Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng p[r]
(1)PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Năm học 2010-2011, tôi phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 10 Đa số học sinh nhận thức còn chậm giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm bài tốt - Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu và tiếp cận với vài cách giải thông thường bài toán đơn giản Tuy nhiên thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú và đa dạng và đặc biệt là các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em gặp lớp các bài toán phương trình vô tỷ mà có số ít các em biết phương pháp giải trình bày còn lủng củng chưa gọn gàng, sáng sủa chí còn mắc số sai lầm không đáng có trình bày Tại lại vậy? - Lý chính đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) là ít và hạn hẹp có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ và đưa cách giải khá rườm rà khó hiểu và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa sau bài học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa đưa nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao và phải có lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thục (2) - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 trường THPT, cùng với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành chuyên đề: ‘’Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ giải phương trình vô tỉ’’ - Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát và số kỹ và phát đâu là điều kiện cần và đủ Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ này đời giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có cái nhìn toàn diện phương pháp giải lớp các bài toán giải phương trình vô tỷ (3) PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI CỞ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT là hoạt động dạy thầy và hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt là môn toán học cần thiết không thể thiếu đời sống người Môn Toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này - Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững tri thức khoa học môn toán cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng bài tập Điều đó thể việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập tổng hợp các cách giải - Do vậy, tôi mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm phương pháp giải gặp các bài toán giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng f( x ) = g(x) và trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x) Nhưng chúng ta nên để ý đây là điều kiện đủ để thực phép biến đổi cho nên (4) quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f(x) là điều kiện cần và đủ phương trình Tuy nhiên gặp bài toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN tôi hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp số bài toán vận dụng biến đổi và số dạng bài toán không mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao * Dạng 1: phương trình Phương trình điều kiện (1) f( x ) = g(x) (1) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) gx) là điều kiện cần và đủ phương trình (1) sau giải phương trình f(x) = g2(x) cần so sánh các nghiệm vừa nhận với điều kiện gx) để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm * Dạng 2: phương trình f( x) = g( x ) (2) f ( x ) 0 f g Phương trình (2) ( x ) ( x ) Điều kiện f(x) là điều kiện cần và đủ phương trình (2) Chú ý đây không thiết phải đặt điều kiện đồng thời f(x) và không âm vì g(x) (5) f(x) = g(x) *Dạng bài toán không mẫu mực: Loại này thực qua các ví dụ cụ thể 2.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Học sinh trường THPT Hoằng Hóa đa số là học sinh xã vùng biển,trường thành lập, các em xét tuyển nên nhận thức còn chậm, kiến thức còn hổng,chưa hệ thống kiến thức Khi gặp các bài toán phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện và biến đổi,trong đó phương trình loại này có nhiều dạng Nhưng bên cạnh đó chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần này là ít Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai phần này Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: Khi gặp bài toán: Giải phương trình 2x = x - (1) Sách giáo khoa đại số 10 đã giải sau điều kiện pt(1) là x (*) (1) 2x - = x2 - 4x + x2 - 6x + = Phương trình cuối có nghiệm là x = + và x = - (6) Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay các giá trị các nghiệm tìm vào phương trình (1) thì giá trị x = - bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) là x = + Mặt khác, số học sinh còn có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x (*) để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là x = + và x = - Theo tôi cách giải vừa nêu trên phức tạp việc thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm số học sinh lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện x là điều kiện cần và đủ Khi gặp bài toán: Giải phương trình Học sinh thường đặt điều kiện √ x2 −1 = √ x+1 ¿ x −1 ≥ x+1 ≥ ¿{ ¿ ¿ sau đó bình phương hai vế để giải phương trình Điều chú ý đây là học sinh tìm cách để biểu thị hệ điều kiện phương trình mà không biết cần điều kiện x + là điều kiện cần và đủ mà không cần đặt đồng thời hai điều kiện Khi gặp bài toán: Giải phương trình (x + 1) √ x −3 = Một số HS đã có lời giải sai sau: (7) Ta có: (x + 1) √ x −3 = x=−1 ¿ ¿ x +1=0 x=3 √ x −3=0 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ Nhận xét: Đây là bài toán đơn giản giải thì đã mắc sai lầm mà không đáng có Rõ ràng x = - không phải là nghiệm phương trình trên B 0 A B 0 A 0 B 0 Chú ý rằng: đây đã bị bỏ qua điều kiện là: B ≥ (x ≥ 2) Khi gặp bài toán: Giải phương trình √ x2 + x +1 = x2 -2x+3 Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn và khó để giải kết cuối cùng vì phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể học sinh bậc phổ thông Khi gặp bài toán: Giải phương trình (x+2) √ x−1 x+2 = x+1 Một số HS đã có lời giải sai sau: Ta có: (x+2) ⇔ √ x−1 x+2 = x+1 ⇔ x+1 ≥ x +1¿ ¿ ¿ ¿{ ( x+2)( x −1)=¿ √(x +2)( x −1) =x+1 (8) ⇔ ¿ x ≥− x 2+ x −2=x +2 x+1 ¿{ ¿ ⇔ ¿ x ≥ −1 x=−3 ¿{ ¿ (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Nhận xét: Rỏ ràng x = -3 là nghiệm phương trình Lời giải trên đã làm cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm B Cần chú ý rằng: A AB A 0; B B AB A 0; B Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A < 0; B < Lúc này vai trò người giáo viên là quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải dạng toán, nên giải nào cho hợp lý loại toán để bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic tránh các tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở đó hình thành cho học sinh kỹ tốt giải các bài toán phương trình vô tỉ MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa hướng gải các vấn đề trên học sinh với giải pháp: Đưa số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi và giải phương trình chứa ẩn dấu 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : a, Phương pháp: f( x ) = g(x) (1) (9) Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm pt f( x ) Điều kiện = g(x) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) gx) là điều kiện cần và đủ vì f(x) = g2(x) Không cần đặt thêm điều kiện fx) b, Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình √ x −1 = x -2 (1) Điều kiện x (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 2x - 0) Khi đó pt(1) 2x - = (x - 2)2 x2 - 4x + 4= 2x - x2 - 6x + = x=1 ¿ x=5 ¿ ¿ ¿ ¿ đối chiếu với điều kiện (*) ta thu nghiệm phương trình (1) là x = ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị các nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x (*) để lấy nghiệm + Ví dụ 2: Giải phương trình √ x − x −1 = x-1 (2) Nhận xét : (10) Biểu thức dấu là biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để 2x 2x -1 và thay giá trị các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Ta có thể giải sau: Điều kiện: x (**) Khi đó pt(2) 2x2 - x - = (x -1)2 2x2 - x - = x2 - 2x + x2 + x -2 = x+2)(x-1)=0 x=1 ¿ x=−2 ¿ ¿ ¿ ¿ đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm pt(2) là x = *Như gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động cách đặt vấn đề bài giải : điều kiện phương trình là gì? đặt cái gì ? biến đổi nào là biến đổi tương đương ? biến đổi nào là biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f( x ) g( x ) (2) a Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi f ( x ) 0( g ( x ) 0) f ( x ) g ( x ) pt(2) Chú ý: Không cần đặt đồng thời g(x) 0 và f(x) 0 vì f(x) = g(x) b Các ví dụ: (11) + Ví dụ 1: Giải phương trình √ x+1 = √ x −7 Điều kiện , (1) x -1, (*) pt (1) x + = 2x -7 x = (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm phương trình là x = ! Lưu ý: Điều kiện x -1 , (*) là điều kiện cần và đủ phương trình (1) nên ta cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng phương trình + Ví dụ 2: Giải phương trình √ x2 − x +1 = √ x −1 , (2) Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm ĐK: x , (*) pt(2) x2 - x +1 = 2x -1 x2 - 3x -+2 = x=1 ¿ x=2 ¿ ¿ ¿ ¿ Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm phương trình là x = và x=2 + Ví dụ 3: Giải phương trình √ x −3 = √ x +7 (*) Tóm tắt bài giải (*) ¿ x ≥3 x − 3=2 x+7 ¿{ ¿ ¿ x≥3 x=−10 ¿{ ¿ Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 3/ Giải pháp : (vô nghiệm) (12) Hướng dẫn học sinh giải số phương trình không mẫu mực (Phương trình không tường minh) + Ví dụ1: Giải phương trình √ x +1 - √ x = (2) ¿ x +1 ≥ x≥0 ¿{ ¿ Điều kiện x (**) Chuyển vế và bình phương hai vế ta pt(2) √ x +1 = 1+ √ x với điều kiện (**) nên hai vế luôn không âm , bình phương hai vế ta 2x + = x + + x= √x √x tiếp tục bình phương hai vế x2 = 4x x=0 ¿ x=4 ¿ ¿ ¿ ¿ (thoả mãn điều kiện (**)) Vậy nghiệm phương trình là x = V x = + Ví dụ2 : Giải phương trình : √ x −3 + √ x+1 = √ x −12 + √ x −1 Lời giải : Ta có Pt √ x −3 + √ x+1 = √ x −3 + √ x −1 ¿ x −3 ≥ √ x+1=√ x − ¿{ ¿ ¿ x≥3 x +1 ≥0 x+ 1=2 x −1 ¿{{ ¿ ¿ x ≥3 x=2 ¿{ ¿ (13) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Lưu ý: Học sinh có thể đưa lời giải sai sau Ta có : √ x −3 + √ x+1 = √ x −12 + √ x −1 √ x −3 + √ x+1 = √ x −3 + √ x −1 √ x+1 = √ x −1 ¿ x +1 ≥0 x+1=2 x −1 ¿{ ¿ ¿ x ≥ −1 x=2 ¿{ ¿ x=2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = Nhận xét: Ta nhận x = không phải là nghiệm đúng phương trình đã cho Chú ý rằng: A 0 A B A C B C + Ví dụ 3: Giải phương trình x2 x x = 2x x 7 x x x 0 3 x x 0 x 0 Hướng dẫn : Đk (3) (***) ! Lưu ý: Hệ điều kiện (***) phức tạp nên ta không cần giải cụ thể Từ ĐK (***) nên hai vế không âm ,bình phương hai vế ta pt(3) - x2 + x x = - 2x - x2 x x = - 2x - x(2 x 4) 0 2 x ( x 5) 4 x 16 x 16 (14) x 0 x x 16 x 16 0 x 0 ( x 1)( x 16) 0 x 0 x x 4 x = -1 Thay giá trị x = -1 vào hệ ĐK (***) , thoả mãn Vậy nghiệm phương trình là x = -1 + Ví dụ4 : Giải phương trình 2x + x = 3x + 2 x x - 16 , (4) 2 x 0 HD: Điều kiện x 0 x x x -1 (****) NX: Đây là phương trình khá phức tạp bình phương hai vế phương trình ta không thu kết thuận lợi giải nên ta có thể giải sau Đặt 2x + x = t , (ĐK: t 0) 3x + 2 x x = t2 - pt(4) t2 - t - 20 = t = (nhận) V t = - (loại) Với t = 2 x x =21 - 3x ( là phương trình thuộc dạng 1) 21 x 0 2 4(2 x x 3) 441 216 x x x 7 x 236 x 429 0 x = upload.123doc.net - (thoả mãn ĐK) Vậy nghiệm phương trình là x = upload.123doc.net - 1345 + Ví dụ 5: Giải phương trình 1345 (15) x2 – 7x + 12 = x 3 x x 6 Lời giải sai: Ta có x2 – 7x + 12 = x 3 x x 6 (x-3)(x-4) = x 3 x 3 x 2 ( x 3) x ( x 3)( x 4) ( x 3) x ( x 3)( x 4) (x-3)(x-4) = (1) 2 Giải (1) x 3 x = (x-3)(x-4) x 3 x x x 3 x x 3 x x 0 x 3 x 7 x 3 Giải (2) x 3 x = (x-3)(x-4) x 3 x 4 x x x 0 x 3 x 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = v x = v x = Nhân xét: Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm sau: Lời giải sai: Ta có: x2 – 7x + 12 = x 3 x x 6 (x-3)(x-4) = x 3 x 3 x 2 x 3 x = (x-3)(x-4) x 3 x x Giải ta có (x-3)(x-4) = x 3 x 0 x x x x x 4 x 7 x x 14 0 x 3 x x x 0 (16) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = và x = HS có thể kết luận với x =3 và x = là hai nghiệm thoả mãn phương trình Mà không ngờ phương trình đã cho còn có nghiệm là x = thoả mãn 0 A 0 A B A B A B A A B A Chú ý rằng: Lời giải trên đã bỏ sót trường hợp A ≤ * Sau bài tập giải phương trình vô tỉ và hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng bài tập tương tự để học sinh giải Qua đó học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình vô tỉ Bài tập Giải phương trình a √ x+5 = 2x-5 b √ x+1 = √ x −15 c √ x2 −2 x+ +x-4 = HD: Biến đổi theo dạng và dạng 2 Giải phương trình: x2 - x + HD: Đặt t= √ x2 − x +1 ĐS: x = v Giải phương trình: √ x2 − x +1 = (t 0 ) x=1 x + 3x = 5x HD: Đặt đk sau đó bình phương hai vế (17) ĐS: x = Giải phương trình: HD : x x 1 x x AB A 0; B A AB B B B AB A 0; B B ĐS : Nghiệm phương trình là : x = -3 Giải phương trình: x 5 B HD: x x x 5 A AB A 0; B B AB A 0; B ĐS: Nghiệm phương trình là: x = 14 Giải phương trình: x + x 10 = x + x Giải phương trình: x 1 + Giải phương trình: x + x = 1 x x = 2 Giải phương trình: x2 + 3x + = (x + 3) x 10 Giải phương trình: (4x - 1) x = 2x3 + 2x +1 11 Giải phương trình: x2 - = 2x x x 12 Giải phương trình: x2 + 4x = (x + 2) x x (18) PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận: Trên đây là giải pháp mà tôi đúc rút quá trình giảng dạy trường THPT Hoằng Hóa Phương trình vô tỉ là nội dung quan trọng chương trình môn toán lớp 10 nói riêng và bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại là mảng tương đối khó, đây là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Đề tài tôi đã kiểm nghiệm các năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình và đạt kết quả, nâng cao khả giải (19) phương trình vô tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể các lớp khối 10 sau áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ giải các dạng toán nói trên , kết qua các bài kiểm tra thử sau : Năm học 20102011 20112012 Lớp 10A2 10A5 10A2 10A3 Tổng Điểm trở lên số Số 46 43 36 34 lượng Tỷ lệ 11 % 14 % 19 % 26 % Điểm từ đến Số lượng 15 18 21 20 Tỷ lệ 33 % 42 % 58 % 59 % Điểm Số lượng 26 19 Tỷ lệ 56 % 44 % 22 % 15 % Như tôi thấy các phương pháp có hiệu tương đối Theo tôi dạy phần toán giải phương trình vô tỉ giáo viên cần rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm bài tốt Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế Tôi mong quan tâm tất các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị và đề xuất: - Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ (20) - Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Hoằng Hóa, Ngày tháng năm 2013 Người viết Trịnh Thị Ngoan TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Các đề thi đại học các năm trước (21) MỤC LỤC PHẦN I: Trang ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI CỞ SỞ LÝ LUẬN 2.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ MỘT SỐ GIẢI PHÁP PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: 18 Kiến nghị và đề xuất: 19 (22) (23)