DÃY SỐ
Câu 1: Dãy số (uạ) cho bởi công thức uạ = 2n - 2 với mọi số nguyên đương n Năm số hạng đầu tiên của dãy là:
a) u¡ = Ö; uạ = 3; uạ = 4; uạ = 8; us = 10 b) uy = Ö; uạ = 2; uạ = 4; uạ = 6; uạ = 8
€) ủy = —2; uạ = 0; ug = 2; uy = 4; us = 6
đ) uy = 2; uạ = 4; ug = 6; uạ = 8; uạ = 10
Câu 2: Cho dãy (uạ) được cho bởi công thức uạ = nˆ + n Chợn khẳng
định đúng:
a) Un =n? +n4+1 b) uj =n” + 5n + 6 c) Ung =n’ +n+6 d) Ung = n? + On
Câu 3: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, kkang định nào sai: a) Dãy số (uạ) được gọi là tăng nếu uạ„¡ >uạ với Vn € N™ đúng, |_| tai b) Day sé (u,) được gọi là tăng nếu uạ„¡ < uạ với Vn e N” đúng, sai * c) Dãy số (u„) được gọi là giảm nếu uạ„¡ < uạ với Vn eN đúng, L] tại .Câu 4: Dãy số (uạ) cho bởi công thức: uạ = 3n + 2 là dãy a) Tăng b) Giảm
c) Không tăng, không giảm
Câu 5: Dãy số (uạ) cho bởi công thức uạ = nŸ - 1 là dãy:
a) Giảm b) Tăng
c) Không giảm, không tăng
Câu 6: Dãy số (uạ) cho bởi công thức uạ = nŸ - 19n là dãy:
a) Giảm b) Tăng
Trang 2(n+1)!
n ,
Câu 1: Dãy số (uạ): uạ = (vạ): vạ=n + sin?n Chọn khẳng định đúng:
a)(uạ) là dãy giảm, (v,) là dãy giảm
b) (u,) là dãy giảm, (v,) là dãy tăng
e)(u,) là dãy tăng, (vạ) là day tang
đ)(uạ) là dãy tăng, (vạ) là dãy giảm
2-n
Câu 8: Cho dãy số (sạ): sạ= ý vn Chọn khẳng định đúng:
a) sa) là dãy giảm b) (s,) la day tang ¢) ‘s,) la dây không đơn điệu
Câu 9: Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng, khẳng định nà2 sai
a) Dãy số (uạ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
u, <M véi Vn e N’ dung, sai b) Day sé (u,) duge goi 14 bi chan duéi nếu tồn tại m sao cho u, > m với vn e NỈ đúng, sai c) Day số (uạ) được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn đưới hoặc bị chặn trên đúng, Sai Câu 16: Dãy số (uạ) cho bởi công thức u„ = nÊ — 4n + 1 là dãy a) Bị chặn
b) 3j chặn trên và không bị chặn dưới c) Bị chặn dưới và không bị chặn trên
Cau 11: Day sé (u,) cho bởi công thức uạ = —n” — 4n + 1 là dãy: a) Bi chan
b) Bi chan vrên và không bị chặn dưới c) Bi chặn dưới và không bị chặn trên
Câu 12: Cho 2 dãy (uạ), (vạ) với:
u, = sinn + cosn; v, = —
n° +1
Trang 3Chọn khẳng định đúng: a) (uạ) bị chặn và (vạ) không bị chan b) (uạ) bị chặn và (vạ) bị chặn c) (u,) khéng bi chặn và (vạ) không bị chặn d) (u,) không bị chặn và (vạ) bị chặn Câu 18: Cho 2 dãy (s,), (tạ) với: (n+1)! =
Chon khang dinh ding:
a) (s,) khéng don diéu va (t,) khong bi chan b) (s,) don diéu va (t,) khéng bi chan
c) (s,) khéng don diéu va (t,) bi chan
d) (s,) don diéu va (t,,) bi chan ty =n+ sin’n 2n? -12n + 21 là dây: nỶ - 6n +10 wv Câu 14: Dãy số (u;) cho bởi công thức uạ = a) Bị chặn
b) Bị chặn trên và không bị chặn dưới
e) Bị chặn dưới và không bị chặn trên
Câu 15: Day số (uạ) cho bởi công thức: uy = 2; ua¿¡ = 2uạ + 2 a) (uạ) là dãy tăng b) (uạ) là dây giảm e) (uạ) là dãy không tăng, không giảm ` Câu 16: Day sé (u,) cho bởi công thức: u = 2; 2u„„¡ = uạ — 1
a) (uạ) là day tang b) (u,) là dãy giảm ` _e) (uạ) là dãy không tăng, không giảm
Câu 17: Dây số (u,) cho bởi công thức: uy = —1; 2u„„¡ = uạ — 1
a) (uạ) là dãy tăng b) (uạ) là đãy giảm c) (uy) là dãy không tăng không giảm
Câu 18: Dãy số (u,) cho bởi công thức: uy = 2; 3un¿¡ = Uạ — 6
Chọn khẳng định đúng: a) (u,) là dãy tăng
b) (uạ) là đây không bị chặn trên
Trang 4Cau 19: Day sé (u,) cho béi céng thifc: u; = 2; uz = 3u, — 2 S6 hang Ujoo bằng:
a) 31” b) 3” c)1+3” d)1+ 81,
Câu 20: Dãy số (uạ) cho bởi công thức: u¡ = 1; un = -2uạ + 9 Số hang uz: bang:
a) 1048576 b) 1048574 c) 1048580 d) 1048578
Cau 21: Day sé (uy) cho bởi công thức: uy = 3; uạ¿¡ = 2uạ + a (uạ) là day tang khi va chi khi:
aja<-3 b)a=-3 c)a>-3 d)a>3
Cau 22: Day số (uạ) cho bởi công thie: u, = 3; un = —Su, + a Chon
khang dinh dung:
a) (u,) là dãy tăng khi và chỉ khi a > -3
b) (u,) là day giảm khi và chỉ khi a > —3
e) (uạ) là dãy đơn điệu khi và chỉ khi a < -4 q) Các khẳng định ở câu a, b, e đều sai
Câu 23: Day sé (u,) cho béi cong thife: u, = 3; ug = au, + a— 1 Chon kháng định đúng:
a) (u,) là dãy tăng khi và chỉ khi a > —3
b) (uạ) là dãy giảm khi và chỉ khi a > 1
©) (uạ) là dãy giảm khi và chỉ khi a < -3
đ) Các khẳng định ở câu a, b, e đều sai Hướng dẫn Câu 1:uạ = 2.1 — 2 = Ö; uạ = 2.2 — 2 = 2; uạ = 2.3 — 2 = 4; uạ = 2.4 — 2 = 6; us = 2.5 — 2 = 8 DS: Cau b Cau 2:u,,, = (n + 1)? +(n +1) =n? + 3n+2 ‘ Un = (n + 2)? +(n +2) =n? 4+ 5n4+ 6 DS: Cau b
Trang 5Qui g: Ta c6 k&t quả tổng quát sau: Dãy (uạ) cho bởi công thức u„ = an + b (u,) la day tang = a>0
(uạ) là dãy giảm @a<0 Cau 5: ug = (n + 1)?- 1 =n? +2n > Uns — Un = (n? + Qn) - (n? - 1) = 2n +1 >Ũ Vay (u,) la day tang DS: Cau b Câu 6: un = (n + 1)? - 12(n + 1) = n? - 10n —11 | => Uner — Un = (n? — 10n - 1)? - 12n)= 2n - 11 => uy; > Ug VA Ug < U7 Vay day (u,) khéng don diéu DS: Cau c (n +2)! ‘ — ot _ n+ 2 Cau 7: é Gi 2 > 1 (don > 0) => Ug >-Un: (up) 1A day tang oF Vosi — Vn = [n + 1 + sin*(n + 1)] — (n + sin’n) = 1+ sin’%(n + 1)- sin’n > 0
= (vụ) là dãy tăng DS: Cau c
Câu 8: Viết lại s„:= za = tec ag Dem =( pine = J ®) -(Vn+1 - Yn) vi: n+1 vn ~2.- 2 <0vàVn+1 - ⁄n >0 => Sn+1— Sa < 0 = (s,) la đấy giảm DS: Cau a Cau 9: a) Dãy số.(uạ) được gọi là bị chặn trên nếu tôn tại số M sao cho uạ <M với Vn e N* DS: đúng b) Dãy số (uạ) được gọi là bị chặn dưới nếu tổn tại m sao cho u, > m với Vn e N* DS: dung c) Dãy số (uạ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn dưới vừa bị chặn trên DS: sai Cau 10: u, = n?- 4n +1 =(n-2)?- 32-3 Vậy (uạ) bị chặn dưới
Trang 6Câu 11: uạ =—n”— 4n+ 1 =-(n+ 2)? +5<5
Vậy (uy) bi chan trên DS: Cau b
Câu 12: Vi: -J2 <u, < V2: (u,) 1a day bi chan 2 = " -2 =3- = n+1 nˆ+1 =: 0<va<3 Vay (vn) bi chan DS: Cau b (n+ 2)! Cau 13: Ta co: Set = ae s, M+)! aoe >1 2 2n
Vậy (sa) là day tăng
R6 rang (t,) không bị chặn trên, vì vậy (ta) không bị chặn DS: Cau b 2n? - 12n +21 1 —s—^ “2 = nˆ-6n+10 n° -6n+10 Lai do n? - 6n + 10 =(n- 3)? +121 > O<u<3
Vậy (uạ) là dãy bị chặn DS: Cau a
Cau 15: Ta chứng minh bằng qui nạp (uạ) là dãy tăng u¡ = 2; uạ = 2.2 + 2 = 6 (đúng)
Giả sử Uky1 > UK
Ta chứng minh uy,z > uy¿¡
Ujy2 — Uke = (2uy¿¡ + 2) — (2uy + 2) = 2(uy,¡ — uy) > 0
Vậy (uạ) là dãy tăng
Có thể giải cách khác như sau:
ua¿i = 2uUạ + 2 © Uạ¿¡ + 2 = Au, + 2) Đặt vạ = uạ + 2, ta có vị = 4; Va¿ = 2Vạ > Vạ
Vay v, là dãy tăng, nên (u,) là dãy tăng DS: Cau a
Câu 16: u¡ = 2; 2ua„¡ = uạ — 1
Cách 1: Phương pháp qui nạp Câu 14: Ta có: uạ =
CHAK Dt gu wimg = hsp Mees 1< i (0, +1) Ψ)
Đặt vạ = uạ + 1 Ta có vị = 3; Vay = zi <Va
(v,) dãy giảm, nên (u,) là đãy giảm DS: Cau b
Trang 7@lui g: Để tìm được dạng (*) ta dùng phương pháp hệ số bất định như sau:
| Seth Goce 1 1 :
l Ta viết lại: 2uạ,¡ = uạ — Í Una = sua -§ (1) Ta phân tích (1): uj + a = b(uạ + a) Un =bu,+ba-a = (2) So sánh (1) và (2) pel - Ta đi đến giải hệ: 2 i ,eacbel ba-a=-— 2 (|2°° ——=a=—— "2
Ta có lời giải đã trình bày trên
Câu 17: Tính toán một vài số hạng u, = —1; ug = —1
_ Vay (u,) 14 day không tăng, không giảm DS: Cau c Câu 18: Sử dụng cách giải của bài toán 16 7 1 Tacó: Uni = 3a -2 Ta phan tích: uạ,¡ + a= : (uy + 8) > Una = su _ oa, Chon Za=2ea=3 Tacó: uUyit+3= = (uy + 3) Da&t vz = uy + 3 Ta c6: vy = 5; Vay = sờ < Vụ Vậy (va) là dãy giảm, nên (uạ) là dãy giảm Dễ thấy: 0 < vạ < vị = 5 Vậy (vạ) là dãy bị chặn DIS: Cau d Câu 19: Sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta có: Uni — 1 = 3(uạ — 1) te Đặt vạ = uạ — 1 Ta có vị = Ì; Vạyi = 3Vạ
Dễ dàng thấy rằng vạ = 3°? > u, =1+ 38" DIS: Câu c Thật ra, ta có thể suy luận gọn hơn như sau:
Theo các câu trắc nghiệm đưa ra, ta dự đốn cơng thứ: tổng quát u, bang 3” hoặc 1 + 3"
Trang 8Cau 20: u, = 1; uy.) = —2u, + 2 Sử dụng phương pháp hệ số bất định Un¿i = —2u¿ + 2 42 Uạy¿i — 2 = —2(uạ — 2) Đặt vạ = uạ — 2 Ta Có: Vị = Ì; Vụ¿i = —2Vn => vy = (-1)"12" > uy = 2 4 (-1)""2"" DS: Cau d Câu 21: uạ,¡ = 2uạ + a © ua¿¡+ a= 2(uạ + a) Đặt vạ = uạ + a Ta có: Vị = 3 + 8} Vass = 2Vạ
e vị =3 +a<0€>a<-3: (vạ) là dãy đan dấu: nên (vạ) không đơn điệu, vì vậy (vạ) khơng đơn điệu
e®vịạ=3+a=0<>a=-3: vạ = 0 với mọi n > 1: (v„) không đơn điệu, nên (u„) không đơn điệu
e®vị=3+a>0<>a=-3: Vì vạ >> 0 nên: vạ,¡ = 2Vạ > Vạ
Vay (v,) la dãy tăng, nên (uạ) là dãy tăng DS: Cau c
Céiu 22: up.) = —5uy + 8 Ung : = —B(u, - si
Đặt vạ = uạ — 3 Ta có: vị =8— Bs neg BBV pe“
6 6
Nhận xét rang: Néu v, + 0 thi (v,) lA day dan dấu nên không đơn điệu, vì vậy (uạ) không đơn điệu Nếu vị = 0 thì vạ = 0 với mọi n > 1 > (vạ) là dãy không đơn điệu, vì vậy (u;) không đơn điệu
DS: Cau d
Câu 28: TH1: a = 0: u, = —1 véin > 1: (u,) khéng đơn điệu ' TH2: a #0
Unser = AUp + A— 1 S Ug + 1 = alu, + 1)
Đặt vụ = uạ + 1 Ta có:Vị = 4; Vay) = AVn
e Nếu a < 0: (v,) là dãy đan dấu nên không đơn điệu, vì vậy
(va) không đơn điệu
se Nếu 0 < a< 1: vạ,¡ = avạ < vụ: (vạ) là dãy giảm nên (u,) 1a dãy giảm
e Nếu a = 1: vụ,¡ = Vn: (va) là dãy hằng nên không đơn điệu vì
vay (u,) không đơn điệu
e Nếu a > 1: vạ,¡ = ava > vạ: (vạ) là dãy tăng nên (u,) 1a day
tăng ĐS: Câu b
Trang 9CAP S6 CONG
Câu 1: Cho cap sé céng (u,) c6 uy = 8, uz = 14 Cap sd cong trén cé:
a) Us + U7 = 26 b) ug = 3ug
c) 2us + 4u; = 33 đ) 3u; + uạ = 41
Câu 2: Cho cấp số cộng (uạ) có uạ = -3 và tổng 9 số hạng đầu tiên là
So = 45 Cap số cộng trên có:
a) Syo = 92 b) S25 = 980 c) S3 = -56 d) Si, =526
Câu 3: Cho cấp số cộng (uạ), 8; là tổng n số hạng đầu tiên của (un),
biết 8; = 25, S¡a = 160 (uạ) có:
10 34
d=1 b =3 d= — =—
_ a) )uy c) i d) uy, ii
Câu 4: Cho cấp số cộng (uạ) có 9 số hạng, biết tổng của 3 số hạng đầu
tiên bằng 15, tổng 4 số hạng cuối cùng bằng 86 Cấp số cộng mày có:
a)d=2 b) u, =3 e)d=3 đ) u¡ = 4
Cau 5: Cho cấp số cộng (u,) có 2u¿ - 3u; = ð và tổng của 3 số hạng đầu tiên bằng 15 Cấp số cộng này có uạ bằng bao nhiêu ?
.a) ~7 b) 7 ce) -9 d) 9
Câu 6: Cho các dãy (uạ), (Sy): Un = 1 — 3n; sạ = 2°
Chọn khẳng định đúng:
a) (uy) va (sy) là hai cấp số cộng:
b) (uạ) là cấp số cộng và (s„) không phải 1a cấp số cộng e) (uạ) không là cấp số cộng và (s,) là cấp số cộng
Trang 10Câu 8: Cho cấp số cộng (u,) tăng có 2 số hạng là —3 va 37, biết giữa hai số trên có 9 số hạng Chọn khẳng định đúng:
a) Trong 9 số hạng nói ở đề bài có số 16'
b) Tổng của 11 số hạng trên bằng 186
€) Trong 9 số hạng trên có số 29
đ) Các khẳng định ở câu a, b, e đều sai
Câu 9: Cho cấp số củi g (uạ) có số hạng đầu là 2 và số hạng cuối 65
Chon khang dinh « ing:
a) Tổng của các số hạng của cấp số cộng bang 255 b Céng sai của cấp số cộng bằng 1,4
c) Tổng của các số hạng của cấp số cộng bằng 671 d) Các khẳng định ở câu a, b, e đều sai
Câu 10: Cho cấp số cộng hữu hạn (uạ) có số hạng đầu u¡ = —3 Chọn
khẳng định đúng:
a) Nếu công sai d = 4 thì tổng các số hạng của cấp số cộng 8 = 78 b) Nếu công sai d = 2 thì tổng các số hạng bằng 18
e) Nếu công sai d = 6 thì tổng các số hạng bằng 10
d) Các khẳng định ở câu a, b, e đều sai
Câu 11: Cho cấp số cộng hữu hạn (uạ) tăng có số hạng đầu uạ = -3
Chọn khẳng định đúng:
a) Có một số hạng bằng 34 thì công sai d = 4 b) Có một số hạng bằng 31 thì công sai d = 4 e) Có hai số hạng liên tiếp là 3 và 6
'd) Các khẳng định ở câu a, b, c đều sai
Câu 19: Cho cấp số cộng (uạ) có uạ = 3 và u; = 15 Chọn khẳng định đúng: a) Cấp số cộng trên có số hạng đầu u¡ = —3 và công sai d = —3 bD) ug + uy + Us + Ug + U7 = 50
¢) Us + uy + Us + Ug + U7 = 40
đ) Các khẳng định ở câu a, b, e đều sai
Câu 13: Cho cấp số cộng (uạ) số hạng đầu bằng 2, và số hạng cuối bằng 37 Biết cấp số cộng trên có công sai d là số nguyên dương
Có bao nhiêu cấp số cộng thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn khẳng định đúng:
a) Có 4 cấp số cộng b) Có 3 cấp số cộng e) Có 2 cấp số cộng đ) Có 5 cấp số cộng
Trang 11Câu 14: Cho các dãy (uạ) có tổng n số hạng đầu tiên là §,, (vụ) có tổng n số hạng đầu tiên là Uạ:
S, = 2n + 1; Uy = 2" Chọn khẳng định đúng:
a) (u,) là cấp số cộng và (vụ) là cấp số cộng
b) (u,) là cấp số cộng và (vạ) không phải là cấp số cậng e) (uạ) không phải là cấp số cộng và (vạ) là cấp số cộng
d) (u,) không phai 1A c&p sé cong va (v,) khong phai 1a cép 16 cong - Câu 15: Cho các dãy (s„) có tổng n số hạng đầu tiên là P,, (t,) cd
tổng n số hạng đầu tiên là Q, với: P„ = 2n; Q„ = 2n? + 3n Chọn khẳng định đúng:
a) (sạ) là cấp số cộng và (tạ) là cấp số cộng
b) (sạ) là cấp số cộng và (tạ) không phải là cấp số cộng e) (sa) không phải là cấp số cộng và (ta) là cấp số cộng
đ) (s„) không phải là cấp số cộng và (t,) không phải là cấp :ố cộng
Cau 16: Cho day sé (u,) có tổng n số hạng đầu tiên §„ được tính bởi công thức 8a = 3n + a Chọn khẳng định đúng:
a) Với mọi giá trị của a thì (uạ) là cấp số cộng b) (uạ) là cấp số cộng khi và chỉ khi a > 0
e) (uạ) là cấp số cộng khi và chỉ khi a < 0 d) (u,) là cấp số cộng khi-va chi khi a = 0
Câu 17: Cho day sé (u,) có tổng n số hạng đầu tiên xác định bởi công
thức: Sạ = nÊ + 2n + a (uạ) là cấp số cộng khi và chỉ khi: a) a nhận mọi giá trị thực b)a>0
ca<0 d)a=0
Câu 18: Cho cấp số cộng hữu hạn (u„) có tổng 4 số hạng đầu tiên
bằng 40, us + Us + us = 100, tổng tất cả các số hạng bằng $500
Chon khang dinh dung:
a) Cấp số cộng trên có công sai d = 6
20 b) Cấp số cộng trên có số hạng đầu u; = “35 c) Cấp số cộng trên : số số hạng bằng 10
Trang 12Câu 19: Cho cấp số cộng (u,) có tổng 4 số hạng đầu tiên bằng 40, tổng 4 số hạng cuối cùng bằng 104, tổng của tất cả các số hạng bằng 216 Cấp số cộng trên có số số hạng bằng:
: 8)ìn=9 b)n=10 e)n=11 d)n=12,
Câa 20: Cho (uạ) và (vạ) là hai cấp số cộng vô hạn bất kì
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai:
a) Day (u, + vạ) là một cấp số cộng đúng, sai
b) Dãy (uạ — vụ) không là cấp số cộng đúng, sai c) Day (u„vạ) là một cấp số cộng đúng, Sai Hướng dẫn Câu 1: Ta cần xác định số hạng đầu u: và công sai d dựa vào công thức u„ = u¡ + (n — 1)d Q u, +6d =14 d=2
© us + Uy = (uy + 4d) + (u; + 6d) = 2u, + 10d = 24
® ug — 3u2 = (u; + 5d) — 3(u, + d) = —2u, + 2d = 0 DS: Cau b
Câu 2: Ta cần xác định số hạng đầu u¡ và công sai d dựa vào công
thie iy, = i, "das, = BA = Dal
38d =8 =
Ta có: uạ = 8, u; = 14 p i:
2
u, +3d =-3 u, + 3d =-3 u, = -27
Từ giả thiết ta có: “ee , ^^ o {is :
ve Sio = 90 (loai cau a)
© Soo = 980 dung DS: Cau b
Trang 13Câu 4: Theo giả thiét ta c6: S3 = 15 va ug + uy + Ug + Up = 86 fn 2d) 15 o 2 du, + 26d = 86 2u, + 2d =10 u, =2 5 lá mai =48 ù 3 DS: Cau c —< — đu; =ð Câu õ: Theo giả thiết fa u, tu, +u, =15 Ms a, [ur #84) -3tu, +44) = 5 u, +(u, +d) +(u, + 2d) = 15 —u, —-6d=5 > 3u, + 3d = 15 u, + 6d = -5 d=-2 = ° u,+d=5 u, =7 > ug=u, + 7d= 7-14 = -7 * DS Cau a
Cau 6: u,,; — uạ = [1 — 3(n-+ 1)] — (1 - 3n) = -3
Vậy (uạ) là cấp số cộng với công sai d = -3, số hạng đầu tu = — Tinh s; = 2, so = 4, 83 = 8 Vi so — 8; # S3 — So Nên (sạ) không phải là cấp số cộng DS: Cau b Cau 7: Vas — Va = [2(n + 1) — 1]— (2n — 1) = 2 Vậy (va) là cấp số cộng với công sai d = 2, số hạng dau vy = 1 Tính tị = 1, tạ = 4, tạ = 9 Vì tạ — tị # tạ tạ Nên (t,) không phải là cấp số cộng BS: Cai b @f,¡ ý: Đề chứng minh day (u,) 1A CSC ta c6 thé six dung 2 cichh cơ ban sau:
Cách 1: Chứng minh uạ„¡ — uạ = d = hằng số
Cách 2: Chứng minh 2uạ;¡ = Uạ + ua„¿ với mọi n > 1
Trang 14Bạn đọc hãy sử dụng cách 1 để chứng minh bài toán tổng quát sau:
Bài toán: Cho dãy (uạ) xác định bởi uạ = øn + b với a, b là hai số thực cho trước Chứng minh rằng (u,) là cấp số cộng
Câu 8: Đặt u¡ = —-3 và uạ; = 37 Ta xác định công sai d của cấp số cộng trên Ta có: uại = uị + 10d <2 37 = —3 + 10d <> d= 4 Giả sử uy = 16 với k là số nguyên dương thỏa mãn 1 < k< 11 Ta c6 un —u, = (11 — k)4 6 37 — 16 = 44-— 4k cok = 2 «N - Vậy 16 không phải là số hạng của dãy (loại câu a) (u, +u,, 11 2 Su = = 187 (loại câu b)
Giả sử uy = 29 với k là số nguyên dương thỏa mãn 1 < k< 11 Giải phương trình: uạ - 29 = (11 — k)4 © 37 — 29 = (11 - k)4 ©k=9
Vậy 29 là số hạng thứ 9 DS: Cau c
Chú ý công thức: u„ = uạ + (m — n)d
.‹Câu 9: s Tổng của các số hạng của cấp số cộng bằng: (u, +u,)n _ (2+65)n 67
Ss = 2 es SS 2 2"
Với S = 255, ta có: Sn =255 ©n= = ¢ N' (loai cau a) « Sử dụng cơng thức: uạ = u¡ + (n — 1)d Ta có: 65 = 2 +(n— 1)1,4 © 6ð = 2 + 1,4n — 1,4 © 1,4n = 64,4 =ne TC =46 DS: Cau b Cau 10: Sit dung céng thite: § = 24+ = =) wow: n[2(-3) + (n - 1)4] 2
Kiểm tra ta thấy phương trình trên không có nghiệm nguyên dương, câu a sai
a) 78 = © 78 = n(2n - 5) © 2n” - 5n -78 = 0
Trang 15b) 18 = H3, oe «> 18 =n(—4 +n) c> n” ~ 4n — l8 = 0 Phương trình không có nghiệm nguyên dương n, câu b sai n{[2(-3) + (n - 1)6] 2 Phương trình trên không có NGHIÊN nguyên, câu c sai DS: Câu d e) 10 = < 10 = n(—6 + 3n) © 3n? ~ 6n — 10 = 0 Câu 11: Sử dụng công thức uạ — uạ = (n — m)d a) Giả sử uy = 34, ta có: uy - u¡ = (k— 1)d > 34 — (-3) = (k~ 1)4 41 ©4k= 4leok=— €N’ Câu a sai b) Giả sử uy = 31, ta có: uy — uy = K— 1) «> 31 — (-3) = (k- 1)4
«> 4k = 38 c> ok= Be N Câu b sai
c) Vì hai số hạng liên tiếp là 3 và 6 và cấp số cộng tăng nén công
sai d = 3 -
Gọi uy = 3 ta có uy — uy = K— 1) S6 =(k—1)8<k=j3eN” DS: Cau c
Cau 12: Ta lập hệ phương trình 2 ẩn là u¡ và d bằng cách sử dụng công thức uạ = uạ + (m — n)d "
u, +2d=3
Ta có: vụ 8 và 0= Tổ c [TÔI 15 {to 3 u, =-3 (loại câu a)
Sử dụng công thức: uạ + Umại + my; + + Uạ = (a tuna ms
Trang 17Cau 16:u,;=S,;=3+a
uy = S, — Sp) = (8n + a) — [38(n — 1) + a] = 3 V6i moin > 1
Vậy (uạ) là cấp số cộng khi và chỉ khi uị = 3 > a = 0
Khi đó (uạ) là cấp số cộng với mọi số hạng bằng nhau và bằng 3 DS: Cau d Cau 17: Ta c6: uy, = S,;=3+a uy = Sy — Sy = (n? + 2n + a) — [(n - 1)? + An- 1) +a] = 2n + 1 với mọi n> 1 ua—u;=5-(3+a)=2-a
tay — tạ = [2(n + 1) + 1]— (2n + 1) = 2 với mọi n > 1
(uạ) là cấp số cộng khi và chỉ khi uạ— uy =2e>a=0 ĐS: Câu d Qua câu 8 và câu 9 bạn đọc hãy chứng minh bài toán tổng quát sau: Bài toán: Cho dãy (u,) có tổng n số hạng đầu tiên được tính bởi
công thức S;„ = an? + bn
Chứng minh (u,) là cấp số cộng
Câu 18: Bài toán cần xác định số hạng đâu uạ, công sai d, va số số hạng n
Theo giả thiết: ‘
u,+u, +u,+u, =40 4u, + 6d = 40 u,+u,+u,=100 << 43u,+16d =100
S = 6500 n[2u, +(n- 1)d] _ 6500
"23 2 — 93
Giải hộ gồm 2 phương trình đầu tiên của hộ ta cố: uy = s „la _
Trang 18Câu 19: Can xác định u¡, đ, và số số hạng n Theo giả thiết:
uy tuy tuy tu, =40 |4u, + 6đ = 40
Uy ¿ FU,» FU, tu, =104 <= 4u, +(4n -10)d = 104 n[2u, +(n Dd] _ 516 |n[2u, +(n~ 1)d] = 432 2 Tính u¡ và d theo n từ 2 phương trình đầu ta có a cto~ gin 28, n-4 n -⁄ Thế uị và d vào phương trình thứ 3 của hệ ta tính được n = 12 ĐS: Câu d Câu 20: Gia su (uạ) có công sai dụ, vạ có công sai là d, a) Đặt tạ = uạ + vụ Ta có: , trot — dy = (Uay2 # Viner) — (Uy # Va) = (Uns — Un) + (Var — Vn) = d, + d¿ không đổi Vậy (u¿ +vạ) là một cấp số cộng Câu a đúng b) Đặt s„ = uạ — Vụ
Chứng minh tương tự như câu a ta có Sa¿) — S¿ = dụ — đụ,
Trang 19CẤP Số NHÂN Câu 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai: a) 1; 4; 16; 64; 256 là cấp số nhân , đúng, |_] sai b) 9; -2; 3; —3 là cấp số nhân đúng, sai c) 1; -3;.9; —27 là cấp số nhân có công bội bằng 3 đúng, sai Câu 2: Cho cấp số nhân có số hạng dầu bằng 2, số hạng thứ hai là 1 Ba số hạng tiếp theo là: na »idd 9 27 4 8 16 2 4 8
Câu 3: Cho cấp số nhân đơn điệu có 7 số hạng với số hạng đầu là 3, số hạng cuối là 192 Số hạng thứ tư của cấp số nhân này là bao
a) 3; 9; 27 b) mi
nhiêu?
a) —24 b) 24 c) 48 d) 96
Câu 4: Cho cấp số nhân (uạ) có uị = 3; iy = 24 Chon khang định đúng:
a) uạ = 6, uạ = 8 b) uạ = 4, uạ = 16
€) ug = 6, ug = 12 d) u, = 12, ug = 20
Cau 5: Cho cấp số nhân (uạ)
1 Néu u; = 3 và uạ = 81 thì a) us = 48
2 Nếu uạ = 3 và uạ = 199 thì b) uạ = 38 3 Nếu uạ = 3 và công bội q = —3 thì c) ug = 234
‘ d) ug = 243
Câu 6: Cho cấp số nhân (u,) có 10 số hạng, biết u; = 1 »à uạ= 3 Năm số hạng cuối cùng của cấp số nhân trên là:
a) 729; 2187; 6561; 19688; 59049
b) 27; 81; 243; 729; 2187 b) 81; 243; 729; 2187; 6561
Trang 20Câu 7: Cho cấp số nhân (u,) thoa man: uy — uy = 25, us — u; = 50 Cap so nhân trên có: 200 100 1 100 aru, = eo yu =e gyqa-t d) w= —— one 3 nr) a) yt = Câu 8: Cho cấp số nhân (u,) tăng, có uị + uạ = 27, uạua = 72 Cấp số nhân này có u; bằng: a) 129 b) 192 ce) 291 d) 191 Cau 9: Cho cap sé nhan: uj, ue, uạ, biét ujugus = 8000 Gia tri uz bang: a) 10 b) 30 c) 20 d) 40 Câu 10: Cho cấp số nhân x, y, z, biết tổng x + y +z = 26,x° + y? +2? = 364 y bang: a) 10 b) 11 €) 12 đ) 13 Câu 11: Cho cấp số nhân (uạ) có 10 số hạng khác nhau Biết rằng tổng tất cả các số hạng gấp 3 lần tổng các số hạng có thứ tự lẻ Công bội cấp số nhân này bằng: a)q=4 b)q=2 c)q=3 d)q=6 Câu 12: Cho dãy (uạ) xác định bởi: uạ = 2.3° Giá trị của uạo bằng: a) 2.8" b) 2.37 c) 3” d) 2.37"
Câu 13: Cho 2 day sé (u,), (va):
u, = 4.5", v, =n? véi moi sé nguyén duong n Chon khang dinh dang:
a) (u„) và (vạ) là hai cấp số nhân
b) (u,) là cấp số nhân và (vạ) không phải là cấp số nhân e) (u,) không là cấp số nhân và (v,) là cấp số nhân
đ) (uy) không là cấp số nhân và (v„) không là cấp số nhân Câu 14: Cho 2 dãy số (su), (tụ):
Su = a tn = 4.3"'' v6i moi sé nguyén duong n
n° +
Chon khang định đúng:
a) (su) va (ty) là hai cấp số nhân
b) (s„) là cấp số nhân và (t,) không là cấp số nhân ©) (sạ) khơng là cấp số nhân và (tạ) là cấp số nhân
d) (s,) không là cấp số nhân và (vạ) không là cấp số nhân
Trang 21Câu 15: Cho dãy (uạ) có tổng n số hạng đầu tiên tính ở công thức Sa = 3" — 1 Chọn khẳng định đúng:
a) uạ = 2.35 b) u; = 2.38 €) uyo = 2.3? d) uy, = 2.3",
Câu 16: Cho các dãy (uạ), (vạ), được xác định bởi:
Uy = 2.8” + 1, vụ = nể
Chọn khẳng định đúng:
a) (uạ) và (vạ) là hai cấp số nhân
b) (uạ) là cấp số nhân và (v„) không phải là cấp số nhân c) (uạ) không là cấp số nhân và (vạ) không là cấp số nhân đ) (u¿) không là cấp số nhân và (v,) là cấp số cộng
Cau 17: Day (t,) có tổng n số hạng đầu tiên S„ được tính theo công
thức: S„ = 2" —1
Day (hạ) được xác định bởi hạ = 2" — 1 Chọn khẳng định đúng:
a) (tạ) và (h,) là hai cấp số nhân
b) (t,) là cấp số nhân và (h,) không phải là cấp số nhân c) (tạ) không phải là cấp số nhân và (h,) là cấp số nhân
đ) (t„) không phải là cấp số nhân và (h,) không phải là cấp số nhân Câu 18: Cho dãy (uạ) có tổng n số hạng đầu tiên tính bởi công thức:
8, = 4° + m với mọi số nguyên dương n Chọn khẳng định đúng: a) (uạ) là cấp số nhân với mọi m
b) (uạ) là cấp số nhân khi và chỉ khi m > 0 e) (uạ là cấp số nhân khi và chỉ khi m < 0 d) Các khẳng định ở các câu trên đều sai
Câu 19: Cho dãy (uạ) xác định bởi: u¡ = 1, uạ,i = 2uạ + 5 với mọi số nguyên dương n Giá trị của uạo bằng:
a) 2? — 5 b) 3.2'°— 5 c) 3.27 — 5 d) 2-5,
Cau 20: Cho day (u,) xác dinh bởi u¡ = 1, uạ¿¡ = 3u, + m với mọi số nguyên dương n Chọn khẳng định đúng:
a) (uạ) là cấp số nhân với mọi m
b) (u,) là cấp số nhân khi và chỉ khi m = 0 c) (u„ là cấp số nhân khi và chỉ khi m z 0
Trang 22Câu: 21: Cho các dãy (u,), (vụ), Q1, fs„ì xắc định bởi:
uạ = 9n + 8, vạ = 4.3") ty, = 8t,, 8, = 9° — 9 với mọi số nguyên dương n Chọn khăng định đúng:
a) (u) là cấp số nhân b) (v„) không là cấp số nhân
c) (t,) không là cấp số nhân d) (s,) không là cấp số nhân Câu 29: Cho cấp số nhân tăng (u„) gôm bảy số hạng, biết tổng 3 số
hạng đầu tiên bằng 7, tông 3 số hạng cuối cùng bằng 119 Chọn khẳng định đúng:
a) (uạ) có công bội bằng 3 b) (u„) có số hạng dau bang 2
e) (u„) có uạ = 10
d) (u„) có tổng các số hạng bằng 127
Câu 23: Cho cấp số nhân vô hạn (uạ) có uy = 5, công bội q là số nguyên
dương Số 45 là một số hạng của dãy Chọn khẳng định đúng: a) 4ð là số hạng thứ 4 của dãy
b) uạ = 20
e) Công bội của cấp số nhân bằng 3 đ) Công bội của cấp số nhân bằng 4
Câu 24: Cho hai cấp số nhân bất kì (u,) và (vạ)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào dúng, khẳng định nào sai:
a) (u, + vạ) là một cấp số nhân đúng, sai
b) (u,vạ) là một cấp số nhân đúng, sai
e) Giá sử vụ # 0, (>] là cấp số nhân đúng, sai
Hướng dẫn
Câu 1: a) Số hạng sau bằng số hạng đứng kể trước nhân với 4, vậy dãy này là cấp số nhân có công bội bằng 4 DS: dung b) Vi 2 # 5 nên dãy này không phải là cấp số nhân
DS: sai c) Day nay là cấp số nhân có công bội bang —3 DS: sai
Trang 23Cau 2: Ta c6 u; = 2, w= 1 néng= = uy DS: Cau d œ|” > uy = Usd = 5, Uy = ug = Fu) = tg =
Cau 3: Theo pid thiết u = 3, u; = 192
Uy = ug’ © 192 = 3q° & q' = 64 = q = 2 (do (u,) don điệu
= uy = ug? = 3.2 = 24 DS: (au b
Cau 4: Ta cé: uạ = u¡q? © 24 = 3g” q°=8 q=2
=> Up = ung = 3.2 = 6; uạ = uạq = 12 DS: Cau c
Cau 5: Sit dung công thức u„ = uạq”"” e Nếu u¡ = 3 và uạ = 81 Ta có: uạ = u¿q” c> 81 = 3q” q =3 Vậy uạ = uạg” = 3.3” = 3° Vay 1 > b) e Néu ug = 3 va ug = 192 Ta c6 ug = usq’ > 192 = 3g’ oq =4 Vay us = uạg” = 3.4” = 48 Vậy 2 —› a) e Nếu uạ = 3 và q = -3 thì uạ = uạq? = 3(-3)* = 243 Vậy 3 — a) Câu 6: Ta cần xác định u¡ và q Ta cú: t =uĂq âđ3=q => us = ujq? = 3° = 243 Vậy 5 số hạng cuối cùng là 243; 729; 2187; 6561; 19683 / BS: (au d
Trang 24Lay phuong trình thứ nhất chia cho phương trình thứ hai vế theo ve LA CÓ:
1 2Á š i 5 * 200
qs, thế vào phương trình thứ hai của hệ ta có: uị = Fe
> uạ =uq = _: ĐS: Câu b
Cau 8; Can xác định u¡, q Theo giả thiết ta có:
fu, 4u, =27 ruq? = 27 oe 27 (1) 4 rosy <> (u;dạ = 72 u,qu,qŸ = 72 u?q” = 72 (2) Từ (2) ta 6 q! = 22, thế vào (1): u € 0(1+ 22)=<37 cu + T2 =97 uy — 27u, + 72 =0 uy Uị <2 u) = 3,u, =
« Với uy = 3 thi q = 2 > uy = ug’ = 3.2° = 192
s Với u¡ = 24 thì q= + (ogi do (u,) giảm) DS: Cau b
Câu 9: uị, uy, ug 1a c&p sé nhéan <> uj = uju3 Két hop voi gia thiét ta cé: aS = ĐịỦs (1) u,u,u, = 8000 (2) Từ (1) và (2 ta có: uỷ = 8000 = up = 20 DS: Cau c Câu 10: x y, z là cấp số nhân «> y” = xz Kết hợp với giả thiết ta có: y`=x⁄z (1) x+y+z=26 (2) x’ +y? +27 = 364 (3)
Vi x+y? 422 = (x+y +2)? — Qy(x +z) — Qxz
Trang 25Các số hạng ở thứ tự lẻ là: u;; uạ; u;; uạ là cấp số nhân cỏ công
bội q”, vì vậy có tông s,_ ¥d-a") 1-q Theo giả thiết ta có: _ ll — a0 Sự ~ Bối cị BEUZSQ1 „ Hổ 1= Ì ch Ý 8 1-q 1-q l¬g - I-q " =1 =2 DS: Cau b l+q n+) Câu 19: Ta có Su - ST —g, u, 2.3°
Vậy (u„) là cấp số nhân với số hạng dau uy = 6, céng bdi q= 3
Vậy uạo = 6.3" = 2.37", DS: Cau b 5 Câu 18; s "1L = sat , =ð: hằng số, vậy (uạ) là cấp số nhân ty ev, = 1, v2 = 4, v3 = 9 Vi vivs # vz Vậy (v,) không phải là cấp số nhân DS: Cau b 1 1 ] Câu 14: s sị = 3° S; = vi 83 = Tạ" Vì sịsạ #+s2 Vậy (sa) khing phải là cấp số nhân t 4.3°°? ° na eo = 3 không đổi, vậy (t„) là cấp số nhân Ч: Câu c Câu 1ð: Chú ý các kết quả sau:
ui = Si, uy = S„ - 8a ¡ với mọi n > 1 Ta có: uị = 2, uy = Sa —- Sp = (32 — 1)— (891— 1)=3"— 377 = 2.3" DS: Cau c Câu 16: s u¡ = 7, uạ = 19, uạ = 5õ Vì uÿ # u¡uạ nên (uạ) khôrg là cấp số nhân ev, =1, v2 = 4, v3 = 9
Vi v2 # vivo nén (v,) khong 1a cap sé nhaa
Trang 26Cầu U7: e Xét day (t,): tị =1 t,= Su = By vi = (2° =1) — (PP) S—:L) =8" - 251 = 29! với mọi m 3 1 tạ=9= % 2 t; M1 ¬ 2
Với nọi số nguyên dương n > 1 ta có: ¬ sã = 2
Vi “ea = 32 với mọi số nguyên dưøng n, nên (t,) là cấp số nhân e Xét dãy (h,):
hy = Ú, hạ =:8, hụ =#
Vì h z hịhạ nên (h,) không phải là cấp số nhân DS: Câu b
Câu 18: u¡ =S¡ =4+m
un = Sạ — Sạ¿-¡ = 4° — 4° với mọi n > 1 = uạ = 12
1b 1Ô Bàu Se „ 4 với mọi số nguyên dương n uy 44m’ tụ = , ` pe 12 a (t¿) là cấp s6 nhhan = —— =4om=-l DS: Cau d 4+m Câu ¡9: Ta có: uạ¿¡ = 2u¿ + 5 © uạ¿¡ + 5 = 2(u, + 5) Đặt vụ = uy, + 5 Ta có: vị = 6, Vạ¿i = 2Vạ
Vậy vạ là cấp số nhân có số hạng đầu v = 6, công bội q=2= vạ = 6.21
=_ vao =6.2!9= 3.2”? — uạo = 3.2”) — 5, DS: Cau c
Câu 30: Ta có: u¡ = 1 uạ = 3u¡ + m = ö+m, uạ = 3u +m = 3(3 +m) +m = 9 + 4m (u,) là cấp số nhân = u7 = uuạ © (3 + m)? = 9 + 4m « mỶ + 2m = 0 m=0 « m = ~2
Thử lại ta nhận 2 giá trị này - DS: Cau d Caw 21: ¢ u, = 5, us = 7, ug = 9 Vi us # usus, vay (u,) khéng phải là
cấp số nhân
Trang 27` v, 4.3" =3 Vậy (vạ) là cấp số nhân e (t,,) là cấp số nhân
® 8 =T—], S; = 7, s¿ = 26 VÌ sỹ z sịs;¿ vậy (su) không phải là
cấp số nhân DS: Cau d
Câu 22: Theo giả thiết ta có:
u, +u, tu, =7 Juy+u,q+u,q” =7 {* +u, tu, =112 - {i +u,q’ +u,qg® = 112
ud+q+a°)=7
=> l
u,qf(1+q g7) = 112
Chia phương trình thứ hai cho phương trình đầu của hạ vế theo vế: “ = 16 => q = 2 (óo (uạ) rẽng), thế vào phương trình dau của hệ ta có u,=1 u,(q' =1) oF © x => S=—— =2 -1=12/ DS: Cau d q- ñ Câu 23: Giả sử uạ = 45 Ta cé: q=83n=ð qi= O.n-= 2 , ; khang uy, = ug’? 45 =5q™ og =9=> dinh a sai Trong cả hai trường hợp s = 3, q = 9, số hạng uạ # 20, câu b sai DS: Cau c Câu 24: Giả sử (uạ) có công bôi qụ, (vạ) có.công bội qụ a) Khẳng định sai Ví dụ: tụy = 1; hạ = 2" Dat th =u, +v, > ty = 2" 41 tạ = 3, tạ = 5, tạ =9 Vì tỷ z tịt;, nên (u, + vạ) không là cấp số nhân b) Đặt s, = u,v,
Vì (u„) và (v„) !à hai cấp số nhân nên tị, = tua; Vaši = VnQy
=> Sar = Ung Vas = UnQaVnQe = (UpValQugs * SnQudv
Vay (u,v,) la cấp số nhân Khang dinh diez
Trang 28e715) WAN CUA DAY
Cavl: Trong các khang dinh sau, khang dinh nao dung, khang dinh tào sai: ) lim ẤN, cú bộ, = = dung, sai nes Bn 42 2 ) tim 2 At! 29 "+ Ổn" +2 đúng, sai _ 9n w+n+l : ) lim ——r——— = đúng, sal, ¡cảng k9 B Câu®: Tronz các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định tào sai: 4T J tim 3 NHƯ 7 an =e =5 dung, sai "mm ») lim oFe.2 2 =0 đúng, sai nee „" + oP 345.7" —4"
)lim2 li $2 =" =0 oe đúng, ung sal i
Trang 30Câu 9: Chon khẳng định đúng:
3sinn k 4cosn đsinn ¡ i 4cosn
lim n+l EE 5 b) lim thớt nil =0
x ii nse nil “ Ề fiver Del Câu 10: Chọn khẳng định đúng: sỹ Giới hàn Em S`- không tỗa tại ner T14 1 ,_ (=1)" b) lim aT tôn tại và có giá trị khác 0 ng a tm mướn +1 d) Các khẳng định ở các câu a, b, e đều sai Câu 11: Chọn khẳng định đúng:
a) Giới hạn lim {oi n+? không tổn tại ~~ nel
b) lim CO? Ly wows nil
ce) lin at? 1 Bien n+l d) Các khẳng định ở các câu a, b, e đều sai n* +2n+3sinn Câu 12: Giá trị của lim ————————- bằng noes nỄ a)l b) 2 c) 3 d) 6
Câu 183: Số 0 là giá trị của giới hạn nào dưới đây:
Trang 32Câu t0: Chọn khẳng dịnh đúng: 3 3 ý i a lim(Vn* enWn* 4) 1-0 on’) == a fia 5 b lim(Vn°+nŸn' in n)= ( fiver? 5 e lim(Vn? tin cn nồ <+2
d Các khang định ở các câu trên đều sai
Câu :1: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có tổng tất ca các số hạng bằng
S= 12 va công bội q = 0,5 Chọn khăng định đúng:
3 3 3
auy = — 4 b) ug = - 6 16 c)us= 4 d) uy ) 9 = — 39
Câu :2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn, có tông các số hạng S = 10, số h.ng đầu u¡ = 2 Công bội của cấp số nhân là:
a0,9 b) 0,3 eS oO 4) 0/4,
Câu !3: Cho dãy vô hạn (u,) vdi u, = 0,22 2 (n chit sé 2 sau dau
pay) lim u, bang
a 0,23 b) 0,24 €) 2 d) Bà
9 11
Câu 4: Cho đãy vô hạn (u,) với tạ = 0,0 02 (n — 1 chữ số 0 sau dấu
pẩy) Tổng của tất cá các số hạng cúa dãy bằng:
2 1 1 3
aS== a 5 b)S= = 5 9) e)Ss— 4 { dS=— ) 11 Câu !ð: Cho dãy vô hạn (u,) với uy = 2, uạui = sun Tổng của tất cả
Trang 33Huong dan
2
Câu 1: a) Tính lim 2n_+n nore Bn +2 + 1
Trang 343° 45.79 — 4? c) Tinh lim nà QO On wane, 3 Qn Ran _ gn (=)" 4 -È Ve lim p tet e = lim eG" =+” DS: sai nove B44 Am 7 7 C¿u 3: Các giới hạn trong bài này đều có dạng vô định =, wm Tinh lim an” tn+1 oe Bn 42 Chia tit va mau cho n? ta cé: 2 3+ 5 + E tim £12 yg nn 8 ame Bn? + toe ế, 5 nt Vậy 1 ‹> d)
* Tinh lim are nmc 40,90 `
Chia tử và mẫu cho 4° ta có: đụ 1a _ 84 gọn an @ + 5Á) =1 Tỉnh — = lim ———— = -1 nee Ah 4 navy 14) Vậy 2 <= b) P(n) Ot yj: He tinh lim O(n)’ , trong đó P(n), Q(n) là các đa thức theo n, n
Trang 3611 án
Cau 6: ¢ Tính lim(n - —=)(———) âu 6: « Tính lim(n n sp?
Giới hạn có dạng vô định ø.0 Ta biến đổi về dạng vô định
=, bằng cách qui đồng biểu thức dưới dấu lim: (n” - (1 -4n) 2n? limin - 244%) = lim ioe n 9ñ ae Chia tử và mẫu cho nỶ, ta có: Lf sẽ n 2 lina — = lim =-2 eas ni fate Vay 1 <b) n?+2n
° Tinh lim 27 oe On? 1
Chia tử và mẫu cho n?: 1,2 lim 22 =0 note Q- ft n°? Vậy 2 â a) n+2n
ô Tớnh lim ~“ ont On? — 1
Chia tử và mẫu cho nỄ ta có:
2
4 n+—
Trang 38
Nếu 3 day (u,), (vq), (b,) thoa man 2 diéu kiện: * uạ < bạ < vạ với mọi số nguyên dương n > nọ *limu, = limv, =a Wate Neoae Thi lim b, =a Nore
Pe 0b n BB Fe tik em = n n nan noe
Vay lim 8 = 0: ne A DS: Cau a
Câa 9: Sử dụng bất dang thie: -Va® +b’ < a.sinx + b.cosx < Va’+b’*,
ta có:
_ 5 7 8sinn+4cosn 2 5
n+l n+l n+l
Lai dor Be" = fin 3 = mnt] n>>zn+l
+ lim 3sinn +4cosn =0 nape n+l Dé thay rang lim ne nove n? 4] =0 DS: Cau b Câu 10: Ta có: —L « CỦ „1 n+l n+l n+l Laide: lim ime el = im —— =0 nose + 1 , (=1)" 3
> lim noe ntl =0 DS: Cau c
Trang 39Cau 12: Ta bién déi nhu sau: li im ———————— = lỉm(1+ n?+2n :3sinn 2 ,3sinn =—=g—Ì bu n na TH =1l+ eel + lim aslo B nop nae? Ta có: lim: =0 oer Ty Mat khée: -2 < 38" < 3 ya jim 3 = lim =0 n n n n-+z n° n>+7 1) : 3 => ne lim —- =0> lim 2_*2n+ Ssinn = 1, oy n= n ĐS: Câu a Cau 13: ae Tp ¬ _nitn+l) n
Trang 40Câu 15: Các giới hạn ở đây có dạng vô định œ — ø
a) Tính lim(V2n”+n-—n) = lim lnc nề? ney + a -»| = + m b) Tính lim(V2n” +n - Ÿ8n” +n” —1) Note
= Lit [nce 3 - sa
e) Tính lim(VJn”+n—n)
Nếu giải như câu a ta sẽ gặp dạng vô định s.0 Ta khử dạng vô định ø — œ này bằng cách nhân chia biểu thức dưới dấu lim cho lượng liên hợp: lim(ýn5 + —n) = lm (ÝD th —n)QVnẺ + n + n) nore >> ưcactc 1 2 DS: Cau c Câu 16: Giới hạn có dạng vô định œ — œ
Nhân và chia biểu thức dưới dấu lim cho lượng liên hợp: ne 2 lim(fR2+1—n)= lim (in? +1 +1-—n)(#(n° +1)? + nữn”? +1+n*) nore set §Í(n? +1)? + nŸn”+1+n? = fs eee an noe (yn? 4.1)? +nYn?+14+n? = Cau d Câu 17: Ta có: lim(Wn?+n - 2n +1) = lim Vn(j1+—- 2+2 =—œ