Đang tải... (xem toàn văn)
Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực a,b,c.[r]
(1)Các bất đẳng thức dùng cho học sinh chuyên toán a1 a2 an n a1a2 an n BĐT AM-GMVới các số không âm a1, a2, , an ta có : Dấu đẳng thức xảy và a1 a2 an BĐT suy rộng: Cho α1, α2, , αn là các số hữu tỉ dương mà α1+ α2, + αn =1 và các số không 1 n âm a1, a2, , an Khi đó ta có: α1a1+ α2a2 + + αn an ≥ a1 a2 an BĐT BUNHIACOPXKI : Giả sử a1, a2, , an và b1, b2, , bn là hai dãy số tùy ý 2 2 2 Khi đó : (a1 a2 an )(b1 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbn ) a a1 a2 n bn ( lưu ý đây ta sử dụng qui ước Dấu xảy và khi: b1 b2 mẫu thì tử 0) BĐT CAUCHY-SCHWARS: Giả sử a1, a2, , an và b1, b2, , bn là hai dãy số đó bi>0 với I =1,2,…,n a (a a an ) a12 a22 n bn b1 b2 bn Khi đó : b1 b2 a a1 a2 n bn Dấu xảy và khi: b1 b2 4.BẤT ĐẲNG THỨC HOÁN VỊ Cho dãy đơn điệu tăng a1≤ a2≤ ≤ an và b1≤ b2≤ … ≤ bn Giả sử (i1,i2 in) là hoán vị bất kì (1,2,3…,n) ta luôn có a1b1+a2b2+…+anbn ≥ a1bi1+a2bi2+…+anbin Nếu dãy trên đơn điệu ngược chiều thì BDT đổi chiều BĐT CHEBYSHEV: Cho hai dãy đơn điệu tăng a1≤ a2≤ ≤ an và b1≤ b2≤ … ≤ bn (hoặc đơn điệu giảm) Ta có: ( a1 a2 an )( b1 b2 bn ) ≥ n( a1b1 a2b2 anbn ) Dấu xảy và khi: a1 a2 an b1 b2 bn Ngược lại a1≤ a2≤ ≤ an và b1≥ b2≥ … ≥ bn thì Ta có: ( a1 a2 an )( b1 b2 bn ) ≤ n( a1b1 a2b2 anbn ) Dấu xảy và khi: a1 a2 an b1 b2 bn 6.BĐT BECNULI: Cho dãy số a1, a2, , an đó cùng dấu và lớn -1 Khi đó (1+a )(1+ a )( 1+ a )≥ 1+ a1 a2 an n Đặc biệt (1+a)n ≥ 1+na ( a>-1 và n nguyên dương) Dấu xảy n=1 a=0 BĐT NESBITT: a b c +3 biến: Cho a,b,c>0 Khi đó : b c c a a b a b c d 2 +4 biến: a,b,c,d>0 Khi đó : b c c d d a a b Dấu xảy khi các biến (2) 8.BĐT MINKOWSKI: Dạng 1: Cho hai dãy số không âm a1, a2, , an và b1, b2, , bn n ( a b )( a b ) ( a b ) n a a a n b b b 1 2 n n n n đó: a12 b12 a22 b22 an2 bn2 (a1 a2 an ) (b1 b2 bn ) Dạng 2: 9.BDT SCHUR : Cho a,b,c là các số thực không âm và số dương r, ta có bất đẳng thức sau: a r (a b)(a c) b r (b c)(b a ) c r (c a )(c b) Dấu xảy và a = b = c hai số chúng và số còn lại không Khi r là số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với số thực a,b,c Dạng thường sử dụng BDT SCHUR : Nếu r =1 thì a(a b)(a c) b(b c )(b a ) c (c a )(c b) a3+b3+c3 +3abc a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc 4(a+b+c)(ab+bc+ca) ≤ (a+b+c)3 +9abc Nếu r =2 thì a4+b4+c4 +abc(a+b+c) ≥ a3(b+c)+b3(c+a)+c3(a+b) Nói đến Schur người ta thường nhớ đến người anh em nó Vornicu schur: Với a,b,c ; Sa,Sb,Sc là các số thực không âm thỏa mãn a >b>c và Sa ≥ Sb Sc ≥ Sb thì : S a (a b)(a c) Sb (b c)(b a ) S c (c a )(c b) 0 10.BẤT ĐẲNG THỨC HOLDER Cho hai dãy số không âm a1, a2, , an và b1, b2, , bn 1 n n n 1 1 ( akp ) p ( bkq ) q ak bk k 1 i 1 p,q là các số hữu tỉ dương cho: p q , ta có: k 1 anp a1p a2p q q q b b2 bn Dấu xảy khi Dạng hay dùng : * (a3+x3)(b3+y3)(c3+z3)≥(abc+xyz)3 (a,b,c ,x,y,z>0) a b c x y z Dấu xảy khi ** (a3+b3+c3)(x3+y3+z3) (m3+n3+p3) ≥( axm+byn+cpz)3 (a,b,c,m,n,p,x,y,z>0) a b c a b c x y z m n p Dấu xảy khi và 11.BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Nêú f là hàm lồi trên khoảng I thì với x1,x2…,xn I ta đêù có: f x1 f x f x n x1 x2 xn n n ≤ f( ) Nêú f là hàm lõm trên khoảng I thì với x1,x2…,xn I ta đêù có: f x1 f x f x n x1 x2 xn n n ≥ f( ) Đẳng thức xảy và n biến Tổng quát : Nếu y = f(x) là hàm lồi khoảng I thì với x1,…xn (a,b) và số thực không âm α1, α2, , αn mà α1+ α2, + αn =1 ta có bất đẳng thức: f ( x1) n f ( x n) f ( 1x1 n x n) (3) Nếu y = f(x) là hàm lõm khoảng I thì với x1,…xn (a,b) và số thực không âm α1, α2, , αn mà α1+ α2, + αn =1 ta có bất đẳng thức: f ( x1) n f ( x n) f ( 1x1 n x n) (4)