Chuyên đề 1 một số hệ THỨC về CẠNH và ĐƯỜNG CAO 1

CHƯƠNG I: Hệ thức lượng tam giác vuông Chuyên đề MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO A Kiến thức cần nhớ Tam giác ABC vuông A, đường cao AH (h.1.1) Khi ta có: 1) b = ab′; c = ac′ ; 2) h = b′c′ ; 3) bc = ah ; 4) 1 = 2+ 2; h b c 5) a = b + c (định lí Py-ta-go) B Một số ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC cân A ( µA ≠ 90° ), đường cao BH Chứng minh rằng: 2AB = CH BC Giải Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Do BA = AC = AD = CD Tam giác BCD có đường trung tuyến BA ứng với cạnh CD BA = CD nên tam giác BCD vuông B Xét ∆BCD vng B, đường cao BH ta có: BC = CD.CH (hệ thức 1) Suy BC = AB.CH (vì CD = AB ) Do 2AB = CH BC Nhận xét: Đề cho BH đường cao chưa phải đường cao tương ứng với cạnh huyền tam giác vuông Vì ta vẽ thêm hình phụ để tạo tam giác vuông đỉnh B cho BH đường cao ứng với cạnh huyền vận dụng hệ thức (1) Ta vẽ hình phụ theo cách khác: Qua B vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt tia CA D Cách tạo tam giác vuông với BH đường cao ứng với cạnh huyền.  µ = 90° BD ⊥ BC Biết AD = 12cm, CD = 25cm Tính Ví dụ Hình thang ABCD có µA = D diện tích hình thang Giải Vẽ BH ⊥ CD Tứ giác ABHD có ba góc vng nên hình chữ nhật Suy BH = AD = 12cm AB = DH Xét ∆BDC vuông B, đường cao BH ta có: BH = HD.HC (hệ thức 2) Đặt HD = x HC = 25 − x ta được: 122 = x ( 25 − x ) ⇔ x − 25 x + 144 = hay ( x − 16 ) ( x − ) = Suy x = 16 x = Với x = 16 AB = 16 Diện tích hình thang là: S = ( 16 + 25 ) 12 = 246 ( cm ) Với x = AB = Diện tích hình thang là: S = ( + 25) 12 = 204 ( cm ) Nhận xét: Để tính diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm độ dài AB Ta vẽ BH ⊥ CD để "chuyển" AB thành DH Có thể tính DH tam giác vuông BDC biết hai yếu tố độ dài Ngồi ra, ta dùng cơng cụ đại số giải phương trình để tính tốn độ dài DH Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH, BC = 2a Gọi D E hình chiếu H AB AC Tính giá trị lớn diện tích tứ giác AEHD Giải * Tìm cách giải: Để tính diện tích lớn tứ giác AEHD ta phải viết biểu thức tính diện tích tứ giác AEHD theo độ dài biết, tìm giá trị lớn biểu thức * Trình bày lời giải: Vẽ đường trung tuyến AM AM = BC = a Tứ giác AEHD có ba góc vng nên hình chữ nhật Diện tích hình chữ nhật là: S = AD AE Xét ∆ABH vng H ta có: AH = AB AD (hệ thức 1), suy AD = Tương tự ta có AE = AH AH AH AH Do S = = AC AB AC AB AC Mặt khác AB AC = BC AH (hệ thức 3) nên S = Suy S ≤ Do S ≤ AH AB AH AH = BC AH BC AM (vì AH ≤ AM ) BC a3 a = 2a Vậy max S = (dấu "=" xảy ⇔ ∆ABC vuông cân A) a2 ∆ABC vuông cân A Nhận xét: Để tìm liên hệ chiều cao AH (chưa biết) với độ dài cạnh huyền BC (đã biết) ta vẽ thêm đường trung tuyến AM Do AH ≤ AM ; AM = BC nên AH liên hệ với BC qua vai trị "bắc cầu" AM Ví dụ Cho ba điểm A, B, C, A, B cố định, AB = BC = a Vẽ tam giác ADE vuông A cho AC đường cao Tìm giá trị nhỏ tổng 1 + AD AE Giải * Tìm cách giải: Hệ thức 1 + gợi ý ta nhớ đến hệ thức (4) Vì ta dùng hệ thức để giải AD AE tốn * Trình bày lời giải: Ta có AC đường cao tam giác ADE vuông A nên 1 + = (hệ thức 4) 2 AD AE AC Tổng 1 + ⇔ có giá trị nhỏ ⇔ AC có giá trị lớn 2 có giá trị nhỏ AD AE AC nhất.  Xét ba điểm A, B, C ta có AC ≤ AB + BC = 2a (dấu “=” xảy B trung điểm AC)  1  + = = B trung điểm AC Vậy  2 ÷ AE  ( 2a ) 4a  AD µ = 90° , hai đường chéo vng góc với Cho Ví dụ Cho hình thang ABCD, µA = D biết AB = a, CD = b a) Tìm giá trị nhỏ diện tích hình thang ABCD b) Chứng minh độ dài AC, BD AB + CD độ dài ba cạnh tam giác vng Giải * Tìm cách giải: Để tìm diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm chiều cao AD Có thể tính AD nhờ phương pháp đồng dạng * Trình bày lời giải: µ = 90° ; ·ADB = DCA · a) ∆ADB ∆DCA có: µA = D (cùng phụ với góc BDC) Do D ADB : D DCA (g.g) Suy AB AD = ⇒ AD = AB.CD = a.b DA DC Do AD = ab Diện tích hình thang ABCD là: S= Vì ( AB + CD ) AD = ( a + b ) ab a+b ≥ ab (bất đẳng thức Cô-si) nên S ≥ ab ab = ab (dấu “=” xảy a = b hay ABCD hình vng) Vậy S = ab ABCD hình vng 2 2 b) Xét ∆ADB vuông A ta có: BD = AB + AD = a + ab = a ( a + b ) 2 2 Xét ∆DCA vng D ta có: AC = AD + CD = ab + b = b ( a + b ) Xét tổng AC + BD = b ( a + b ) + a ( a + b ) = ( a + b ) mà ( AB + CD ) = ( a + b ) Vậy 2 AC + BD = ( AB + CD ) Do theo định lí Py-ta-go đảo AC, BD AB + CD độ dài ba cạnh tam giác vuông C Bài tập vận dụng Vận dụng hệ thức (1) 1.1 Cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AC = b Vẽ đường cao AH Gọi E F hình chiếu H AB AC Tính theo b c giá trị tỉ số: a) HB ; HC b) BE CF 1.2 Cho tam giác ABC vuông A, BC = 20cm Biết tỉ số hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền :16 Tính diện tích tam giác ABC 1.3 Cho tam giác ABC cân A Các tia phân giác góc A góc B cắt O Biết OA = 3cm , OB = 2cm , tính độ dài AB 1.4 Cho tam giác ABC cân A, góc A nhọn, trực tâm H Biết HA = 7cm , HB = HC = 15cm Tính diện tích tam giác ABC Vận dụng hệ thức (2) 1.5 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết diện tích tam giác ABH ACH 54cm 96cm Tính độ dài BC 1.6 Cho hình thang cân ABCD, AB / / CD , AD ⊥ AC Biết AB = 7cm, CD = 25cm Tính diện tích hình thang µ = 90° Hai đường chéo vng góc với O Biết 1.7 Cho hình thang ABCD, µA = D OB = 5, 4cm ; OD = 15cm a) Tính diện tích hình thang; b) Qua O vẽ đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD BC M N Tính độ dài MN 1.8 Cho trước đoạn thẳng a b ( a ≥ b ) Hãy dựng đoạn thẳng thứ ba x cho x trung bình nhân hai đoạn thẳng a b Vận dụng hệ thức (4) 1.9 Cho hình vng ABCD cạnh Gọi M điểm nằm B c Tia AM cắt đường thẳng CD N Tính giá trị biểu thức P = 1 + AM AN 1.10 Cho hình thoi ABCD, AB = 2cm , µA = 120° Trên cạnh BC lấy điểm E cho · BAE = 15° Tia AE cắt đường thẳng CD F Chứng minh 1 + = 2 AE AF µ = 90° , AD = CD hai đáy không Gọi E 1.11 Cho hình thang ABCD, µA = D giao điểm hai đường thẳng AD BC Chứng minh 1 = +   2 AD CB CE 1.12 Cho hình thoi ABCD, đường cao AH Cho biết AC = m ; BD = n AH = h Chứng minh 1 = 2+ h m n 1.13 Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15cm, AC = 20cm Vẽ hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác ABC cho D thuộc cạnh AB; E thuộc cạnh AC; F G thuộc cạnh BC Xác định vị trí D E để diện tích hình chữ nhật DEFG lớn Tính diện tích lớn Vận dụng hệ thức (5) Định lí Py-ta-go 1.14 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Chứng minh AB + AC = AM + BC Áp dụng: Tam giác ABC có AB = 5, AC = BC = 10 Tính độ dài đường trung tuyến AM 1.15 Cho tam giác ABC, µA = 60° Đặt BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh a < b3 + c 1.16 Cho tam giác ABC, điểm M nằm B C Chứng minh rằng: AB MC + AC MB − AM BC = MB.MC.BC 1.17 Cho tam giác ABC Đặt BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng: a) Nếu µA < 90° a < b + c ; b) Nếu µA > 90° a > b + c ; c) Nếu µA = 90° a = b + c 1.18 Cho tam giác ABC Đặt BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng: a) Nếu a < b + c µA < 90° ; b) Nếu a > b + c µA > 90° ; c) Nếu a = b + c µA = 90° 1.19 Cho tam giác ABC, độ dài cạnh BC, CA, AB a, b, c Độ dài đường cao tương ứng , hb , hc Chứng minh 1 = + hb = c hc = b hb hc Vận dụng tổng hợp nhiều hệ thức µ = 90° , hai đường chéo vng góc với O Cho 1.20 Cho hình thang ABCD, µA = D biết AD = 12cm ; CD = 16cm Tính độ dài OA, OB, OC, OD.  1.21 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH = h, BC = a Vẽ HD ⊥ AB , HE ⊥ AC Ta đặt BD = m, CE = n Chứng minh rằng: a) h3 = a.m.n ; b) a = m2 + n2 1.22 Cho tam giác nhọn ABC Ba đường cao AD, BE, CF cắt H Trên đoạn · · thẳng HA, HB, HC lấy điểm M, N, P cho BMC = CNA = ·APB = 90° Chứng minh rằng: a) Các tam giác ANP, BMP CMN tam giác cân; b) Diện tích tam giác MBC trung bình nhân diện tích tam giác ABC HBC 1.23 Cho năm đoạn thẳng a, b, c, d, e ba đoạn thẳng lập thành tam giác Chứng minh tồn ba đoạn thẳng lập thành tam giác có ba góc nhọn 1.24 Cho tứ giác ABCD, AC = 6, BD = Chứng minh rằng: a) Tồn hai cạnh tứ giác nhỏ 5; b) Tồn cạnh tứ giác lớn 3,6 HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ Chương I Hệ thức lượng tam giác vuông Chuyên đề MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1.1 a) Xét ∆ABC vuông A, đường cao AH ta có: AB = BC.BH ; AC = BC.C H (hệ thức 1) Do AB BC.BH BH HB c Vậy = = = AC BC.CH CH HC b b) Xét ∆ABH vuông H, ∆ACH vng H, ta có: HB = BA.BE; HC = CA.CF (hệ thức 1) HB BA.BE c.BE Do = = HC CA.CF b.CF 2 BE  HB  c  c  b c = Suy ÷ : − ÷ = CF  HC  b  b  c b3 Nhận xét: Qua kết câu a) ta thấy: Tỉ số hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền bình phương tỉ số hai cạnh góc vng 1.2 Vẽ đường cao AH Ta có HB HB HC HB + HC 20 = ⇒ = = = HC 16 16 + 16 25 Suy HB = 9.20 16.20 = 7, 2; HC = = 12,8 25 25 Xét ∆ABC vuông A, đường cao AH ta có: AB = BC.BH = 20.7, = 144 ⇒ AB = 12 ( cm ) AC = BC.CH = 20.12,8 = 256 ⇒ AC = 16 ( cm ) Vậy diện tích ∆ABC S = 1 AB AC = 12.16 = 96 ( cm ) 2 Cách giải khác: Sau tính HB HC, ta tính AH: AH = HB.HC (hệ thức 2) AH = 7, 2.12,8 = 92,16 ⇒ AH = 9, ( cm ) Diện tích ∆ABC S = 1.3 1 BC AH = 20.9, = 96 ( cm ) 2 Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt tia BO D µ +B µ = 90°; ·AOD + B ¶ = 90° Ta có D =B ả nờn D = ÃAOD m B Do ∆AOD cân A Suy AD = AO = ( cm ) Vẽ AH ⊥ OD HO = HD Ta đặt HO = HD = x BD = x + Xét ∆ABD vuông A, đường cao AH, ta có AD = BD.HD ( Suy ) = x ( x + ) Từ ta phương trình: x + x − 12 = ⇔ ( x − ) ( x + 3) = ⇔ x = x = −3 Giá trị x = chọn, giá trị x = −3 bị loại Do BD = + + = ( cm ) ( Suy AB = 62 − ) = 24 = ( cm ) 1.4 Vì H trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC , CH ⊥ AB AH ⊥ BC Gọi D giao điểm AH với BC Do ∆ABC cân nên DB = DC.  Vẽ điểm K đối xứng với H qua BC, tứ giác BHCK hình thoi Suy BK ⊥ AB Xét ∆ABK vuông B, ta có BK = KA.KD (hệ thức 1) Đặt KD = x KH = x KA = x + Khi ta có 15 = x ( x + ) ⇔ x + x − 225 = ⇔ ( x − ) ( x + 25 ) = ⇔ x = (chọn) x = − 25 (loại) Vậy AD = + = 16 ( cm ) Ta cịn phải tính độ dài BC Xét ∆HBD vng D, ta có BD = BH − HD (định lí Py-ta-go) 2 Suy BD = 15 − = 144 ⇒ BD = 12 ( cm ) Do BC = 24cm Diện tích ∆ABC là: S = 1 BC AD = 24.16 = 192 ( cm ) 2 Khai thác toán: Đề cho góc A nhọn Nếu góc A tù diện tích tam giác ABC thay đổi nào? Cũng chứng minh ta được: BK = KA.KD (hệ thức 1) Đặt KD = x KH = x KA = x − 2 Khi ta có 15 = x ( x − ) ⇔ x − x − 225 = ⇔ ( x + ) ( x − 25 ) = ⇔ x = −9 ⇔ x = −9 (loại) x = 12,5 (chọn) Vậy AD = HD − HA = 12,5 − = 5,5 ( cm ) Xét ∆HBD vuông D, ta có BD = BH − HD = 152 − 12,52 = 275 11 ⇒ BD = ( cm ) Do BC = 11 ( cm ) Diện tích ∆ABC là: S = 1 55 11 BC AD = 11.5,5 = cm ) ( 2 1.5 Ta có S ABH = AH BH = 54 Suy AH BH = 108 S ACH = (1) AH CH = 96 Suy AH C H = 192 (2) Từ (1) (2) ta được: AH BH CH = 108.192 4 Mặt khác AH = BH CH (hệ thức 2) Suy AH = 12 ⇒ AH = 12 ( cm ) Ta có S ABC = 54 + 96 = 150 ( cm ) mà S ABC = 1 BC AH nên BC AH = 150 2 Suy BC = 150.2 = 25 ( cm ) 12 1.6 (h.1.13) * Tìm cách giải Để tìm diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm chiều cao Điều gợi ý cho ta vẽ AH ⊥ CD Ta cần vẽ thêm BK ⊥ CD nhờ tính độ dài DH, CK * Trình bày lời giải Vẽ AH ⊥ CD , BK ⊥ CD Tứ giác ABKH hình chữ nhật, suy HK = AB = 7cm ∆ADH = ∆BCK (cạnh huyền, góc nhọn) Suy DH = CK = ( CD − HK ) : = ( 25 − ) : = ( cm ) Từ tính HC = CD − DH = 25 − = 16 ( cm ) Xét ∆ADC vng A, đường cao AH ta có: AH = HD.HC (hệ thức 2) Do AH = 9.16 = 144 ⇒ AH = 12 ( cm ) Diện tích hình thang ABCD là: S= ( AB + CD ) AH = (7 + 25).12 = 192 ( cm ) 1.7 * Tìm cách giải Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC tính diện tích hình thang Muốn phải tính OA OC * Trình bày lời giải a) Xét ∆ABD vng A có AO ⊥ BD nên OA2 = OB.OD (hệ thức 2) Do OA = 5, 4.15 = 81 ⇒ OA = ( cm ) * Xét ∆ACD vng D có OD ⊥ AC nên OD = OA.OC (hệ thức 2) OD 152 ⇒ OC = = = 25 ( cm ) OA Do AC = 25 + = 34 ( cm ) ; BD = 5, + 15 = 20, ( cm ) Diện tích hình thang ABCD là: S = b) Xét ∆ADC có OM / / CD nên AC.BD 34.20, = = 346,8 ( cm ) 2 OM AO = (hệ định lí Ta-lét) (1) CD AC Xét ∆BCD có ON / /CD nên ON BN = (hệ định lí Ta-lét) (2) CD BC Xét ∆ABC có ON / / AB nên AO BN = (định lí Ta-lét) (3) AC BC Từ (1),(2),(3) suy OM ON = CD CD Do OM = ON Xét ∆AOD vng O, OM ⊥ AD nên Do 1 = + (hệ thức 4) 2 OM OA OD 1 = + ⇒ OM ≈ 7, ( cm ) OM 15 Suy MN ≈ 7, 7.2 = 15, ( cm ) 1.8 * Tìm cách giải Ta phải dựng đoạn thẳng x cho x = ab hay x = ab Hệ thức có dạng hệ thức (2): h = b′c′ nên ta vận dụng hệ thức (2) để dựng đoạn thẳng x * Trình bày lời giải Cách dựng - Trên tia By ta đặt liên tiếp đoạn thẳng BH = a , HC = b - Dựng nửa đường trịn tâm O, đường kính BC - Từ H dựng đường thẳng vng góc với BC, cắt nửa đường trịn (O) A Khi AH đoạn thẳng x cần dựng Chứng minh ∆ABC có OA = OB = OC = BC nên ∆ABC vng A Ta có AH = HB.HC (hệ thức 2) Do x = ab   Cách giải khác - Trên tia By ta đặt BC = a BH = b - Dựng nửa đường trịn tâm O, đường kính BC - Từ H dựng đường thẳng vng góc với BC, cắt nửa đường trịn (O) A Khi AB đoạn thẳng x cần dựng Thực vậy, ∆ABC có OA = OB = OC = BC nên ∆ABC vuông A Ta có AB = BC.BH (hệ thức 1) Do x = ab Nhận xét: Trong cách giải thứ ta không cần điều kiện a ≥ b Điều kiện dùng cách giải thứ hai Nếu a = b ta có x = a = b Hình vẽ cách giải thứ hai trông "gọn" 1.9 * Tìm cách giải Biểu thức thức (4) 1 + gợi ý cho ta vận dụng hệ AM AN 1 = + để giải h b c Muốn phải tạo tam giác vng có cạnh góc vng AM, AN * Trình bày lời giải Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AM cắt đường thẳng CD E µ =B µ = 90°; AD = AB; µ ∆ADE ∆ABM có D A1 = ¶A2 (cùng phụ với góc DAM) Do ∆ADE = ∆ABM ( g c.g ) Suy AE = AM Xét ∆AEN vng A có AD ⊥ EN nên Mặt khác AE = AM , AD = nên 1 + = 2 AE AN AD 1 + = AM AN 1.10 * Tìm cách giải Điều phải chứng minh 1 + = gợi ý cho ta cần vận dụng hệ thức (4) để giải Do 2 AE AF ta cần vẽ hình phụ tạo tam giác vng có cạnh góc vng AE, AF.  * Trình bày lời giải · · Trên cạnh CD lấy điểm G cho DAG = BAE = 15° · Khi GAF = 90° ∆ADG = ∆ABE ( g.c.g ) ⇒ AG = AE Hình thoi ABCD có µA = 120° nên µ = 60° D Do ∆ADC tam giác đểu Vẽ AH ⊥ DC AH = AD 3 = = ( cm ) 2 Xét ∆AGF vng A, AH ⊥ GF ta có: 1 + = Suy AE AF ( 3) = 1 + = (hệ thức 4) 2 AG AF AH 1.11 * Tìm cách giải Nhìn vào kết luận toán ta thấy phải dùng hệ thức (4) để giải Muốn vậy, phải vẽ hình phụ tạo tam giác vng có cạnh góc vng CB CE * Trình bày lời giải Qua C vẽ đường thẳng vng góc với CB cắt đường thẳng AD F Vẽ BH ⊥ CD ∆CDF ∆BHC có: µ =H µ = 90°; DCF · · CD = BH (cùng AD); D (cùng phụ với góc BCH) = HBC Do ∆CDF = ∆BHC ( g.c.g ) Suy CF = BC Xét ∆CEF vng C có CD đường cao nên Do 1 = + 2 AD CB CE 1 = + (hệ thức 4) 2 CD CF CE (vì CD = AD , CF = CB ) 1.12 (h.1.20) * Tìm cách giải Do tính chất hai đường chéo hình thoi vng góc với nên hình có bốn tam giác vng đỉnh O, cạnh góc vng biết chưa có đường cao ứng với cạnh huyền Vì qua O cần vẽ đường cao ứng với cạnh huyền.  * Trình bày lời giải Gọi O giao điểm AC BD Ta có AC ⊥ BD OA = OC = m n ; OB = OD = 2 Qua O vẽ OE ⊥ AB , đường thẳng OE cắt CD F Dễ thấy EF = AH = h Xét ∆AOB vuông O, OE ⊥ AB , ta có Suy  h   ÷ 2 = m  ÷ 2 + 1 = + (hệ thức 4) 2 OE OA OB 1 1  n  Do = + h m n  ÷ 2 1.13 Vẽ đường cao AH Vì ∆ABC vng A nên Do 1 = + (hệ thức 4) 2 AH AB AC 1 1 = 2+ = Suy AH = 144 = 12 ( cm ) AH 15 20 144 Ta có BC = 152 + 202 = 25 ( cm ) Gọi K giao điểm AH với DE Ta đặt DG = x; DE = y Khi AK = 12 − x Vì DE / / BC nên D ADE : D ABC Suy DE AK = BC AH Do 25 ( 12 − x ) y 12 − x = ⇒y= 25 12 12 Diện tích hình chữ nhật DEFG là: S = xy = =− x.25 ( 12 − x ) 25 = − ( x − 12 x ) 12 12 25 25 x − 12 x + 36 − 36 ) = − ( x − ) + 75 ( 12 12 Vì − 25 ( x − ) ≤ nên S ≤ 75 (dấu "=" xảy x = ) 12 Vậy max S = 75cm x = Ta có KH = DG = 6cm , mà AH = 12cm nên K trung điểm AH DE qua K DE / / BC nên D trung điểm cùa AB, E trung điểm AC 1.14 µ ≤B µ < 90° (nếu B µ ≤C µ < 90° • Trường hợp C chứng minh tương tự) Vẽ đường cao AH điểm H thuộc đoạn BM Theo định lí Py-ta-go ta có: AB = AH + HB ; AC = AH + HC Do AB + AC = AH + HB + HC = ( AM − HM ) + ( BM − HM ) + ( HM + MC ) 2 = AM − HM + BM − BM HM + HM + HM + HM MC + MC = AM + BM + MC − HM ( BM − CM ) 2  BC   BC  = AM +  ÷ + ÷ (vì BM = MC )     = AM + BC 2 Trường hợp góc B góc C tù: Cũng chứng minh tương tự (với điểm H nằm tia đối tia BC nằm tia đối tia CB) µ = 90° C µ = 90° : Bạn đọc tự chứng minh • Trường hợp B Áp dụng: Nếu AB = 5, AC = 7, BC = 10 ta có 52 + = AM + 102 Suy AM = 12 ⇒ AM = Nhận xét: Để vận dụng định lí Py-ta-go giải tốn ta vẽ AH ⊥ BC Cần ý vị trí điểm H đường thẳng BC 1.15 • Trường hợp góc B góc C nhọn Vẽ đường cao BH điểm H nằm A C · Xét ∆ABH vng H, có BAH = 60° nên ·ABH = 30° Suy AH = AB hay AB = AH Ta có AB + AC − AB AC = ( AH + BH ) + ( AH + HC ) − AH ( AH + HC ) = AH + BH + AH + AH HC + HC − AH − AH HC = BH + HC = BC (vì ∆BHC vng H).  Do b + c − bc = a 2 Nhân hai vế với b + c ta ( b + c − bc ) ( b + c ) = a ( b + c ) Mặt khác a < b + a (bất đẳng thức tam giác) nên b3 + c3 > a hay a < b3 + c3 µ ≥ 90° C µ ≥ 90° chứng minh tng t ã Trng hp B Cỏch gii khỏc: =C µ ∆ABC tam giác Khi a = b = c , a = b3 = c > Suy - Nếu B a < b3 + c µ >C µ B µ > 60° , b > a ⇒ b3 > a Suy a < b3 + c - Nếu B µ ) b) ∆ABC có µA > 90° (h.1.26) Vẽ BH ⊥ BC Vì µA > 90° nên điểm H nằm tia đối tia AC Ta đặt AH = c′ HC = HA + AC = c′ + b Xét ∆HBC vng H ta có BC = HB + HC (3) Xét ∆ABH vng H ta có BH = AB − AH (4) Từ (3) (4) suy BC = AB − AH + HC ⇒ a = c − c′2 + ( c′ + b ) ⇒ a = c − c′2 + c '2 + 2bc′ + b ⇒ a = b + c + 2bc′ Suy a > b + c (vì 2bc′ > ) c) ∆ABC có µA = 90° , theo định lí Py-ta-go ta có a = b + c Nhận xét: Cả hai trường hợp giải theo phương pháp Khi vẽ BH ⊥ AC cần xác định vị trí H đường thẳng AC 1.18 Ta chứng minh phương pháp phản chứng a) Giả sử µA > 90° theo câu b) 1.17 ta có a > b + c , trái giả thiết Giả sử µA = 90° theo định lí Py-ta-go ta có a = b + c , trái giả thiết Vậy µA < 90° b) Chứng minh tương tự câu a) c) Nếu a = b + c theo định lí Py-ta-go đảo ta có µA = 90° 1.19 Gọi diện tích ∆ABC S Ta có S = Suy a = a.ha 2S 4S ⇒ a = (1) ha Tương tự: b = 4S 2 S ;c = hb2 hc  2 2 Ta có b + c = S  + ÷  hb hc  Mặt khác 1 1 = + nên b + c = S 2 hb hc (2) Từ (1) (2) suy a = b + c Do ∆ABC vng A Khi trực tâm H trùng với đỉnh A Suy hb = c hc = b 1.20 ∆ADC vng D, theo định lí Py-ta-go ta có: AC = AD + DC = 122 + 162 = 400 Suy AC = 20 ( cm ) ∆ADC vuông D, DO đường cao nên AD.DC = AC.DO (hệ thức 3) AD.DC 12.16 = = 9, ( cm ) AC 20 Suy OD = AD 122 Ta lại có AD = AC AO (hệ thức 1) nên OA = = = 7, ( cm ) AC 20 Do OC = 20 − 7, = 12,8 ( cm ) Xét ∆ABD vuông A, AO đường cao nên AO = OB.OD (hệ thức 2) AO 7, 22 ⇒ OB = = = 5, ( cm ) OD 9, 1.21 a) Xét tam giác ABC vuông A, đường cao AH, ta có AH = HB.HC (hệ thức 2) Do AH = HB HC (*) Xét ∆ABH ∆ACH vuông H, ta có: HB = BA.BD; HC2 = CA.CE Thay vào (*) ta AH = BA.BD.CA.CE = ( BA.CA ) ( BD.CE ) Mặt khác BA.CA = BC AH (hệ thức 3) nên AH = BC AH BD.CE , Do AH = BC.BD.CE hay h3 = a.m.n HB b) Ta có HB = BA.BD ⇒ BD = BA Do BD = HB BA2 Xét tam giác ABC vng A ta có BA2 = BC.BH (hệ thức 1) Suy BD = HB HB Do = BC.BH BC Tương tự ta có Vậy 3 CE = BD + CE = Suy 3 BD = HB HB =3 BC BC HC BC HB HC BC +3 = = BC BC BC BC a = m2 + n2 1.22 a) Xét ∆ANC vuông N, đường cao NE ta có: AN = AC AE (hệ thức 1) (1) Xét ∆APB vuông P, đường cao PF ta có: AP = AB.A F (hệ thức 1) Mặt khác D ABE : D ACF Suy (g.g) AB AE = AC AE = AB.A F AC AF Từ (1), (2), (3) ta AN = AP hay AN = AP Vậy ∆ANP cân A Chứng minh tương tự ta ∆BMP ∆CMN cân b) Xét ∆MBC vuông M, đường cao MD, ta có: MD = DB.DC (hệ thức 2) (4) D BHD : D ACD (g.g) Suy DB HD = , DB.CD = AD.HD (5) DA CD Từ (4) (5) ta MD = AD.HD   Gọi diện tích tam giác MBC, ABC HBC S , S1 , S Ta có S = S1 = BC.MD (6) 1 BC AD; S = BC.HD 2 Do S1.S2 = 1 BC AD.HD = BC MD (vì AD.HD = MD ) 4 (2) Suy S1.S = BC.MD (7) Từ (6) (7) ta S = S1.S 1.23 Tìm cách giải Liên quan đến tam giác nhọn, tam giác tù, tam giác vng ta có 1.17 Ta dùng phương pháp phản chứng kết 1.17 để giải Trình bày lời giải Giả sử a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ba đoạn thẳng đoạn thẳng ba cạnh tam giác tù vng Khi theo kết 1.17 ta có: a ≥ b2 + c ; b2 ≥ c2 + d ; c2 ≥ d + e2 2 2 2 Suy a ≥ ( c + d ) + ( d + e ) ≥ d + e + 2cd (vì c + d ≥ 2cd ) a ≥ d + e2 + 2cd (vì cd ≥ de ) a ≥ ( d + e ) ⇒ a ≥ d + e , vơ lý a, d, e theo giả thiết ba cạnh tam giác Vậy tồn ba đoạn thẳng ba cạnh tam giác nhọn Nhận xét Bài toán toán hình học tổ hợp Một phương pháp thường dùng để giải phương pháp phản chứng ta dùng phương pháp để giải toán Chú ý thêm vai trò năm đoạn thẳng a, b, c, d, e nên ta giả sử a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e 1.24 Tìm hướng giải Để chứng minh độ dài nhỏ 5, ta xét tổng hai độ dài chứng minh tổng nhỏ 10 Khi tồn độ dài nhỏ (dùng phản chứng) Trình bày lời giải a) Gọi O giao điểm AC BD Xét ∆AOB ∆COD ta có: AB < OA + OB; CD < OC + OD ⇒ AB + CD < OA + OB + OC + OD ⇒ AB + CD < AC + BD = + = 10 Vậy hai cạnh AB, CD nhỏ (1) Chứng minh tương tự ta hai cạnh AD, BC nhỏ (2) Từ (1) (2) suy tồn hai cạnh tứ giác nhỏ b) Gọi M trung điểm AC Ta có MC = 3; MB + MD > BD = Do tồn hai đoạn thẳng MB, MD lớn 2, chẳng hạn MB > Trong hai góc AMB CMB kề bù, tồn góc lớn 90° , chẳng hạn 2 2 · CMB ≥ 90° Khi BC ≥ MB + MC > + = 13 Suy BC > 13 > 3, Vậy tồn cạnh tứ giác lớn 3,6 ... Tồn hai cạnh tứ giác nhỏ 5; b) Tồn cạnh tứ giác lớn 3,6 HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ Chương I Hệ thức lượng tam giác vuông Chuyên đề MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1. 1 a) Xét... = BH − HD = 15 2 − 12 ,52 = 275 11 ⇒ BD = ( cm ) Do BC = 11 ( cm ) Diện tích ∆ABC là: S = 1 55 11 BC AD = 11 .5,5 = cm ) ( 2 1. 5 Ta có S ABH = AH BH = 54 Suy AH BH = 10 8 S ACH = (1) AH CH = 96... Tỉ số hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền bình phương tỉ số hai cạnh góc vng 1. 2 Vẽ đường cao AH Ta có HB HB HC HB + HC 20 = ⇒ = = = HC 16 16 + 16 25 Suy HB = 9.20 16 .20 = 7, 2; HC = = 12 ,8