Bài tập biểu thức tổ hợp và nhị thức newton phạm minh tuấn

Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON Bài 1: (ĐHSP TPHCM 1999) k k2 k 1 Có số tự nhiên thỏa mãn C14  C14  2C14 A C B D Bài giải k k2 k 1 (0 ≤ k ≤ 12, k  N) C14  C14  2C14   14! 14! 14!  2 k!(14  k)! (k  2)!(12  k)! (k  1)!(13  k)! 1  2 (14  k)(13  k) (k  1)(k  2) (k  1)(13  k)  (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k)  k2 – 12k + 32 =  k = k = Vậy: k = k = Bài (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999) Có số nguyên dương x thoả: C1x  6C2x  6C3x  9x2  14x A C B D Bài giải (x  N, x ≥ 3)  9x  14x  x + 3x – 3x + x – 3x + 2x = 9x2 – 14x C1x  6C2x  6C3x  x(x – 9x + 14) =  x  x    x  (loaïi) (loaïi) Vậy: x = (nhaän) Bài (ĐH Bách khoa HN 1999) 2018  2C2018  3C2018  4C2018   2018.C2018 Tính tổng: S  C2018 Có tài mà đức vô dụng Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn A B C D Bài giải C1n  2Cn2  3Cn3  4Cn4 S=   (1)n1.nCnn (n > 2) Xét đa thức p(x) = (1 – x)n Khai triển theo công thức Newton ta được: n p(x) = (1 – x)n =  (1)k Ckn xk k 0 n  (1)k1.kCkn xk 1 Suy ra: – p(x) = n(1 – x)n–1 = k 1 n Cho x = ta được: =  (1)k 1.kCkn k 1 = C1n  2Cn2  3Cn3  4Cn4   (1)n1.nCnn = S Vậy: S = Bài (ĐHQG HN khối B 2000) Tìm số hạng không chứa x khai triển biểu thức sau: 17     x3  3   x  ,x≠0 A 24310 B 12339 C 23049 D 29103 Bài giải Số hạng tổng quát khai triển là: k C17     17 k  x 3 k x4 k  C17 Để số hạng không chứa x 17 34 12 k  x4   (k  N, ≤ k ≤ 17) 17 34 k 0 k=8 12 Vậy số hạng cần tìm số hạng thứ khai triển C17 Có tài mà đức vô dụng Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn Bài (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) A2x  Ax2  C3x  10 x Có số tự nhiên x thỏa: A B C D Điều kiện: Ta có:  x  N  2  2x   2  x 3  x Bài giải x  N  x  A2x  Ax2  C3x  10 x 2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ x(x  1)(x  2)  10 x 1.2.3  x2 ≤ x2 – 3x + 12  x ≤ Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = Bài (ĐHSP HN khối A 2000) n Trong khai triển nhị thức 28     x3 x  x 15      , tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết Cnn  Cnn1  Cnn2  79 A 812 C 293 B 792 D 392 Bài giải * Xác định n: Cnn  Cnn1  Cnn2  79  + n + n  12 n  13 (loaïi) n(n  1) = 79   12 * Ta có: 28     x3 x  x 15       12  k 0  k  C12 x   Có tài mà đức vô dụng k     12k   28   x 15      12 = 48 k 15 x  C12 k 0 k 112 Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn Số hạng không phụ thuộc x  48 112 k   k = 15 = 792 Vậy số hạng cần tìm là: C12 Bài (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức (x + 1)n 1024, tìm hệ số a (a số tự nhiên) số hạng ax 12 khai triển A 120 C 210 B 211 D 312 Bài giải n Ta có: (x2 + 1)n =  Cknx2k (1) k 0 Số k ứng với số hạng ax12 thoả mãn pt: x12 = x2k  k = n Trong (1) cho x = Từ giả thiết   Ckn = 2n k 0 n  Ckn = 1024  2n = 1024  n = 10 k 0 = 210 Vậy hệ số cần tìm là: C10 Bài (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) 1 Tính tổng: S  C2018  C2018   C2018   C 2018 2019 2018 2020  2019  A C 2020 2019 2020 1 2019  B D 2020 2019 Bài giải * Ta có: I =  (1 x)ndx  (1 x)n1 n1  Có tài mà đức vô dụng 2n1  n1 Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn *I=  (Cn0 C1nx   Cnnxn )dx = Cn0  C1n  Cn2   Vậy: S =  x2 xn1  =  Cn0 x  C1n   Cnn  n  1  n Cn = S n1 2n1  n1 Bài (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000) 2018  2016 C2018  2015 C2018   2018C2018 Tính tổng: S  22017 C2018 A 2016.32017 B 2017.32017 C 2018.32018 D 2018.32017 2n1C1n  2n1Cn2  2n3 Cn3  2n4 Cn4   nCnn  n.3n1 Bài giải Ta có: (1 + x) =  Cn3x3  Cn4x4   Cnnxn Lấy đạo hàm hai vế: n(1 + x)n–1 = C1n  2Cn2x  3Cn3x2  4Cn4x3   nCnnxn1 n Thay x = n 3n1 2n1 , Cn0  C1nx  Cn2x2 ta được:  C1n  2Cn2 21  3Cn3 22  4Cn4 23   nCnn 2n1  S  2n1 Cn1  2n Cn2  2n3 Cn3   nCnn  n3n1 Bài 10.(ĐH Thuỷ lợi 2000) 1 1 Hãy tính tổng: S      A2 A3 A4 A2018 2017 2018 2019 B 2020 A Có tài mà đức vô dụng 2019 2018 2018 D 2017 C Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn Bài giải Chứng minh phương pháp qui nạp * Với n = 2, đpcm  A22   A22  * Giả sử BĐT cần chứng minh với n = k (k ≥ 2), tức ta có:  A22 A32  A24   Ak2  k 1 k Ta cần chứng minh BĐT với n = k + 1 Thật vậy, A22 = Vậy: A22   A32  A24   Ak2  Ak21  k 1 k 1  =  k (k  1)k k Ak 1 (k  1)  k  (k  1)k k 1 A32  A24    An2 n1 , n ≥ n Bài 11.(ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + < + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + < + a14x14 Hãy tính hệ số a9 A 2018 C 3003 B 3023 D 2012 Bài giải a9 = + =1+ C10 C110 9  C11  C12  C11  C12 = + 10 +  C13  C13  C14  C14 11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10    24 120 = 3003 Bài 12.(ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000) 2000 Tính tổng: S = C02000  2C12000  3C2000   2001C2000 Có tài mà đức vô dụng Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn A 1000.2 2000 B 1001.2 2000 C 1001.2 2001 D 1000.2 2001 Bài giải 2000 Có (x + 1)2000 =  i Ci2000 xi (1) 2000 Trong (1) cho x = ta  Ci2000 = 22000 i 2000 Đạo hàm vế (1) theo x, ta có: 2000.(x + 1)1999 =  i.Ci2000xi1 i1 2000 Cho x = ta được: 2000 Do đó: S =  i  i.Ci2000 = 2000.21999 = 1000.22000 i1 Ci2000  2000  i.Ci2000 = 1001.22000 i1 Bài 13.(HV Kỹ thuật quân 2000) Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12 thành dạng: a0 + a1x + a2x2 + < + a12x12 Tìm max(a1, a2, a15 Vậy hệ số lớn phải tìm là: a10 = 210 210 10 C  3003 15 315 315 Bài 38.(ĐH khối A 2004) Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức [1 + x2(1 – x)]8 A 473 D 238 B 919 C 371 Có tài mà đức vô dụng Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn Bài giải C80 Ta có: [1 + x2(1 – x)]8 =  C18x2 (1 x)  C82x4 (1 x)2  C38x6 (1 x)3 + + C84x8 (1 x)4  C58x10 (1 x)  C68x12 (1 x)6  C78x14 (1 x)7  C88x16 (1 x)8 Bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Vậy x8 có số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là: C38 C32 ; C84 C04 Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238 Bài 39.(ĐH khối A 2005) Tìm số nguyên dương n cho: 2 3 2n 2n1 C12n1  2.2C2n 1  3.2 C2n1  4.2 C2n1   (2n  1).2 C2n1 = A 919 B 810 2005 D 1203 C 1002 Bài giải 2n1 2n1  C32n1x3   C2n Ta có: (1 + x) = 1x Đạo hàm vế ta có: 2n1 2n (2n + 1)(1 + x)2n = C12n1  2C2n 1x  3C2n1x   (2n  1)C2n1x Thay x = –2, ta có: 2 2n 2n1 C12n1  2.2C2n 1  3.2 C2n1   (2n  1)2 C2n1 = 2n + Theo giả thiết ta có: 2n + = 2005  n = 1002 2n+1 2 C02n1  C12n1x  C2n 1x Bài 40.(ĐH khối A 2005 dự bị 2) Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 – 3x)2n, n số nguyên dương thoả mãn: 2n1 C12n1  C32n1  C52n1   C2n 1  1024 15 15 3 A C10 38.24 D C10 17 17 3 B C10 37.2 C C10 Có tài mà đức vô dụng Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn Bài giải 2 3 2n1 2n1 Ta có: (1 + x)2n+1 = C02n1  C12n1x  C2n 1x  C2n1x   C2n1x 2n1 Cho x = ta có: 22n+1 = C02n1  C12n1  C22n1  C32n1   C2n 1 (1) 2n1 Cho x = –1 ta có: = C02n1  C12n1  C2n (2) 1  C2n1   C2n1 2n1 Lấy (1) – (2)  22n+1 =  C12n1  C32n1   C2n 1  1  22n = C12n1  C32n1   C2n 2n1 = 1024  2n = 10 10 Ta có: (2 – 3x)10 = k 10k (3x)k  (1)k C10 k 0 7 Suy hệ số x7 C10 Bài 41.(ĐH khối D 2005 dự bị 1) Tìm k  {0; 1; 2; thoả mãn: 2Pn + An2  PnAn2 = 12 Có tài mà đức vô dụng Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn A B D C.3 Ta có: 2Pn +  2n! +   An2  PnAn2 Bài giải = 12 (n  N, n > 1) 6.n! n!  n!  12 (n  2)! (n  2)!   n!   n!  20  (n  2)! n  n  (vì n  2)   n! (6  n!)  2(6  n!)  (n  2)! n  n!      n(n  1)   n  n   Vậy: n = n = Bài 43.(ĐH khối A 2006) Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức n n 20 Newton   x7  , biết rằng: C12n1  C2n 1 1   C2n1  x  A 110 B 410 D 210 C 291 Bài giải n C02n1  C12n1  C2n 1   C2n1  Từ giả thiết suy ra: 2n1k Vì Ck2n1  C2n 1 , k, ≤ k ≤ 2n + nên: n C02n1  C12n1  C2n 1   C2n1   220 2n1 C2n1  C12n1  C2n 1   C2n1  (1)  (2) Từ khai triển nhị thức Newton (1 + 1)2n+1 suy ra: 1 2n1 C02n1  C12n1  C22n1   C2n  22n1 2n1  (1 1) từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220  n = 10 10  Ta có:   x7   x Hệ số x26  k C10 10 k k (x4 )10k  x7   C10 k 0  10 k 11k  40 x  C10 k 0 với k thoả mãn: 11k–40 = 26  k = Có tài mà đức vô dụng (3) Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn = 210 Vậy hệ số x26 C10 Bài 44.(ĐH khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k{1,2,4 biết 2Cn0  5Cn1  8Cn2    3n   Cnn  1600 A.6 B.7 C.8 D.9 Bài 6: Cho n = tính giá trị của: (Cn0 )2  (Cn1 )2  (Cn2 )2   (Cnn )2 A.924 B.876 C.614 D.512 2016 Bài 7: Tính tổng S  C2016  2C2016  3C2016  4C2016   2017C2016 A.2016.22013 B.2018.22015 C.2014.22012 D.2020.22018 Bài 8: Tìm số nguyên dương n cho: C21n1  2.2.C22n1  3.22.C23n1  4.23.C24n1    2n  1 22 n.C22nn11  2013 A.1006 B.2013 Bài 9: Từ khai triển biểu thức  x  1 100 C.2012 D.1008  a0 x100  a1 x99   a98 x  a99 x  a100 Tính tổng S  100a0 2100  99a1.299   2a98.22  1a99 21  A.201 B.202 C.203 Bài 10: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C20n  2C22n  3C24n   (n  1)C22nn  1024(n  2) D.204 A.5 B.6 C.7 D.8 11 10 10 11 Bài 11: Tính tổng: S  C20C12  C20C12   C20C12  C20 C12 12 AC 32 14 C.C32 11 BC32 13 D.C32 Bài 12: Tìm số hạng chứa x đa thức P( x )  25 x  x3 (1  x)4 A.36 x6 B.27 x C.29 x D.25x6 Bài 13: Tìm số hạng (nhỏ 100) số nguyên khai triển nhị thức nhiên A.4536   n  , biết  Pn  Cnn C2nn C3nn  P27 , với n số tự B.2196 C Có tài mà đức vô dụng D.10 Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn k   nk    n  Bài 14: Cho khai triển: P  x    x     Cnk x   biết x  k 0  2 x ba hệ số lập thành cấp số cộng Tìm số hạng khai triển nhận giá trị hữu tỷ x  N * C4 A 84 x B 2 x C.A V\ B D.không có đáp án Bài 15:Tìm hệ số x dạng khai triển của: f  x   1  x 1  x   A 7616 C 7616 B.6272 D.-6272 1 18  Bài 16: Tìm hệ số x8 khai triển  x  x   1  x  4  A.125970 B.4031040 C.8062080 D.503880 Bài 17: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển sau: n 3   nx   biết n số nguyên dương thỏa mãn: x   2Cn  Cn  n2  20 A.1080 B.1792 C.1920 Bài 18: Tìm hệ số x khai triển biểu thức D.2048 P  x 1  x   x 1  3x  Biết An2  Cnn11  n 2n A.3240 B.3320 C.3210 D.3340 Bài 19: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức n 1  Newton  x3   , biết An2  Cnn11  4n  x  A.880 B.1680 C.840 Có tài mà đức vô dụng D.1760 Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn Bài 20:Cho khai triển (1  x)n  a0  a1 x  a2 x2   an xn Tìm số nguyên dương n biết a0  8a1  2a2  A.4 B.5 C.6 D.7 10 Bài 21: Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển biểu thức n   n2  x   , biết n số tự nhiên thỏa mãn Cn  13Cn x   A 6435 B.5005 C.-5005 D 6435 Bài 22:Tìm số hạng chứa x4 khai triển nhị thức Niu-tơn n  2  x  x  với x ≠ 0, biết rằng: Cn  Cn  15 với n số nguyên   dương A.40 x B  80 x C  40 x4 D.80 x n   Bài 23: Trong khai triển  a a   cho biết hiệu số hạng tử a4   số hạng thứ số hạng thứ 44 tìm n A.9 B.10 C.11 D.12 Bài 24: Tìm giá trị nhỏ xn  An4 Pn2  143 (n  1, 2, 3, ) 4.Pn 63 63 95 23 B C D 24 Bài 25: Trong khai triển (1+x)n theo lũy thừa tăng x, x>0 biết: T3  4T5  40  T4  T6   Giá trị 2x+n là: A.5 B.7 C.9 D.11 A Có tài mà đức vô dụng Sưu tầm biên soạn: Phạm Minh Tuấn Có tài mà đức vô dụng ... biên soạn: Phạm Minh Tuấn = 210 Vậy hệ số x26 C10 Bài 44.(ĐH khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k{1,2,