Về các hàm số có liên quan đến việc biểu diễn số

1 giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh - bùi văn đồng hàm số có liên quan đến việc biểu diễn số Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyÕt sè M· sè: 60 46 05 luËn văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học PGS TS Ngun Thµnh Quang VINH-2009 mơc lơc Trang mở đầu Ch-ơng thuật toán biểu diễn sè 1.1 ThuËt to¸n .………………………………… 1.2 Biểu diễn số nguyên phép tính số diễn 16 học 1.3 Độ phức tạp thuật toán biểu số 19 Ch-ơng Các hàm số số học liên quan đến việc biểu diễn số 2.1 Hµm S 19 sè 28 (n)……………………………… 2.2 Hàm số đối nguyên Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 mở đầu Vị trí vai trò máy tính đà ngày trở nên quan trọng, lĩnh vực giáo dục Càng sâu vào lĩnh vực khoa học công nghệ đó, ng-ời bắt buộc phải dùng đến máy tính Lý máy tính có khả tính toán nhớ gần nh- vô hạn Ngày nay, máy tính tính đ-ợc triƯu sè sau dÊu phÈy cđa sè  Tuy nhiên, cho dù có mạnh đến đâu nữa, tất máy tính tính toán số Vì vậy, việc biểu diễn số có liên quan chặt chẽ đến thuật toán Tin học NÕu nh- tr-íc thËp kû 70 cđa thÕ kû XX, Số học đ-ợc xem ngành lý thuyết xa rời thực tiễn nhất, ngày nay, nhiỊu thµnh tùu míi nhÊt cđa Sè häc cã øng dụng trực tiếp vào vấn đề đời sống, nh- thông tin mật mÃ, kỹ thuật máy tính Một ph-ơng h-ớng số học đời: Số học thuật toán Có thể nói cầu nối Số học Tin học Trong nhiều ứng dụng Tin học, ng-ời ta th-ờng dùng đến hàm số số học Nhằm góp phần đẩy mạnh công nghệ thông tin vào đổi ph-ơng pháp giảng dạy nghiên cứu Toán học, luận văn b-ớc đầu giới thiệu tìm hiểu số vấn đề liên quan hµm sè sè häc víi viƯc biĨu diƠn sè Víi lý trên, chọn h-ớng đề tài luận văn '' Về hàm Số có liên quan ®Õn viƯc biĨu diƠn sè'' CÊu tróc cđa ln văn gồm ch-ơng với phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm: Ch-ơng 1: Thuật toán biểu diễn sè Giíi thiƯu mét sè kiÕn thøc vỊ c¸c tht toán độ phức tạp thuật toán liên quan đến việc biểu diễn số Luận văn nghiên cứu sở Số học Tin học thông qua thuật toán biểu diễn số Luận văn tập trung nghiên cứu toán Số học hệ nhị phân hệ thập phân Ch-ơng 2: Các hàm số số học liên quan đến việc biểu diễn số Nghiên cứu hàm số Số học có liên quan việc biểu diễn số Đặc biệt luận văn tìm hiểu hàm S(n) đ-ợc định nghĩa tổng chữ sè cđa n biĨu diƠn nã hƯ thËp phân Luận văn đà tính chất hàm S(n) Đặt hàm T(n) tổng tất gốc n, luận văn lập đ-ợc quan hệ S(n) T(n) Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo h-ớng dẫn đà dành cho tác giả h-ớng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan thầy cô giáo Chuyên ngành Đại số Khoa Toán Khoa Đào tạo Sau đại học - Tr-ờng Đại học Vinh đà tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục Đào T¹o NghƯ An, Tr-êng THPT Ngun Tr-êng Té - TP Vinh đà tận tình giúp đỡ tinh thần vật chất để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn học viên cao học khóa XV Toán trao ®ỉi bỉ Ých nhiỊu chøng minh chi tiÕt MỈc dù đà cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận đ-ợc bảo quý thầy cô giáo bạn học viên Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Bùi Văn Đồng Ch-ơng thuật toán biểu diễn số 1.1 Thuật toán 1.1.1 Định nghĩa Thuật toán quy tắc để với liệu ban đầu đà cho, tìm đ-ợc lời giải sau khoảng thời gian hữu hạn Ví dụ Cho n số X[1] , X[2] , , X[n] T×m m, j cho : M = X[ j ] = max X[k], 1 k  n vµ j lµ lín nhÊt cã thĨ Điều có nghĩa cần tìm cực đại số đà cho số lớn số đạt cực đại Với mục tiêu tìm số cực đại với số lớn nhất, ta xuất phát từ giá trị X[n] B-ớc thứ nhất, ta xem m = X[n] vµ j = n TiÕp theo, ta so sánh X[n] với X[n - 1] Trong tr-ờng hợp n - = tøc n = 1, thuËt to¸n kÕt thóc NÕu X[n - 1]  X[n], ta chun sang so s¸nh X[n] víi X[n - 2] Trong tr-êng hợp ng-ợc lại, X[n - 1] số cực đại hai số đà xét, ta phải thay đổi m j : Đặt m = X[n - 1], j = n - Với cách làm nh- trên, b-ớc ta nhận đ-ợc số cực đại số đà xét B-ớc so sánh với số đứng tr-ớc, kết thúc thuật toán tr-ờng hợp không số đứng tr-ớc Thuật toán đ-ợc ghi lại nh- sau: Thuật toán M tìm cực đại : M1 : [B-ớc xuất phát] Đặt j n, k n - , m  X[n] M2 : [§· kiĨm tra xong ] NÕu k = 0, thuËt to¸n kÕt thóc M3 : [So s¸nh ] NÕu X[k]  m, chun sang M5 M4 : [Thay ®ỉi m ] Đặt j k , m X[k] (Tạm thời m cực đại ) M5 : [Giảm k ] Đặt k k - , quay vỊ M2 DÊu “ ” dïng ®Ĩ chØ phép toán phép thay chỗ (replacement) Trên ta ghi thuật toán ngôn ngữ thông th-ờng Trong tr-ờng hợp thuật toán đ-ợc viết ngôn ngữ máy tính ta có ch-ơng trình Trong thuật toán M đầu vào (input) số X[1] , X[2] , , X[n] Trong thuật toán M đầu (ouput) lµ m vµ j VÝ dơ Tht to¸n tÝnh n! B1 ! := B2 ! := ! Bi (i  1)! := i!(i  1) Bn 1 n! := (n 1)!n Trên cách ghi thuật toán ngôn ngữ thông th-ờng Trong tr-ờng hợp thuật toán đ-ợc viết ngôn ngữ máy tính (ngôn ngữ Pascal, C+, C++), ta có chương trình Sau ch-ơng trình tính n! ngôn ngữ lập trình Pascal: Program TÝnh_n_giai_thõa; Var i,n,p : Integer; Begin Write(“Nhap n = ”); readln(n); p:=2; For i:=2 to n-1 p:=p*(i+1); Writeln(“n!= ,p); readln; End Ví dụ (Bài toán Tháp Hà Nội) Trong viết tạp chí toán học: Procceding of the Edinburgh Mathematical Society, (1883 - 1884), R E Allardice A Y Fras đà kể lại toán Tháp Hà Nội (The tower of Hanoi), toán hóc búa xứ Annam đà đ-ợc giáo s- N Claus, quan chức Tr-ờng đại học Saint Louis mang Pháp Nội dung toán diễn đạt nh- sau: Có n đĩa kích th-ớc nhỏ dần xếp chồng lên cọc A, đĩa lớn d-ới, đĩa nhỏ a) HÃy tìm cách chuyển chồng đĩa sang cột C cho: Mỗi lần chuyển đĩa từ cọc sang cọc khác đ-ợc lấy cọc B làm cọc trung gian Không đ-ợc xếp đĩa lớn đĩa nhỏ b) Ký hiệu L(n) số lần chuyển đĩa toán n đĩa Bằng quy nạp, chứng minh có cách xếp cho L(n) = 2n - Lời giải a) Tr-ờng hợp n = 1: Chun ®Üa tõ cäc A  C b) Tr-ờng hợp n = 2: Lần l-ợt chuyển nh- sau - Chun ®Üa nhá nhÊt tõ A  B; - Chun ®Üa to nhÊt tõ cäc A  C; - Chun ®Üa nhá nhÊt tõ B  C Giả sử toán n đĩa đà đ-ợc giải quyết, toán n đĩa đ-ợc thùc hiƯn nh- sau: - Chun n – ®Üa từ cọc A B (theo giả thiết quy nạp toán thực đ-ợc); - Chuyển đĩa to lại từ cọc A C; - Chuyển n đĩa từ cäc B  C nhê cét tù C (theo giả thiết quy nạp toán thực đ-ợc) Ký hiệu L(n) số lần chuyển đĩa toán n - đĩa Ta có: L(1) = 1; L(2) = 3; L(n) = L(n - 1) + + L(n - 1) = 2L(n - 1) + Ta thử tìm quy luật cho vài tr-ờng hợp riêng : L(1) = = 22 - 1; L(2) = = 22 - 1; L(3) = 2L(2) + = = 23 - 1; Vì vậy, ta dự đoán: L(n) = 2n ? Dự đoán với n = Giả sử dự đoán với k, ta chứng minh dự đoán với n = k + ThËt vËy L(k + 1) = 2L(k) + = 2(2k – 1) + = 2k+1 Nh- vậy, dự đoán toán Tháp Hà Nội đà đ-ợc giải trọn vẹn mặt lý thuyết Bằng ngôn ngữ lập trình Pascal ngôn ngữ C ng-ời ta lập trình toán Tháp Hà Nội máy tính Tuy nhiên, lần chuyển đĩa giây thời gian chuyển toán 64 đĩa là:18.446.744.073.709.551.615 giây, tức tỉ kỷ 1.1.2 Các đặc tr-ng thuật toán Có thể thấy thuật toán vừa mô tả thoả mÃn yêu cầu thuật toán nói chung, là: Tính hữu hạn: Thuật toán phải kết thúc sau số hữu hạn b-ớc Khi thuật toán ngừng làm việc ta phải thu đ-ợc câu trả lời cho vấn đề đặt Tính xác định: b-ớc, thuật toán cần phải xác định, nghĩa rõ việc cần làm Ngoài yếu tố đây, ta phải xét đến tính hiệu thuật toán Có nhiều thuật toán, mặt lý thuyết kết thúc sau hữu hạn b-ớc, nhiên thời gian hữu hạn vượt khả làm việc (xem toán Tháp Hà Nội) Một toán có nhiều thuật toán để giải Chúng ta cách để đánh giá thuật toán ưu việt hơn, tốn thời gian thực hơn, sử dụng thật máy vi tính Do cần phải ý thời gian mà máy tính làm việc 1.1.3 Độ phức tạp thuật toán Thời gian làm việc máy tính chạy thuật toán không phụ thuộc vào thuật toán mà phụ thuộc vào máy tính đ-ợc sử dụng Để có chuẩn chung, ta đo độ phức tạp thuật toán số phép tính phải làm thực thuật toán Độ phức tạp thuật toán hàm phụ thuộc vào cỡ toán, tức độ lớn đầu vào Khi làm việc máy tính dùng hệ đếm số 2; để biểu diễn số ta dùng hai kí hiệu kí hiệu bít (viết tắt chữ binary digit) Một số nguyên n đ-ợc biểu diễn bơỉ k chữ số đ-ợc gọi số k bít Độ phức tạp thuật toán đ-ợc đo số phép tính bít Để -ớc l-ợng cho độ phức tạp thuật toán ta dùng khái niệm bậc O lớn 1.1.4 Định nghĩa Giả sử f(n) g(n) hai hàm xác định tập số nguyên d-ơng Ta nãi f(n) cã bËc O- lín cđa g(n), vµ viÕt f(n) = O(g(n)) hc f = O(g), nÕu tån t¹i mét sè C > cho víi n đủ lớn, hàm f(n) g(n) d-ơng, đồng thêi f(n) < Cg(n) 1.1.5 NhËn xÐt 1) Gi¶ sư f (n) đa thức: f (n) ad nd  ad 1nd 1  L  a1n  a0 , ®ã ad  Khi ®ã, ta cã f (n)  O(nd ) 2) NÕu f1(n)  O( g (n)), f (n)  O( g (n)) th× f1  f  O( g ) 3) NÕu f1  O( g1), f  O( g2 ) th× f1 f  O( g1g2 ) 10 f ( n) th× f  O( g ) x  g ( n) 4) NÕu tån t¹i giới hạn hữu hạn lim 5) Với > 0, ta cã log n  O(n ) Chøng minh Giả sử f(n) đa thức: f (n) am n m  am1n m1   a`n  a0 , ®ã am  Khi ®ã f (n)  O(n m ) Ta cÇn chøng minh tån t¹i h»ng sè C  cho, víi n đủ lớn thì: f (n) am n m  am1n m1   a`n  a0  0, n m  , am n m  am1n m1   a`n  a0  Cn m (am n m  am1n m1   a`n  a0 )   Tõ ®ã, M  0, N V× am  nªn nlim  cho n  N ta cã: f (n)  am n m  am1n m1   a`n  a0 M 0 HiĨn nhiªn n m  0, n  Chän C  2am  , ta cÇn chøng minh am n m  am1n m1   a`n  a0  Cn m  2am n m , víi n ®đ lín, nghÜa lµ, am n m  (am1n m1   a`n  a0 )  víi n N T-ơng tự nh- trên, am nên lim (am n m am1n m1   a`n  a0 )   Suy ra, M  0, N1 cho n n  N1 ta cã: f (n)  am n m  am1n m1   a`n  a0  M  VËy ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh  NÕu f1(n) = O(g(n)), f2(n) = O(g(n)) th× f1 + f2 = O(g) V× f1(n) = O(g(n)) nên tồn số C1 cho, với n N đó, ta cã f1(n) > 0, g(n) > vµ f1 (n) C1 g (n) Vì f2(n) = O(g(n)) nên tån t¹i h»ng sè C2  cho, víi n N đó, ta có f1(n) > 0, g(n) > vµ f (n)  C2 g (n) DÔ thÊy f1(n) + f2(n) > 0, f1 (n)  f (n)  maxC1 , C2 .g (n), víi n  maxN 1, N  VËy: f1 + f2 = O(g)  NÕu f1= O(g1), f2 = O(g2) th× f1f2 = O(g1g2) 26 - Khi k = 1, ta cã n = a1 Từ S (n) = a1, T(n) = (vì lúc n có gốc 0, nên T (n) = ).Vì lẽ hiển nhiên tr-ờng hợp ta có n = S (n) + 9T (n) VËy (2) ®óng k = -Giả sử (2) đà n có k - chữ số, tức n cã d¹ng: n  a1a2 ak 1 -XÐt n có k chữ số, tức n có dạng n  a1a2 ak Tõ (1), ta cã : n - S (n) = 10m - S (m) (3) V× m số có k - chữ số, nên theo giả thiết quy nạp, m = S (m) + 9T (m) (4) Thay (4) vào (3), ®Õn :n - S (n) = 10 S (m) + 90 T (m) - S(m) = S (m) + 90 T (m) = 9[ S (m) + T (m) + T (m)] Tõ (4) vµ (5) suy n - S (n) = 9(m + T (m)) V× n  a1a2 ak (5) (6) nªn m  a1a2 ak 1 vµ ta cã : T (m)  a1a2 ak 2  a1a2 ak 3  a1a2  a1 Do ®ã : m  T (m)  a1a2 ak 1  a1a2 ak 2  a1a2 ak 3   a1a2  a1 , hay : m + T (m) = T (n) Một lần thay (7) vµo (6), ta cã : n - S (n) = 9T (n)  n = S (n) + 9T (n) Điều có nghĩa (2) n có k chữ số (7) 27 Theo nguyên lý quy nạp suy (2) với n nguyên d-ơng Đó điều phải chứng minh 2.1.5 Mệnh đề Cho n số tự nhiên Ta cã : S (8n)  S ( n) Chøng minh Tr-íc hÕt ta cã nhËn xÐt sau : Nếu n số nguyên d-ơng , với số nguyên d-ơng p, ta có hệ thức : S (n) = S (10p n) (1) ThËt vËy, gi¶ sư n = 1  k th× 10p n = 1  k 00 V× thÕ k S (n) = S (10p n) ( v× cïng b»ng 1      k ), tức (1) Từ (1) nói riêng ta có : S (n) = S (1000n) = S (125.8n) (2) áp dụng tính chất hàm S (n), S (125.8n)  S (125).S (8 n) = 8.S (8n) (3) Từ (2 (3) ta đến : S (n) S(8n) S (8n) Điều phải chøng minh  S ( n) 2.1.6 MƯnh ®Ị Cho m số nguyên d-ơng không chia hết cho 10 Khi đó, tồn số nguyên d-ơng n đồng thời thoả mÃn điều kiện sau : 1) Trong dạng thập phân n không chứa số 2) S (n) = S(mn) Chứng minh Giả sử biểu diễn thập phân, m có dạng m  a1a2 ak Do m kh«ng chia hÕt cho 10 nên ak Xét n sau gồm k ch÷ sè : n  99 k 28 Khi rõ ràng dạng thập phân n không chứa số Ta có S (n)      9k (1) k Ta cã : mn  a1a2 ak 99 = a1a2 ak (10k  1) = a1a2 ak 10k - a1a2 ak = k = a1a2 ak 00 - a1a2 ak k = a1a2 ak 1 (ak 1 )(9  a1 )(9  a2 )   (10  ak ) (2) ( Chó ý lµ ak   ak  Tõ ®ã suy sau thùc hiƯn phÐp trõ ak - 1, không phép tính có nhớ n÷a!) Tõ 2) ta cã : S (mn)  a1  a2   ak      (10  1)  (a1  a2   ak )  9k (3) k 1 Tõ (1) vµ (3) suy S (n) = S (mn) Điều phải chứng minh 2.1.7 Mệnh đề Trong số tự nhiên liên tiếp bất kì, có số biểu diễn đ-ợc d-ới dạng n + S (n), với n số tự nhiên Chứng minh Với n , ta đặt Sn = n + S (n) Ta cã c¸c nhËn xét sau đây: Nếu n tận 9, Sn+1 < Sn ThËt vËy, gi¶ sư n  a1a2 a p 99 , k Trong ®ã a p k (còn n = 99 9, chứng minh hoàn toàn t-ơng tự) Khi ®ã: n   a1a2 (a p  1) 00 k ( chó ý r»ng a p    ap    ap +  ) Tõ ®ã S (n) = ( a1 + a2 + ap) + 9k  Sn = n + a1 + a2 + + ap + 9k S (n + 1)= a1 + a2 + ap +1 +  S(n+1) = n + + a1 + a2 + ap + 29 Tõ k  1, suy Sn > Sn+1 Nhận xét 1) đ-ợc chứng minh 2) Nếu n tận 9, Sn+1 = Sn + ThËt vËy, gi¶ sư n  a1a2 ak , ak Khi đó: n  a1a2 (ak  1) (chó ý lµ ak    ak    ak +  9) Ta cã: Sn = n + S (n) = n + a1 + a2 + + ak, Sn+1 = n + + S (n + 1) = n + + a1 + a2 + + ak + = ( n + a1 + a2 + + ak) + = Sn + Vậy nhận xét 2) đ-ợc chứng minh Quay lại toán đà cho Xét tr-ờng hợp sau: - Xét hai cặp số tự nhiên liên tiếp (1, 2) Khi hiển nhiên ta có = + S (1) Vậy kết luận toán víi cỈp (1, 2) - XÐt hai cỈp sè tù nhiên liên tiếp (2, 3) Rõ ràng ta có = + S (1) KÕt ln cđa bµi toán với cặp (2, 3) - Xét hai số tù nhiªn liªn tiÕp ( m, m + 1), ë m > Chọn k số lớn cho Sk < m ( tøc lµ k + S(k) < m) Số tồn v× Ýt nhÊt ta cã + S (1) = < m, m hữu hạn Vì Sk < m, nªn Sk  m - Theo hai nhận xét Sk+1 < Sk, Sk+1 = Sk +2 Trong hai tr-ờng hợp ta có: Sk+1 m + Theo định nghĩa cách chọn số k, Sk+1 m ( thật vậy, trái lại Sk+1 m , mâu thuẫn với định nghĩa số k ) Tõ m  Sk+1  m + 1, suy hc Sk+1 = m hc Sk+1 = m + 1; tức m = k +1 + S ( k + 1), hc m + = k + + S ( k + 1) Nh- vËy mệnh đề với cặp ( m, m +1), m > Tóm lại ta có điều phải chứng minh 30 2.2 Hàm số với đối số nguyên Trong mục ta xét toán liên quan đến hàm số xác định tập số tự nhiên nhận giá trị tập số tự nhiên 2.2.1 Mệnh đề Cho hàm số f (n) xác định tập số nguyên d-ơng cho f (1) = 1; f(3) = 3, với n nguyên d-ơng thoả mÃn: f (2n) = f (n), f (4n+1) = f (2n+1)- f(n), f (4n+3) = f (2n+1)- f (n), Ta có 92 số nguyên d-ơng n với n 2003 vµ f (n) = n Chøng minh Tr-íc hÕt ta chøng minh r»ng, nÕu n= b1b2 bk hệ nhị phân, với b1 = f (n)  bk b2b1 ThËt vËy, n= = 2 (1)  f (1) =  (1) ®óng n = NÕu n =2 = 10 Theo tÝnh chÊt ta cã f(2) = f(2.1) = (1) = Mặt khác 01 = =1 (1) ®óng n=2 NÕu n = = 11 Ta cã f(3) =  (1) ®óng n=3 Bây giả sử (1) đà với tất số n có số chữ số hệ nhị phân bé k ( giả thiết qui nạp) Xét n số có số chữ số hệ nhị phân k Có hai khả sau: 1) Tr-ờng hợp 1: Nếu n số chẵn Khi n 2m b1b2 bk 1 (2) Theo tÝnh chÊt cđa hµm f, ta cã f (n) = ƒ(2m) = ƒ(m) Tõ (2), suy m  b1b2 bk 1 Vậy theo giả thiết quy nạp, 31 f (m)  bk 1 b2b1  0bk 1 b2b1 Vậy (1) tr-ờng hợp 2) Tr-ờng hợp 2: Nếu n số lẻ Lại cã tr-êng hỵp a) NÕu n  4m   b1b2 bk 2 01 (3) Lóc ®ã dÔ thÊy m  b1b2 bk 2 , suy 2m   b1b2 bk 21 Theo tÝnh chÊt cđa hµm ƒ, ta cã: f(n) = f(4m +1) = f (2m+1) - f (m) = f (2m+1) + (f (2m+1) - f (m)) = 1bk 2 b2b1  (1bk 2 b2b1  bk 2 b2b1 ) ( đà sử dụng giả thiết quy nạp) = 1bk 2 b2b1  10 00 = 10bk 2 b2b1 (4) Từ (3) (4), suy (1) tr-ờng hợp b) Nếu n 4m  b1b2 bk 211 (5) Lóc ®ã dỊ thÊy m  b1b2 bk 2 , suy 2m   b1b2 bk 21 Theo tÝnh chÊt cđa hµm f , ta cã: f(n) = f(4m +3) = f (2m+1) - 2f (m) = f (2m+1) + (f (2m+1) - f (m)) Dựa vào giả thiÕt quy n¹p, ta cã f (n)  1bk 2 b2b1  2(1bk 2 b2b1  bk 2bk 1 b2b1 ) 32 = 1bk  b2b1  2(10 00) k 2 = 1bk 2 b2b1 + 10 00 k 1 = 11bk 2 b2b1 (6) Tõ (5) vµ (6), suy (1) tr-ờng hợp Nh- (1) n số có chữ số hệ nhị phân k.Theo nguyên lý quy nạp, (1) với n nguyên d-ơng Bây từ (1) suy f(n) = n víi mäi sè n mà có chữ số đối xứng cách viết theo hệ nhị phân Muốn đ-ợc tất số nh- với 2k -1 2k chữ số cách viết theo hệ nhị phân vị trí thứ nhÊt ta viÕt b1= 1; ë k-1 vÞ trÝ tiÕp theo ta viết b2, , bk vị trí lại chữ số đối xứng với k chữ số đầu.Các số có dạng b1 b3 bk-1 bk bk-1 b3 b2 : cã 2k - sè, hc b1 b3 bk-1 bk bk bk-1 b3 b2 : cã 2k sè Do b2 bk nhận giá trị Vậy ta có tất 2k-1 số loại Ta cã 210 < 2003 < 211, v× thÕ biĨu diễn sang hệ nhị phân số 2003 có 11 chữ số : 2003 = 11111010011 Mặt khác, có hai chữ số có 11 chữ số đối xứng cách viết hệ nhị phân lớn số 2003 11111011111 1111111111 Theo số chữ số có 2k - 2k chữ số viết hệ nhị phân mà có chữ số đối xứng là: 2k-1 = 2k Nếu n 2003, cách biểu diễn sang hệ nhị phân n có tối đa 11 chữ số 33 Từ lập luận suy số số nguyên d-ơng n thoả mÃn điều kiện đầu bµi lµ: ( 21 + 22 + 23 + 24 + 25 ) + ( 25 - 2) = 92 ( Chó ý cã 25 ch÷ sè cã 11 ch÷ số hệ nhị phân mà cách viết có chữ số đối xứng, theo lí luận - chữ số mà có giá trị không v-ợt 2003) Điều phải chứng minh  2.2.2 MƯnh ®Ị Ta cã: Mäi sè tù nhiên n luôn đ-ợc biểu diễn cách nhÊt d-íi d¹ng: n = br ur + br-1ur-1 + + b1u1 + bouo , (1) ®ã uo, u1, , ur, dÃy số đ-ợc xác định nh- sau: uo  1, u1   un  un 1  un 2 víi mäi n = 2,3, , br=1, bi=0 với i r hai số bi kề kh¸c Chøng minh Tr-íc hÕt, ta chøng minh b»ng quy nạp với số nguyên d-ơng n có thĨ biĨu diƠn d-íi d¹ng (1) - Víi n=1 hiĨn nhiên n = = uo, điều cần chứng minh n =1 - Giả thiết quy nạp, ®iỊu cÇn chøng minh ®· ®óng ®Õn víi mäi sè tự nhiên nhỏ n - Xét với n Gäi ur lµ sè lín nhÊt d·y uo, u1, u2, mµ ur  n  n - u2 < n Vì theo giả thiết quy nạp suy ra: n - u2= bkuk + bk-1uk-1 + + b1u1 + bouo (2) Ta thÊy r»ng k  r-2 ThËt vËy, nÕu k > r - 2, vµ chó ý lµ bk =1, bi  víi mäi i, ta cã vÕ ph¶i cđa (2)  uk Do k > r -  k  r -1 Tõ vế phải (2) ur-1 Bây từ (2) cã n  ur + ur-1 = ur+1 Bất đẳng thức thu đ-ợc mâu thuẫn với cách chọn ur V× lÏ Êy, ta cã: 34 n = ur + bkuk + bk-1uk-1 + + b1u1 + bouo Chó ý k r-2 ( vừa chứng minh trên), bk = 1, bi = bi = víi mäi i = 0, k , ngoµi hai số bi kề khác ( theo giả thiết quy nạp), bé sè : 1, 0, , , bk, bk-1, , b1, b0, (*) r  k 1 còng cã tÝnh chÊt Êy (chó ý k  r-2  r-k -1 >0, dù bk = 1cũng đảm bảo hai số bi kề khác dÃy (*)) Nói khác ta đà chứng minh đ-ợc số nguyên d-ơng n ®Ịu cã d¹ng : n = br ur + br-1ur-1 + + b1u1 + bouo B©y giê ta chun sang chứng minh biểu diễn (1) Để làm đ-ợc điều ta cần đến bổ đề sau đây: Bổ đề DÃy số {un} nói có tính chÊt sau: ur + ur-2 + ur-4 + = ur+1 - (3) Bổ đề đ-ợc chứng minh quy n¹p nh- sau: - Víi r = 1, ta cã u1 = = 3-1= u2 - 1, vËy ( ) ®óng r = - Víi r = 2, ta cã u2 + u0 = + = = u3 - 1, vËy (3) ®óng r = - Gi¶ sư (3) ®· ®óng víi r - 1, tøc lµ: ur-1 + ur-3 + = ur - - XÐt víi r +1, từ giả thiết quy nạp suy ra: ur+1 + ur - + ur - + = ur+1 + ur -1  ur+1 + ur - + ur - + = ur+2 -1 Vậy (3) đà với r - ®óng víi r + KÕt hỵp víi sù kiƯn (3) ®· ®óng víi r = 1, r = suy (3) với r Bổ đề đ-ợc chøng minh 35 Trë l¹i viƯc chøng minh biĨu diễn (1) Lại chứng minh điều phép quy nạp sau đây: - Với n = Do = u0, vµ chØ cã biĨu diƠn mà Vậy tính biểu diễn (1) n = - Giả sử điều khẳng định đà với số nhỏ n - Ta chứng minh điều khẳng định với n Để làm điều ta sử dụng ph-ơng pháp phản chứng Giả thiết trái lại n có hai biểu diễn khác có dạng (1): n = ur + vµ n = us + Chỉ có hai khả sau xảy ra: 1) Nếu ur =us Khi ®ã ta cã n - ur = n - us V× n - ur = n - us us ( không, lí luận hoàn toàn t-ơng tự ) Khi ®ã ur  us+1 Tõ n = us + suy ra: n  us + us-2 + us-4 + (4) ( Chú ý điều suy từ biĨu diƠn n = us + th× mäi bi với i < s ) Tõ bỉ ®Ị ta cã: us + us-2 +  us+1 - (5) Tõ (4) vµ (5), ta cã: n  us+1 - (6) Do ur us+1 n = ur + , nên : n  us+1 (7) 36 Tõ (6) vµ (7) suy mâu thuẫn Vậy giả thiết phản chứng sai, điều khẳng định tính biểu diễn (1) với n Theo nguyên lí quy nạp suy biểu diễn (1) Điều phải chứng minh 2.2.3 Mệnh đề * Hµm sè ƒ: Víi mäi n    * đ-ợc xác định nh- sau: , f    f  2n   f  n    f  2n  1   f  2n  Ta cã ƒ(n) số tất chữ số biểu diễn nhị phân số n Chứng minh Ta chứng minh ph-ơng pháp quy nạp Ta có = , kí hiệu = biểu diễn số hệ nhị phân, mà (1) = 1, nhận xét n =1 Giả sử nhận xét đà đến n = k XÐt n = k + Cã hai khả xảy ra: 1) Nếu k lẻ ( k = 2m + 1)  k +1 = 2m + Theo gi¶ thiÕt ƒ(k + 1) = ƒ(2m +2) = ƒ(m + 1) (1) V× m + < k = 2m + 1, nên theo giả thiÕt qui n¹p suy ƒ(m + 1) b»ng sè tất chữ số biểu diễn nhị phân số m+1 Mặt khác, k + 1= 2m + mµ 2m  2 , m 1 biểu diẽn nhị phân số 2m + cã d¹ng 1  p , 37 m + = p Nh- số tất chữ số biểu diễn nhị phân số 2m + số tất chữ số biểu diễn nhị phân số m + 1, (k + 1) số tất chữ số biểu diễn nhị phân số k + Điều có nghĩa kết luận nhËn xÐt ®óng n = k + 1, víi k lẻ 2) Nếu k chẵn (k = 2m) Ta cã: ƒ(k + 1) = ƒ(2m) +1 = ƒ(m) +1 Vì m < k, nên theo giả thiết quy nạp (m) số chữ số biểu diễn nhị phân số m Từ (k +1) số chữ số biểu diễn nhị phân số m cộng thêm Mặt khác, k + = 2m + mµ 2m  m tøc lµ k + = 12  s1 , ®ã m = 12  s Do vËy sè c¸c sè biĨu diễn nhị phân k +1 số số biểu diễn nhị phân số m cộng thêm Từ suy (k+1) số chữ số biểu diễn nhị phân số k + Nh- thÕ mƯnh ®Ị cịng ®óng n = k + víi k ch½n Tãm lại, mệnh đề n = k + Theo nguyên lí quy nạp suy ra: "(n) số tất chữ số biểu diễn nhị phân số n " với số tự nhiên n Điều phải chứng minh 38 Kết luận Nội dung luận văn: Giíi thiƯu mét sè kiÕn thøc vỊ c¸c tht to¸n độ phức tạp thuật toán liên quan đến việc biểu diễn số Luận văn nghiên cứu sở Số học Tin học thông qua thuật toán biểu diễn số Luận văn tập trung tìm hiểu toán Số học hệ nhị phân hệ thập phân Luận văn tìm hiểu: Thuật toán nhân nhanh hai số .Thuật toán Karatuba - Ofman .Thuật toán tính n! .Độ phức tạp thuật toán nhân hai ma trận vuông cấp n theo quy tắc thông th-ờng Nghiên cứu hàm số số học có liên quan đến việc biểu diễn số Đặc biệt luận văn tìm hiểu hàm S(n) đ-ợc định nghĩa tổng chữ số n biểu diễn hệ thập phân Luận văn đà tính chất hàm S(n) Nếu đặt hàm T(n) tổng tất gốc n, ta lập đ-ợc quan hệ S(n) T(n) Luận văn cã thĨ tiÕp tơc nghiªn cøu theo h-íng øng dơng phần mềm Tin học để tính toán với hàm số số học, toán biểu diễn số 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Phạm Minh Hoàng (2005), Maple toán ứng dụng, NXB Khoa học Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh [4] Hà Huy Khoái (2004), Chuyên ®Ị båi dìng häc sinh giái to¸n trung häc phỉ thông, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Đại học Vinh [6] Nguyễn Thµnh Quang (2005), Lý thuyÕt tr-êng vµ Lý thuyÕt Galois, §¹i häc Vinh TiÕng Anh [7] Z I Borevic, I R Safarevic (1966), Numbers Theory, Acamedic Press [8] M Burton (2002), Elementary number theory, Mc-Graw Hill Publishing Company Limited, New Delhi [9] S.G.Telang (1996), Number theory, Mc-Graw Hill Publishing Company Limited, New Delhi [10] N Koblitz (1979) p-adic numbers, p-adic Analysis and Zeta – Functions, Springer - Verlag [11] J P Serr (1973), A course in Arithemetic, Springer - Verlag 40 ... 2: Các hàm số số học liên quan đến việc biểu diễn số Nghiên cứu hàm số Số học có liên quan việc biểu diễn số Đặc biệt luận văn tìm hiểu hàm S(n) đ-ợc định nghĩa tổng chữ số n biểu diễn hệ thập... b-ớc đầu giới thiệu tìm hiểu số vấn đề liên quan hàm số số học với việc biểu diễn số Với lý trên, chọn h-ớng đề tài luận văn '' Về hàm Số có liên quan đến việc biểu diễn số' ' Cấu trúc luận văn gồm... toán liên quan đến việc biểu diễn số Luận văn nghiên cứu sở Số học Tin học thông qua thuật toán biểu diễn số Luận văn tập trung nghiên cứu toán Số học hệ nhị phân hệ thập phân Ch-ơng 2: Các hàm số