Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
4 Website:tailieumontoan.com CÁC DẠNG TOÁN VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề tốn THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy em chuyên đề toán biểu thức đại số Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán biểu thức đại số thường kì thi gần Chuyên đề gồm mục lớn sau: Chủ đề 1: Rút gọn phân thức hữu tỉ Chủ đề 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức biến Chủ đề 3: Rút gọn tính giá trị biểu thức nhiều biến Chủ đề 4: Chứng minh đẳng thức Chủ đề 5: Biểu thức chứa thức toán liên quan Các vị phụ huynh thầy cô dạy tốn dùng dùng chun đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề biểu thức đại số giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com MỤC LỤC Trang Chủ đề Rút gọn phân thức hữu tỉ Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỉ Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỉ toán liên quan Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 3 Chủ đề Tính giá trị biểu thức biến Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến nghiệm phương trình Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 14 15 15 16 19 Chủ đề Tính giá trị biểu thức nhiều biến có điều kiện Dạng 1: Sử dụng Dạng 2: Sử dụng Dạng 3: Sử dụng Dạng 4: Sử dụng Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải phương pháp phân tích phương pháp hệ số bất định phương pháp hình học Vận dụng tính chất dãy tỉ số 24 25 27 28 28 34 Chủ đề Một số phương pháp chứng minh đẳng thức Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thương đương Dạng 2: Sử dụng đẳng thức quen biết Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Dạng 5: Sử dụng lượng liên hợp Dạng 6: Chứng minh có số số cho trước Dạng 7: Sử dụng Vận dụng tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 49 50 51 53 53 54 56 58 63 Chủ đề Rút gọn biểu thức đại số toán liên quan Dạng 1: Các toán biến đổi thức thường gặp Dạng 2: Sử dụng ẩn phụ để đơn giản hóa toán Dạng 3: Các toán tổng dãy có quy luật Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa có nhiều ẩn Dạng 5: Rút gọn biểu thức toán liên quan Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 77 78 83 84 87 97 101 RÚT GỌN PHÂN THỨC HỮU TỶ Nhắc lại kiến thức: Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thức thành nhân tử, cho tất nhân tử khác Phân tích tử thành nhân tử, chia tử mẫu cho nhân tử chung Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỷ Thí dụ Rút gọn biểu thức x4 − x3 − 2x − A= 2x − 3x3 + 2x2 − 6x − Lời giải Ta có: ( =(x ) ( + 2) ( x ) ( − x − 2) = ( x )( ) ( ) + 2) ( x + 1) ( x − 2) x4 − x3 − 2x2 − = x4 − − x3 + 2x = x2 + x2 − − x x2 + 2 2 ( ) ( ) ( ) = 2( x − 4) − 3x( x + 2) + 2( x + 2) = ( x + 2) ( 2x − 3x − 2) = ( x + 2) ( x − 2) ( 2x + 1) 2x4 − 3x3 + 2x2 − 6x − = 2x4 − − 3x3 + 6x + 2x2 + 4 2 (x A= x≠ Vậy với t≠ − 2 x ≠ 2, x ≠ − Điều kiện xác định A (x ) + ( x − 2) ( 2x + 1) = x+ 2x + x+ 2x + Thí dụ Rút gọn biểu thức ) Ta có: + ( x + 1) ( x − 2) A= B= 2xy − x2 + z2 − y2 2x2 + z2 − y2 + 2xz Lời giải Ta có: B= ( z2 − x2 − 2xy + y2 (x ) ) = z − ( x − y) + 2xz + z2 − y2 ( x + z) 2 − y2 x + y + z ≠ 0,x − y + z ≠ ⇒ B = = ( z + x − y) ( z − x + y) ( x + z + y) ( x + z − y) z − x+ y x+ y + z Với Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỷ toán liên quan Thí dụ Cho biểu thức x4 − 5x2 + A= x − 10x2 + Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 2x − = c) Tìm giá trị A Lời giải a) Ta có: ( =(x ) ( ) ( ) ( ) − 1) ( x − 4) = ( x − 1) ( x + 1) ( x − 2) ( x + 2) x4 − 5x2 + = x4 − x2 − x2 − = x2 x2 − − x2 − ( =(x ) ( ) ( ) ( ) − 1) ( x − 9) = ( x − 1) ( x + 1) ( x − 3) ( x + 3) x4 − 10x2 + = x4 − x2 − 9x2 − = x2 x2 − − x2 − 2 Điều kiện xác định A A= x ≠ ±1, x ≠ ±3 Ta có: ( x − 1) ( x + 1) ( x − 2) ( x + 2) = ( x − 2) ( x + 2) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 3) ( x + 3) ( x − 3) ( x + 3) b) Ta có: A = 0⇔ ( x − 2) ( x + 2) = ⇔ x = ±2 ( x − 3) ( x + 3) c) Ta có: 2x − 1= x= 2x − = ⇔ ⇔ 2x − = −7 x = −3 A= Với x = ( x − 2) ( x + 2) = ( 4− 2) ( 4+ 2) = 1.6 = ( x − 3) ( x + 3) ( 4− 3) ( 4+ 3) 1.7 Với x = - A khơng xác định Thí dụ Cho biểu thức 2x3 − 7x2 − 12x + 45 B= 3x − 19x2 + 33x − Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Rút gọn B b) Tìm x để B > Lời giải a) Ta có: ( ) ( − 10x + 3) = ( x − 3) ( 3x ) 3x3 − 19x2 + 33x − = 3x3 − 9x2 − 10x2 − 30x + ( 3x − 9) ( = ( x − 3) 3x2 ( ) − 9x − ( x − 3) = ( x − 3) ) ( ) ( 3x − 1) ( ) 2x3 − 7x2 − 12x + 45 = 2x3 − 6x2 − x2 − 3x − ( 15x − 45) = ( x − 3) 2x2 − x − 15 ( ) = ( x − 3) 2x2 − 6x + ( 5x − 15) = ( x − 3) Điều kiện xác định A ( 2x + 5) x ≠ 3,x ≠ Ta có: ( x − 3) ( 2x + 5) = 2x + ( x − 3) ( 3x − 1) 3x − B= b) Ta có: x > 3x − 1> x > − x> 2x + > 2x + B > 0⇔ > ⇔ ⇔ ⇔ 3x − 3x − 1< x < − x< 2x + < x < − x> ∨ x< − Vậy để B > P= Thí dụ Cho biểu thức: x ≠ 0;y ≠ 0;x ≠ − y 1) Rút gọn biểu thức y2 − x2 y2 x+ y x2 − + − 2÷ x x + xy xy xy + y x + xy + y2 P 2) Tính giá trị biểu thức Fb: Trịnh Bình với P, x,y biết thỏa mãn đẳng thức: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x2 + y2 + 10 = 2( x − 3y ) Lời giải 1) Với x ≠ 0;y ≠ 0;x ≠ − y ( ) ta có: x+ y x y − x − y ( x + y ) − xy ÷ P= − x ÷ x + xy + y2 xy ( x + y ) 2 x+ y xy ( x − y ) − ( x − y ) ( x + y ) = − x xy ( x + y ) x + xy + y2 ( ) 2 x+ y ( x − y ) x + xy + y = + x xy ( x + y ) x + xy + y2 = x− y x+ y + = x xy xy 2) Ta có: x2 + y2 + 10 = 2( x − 3y ) ⇔ x2 − 2x + 1+ y2 + 6y + = ⇔ ( x − 1) + ( y + 3) = Lập luận Nên thay x = ⇒ (tm) y = − x = 1;y = −3 Thí dụ Cho biểu thức: A a) Rút gọn biểu thức P= vào biểu thức − x 1− 2x A = + − : 2÷ 1− x 1+ x 1− x x − b) Tìm giá trị nguyên c) Tìm x x + y 1+ ( −3) = = xy 1.( −3) x để biểu thức A nhận giá trị nguyên A =A để Lời giải x ≠ ±1;x ≠ a) ĐKXĐ: Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 1+ x + 2( 1− x) − ( 5− x) A = 1− x2 −2 x2 − = = 1− x 1− 2x 1− 2x b) x A nguyên, mà x=0 Vậy c) Ta có: x2 − ÷ ÷ 1− 2x 2M( 1− 2x) , nguyên nên A = A ⇔ A ≥ ⇔ 1− 2x > ⇔ x < −1 ≠ x < Kết hợp với điều kiện : từ tìm x = 1(ktm) x = 0(tm) Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật S= Ví dụ Tính tổng: 1 1 + + + + 1.3 3.5 5.7 2007.2009 Lời giải T 1 ( n + 2) − n 1 = = − 2 n n + 2÷ n ( n + 2) n ( n + 2) a có: Do đó: S= 1 1 1 1 1004 1− + − + + − = 1− = 2 3 2007 2009 2009 ÷ 2009 M= 2.1+ + 2.2 + + 2.3+ ( + 1) ( + 2) ( + 3) 2 2 2 + + Ví dụ Cho Tính giá trị biểu thức M 2.2012 + ( 2012 + 2012) 2 Lời giải Ta có: 2a + ( a + a) 2 = 1 − a ( a + 1) Do đó: Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1 1 1 + − + − + + − 2 2 3 2012 20132 = 1− 20132 M = 1− Ví dụ Rút gọn biểu thức: M= ( 1.2) + ( 2.3) + + 2.n+ n ( n + 1) Lời giải Ta có: 2k + k ( k + 1) = 2k + k2 ( k + 1) = 1 − k ( k + 1) Do đó: M= n ( n + 1) 1 1 1 1 1 − + − + − − + − = − = 12 22 22 32 32 n2 n2 ( n + 1) ( n + 1) ( n + 1) Ví dụ 10 Rút gọn biểu thức: 1 M = 1− ÷ 1− ÷ 1− ÷ 1− ÷ n Lời giải Ta có: 1− k2 − ( k + 1) ( k − 1) = = k2 k2 k2 Do đó: 1.3 2.4 3.5 ( n − 1) ( n + 1) 1.3.2.4 ( n − 1) ( n + 1) = 22 32 42 n2 22.32.42 n2 1.2.3 ( n − 1) 3.4.5 ( n + 1) n + n + = = = 2.3.4 n n 2n 2.3.4 ( n − 1) n M= Bài tập vận dụng x2 − 2x 2x2 2 A = − 1− − ÷ 3÷ 2x + 8 − 4x + 2x − x x x Câu Rút gọn biểu thức sau: x2 + x x + 1 − x2 P= : − + ÷ 1− x x − x x − 2x + x Câu Cho biểu thức : P a) Rút gọn biểu thức Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Tìm x để P 14 + 54 + 94 + 174 + M= + 74 + 114 + 194 + P c) Tìm giá trị nhỏ Câu Tìm tích: Câu Cho biểu thức : 4x 8x2 x − A = + : − ÷ 2÷ 2+ x 4− x x − 2x x a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức x A = −1 b) Tìm để A 0 x d) Tìm để P= Câu 11 Cho x để P nhận giá trị nguyên a3 − 4a2 − a + a3 − 7a2 + 14a − a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên A= Câu 12 Tính: a để P nhận giá trị nguyên 1 1 + + + + 3 3 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Điều kiện: x ≠ x ≠ x2 − 2x 2x2 2 A = − 1− − ÷ ÷ x x 2x + 8 − 4x + 2x − x x2 − 2x x2 − x − 2x2 ÷ = − x2 + 4( − x) + x2 ( − x) ÷ x2 ( ) x2 − 2x 2x2 = − x2 + x + ( − x) ( ) ( x.( x − 2) + 4x2 ) = ( x + 1) ( x − 2) ÷ ÷ x2 ( x + 1) ( x + 2) = x x ( ) x ( x + 4) ( x + 1) x + = = 2x 2x ( x + 4) 2( x − 2) x2 + − 4x2 + 4x + 4x2 x + x x2 + ( ) 2 Vậy x+ A= 2x với x ≠ x ≠ Câu a) ĐKXĐ: Fb: Trịnh Bình x ≠ 0;x ≠ 1;x ≠ −1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A = 20 − 45 + 125 − 405 = − + 15 − 18 = B = 9− + 9+ = ( ) = ( 2 − 1) 2 − 2.2 2.1+ + ( 2 + 1) + ( ) 2 + 2.2 2.1+ = 2 − + 2 + = 2 − 1+ 2 + = 1+ = = Câu Ta có: 1+ + = = (do2 − > 0) 2.3 ⇒ = 1+ 2.3 3.4 ⇒ = 1+ + 3.4 2018.2019 ⇒ = 1+ + + + 2018 2018.2019 P = 1− 1− 1− ÷ ÷ ÷ 3.4 2.3 2018.2019 2.3− 3.4 − 2018.2019 − = 2.3 3.4 2018.2019 1+ + 3+ + 2018 = 10 4074340 2.3 3.4 2018.2019 1.4 2.5 3.6 2016.2019 2017.2020 = 2.3 3.4 4.5 2017.2018 2018.2019 ( 1.2 .2017) ( 4.5 .2020) = 1.2020 = 2020 = 1010 = ( 2.3 .2018) ( 3.4.5 .2019) 2018.3 6054 3027 = Câu a) Điều kiện A= = = x > 0;x ≠ x+1 −1 : x x + x + x −x + x ( x+1 ) x x + x + x +1 ( x+ x + Fb: Trịnh Bình ( = ( x +1 ) x x+ x + ( x2 − x ) ) x x x −1 )( ) ( x − x+ x + = )( x+1 ) x −1 = x−1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com T = B − 2A b) Ta có: = x4 − 5x2 − 8x + 2025− 2( x − 1) = x4 − 5x2 − 8x + 2025− 2x2 + 4x − = x4 − 7x2 − 4x + 2023 = x4 − 8x2 + 16 + x2 − 4x + + 2003 ( ) = x2 − + ( x − 2) + 2023 (x Vì ) − ≥ 0,( x − 2) ≥ ⇒ T ≥ 2003 2 x = x2 − = ⇔ ⇔ x = −2 ⇔ x = x − = x = Dấu “=” xảy Tmin = 2003 ⇔ x = Vậy với Câu P: a) Rút gọn biểu thức ab ⇒ P: = ( ( ( ) ( a− b + + ab ) a + b ( a + b) a− b )( ( ) a + b ( a + b) a > 0,b > Điều kiện : P= a− b = P ( )( a − b + ab + ab )= a− b ) a + b ( a + b) ) a + b ( a + b ) = ( a − b ) ( a + b ) = a − b2 b) Ta có: a = a = 2019 + 2018 ⇔ b = b = 2020 + 2019 ( ( ⇒ P = a − b = 2018 + − Câu 1) Điều kiện Fb: Trịnh Bình ) =( ) 2019 + 1) 2018 + ( 2 a = 2018 + ⇒ b = 2019 + ) 2019 + = 2018 − 2019 < a 0) + a + − a − a2 −1 = (1− a) a 1+ a − 1− a ( < a < 1) ( = 1+ a + 1− a ( )( 1+ a − 1− a 1+ a − 1− a ) ) − a2 −1 ( 1− a) a + a −1 + a − a2 −1 = (1 − a) a + a + − a − − a2 − a2 −1 = (1 − a ) a − − a2 2a = −(1 − a) = a − 2) Điều kiện 0< a < Q = ( a − 1) Ta có: Xét hiệu : Q − Q = ( a − 1) − ( a − 1) = ( a − 1) ( a − 1) − 1 = ( a − 1) ( a − 1− 1) ( a − 1+ 1) = a(a − 1)(a − 2) Mà a > < a < 1⇒ a − < ⇒ a( a − 1) ( a − 2) > a − < ⇒ Q3 − Q > ⇔ Q3 > Q Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Q3 > Q Vậy Câu ( ) ( 10 − 6) 4− 15 = = + 15.( − 3) 16 − 15 = ( = ( + ) ( − ) = − = A = + 15 + 15 ( ) ( 5− ) ( 4+ 15) ( 4− 15) ) 5+ − Câu 10 a) Điều kiện a> a a + a 4− a P= + a + a+ a + 2÷ ÷ a a = + a+2 ( a ( ) 4− a a + a a+1 )( a+1 ) a a 4− a = + ÷ a+2 a + 2÷ a ( = = ( )( ) ( a a + a 2− a 2+ a = a+2 a )( ) )( a + 2− a ) a a + − a = −a + a + b) Điều kiện a>0 Ta có: 1 9 P = −a + a + = − a − ÷ + ≤ 2 4 ⇔ a− Dấu “=” xảy MaxP = a= 4 Vậy 1 = ⇔ a = ⇔ a = (tm) 2 Câu 11 Điều kiện Fb: Trịnh Bình a > 0;x ≠ TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x = a + 1− 1+ a + a2 ( a + 1) a2 + 2a + 1+ a4 + 2a3 + 2a2 = a + 1− (a + 1)2 a4 + 2a3 + a2 + 2a + 1+ 2a2 = a + 1− ( a + 1) (a = a + 1− ) + a+ ( a + 1) 2 a2 + a + a2 + a + 1 = a + 1− a+ a+ = a + 1− a2 + a + > 0÷ a+ a2 + 2a + 1− a2 − a − a = < 1∀a > a+ a+ ⇒ < x < ∀a > = x + x − x + 1+ ⇒P= x2 − 2x + x+ = x −1+1 x−1 Vậy = x+ = ( ) ( x − 1) x + 1− x + = 1− x x −1 +1 2( a + 1) = = 2a + a a + 1− a 1− a+ P = 2a + Câu 12 ⇔ ⇔ ⇔ ( ( x+ y )( x+ y ) +( x− y ) x + y + xy + x + y − xy x − y + 2x + 4y 2(x + y) + 3(x + y) ( x + y − xy xy ) ÷ ÷+ x − y + 2( x + 2y ) ÷ x 2 + ( y y+x x ( xy x+ y y x+ y ) = ) + y ( ÷= x+ y ÷ ÷ x ) )( ) =5 xy.( x + y ) x + y x + y − xy =1 ⇔ x + y − xy = xy Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇔ x + y − xy = ⇔ ( x− y ⇔ x= y⇒ ) =0 x =1 y x =1 y Vậy a + a + b2 a − a + b2 P= − a − a + b a + a + b2 Câu 13 = = = ( ) ( a +b ) ( a− a + a2 + b2 (a+ 2 − a − a2 + b2 a + b2 ) ) a − a 2b , ÷: ÷ b a > b >0 ( b2 a a − b2 ) ( a + a + b + a a + b − a + a + b − 2a a + b a − ( a − b2 ) ) b2 a a − b 4a a + b b2 a a2 + b2 = b2 a a − b a a − b a2 + b2 2 a > a −b = a + b2 a 0;x ≠ , ta có: x+ x + 1 = A = − : ÷ x x−8 x − 2÷ x = ( )( x−2 ) x − x+ x + x= x+ x + ( )( x+ x + ) ( ( A= ) 3+ ( ( + 5) ) 14+ + 3+ + Khi đó, ta có: ( ) A = 24 − + = − b) Ta có ( )( ) x = 14 + = + 2.3 + = 3+ ⇒ x = Ta có − x − x+ x + x x x − x + x + x+ x + 3+ = 24 + = = 3+ = 3+ 3+ = 3+ ( ) ) ⇒ A = ± 3− Do A 0, x ≠ , với điều kiện b) Ta có: A≥ 1+ 2018 2018 ⇔ 1+ x ≥ 1+ 2018 ⇔ x ≥ 2018 x ≤ 2018 ⇒ < x ≤ 2018 Vì x > 0, x ≠ x ∈ { 2;3;4; ;2018} x nguyên nên x nguyên thỏa mãn tốn Câu 17 Ta có: A= = Khi Suy có 2017 giá trị + a 2a b + ab : 1− ab 1− ab 2(1+ a) ab(1+ a) a > 0; b > ab a + b = ab ⇔ a+ b ab , Vậy giá trị lớn A = 1⇔ a + b = 1⇔ a = 1− b 1 A= (1− )= − − ÷ ≤ b b b 2 Do = Dấu “ = “ xảy ⇔ b = 4; a = a= b= Câu 18 Ta có: Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 1+ a3 a− a + P= + 1− a ÷ ( a > 1) a− ÷ a ( )( ) ( ) 1+ a 1− a + a a−1 P= + 1− a ÷ ÷ a a −1 a +1 ÷ 1− a + a a−1 P= + 1− a ÷ (Do a > 1⇒ a > 1⇒ a − > 0) ÷ a−1 a P= P= ( )( ) 1− a + a + a − 1− a + a a−1 a a−1 a−1 a a −1 a =1 Câu 19 a) P = = = x+2 x + 3x + x − x+2 x+3 − = − − x + 5− x x − x − x + 5− x − ( 3x + x − )( x +1 ) x−5 ( x + 2)( x − 5) + ( x + 3)( x + 1) − (3x + x − 5) ( x + 1)( x − 5) −x − x − ( x + 1)( x − 5) =− ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x − 5) P > −2 ⇔ − =− x+2 x−5 x+2 x−5 > −2 ⇔ − Ta có + Với + Với x < ⇔ ≤ x < 25 x > 12 ⇔ x > 144 x 0⇔ x−5 x > 12 x+ Câu 20 Điều kiện : Fb: Trịnh Bình x > 0, x ≠ TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A= 2( x − 1) x −1 ( x+ x + ( x −1 + = 1+ x ( − 2x + x x ) − x −1 x x x −1 ) =2 Vậy x2 − x + x+ x + ) 1 3 x −1 = x− x + + = x − ÷ + ≥ 4 2 4 A≥ Dấu "=" ⇔ x− xảy 1 = 0⇔ x = (tm) Câu 21 y x ÷: − 1+ 2 x2 − y2 x2 − y2 ÷ x− x − y x Q= a) Ta có: x + x2 − y2 x − x2 − y2 = − × y x2 − y2 x2 − y2 x = = = x x2 − y2 x x2 − y2 ( x2 − x2 + y2 − y x2 − y2 y − x− y ) x2 − y2 x + y x − y = x− y x+ y x− y Q= x+ y Vậy với x> y> b) Ta có: x = 3y Thay (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được: Q= 3y − y 3y + y Q= Vậy 2 = 2y 4y = 2 x = 3y Câu 22 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( A= x− y ) + 2x x + y y + x x+y y xy − 3y x− y x,y ≥ với = = x x − 3x y + 3y x − y y + 2x x + y y ( ( x x − xy + y )( ) x + y x − xy + y x = = ( )( x + y x − xy + y x+ y + ) ( ( x− y x− y )( ) x+ y ) y x+ y x+ y x+ y =3 Vậy giá trị biểu thức y y + x+3 y x,y ≥ ) + x≠ y A không phụ thuộc vào giá trị biến với x ≠ y Câu 23 a) ĐKXĐ: P= = b) ( x ( x ≥ 0;y ≥ 0,y ≠ 1,x + y ≠ ) ( ) x + − y 1− y − xy ( x+ y ( )( x + y 1− y )( )( ( x+ y ) ) x+1 x − y + x − xy + y − xy )( x + y 1− y )( ) x +1 ( )= x + xy − y ) ( P = ⇔ x + xy − y = ⇔ x + y − ) y +1 = ⇔ ( )( ) x −1 1+ y = 1+ y ≥ 1⇒ x − 1≤ 1⇒ x ≤ ⇔ x ≤ Ta có: Kết hợp với điều kiện Thay vào phương trình x ≥ ⇒ ≤ x ≤ ⇔ x ∈ { 0;1;2;3;4} P=2 ( x;y) ∈ { ( 4;0) ;( 2;2) } Ta Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 24 a2 + b2 a− b a− b + a > b > 0) ữì a+ b + a b ÷ a2 − b2 ( 2 a − b − a + b a− b a− b a + b2 ÷ = + × a + b + a − b a− b a+ b − a− b ÷ ÷ a2 − b2 P= ( a − b) ( = ) a + b − a − b + ( a − b) ( a− b )( a+ b + a− b 2( a − b) a + b = ( 2b a − b a2 + b2 × a − b a + b ( ) a+ b + a− b a+ b − a− b = ) ) ×a +b 2 a2 − b2 a2 + b2 b Vì a – b = a = b + theo BĐT AM – GM: a2 + b2 ( b + 1) + b 2b2 + 2b + 1 P= = = =2b + + ≥ 2b × + = 2 + b b b b b Câu 25 a) ĐKXĐ: P= ( )( ) ( )( x + y + xy + x − y − xy − xy ) : − xy + x + y + xy − xy ÷ x+x y + y +y x+ x−x y − y +y x − xy − xy + x + y + xy = = ( x ≥ 0; y ≥ 0, xy ≠ x+y x )= ( 1+ x) ( 1+ y ) x ( 1+ y) ( 1+ x) ( 1+ y ) x= 2+ b) Với ( x= ( P= 1+ ( ) 3− = ) − 1) 3−1 = = = x 1+ x ( 2− ) ( 2+ 3) ( 2− 3) = 4− = ( ) 3−1 3−1 = 3−1 3− 5− = 3+ 13 Câu 26 Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x+ x + x+ x 1 a) P = − : + ÷ ÷ x+ x − ÷ x−1 x + x − 1 x+ x + x x − 1+ x + = − : x + x −1 x − 1 x + x − ( )( ) ( )( ) x + x + − x − x ( x + 1) ( x − 1) = x x + x − ( )( ) ( x + 1) ( x − 1) = x + x+2 = x x ( x + 2) ( x − 1) x > 0;x ≠ 1 x+1 b) − ≥ 1⇔ x x +1 P − ≥1 x+1 ( *) ⇔ 16 x − ( Vậy ) ) ≥1 ⇔ x+1 x=9 ( x+1 ( *) ( ) x − ≤ 0⇔ x = ( tm) x+1 − ≥1 P Câu 27 Với điều kiện P= x− x ( )( ( = x ( ( ) x −1 x+ x + ) ( x( x x− x + = = x > 0,x ≠ , ta có: ( ( x +1 ) x x+ x + + x ( 2x − x + )( ) x −1 x+ x +1 ) ( x − 1) + 2x − x + x − 1) ( x + x + 1) x+1 ) x x+ x − ( + )( ) x −1 x+ x + )( x −1 )( ) x+2 ) x −1 x+ x +1 Fb: Trịnh Bình = x+2 x+ x + TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Ta có với điều kiện ⇒ 0< P = x > 0,x ≠ 1⇒ x + x + > x + > x+2 x+ x + x+2 < x +1 P Do nguyên nên suy = 1+ x+1 P = 1⇔ Vậy khơng có giá trị x x+2 x+ x +1 P để ) ( − = 6+ ) ( − + = 1+ ) ( a − 1) = a2 − 2a − = a = 3+ nên Do hay Câu 30 P = 1− x 1+ 1− x2 + 1− 1− x2 ÷ ( ( ⇒ P = ( 1− x) + 1− 1− x2 Mà ) ) = 2( 1− x) ( 1+ x ) P = 1− x + ( 1− x) 1− x2 + 1− x − ( 1− x) 1− x2 ≥ ⇒ P = ( 1− x) x= − Với 2019 ⇒P= 2019 2018 Câu 31 Với n số nguyên dương ta có: Fb: Trịnh Bình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ( n + 1) n = n 1 n 1 = n − = − > − ÷ ( n + 1) n n n+1 n n+1 n n + 1 A= + + + 2011 2010 > 1− + − + + 2010 − 2011 Suy ra: = 1− 2011 ( n + 1) n 2 < + ( 2 − n+1 Lại có: ⇒ A < 2− 87 = 89 89 > 1− n + 1+ n + + 2010 − ) n = n − n+1 88 = 2 1− ÷ < 2 1− ÷ = 45 45 2011 2011 Câu 32 Ta có ( ) A = 2− ( =2 Fb: Trịnh Bình ) + 20 − 20 = 2 − + − 20 5 − + − = − + − = −4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... dẫn giải 3 Chủ đề Tính giá trị biểu thức biến Dạng 1: Tính giá trị biểu thức chứa đa thức Dạng 2: Tính giá trị biểu thức chứa thức Dạng 3: Tính giá trị biểu thức có biến nghiệm phương trình Bài... thức hữu tỉ Dạng 1: Rút gọn biểu thức hữu tỉ Dạng 2: Rút gọn biểu thức hữu tỉ toán liên quan Dạng 3: Rút gọn biểu thức có tính quy luật Bài tập vận dụng Hướng dẫn giải 3 Chủ đề Tính giá trị biểu. .. Thí dụ Cho biểu thức: A a) Rút gọn biểu thức P= vào biểu thức − x 1− 2x A = + − : 2÷ 1− x 1+ x 1− x x − b) Tìm giá trị nguyên c) Tìm x x + y 1+ ( −3) = = xy 1.( −3) x để biểu thức A nhận