mb Vậy theo giả thiết quy nạp, thì
2.2.2. Mệnh đề Ta có: Mọi số tự nhiên n luôn luôn đ-ợc biểu diễn một cách duy nhất d-ới dạng:
cách duy nhất d-ới dạng:
n = br ur + br-1ur-1 + ...+ b1u1 + bouo , (1) trong đó uo, u1, ..., ur, ...là dãy số đ-ợc xác định nh- sau:
1 1 2 1, 2 o n n n u u u u u với mọi n = 2,3, ...,
br=1, còn bi=0 hoặc 1 với mọi i r và không có hai số bi kề nhau nào cùng khác 0.
Chứng minh. Tr-ớc hết, ta chứng minh bằng quy nạp với mọi số nguyên d-ơng n đều có thể biểu diễn d-ới dạng (1).
- Với n=1 hiển nhiên n = 1 = uo, vậy điều cần chứng minh đúng khi n =1. - Giả thiết quy nạp, điều cần chứng minh đã đúng đến với mọi số tự nhiên nhỏ hơn n.
- Xét với n . Gọi ur là số lớn nhất trong dãy uo, u1, u2, ... mà urn n - u2 < n. Vì thế theo giả thiết quy nạp suy ra:
n - u2= bkuk + bk-1uk-1 + ...+ b1u1 + bouo . (2) Ta thấy rằng k r-2. Thật vậy, nếu k > r - 2, và chú ý là bk =1, bi 0 với mọi i, ta có vế phải của (2) uk. Do k > r - 2kr -1. Từ đó vế phải của (2) ur-1. Bây giờ từ (2) có n ur + ur-1 = ur+1 . Bất đẳng thức thu đ-ợc mâu thuẫn với cách chọn ur. Vì lẽ ấy, ta có:
n = ur + bkuk + bk-1uk-1 + ...+ b1u1 + bouo
Chú ý là k r-2 ( vừa chứng minh trên), còn bk = 1, và bi = 0 hoặc bi = 1 với mọi i = 0, ,k ngoài ra không có hai số bi kề nhau nào là cùng khác 0 ( theo giả thiết quy nạp), vậy bộ số :
1, 1 0,..., 0 r k , bk, bk-1, ..., b1, b0, (*) cũng có tính chất ấy (chú ý do k r-2 r-k -1 >0, vì thế dù bk = 1cũng đảm bảo không có hai bộ số bi kề nhau là cùng khác 0 đối với dãy (*)). Nói khác đi ta đã chứng minh đ-ợc mọi số nguyên d-ơng n đều có dạng :
n = br ur + br-1ur-1 + ...+ b1u1 + bouo .
Bây giờ ta chuyển sang chứng minh biểu diễn (1) là duy nhất. Để làm đ-ợc điều này ta cần đến bổ đề sau đây:
Bổ đề. Dãy số {un} nói trên có tính chất sau:
ur + ur-2 + ur-4 + ... = ur+1 - 1 (3) Bổ đề đ-ợc chứng minh bằng quy nạp nh- sau:
- Với r = 1, ta có u1 = 2 = 3-1= u2 - 1, vậy ( 3 ) đúng khi r = 1.
- Với r = 2, ta có u2 + u0 = 3 + 1 = 4 = u3 - 1, vậy (3) đúng khi r = 2. - Giả sử (3) đã đúng với r - 1, tức là:
ur-1 + ur-3 + ... = ur - 1.
- Xét với r +1, thì từ giả thiết quy nạp suy ra:
ur+1 + ur - 1 + ur - 3 + ... = ur+1 + ur -1 ur+1 + ur - 1 + ur - 3 + ... = ur+2 -1.
Vậy (3) đã đúng với r - 1 thì cũng đúng với r + 1. Kết hợp với sự kiện (3) đã đúng với r = 1, r = 2 suy ra (3) đúng với mọi r. Bổ đề đ-ợc chứng minh.
Trở lại việc chứng minh biểu diễn (1) là duy nhất. Lại chứng minh điều này bằng phép quy nạp sau đây:
- Với n = 1. Do 1 = u0, và chỉ có biểu diễn ấy mà thôi. Vậy tính duy nhất của biểu diễn (1) đúng khi n = 1.
- Giả sử điều khẳng định đã đúng với mọi số nhỏ hơn n.
- Ta sẽ chứng minh điều khẳng định cũng đúng với n. Để làm điều này ta sử dụng ph-ơng pháp phản chứng. Giả thiết trái lại n có ít nhất hai biểu diễn khác nhau có dạng (1):
n = ur + ... và n = us + ... Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:
1) Nếu ur =us. Khi đó ta có n - ur = n - us. Vì n - ur = n - us <n, vậy theo giả thiết quy nạp nó phải có biểu diễn duy nhất d-ới dạng (1). Nh- vậy hai biểu diễn ur + ... và us + ...
là nh- nhau. Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứng là hai biểu diễn này khác nhau.
2) Nếu ur us.Ta có thể cho là ur >us ( nếu không, lí luận hoàn toàn t-ơng tự ). Khi đó ur us+1. Từ n = us + ...suy ra:
n us + us-2 + us-4 + ... (4) ( Chú ý rằng điều này suy ra từ trong biểu diễn n = us + ... thì mọi bi đều bằng 0 hoặc 1 với mọi i < s ). Từ bổ đề ta có:
us + us-2 +.... us+1 - 1. (5) Từ (4) và (5), ta có:
n us+1 - 1. (6) Do ur us+1 và vì n = ur + ..., nên :
Từ (6) và (7) suy ra mâu thuẫn. Vậy giả thiết phản chứng là sai, do đó điều khẳng định về tính duy nhất của biểu diễn (1) cũng đúng với n. Theo nguyên lí quy nạp suy ra biểu diễn (1) là duy nhất. Điều phải chứng minh.
2.2.3. Mệnh đề. 2.2.3. Mệnh đề. Hàm số ƒ: * * đ-ợc xác định nh- sau: Với mọi n , thì 1 1 2 2 1 1 2 f f n f n f n f n
Ta có ƒ(n) là số tất cả các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số n. Chứng minh. Ta chứng minh bằng ph-ơng pháp quy nạp.
Ta có 1 = 1 2, ở đây kí hiệu 1 = 12 là biểu diễn của số 1 trong hệ nhị phân, mà ƒ(1) = 1, vậy nhận xét đúng khi n =1.
Giả sử nhận xét đã đúng đến n = k. Xét khi n = k + 1. Có hai khả năng xảy ra:
1) Nếu k lẻ ( k = 2m + 1) k +1 = 2m + 2. Theo giả thiết
ƒ(k + 1) = ƒ(2m +2) = ƒ(m + 1) . (1) Vì m + 1 < k = 2m + 1, nên theo giả thiết qui nạp suy ra ƒ(m + 1) bằng số tất cả các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số m+1.
Mặt khác, k + 1= 2m + 2 mà 2 2 2 1 m m ,
do đó trong biểu diẽn nhị phân số 2m + 1 có dạng 1 2... p0 2 ,
ở đây m + 1 = 1 2... p 2. Nh- thế số tất cả các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số 2m + 2 bằng số tất cả các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số m + 1, vậy ƒ(k + 1) bằng số tất cả các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số k + 1. Điều đó có nghĩa là kết luận của nhận xét đúng khi n = k + 1, với k lẻ.
2) Nếu k chẵn (k = 2m). Ta có:
ƒ(k + 1) = ƒ(2m) +1 = ƒ(m) +1.
Vì m < k, nên theo giả thiết quy nạp ƒ(m) chính bằng số các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số m. Từ đó ƒ(k +1) bằng số các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số m cộng thêm 1.
Mặt khác, k + 1 = 2m + 1 mà 2m 1 2
m
tức là k + 1 = 1 2... 1s 2, trong đó m = 1 2... s 2. Do vậy số các số 1 trong biểu diễn nhị phân của k +1 bằng số các số 1 trong biểu diễn nhị phân của số m cộng thêm 1. Từ đó suy ra ƒ(k+1) bằng số các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số k + 1. Nh- thế mệnh đề cũng đúng khi n = k + 1 với k chẵn .
Tóm lại, mệnh đề đúng khi n = k + 1. Theo nguyên lí quy nạp suy ra: "ƒ(n) là số tất cả các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số n " là đúng với mọi số tự nhiên n 1. Điều phải chứng minh.
Kết luận
Nội dung chính của luận văn:
1. Giới thiệu một số kiến thức về các thuật toán và độ phức tạp của các thuật toán liên quan đến việc biểu diễn số. Luận văn còn nghiên cứu các cơ sở của Số học trong Tin học thông qua các thuật toán biểu diễn số. Luận văn tập trung tìm hiểu các bài toán Số học trong hệ nhị phân và hệ thập phân. Luận văn tìm hiểu:
.Thuật toán nhân nhanh hai số.
.Thuật toán Karatuba - Ofman.
.Thuật toán tính n!.
.Độ phức tạp của thuật toán nhân hai ma trận vuông cấp n theo quy tắc thông th-ờng.
2. Nghiên cứu các hàm số số học có liên quan đến việc biểu diễn số. Đặc biệt luận văn tìm hiểu hàm S(n) đ-ợc định nghĩa là tổng các chữ số của n khi biểu diễn nó trong hệ thập phân. Luận văn đã chỉ ra các tính chất của hàm S(n). Nếu đặt hàm T(n) là tổng tất cả các gốc của n, ta lập đ-ợc quan hệ giữa S(n) và T(n).
Luận văn này có thể tiếp tục nghiên cứu theo h-ớng ứng dụng các phần mềm Tin học để tính toán với các hàm số số học, và các bài toán biểu diễn số.