 P 2 � 2 � 2 x5 Ta có + Với x< 5 x 25 + Với x 12 � x 144 �x 0� � x5 � � x 12 x2 Câu 77 Điều kiện : x 0, x �1 2 x 1 x2 x 2x x A x 1 x x x 2 x 1 x x x 1 x 1 x x � 1� 3 1 x x x x � x � � 4 � 2� 4 1 A� � x 0� x Dấu " " xảy Vậy (tm) Câu 78 � x � 1 x2 y2 � x2 y2 � x Q a) Ta có: x x2 y2 x x2 y2 x x2 y2 x x2 y2 x x2 y2 � y x2 y2 x2 x2 y2 y x2 y2 y x y x2 y2 x y x y Q Vậy � y �: � x x2 y2 � x y x y x y x y với x y b) Ta có: x 3y Thay (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được: Q 3y y 3y y Fb: Trịnh Bình 2y 4y 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com 2 x 3y Q Vậy Câu 79 A 2x x y y x xy y xy 3y x y x x 3x y 3y x y y 2x x y y x y x xy y x x xy y x y x xy y x x y x y x,y �0 x �y với y x y x y x y y x y y x y x3 y x y 3 Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị biến với x,y �0 x �y Câu 80 a) ĐKXĐ: P b) x x �0;y �0,y �1,x y �0 x y 1 y xy x y x y 1 y x y x1 x y x xy y xy x y 1 y x1 x xy y x x P � x xy y � x y Ta có: 1�y�� 1 x 1 Kết hợp với điều kiện x ���� 0 x x y 1 � x 1 1 y 0;1;2;3;4 Thay vào phương trình P Ta x;y � 4;0 ; 2;2 Câu 81 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com � � a2 b2 a b a b P� � � a b 0 � a b a b 2 a2 b2 a b � � � a b � � a b a b a b2 � � � � a b a b a b � � a b a b � a2 b2 � � a b a b a b a b a b a b a b 2 a b a b 2b a b a b a b a b a b �a b 2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 � b a b a b Vì a – b = a = b + theo BĐT AM – GM: a2 b2 b 1 b 2b2 2b 1 P =2b + �2 2b � 2 b b b b b Câu 82 a) ĐKXĐ: x �0; y �0, xy �1 P x y xy x y xy xy : �1 xy x y xy � � � xy � � xx y y y x xx y y y x xy xy x y xy xy x 1 x 1 y x 1 y 1 x 1 y x b) Với 2 P 1 x 2 1 1 3 x 1 x 2 2 3 2 3 4 3 3 3 3 3 13 5 Câu 83 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com �x x x x �� 1 � a) P � �: � � �x x � x �� x x 1� � � �� � x x x �� x 1 x � � : � x x1 x 1�� x x � � � �� x x x x x 1 x 1 x x x x 1 x 1 x x2 x x x 2 x 1 � x 0;x �1 x1 � b) �1 � �2 x x 1 P �1 � � x 1 16 x x * ۳� �� x1 x9 Vậy * x tm x x 1 �1 P Câu 84 Với điều kiện x 0,x �1, ta có: P x x x 1 x x x x 1 x x x 1 x 2x x x x x x x x x 1 2x x x 1 x x 1 x x x 2 x x 1 x x 1 x 1 x 2 x x 1 x x 1 x x x1 Ta có với điều kiện x 0,x �1� x x x � 0 P Fb: Trịnh Bình x2 x x x2 x1 1 x 1 2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com P 1� Do P nguyên nên suy x2 1� x x x (loại) Vậy khơng có giá trị x để P nhận giá trị nguyên Câu 85 A Ta có x2 x x2 x x x x x x x 1 x x 2x B 1 2A x 1 x 1 1 x x Do Câu 86 Ta có: a2 3 5 3 5 5 6 4 6 6 4 1 3 Do a 1 Vì a nên a 2 3 hay a 2a Câu 87 � � P 1 x � 1 1 x2 1 1 x2 � � � � P 1 x 1 1 x2 Mà Với 2 1 x 1 x P 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x2 �0 � P 1 x x 2019 �P 2019 2018 Câu 88 Với n số nguyên dương ta có: n 1 n n �1 � n 1 n� � n 1 n n n1 �n n 1� n n A 2011 2010 1 2010 2011 Suy ra: 1 Fb: Trịnh Bình 2011 1 87 89 89 TÀI LIỆU TỐN HỌC 91 Website:tailieumontoan.com Lại có: n 1 n 2 � A 2 n1 n 1 n 2010 n n n1 � � � � 88 2� 1 1 � � 2� 2011 2011 � � 45 � 45 � Câu 89 Ta có A 2 2 Fb: Trịnh Bình 20 20 2 20 5 4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... biểu thức biến Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến nghiệm phương trình Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải. .. thức hữu tỉ Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỉ Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỉ toán liên quan Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 3 Chủ đề Tính giá trị biểu. .. gọn biểu thức toán liên quan Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 77 78 83 84 87 97 101 RÚT GỌN PHÂN THỨC HỮU TỶ Nhắc lại kiến thức: Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thức