Thông tin tài liệu
thuvienhoclieu.com CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Thời lượng dự kiến: 04 tiết Giới thiệu chung chủ đề: Trong tốn học nói chung lượng giác học nói riêng, hàm lượng giác hàm toán học góc, dùng nghiên cứu tam giác tượng có tính chất tuần hồn Các hàm lượng giác góc thường định nghĩa tỷ lệ chiều dài hai cạnh tam giác vuông chứa góc đó, tỷ lệ chiều dài đoạn thẳng nối điểm đặc biệt vòng tròn đơn vị Những định nghĩa đại thường coi hàm lượng giác chuỗi số vô hạn nghiệm số phương trình vi phân, điều cho phép hàm lượng giác có đối số số thực hay số phức Các hàm lượng giác hàm số đại số xếp vào loại hàm số siêu việt Hàm số lượng giác diễn tả mối liên kết dùng để học tượng có chu kỳ như: sóng âm, chuyển động học,… Nhánh toán sinh từ kỷ thứ trước Cơng ngun lý thuyết cho ngành thiên văn học ngành hàng hải Ta tiếp cận chủ đề tiết học hôm I MỤC TIÊU Kiến thức - Nắm định nghĩa, tính tuần hồn, chu kỳ, tính chẵn lẻ, tập giá trị, tập xác định, biến thiên đồ thị hàm số lượng giác Kĩ - Tìm tập xác định hàm số đơn giản - Nhận biết tính tuần hồn xác định chu kỳ số hàm số đơn giản - Nhận biết đồ thị hàm số lượng giác từ đọc khoảng đồng biến nghịch biến hàm số - Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số - Tìm số giao điểm đường thẳng ( phương với trục hoành) với đồ thị hàm số 3.Về tư duy, thái độ - Phân tích vấn đề chi tiết, hệ thống rành mạch - Tư vấn đề logic, hệ thống - Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập hợp tác hoạt động nhóm - Say sưa, hứng thú học tập tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn - Bồi dưỡng đạo đức nghề nghiệp, tình yêu thương người, yêu quê hương, đất nước - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao Định hướng lực hình thành phát triển: Năng lực tự học, lực giải vấn đề, lực tự quản lý, lực giao tiếp, lực hợp tác, lực sử dụng ngôn ngữ II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, Học sinh - Đọc trước - Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng … - Làm việc nhóm nhà, trả lời câu hỏi giáo viên giao từ tiết trước (thuộc phần HĐKĐ), làm thành file trình chiếu - Kê bàn để ngồi học theo nhóm III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Mục tiêu: Tạo tình để học sinh tiếp cận đến khái niệm hàm số lượng giác Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh hoạt động - Nội dung: Đặt vấn đề dẫn đến tình việc cần thiết phải nghiên cứu hàm số lượng giác - Phương thức tổ chức: Hoạt động nhân – lớp Phát (hoặc trình chiếu) phiếu học tập số cho học sinh, đưa hình thuvienhoclieu.com - Dự kiến sản phẩm: + Trên đoạn đồ thị có hình dạng giống Trang thuvienhoclieu.com + Qua phép tịnh tiến theo r v = (b- a;0) � � a;b� b;0� biến đồ thị đoạn � � thành đoạn � � � b;0� biến đoạn � � thành … ĐVĐ: Chúng ta thấy đồ thị học khơng có đồ thị có hình dạng Vậy nghiên cứu tiếp hàm số đồ thị có tính chất - Đánh giá kết hoạt động: Học sinh tham gia sơi nổi, tìm hướng giải vấn đề Ban đầu tiếp cận khái niệm hàm số lượng giác ảnh kèm theo câu hỏi đặt vấn đề B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Mục tiêu: Xây dựng hàm số lượng giác Xác định tính chẵn lẻ hàm số lượng giác y sin x, y cos x, y tan x, y cot x Nắm khái niệm hàm số tuần hoàn chu kỳ T Sự biến thiên đồ thị hàm số lượng giác Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh I ĐỊNH NGHĨA Hình thành định nghĩa hàm số lượng giác: Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động * Xây dựng hàm số lượng giác tập xác định chúng Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân lớp (Đưa cho * Kết phiếu học tập số học sinh phiếu học tập số câu hỏi đặt vấn đề) TL1:Theo thứ tự trục Ox, Oy, At, Bs TL2: sin OM , cos OM sin cos , cot OS cos sin TL3: Cứ giá trị xác định sin ;cos ; tan ;cot tương tan OT ứng TL4: sin ;cos xác định với tan xác định k cot xác định sin �۹ cos �۹ 0 VD 1: Hoàn thành phiếu học tập số Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm, làm việc độc lập lớp - GV: chia lớp làm 04 nhóm , giao nhóm 01 bảng phụ bút Yêu cầu HS hoàn thiện nội dung phiếu học tập số - HS: Suy nghĩ trình bày kết vào bảng phụ VD 2: Hàm số có tập xác định thuvienhoclieu.com k * Giáo viên nhận xét làm học sinh, từ nêu định nghĩa hàm số LG tập xác định chúng * Học sinh xác định tính chẵn lẻ hàm số lượng giác - Hàm số y cos x hàm số chẵn - Các hàm số y sin x, y tan x, y cot x hàm số lẻ * GV nhận xét làm nhóm chốt lại tính chẵn lẻ hàm số LG * Học sinh chọn đáp án cho ví dụ Trang thuvienhoclieu.com Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh � � D �\ � k , k ��� �2 2x 1 y cos x A C y cos x Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động * GV nhận xét cho kết B y cot x sin x y sin x D VD 3: Hàm số hàm số chẵn hàm số ? A y x cos x B y ( x 1) cos x y cos x.cot x y ( x 1) tan x C D II TÍNH TUẦN HỒN CỦA HÀM SỐ LƯƠNG GIÁC Khái niệm: Hàm số y f ( x) xác định tập D gọi hàm số tuần hồn có số T �0 cho với x �D ta có ( x �T ) �R f ( x T ) f ( x) Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số y f ( x) gọi hàm số tuần hoàn với chu kỳ T Kết luận: Hàm số y sin x; y cos x hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 Hàm số y tan x; y cot x hàm số tuần hoàn với chu kỳ Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – lớp (Giáo viên trình chiếu câu hỏi-Phiếu học tập số Học sinh suy nghĩ trả lời) III SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y = sinx - TXĐ: D = R 1 �sin x �1 * Hiểu nắm tính tuần hồn chu kì hàm số lượng giác * Kết phiếu học tập số TL1 TL2 : f ( x 2 ) f ( x) : g ( x ) g ( x) TL3: f ( x k 2 ) f ( x) TL4: g ( x k ) g ( x ) TL5: T = 2 TL6: T = * GV nhận xét câu trả lời học sinh nêu khái niệm tính tuần hồn chu kì hàm số LG - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 0; 1.1 Sự biến thiên đồ thị hàm số y sin x đoạn *HS Quan sát hình vẽ kết hợp nghiên cứu SGK nhận xét đưa biến thiên hàm số y sin x 0; đoạn * Lập bảng biến thiên �� 0; � � Hàm số y sin x đồng biến � �và nghịch biến � � ; � �2 � � Bảng biến thiên thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động * Gv nhận xét câu trả lời học sinh chốt kiến thức Phương thức tổ chức : Hoạt động nhân - lớp ; 1.2 Đồ thị hàm số y sin x đoạn * Từ tính chất hàm số y = sin x học suy đồ thị hàm số y = sinx ; đoạn * Gv đặt số câu hỏi gợi mở cho học sinh để học sinh hiểu rõ đồ ; thị hàm y = sinx đoạn Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – lớp (Gv gọi học sinh lên bảng vẽ) 1.3 Đồ thị hàm số y = sinx R Dựa vào tính tuần hồn với chu kỳ 2 Do muốn vẽ đồ thị hàm số y sin x tập xác định R , ta tịnh tiến tiếp đồ thị r ; v 2 ;0 y sin x hàm số đoạn theo véc tơ r v 2 ;0 Ta đồ thị hàm số y sin x tập xác định R * Học sinh biết vẽ đồ thị hàm số y = sinx R * Gv nhận xét chốt kiến thức Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – lớp (Gv gọi học sinh lên bảng vẽ) 1.4 Tập giá trị hàm số y = sinx 1;1 Tập giá trị hàm số y= sinx VD 4: Cho hàm số y = 2sinx - Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số R Ta có: 1 �sin x �1 � 2 �2sin x �2 � 6 �2sin x �2 * Từ đồ thị hàm số y = sinx tìm tập giá trị hàm số * Tìm GTLN GTNN hàm số cho * Gv nhận xét lời giải học sinh, chỉnh sửa đưa lời giải hoàn chỉnh Vậy: GTLN hàm số -2 GTNN hàm số -6 thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân – lớp (Gv gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải) Hàm số y = cosx - TXĐ: D = R 1 �cos x �1 - Là hàm số chẵn - Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 � � sin � x � cos x �2 � - x ��ta ln có r � � v� ;0 � � �(tức Tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx theo véc tơ * HS hiểu đồ thị hàm số y = cosx có qua tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang bên trái đoạn có độ dài ) ta đồ thị hàm số y = cosx * Từ đồ thị lập bảng biến thiên - Bảng biến thiên x hàm số y = cosx y = cosx -1 -1 * Từ đồ thị lấy tập giá trị hàm - Tập giá trị hàm số y = cosx : [-1 ; 1] Đồ thị hàm số y = sinx y = cosx gọi chung đường hình sin VD 5.Cho hàm số y = cosx Mệnh đề sai? ; 0 A Hàm số đồng biến đoạn 0; B Hàm nghịch biến đoạn 0; C Hàm số đồng biến đoạn � � ;0 � � D Hàm số nghịch biến � � số y = cosx * GV nhận xét làm học sinh, phân tích nhấn mạnh chốt nội dung kiến thức * Học sinh chọn đáp án cho ví dụ VD 6: Cho hàm số y = cosx Mệnh đề sai? A Giá trị lớn hàm số B Giá trị nhỏ hàm số -1 C Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng D Là hàm số chẵn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – lớp Hàm số y = tanx � � D �\ � k , k ��� �2 - TXĐ: - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì 3.1 Sự biến thiên đồ thị hàm số y = tanx nửa �� 0; � � khoảng � � * Học sinh quan sát hình vẽ nêu biến thiên hàm số y = tanx �� 0; � � � 2� nửa khoảng từ nhận biết đồ thị hàm số �� x1 , x2 �� 0; � �và x1 x2 Điều � Từ hình vẽ, ta thấy với �� 0; � � chứng tỏ hàm số y tan x đồng biến nửa khoảng � � Bảng biến thiên x y tan x +� � � � ; � 3.2 Đồ thị hàm số y = tanx �2 � * Dựa vào định nghĩa tính chất y x - hàm số y = � � �2 khoảng tanx vẽ đồ thị � ; � 2� 3.3 Đồ thị hàm số y = tanx tập xác định D thuvienhoclieu.com * Biết dùng phép tịnh tiến để suy đồ thị hàm số y = tanx tập xác định D Trang thuvienhoclieu.com Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động ( Gọi học sinh lên bảng vẽ) * Dựa vào đồ thị hàm số y = tanx nêu tập giá trị * GV nhận xét câu trả lời làm học sinh, chốt nội dung kiến thức - Tập giá trị hàm số y = tanx R Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – lớp � 3 � ; � � VD 7: Hãy xác định giá trị x đoạn � �để hàm số y = tanx: a) Nhận giá trị b) Nhận giá trị -1 c) Nhận giá trị âm d) Nhận giá trị dương * Học sinh quan sát đồ thị hàm số y = tanx đưa lời giải Đại diện nhóm lên trình bày KQ7 x � ;0; a) � 3 5 � x �� ; ; � � 4 b) � � � � x �� ; ��� ; � �2 � �2 � c) d) Phương thức tổ chức :Hoạt động nhóm – lớp Hàm số y = cotx D �\ k , k �� - TXĐ: - Là hàm số lẻ - Là hàm số tuần hồn với chu kì 4.1 Sự biến thiên hàm số y cot x nửa khoảng 0; 0; Hàm số y cot x nghịch biến khoảng - Bảng biến thiên x y cot x � � � � � � 3 � x �� ; 0; ��� ; � ��� � � 2� � � � * GV nhận xét lời giải nhóm, nhóm chỉnh sửa lời giải ( sai) * Nêu SBT lập BBT 0; hàm số y = cotx khoảng � 0; Đồ thị hàm số y cot x khoảng thuvienhoclieu.com * Vẽ đồ thị hàm số y = cotx khoảng 0; Dựa đồ thị suy Trang thuvienhoclieu.com Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động tập giá trị hàm số 4.2 Đồ thị hàm số y = cotx D (SGK) * GV nhận xét câu trả lời làm học sinh, chốt nội dung kiến thức Tập giá trị hàm số y = cotx R Phương thức tổ chức :Hoạt động cá nhân – lớp (Gọi học sinh lên bảng vẽ đồ thị) � � ; � � VD 8: Hãy xác định giá trị x đoạn �2 � để hàm số y = cotx: a) Nhận giá trị b) Nhận giá trị -1 c) Nhận giá trị âm d) Nhận giá trị dương * Học sinh quan sát đồ thị hàm số y = cotx đưa lời giải Đại diện nhóm lên trình bày KQ8 3 x a) x= b) x= c) d) Khơng có giá trị x để cotx nhận giá trị dương * GV nhận xét lời giải nhóm, nhóm chỉnh sửa lời giải ( sai) Phương thức tổ chức :Hoạt động nhóm – lớp C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu:Thực dạng tập SGK Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Bài tập 1: Tìm tập xác định các hàm số sau: cos x cos x b) a) y cos x s inx � � � � c ) y tan �x � d ) y cot �x � � 3� � 6� Phương thức tổ chức: Hoạt động nhóm- lớp Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động * Học sinh biết cách tìm tập xác định hàm số LG KQ1 D �\ k , k �� a) D �\ k 2 , k �� b) thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com �5 � D �\ � k , k ��� �6 c) � � D �\ � k , k ��� �6 d) Bài tập 2:Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, vẽ đồ y s inx thị hàm số *Kiến thức sử dụng: Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta suy đồ thị hàm số y = |f(x)| cách giữ ngun phần đồ thị nằm phía trục hồnh, lấy đối xứng phần đồ thị phía trục hồnh qua trục hoành Ta đồ thị hàm số y = |sin x| phần nét liền hình phía trục Ox Phương thức tổ chức: Hoạt động cá nhân- lớp Bài tập 3: Chứng minh sin 2( x k ) sin x với số nguyên k Từ vẽ đồ thị hàm số y = sin2x * GV nhận xét làm nhóm, nhóm chỉnh sửa *Học sinh biết cách vẽ đồ thị hàm số * KQ2 s inx,s inx �0 � s inx � � s inx,s inx � x � k 2 ; 2 k 2 , k �� sinx < Nên lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số y = sinx khoảng này, giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sinx đoạn lại, ta đồ thị y s inx hàm số * GV nhận xét làm học sinh cho điểm * Học sinh chứng minh vẽ đồ thị * KQ3 sin 2( x k ) sin(2 x 2k ) sin x, k �� � y = sin2x tuần hoàn với chu kì , hàm số lẻ � Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x �� 0; � � đoạn � �rồi lấy đối xứng qua O, � � ; � � � đồ thị đoạn 2 �� tịnh tiến song song với trục Ox đoạn có độ dài , ta đồ thị hàm số y = sin2x R Phương thức hoạt động: Cá nhân Bài tập Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm giá trị cos x x để KQ4 y , ta Cắt đồ thị hàm số y = cosx đường thẳng giao điểm có hồnh độ tương ứng là: k2 v�- k2, k�Z 3 Phương thức hoạt động: Cá nhân * GV nhận xét làm học sinh cho điểm * Biết sử dụng đồ thị hàm số y = cosx để tìm giá trị x thỏa mãn ĐK * GV nhận xét làm học sinh cho điểm thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com * Biết sử dụng đồ thị hàm số y = sinx để Bài tập Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm khoảng tìm giá trị x thỏa mãn ĐK KQ5 giá trị x để hàm số nhận giá trị dương sinx > ứng với phần đồ thị nằm phía trục Ox Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x ta thấy: s inx Phương thức hoạt động: Cá nhân � x � 2 ; � 0; � 2 ;3 � � x � k 2 ; k 2 , k �� Bài tập Tìm gái trị lớn hàm số: b) y 2sin x a ) y cos x KQ6 a) Ta có: ��� cos � x cos x * HS biết sử dụng tập giá trị hàm số y = sinx y = cosx để tìm GTLN GTNN hàm số LG ۣ ۣ �1 cos x Vậy Maxy � x k 2 , k �� b) Ta có 1 �s inx �1 � 2s inx �5 k 2 , k �� Vậy Maxy = Phương thức hoạt động: Hoạt động nhóm (Các nhóm trình bày vào bảng phụ, đại diện nhóm trình bày lời giải) x D,E * Gv nhận xét làm nhóm, nhóm chỉnh sửa lời giải HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ RỘNG Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải vấn đề thực tế sống, toán thực tế,… Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động học sinh Tìm hiểu hàm số lượng giác theo link Bài tốn Một guồng nước có dạng hình trịn bán https://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_l kính 2,5 m , trục đặt cách mặt nước 2m %C6%B0%E1%BB%A3ng_gi%C3%A1c ( hình vẽ bên) Khi guồng quay , khoảng cách h ( mét)từ chiêc gầu gắn điểm A https://diendantoanhoc.net/topic/149554-l guồng đến mặt nước tính theo cơng thức %C6%B0%E1%BB%A3ng-gi%C3%A1c-n %C3%B3i-v%E1%BB%81-c%C3%A1i-g %C3%AC/ � � y 2,5sin � 2 ( x ) � h y �Với x � , - Hơm nay, bạn nghe nhạc Bài hát bạn thời gain quay guồng ( x �0) , tính nghe ghi âm kỹ thuật số (một trình sử y gầu bên mặt dựng phép chuyển đổi Fourier, có sử dụng lượng phút ; ta quy ước giác) nén thành định dạng MP3 sử dụng nén nước y gầu mặt nước giảm liệu (áp dụng kiến thức khả phân biệt âm tai người), phép nén a Khi gầu vị trí thấp b Khi gầu vị trí cao địi hỏi kiến thức lượng giác c Chiếc gầu cách mặt nước 2m lần ? thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động học sinh c) u u u u u -5 c) Biểu diễn số hạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 lên trục số Nhận xét vị trí ba điểm liền kề 31 57 Nhận xét điểm u2, u3, u4 so với hai điểm liền kề bên cạnh Ta có u3 trung điểm đoạn u2u4 hay u2 u4 1 HS viết uk , uk 1 thành tổng số hạng lền trước công sai u3 Tính chất số hạng cấp số cộng Định lý 2: Cho cấp số cộng (un ) Khi uk uk 1 uk 1 , k �2 uk uk 1 d ; uk 1 uk d � uk uk 1 uk 1 uk Nhận xét : Điều kiện cần đủ để số a, b, c tạo thành CSC a c b a, b, c CSC Tổng n số hạng đầu cấp số cộng HĐ SGK trang 96 Viết số hạng theo thứ tự ngược lại tổng số hạng cột u1 u2 u3 u4 u5 u6 –1 11 15 19 27 23 19 15 11 26 26 26 26 26 26 Định lý 3: Cho cấp số cộng S n u1 u u3 un Khi C uk 1 uk 1 HS điền vào bảng nhận xét u7 23 26 (un ) u8 27 -1 26 Đặt n(u1 un ) n(n 1) nu1 d 2 u 3n – Ví dụ 6: Cho dãy số (un ) với n (u n ) cấp số cộng Tính u1 a) Chứng minh dãy d b) Tính tổng 50 số hạng đầu S 260 c) Biết n Tìm n Giải bái tốn ban đầu : Tính tổng S 1 � 100 Sn � uk 8(u1 u8) HS tính tổng S8 so sánh với 8(u1 u8) S8 104 Rút kết luận HS tổng quát hóa cho Sn : a) un 1 – un u1 2, d Sn n(u1 un) (un ) cấp số cộng với 50 2.2 (50 1).3 = 3775 n(n 1) 260 2n � n 13 c) 100 100 5050 S b) S50 HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Mục tiêu: Thực dạng tập SGK Giúp học sinh củng cố kiến thức rèn luyện cho học sinh kĩ biến đổi tính tốn Giúp học sinh củng cố kiến thức rèn luyện cho học sinh kĩ áp dụng kiến thức vào dạng toán khác Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh thuvienhoclieu.com Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Trang 112 thuvienhoclieu.com a) Áp dụng công thức Bài : Cho cấp số cộng (un ) biết số hạng đầu u1 23 , u u (n 1)d , n với n �2 công sai d 11 suy ra: u17 23 17.11 164 a) Tìm số hạng thứ 17 cấp số cộng b) Giả sử 318 số hạng thứ n, đó: b) Số 318 số hạng thứ bao nhiêu? 318 23 (n 1).11 � n 32 u3 u5 28 14 2 Bài 2: Cho cấp số cộng có số hạng biết tổng số hạng thứ Ta có : ; số hạng thứ năm 28, tổng số hạng thứ năm số u5 u7 140 70 hạng cuối 140 Tìm số hạng đầu công sai cấp số u6 2 cộng đó? u 3d 14 u 70 � � � �1 � �1 u1 5d 70 � d 28 � Gọi un mức lương quý thứ n thì: u4 Bài 3: Một công ty trả lương cho anh A theo phương thức sau: Mức lương quý 4,5 triệu đồng/ quý Kể từ quý tiếp theo, quý tăng thêm 0,3 triệu đồng Hỏi tổng số tiền lương anh A nhận sau năm làm việc Bài 4: Từ đến 12 trưa, đồng hồ đánh tiếng chng, đánh chng báo số tiếng chuông số ? u1 4,5 d 0, u12 4,5 12 1 0,3 7,8 u12 12 4,5 7,8 12 73,8 (triệu đồng) Số tiếng chuông từ đến 12 cấp số cộng có u1 d S12 u Tính tổng S12 12.11 d 78 u u1 n 1 d Sử dụng công thức n u1 u1 2d u1 4d 10 � � u u 5d 17 a) (I) �1 u1 2d 10 u 16 � � � �1 � Bài : Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng sau: 2u 5d 17 d 3 � � u1 u3 u5 10 u7 u3 � � u1 6d u1 2d � � � u1 u6 17 u2 u7 75 � � � a) (I) b) u d u1 6d 75 b) Ta có hệ sau � d 2 � �� u1 d u1 6d 75 � Giải hệ ta nghiệm u1 = d = u1 = - 17 d = Giả sử A B C, ta có: S12 12.u1 Bài : Ba góc A, B, C tam giác vuông ABC theo thứ tự lập thành CSC Tính góc �A B C 1800 �A 30O � � C 900 � �B 60O � � � 2B A C C 90O � � Bài 7: Trong toán cấp số cộng, ta thường gặp năm Hs thảo luận trình bày Để xác định yếu tố lại ta cần biết đại lượng u1 , d , n, un , S n ba năm yếu tố a) Hãy viết hệ thức liên hệ đại lượng Cần phải u , d , n, u , S n n biết đại lượng để tìm đại lượng thuvienhoclieu.com Trang 113 thuvienhoclieu.com u1 -2 36 -5 lại ? b) Lập bảng theo mẫu điền số vào thích hợp (Bảng xem sgk trang 97) D,E d -4 un 55 -20 17 10 27 -5 n 20 15 28 12 -43 Sn 530 120 140 72 -205 HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TỊI MỞ RỘNG Mục tiêu: Học sinh vận dụng kiến thức cấp số cộng để giải số toán thực tế Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập học sinh Bài toán 1: Khi ký hợp đồng dài hạn với kỹ sư tuyển dụng, công ty liên doanh A đề xuất hai phương án trả lương để người lao động tự lựa chọn, cụ thể: Phương án 1: Người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc đầu tiên, kể từ năm làm việc thứ hai mức lương tăng triệu đồng năm Phương án 2: Người lao động nhận triệu đồng cho quý làm việc đầu tiên, kể từ quý thứ hai mức lương tăng thêm 500 000 đồng quý Nếu em người ký hợp đồng lao động với cơng ty liên doanh A em chọn phương án nào? Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết hoạt động Gọi n số năm ký hợp đồng làm việc với công ty A (n ) Nếu ký hợp đồng theo phương án tổng số tiền lương nhận n năm là: n(n 1) 3n 69n S1 n.36 2 (triệu đồng) Nếu ký hợp đồng theo phương án tổng số tiền lương nhận n năm là: S2 4n.7 CÔNG TY LIÊN DOANH A Xét 4n(4n 1) 0,5 4n 27n (triệu đồng) S1 S S1 �۳� S2 ۳0 3n 69n 5n 15n (4n 27 n) 2 5n 15n 0 n Vậy làm việc không năm lựa chọn theo phương án 1, làm việc năm lựa chọn phương án Bài toán 2: Dân số nước ta năm 2008 84 triệu người, (đứng thứ 13 giới), bình quân dân số tăng triệu người/ năm (bằng dân số tỉnh) Với tốc độ tăng dân số thế, năm 2020 dân số nước ta bao nhiêu? Dự đốn đến năm dân số nước ta đạt mốc tỷ người? Theo giả thiết tốc độ tăng dân ổn định qua năm Do số dân năm lập thành u 84 cấp số cộng với công sai d triệu, triệu Nên dân số năm 2020 u13 84 13 1 96 triệu Theo dự đoán dân số nước ta tỉ người n 1000 – 84 � n 917 Như dân số nước ta tỷ vào năm 2924 IV CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC thuvienhoclieu.com Trang 114 thuvienhoclieu.com NHẬN BIẾT Câu : Khẳng định sau sai? � u1 � � � 1 � d ;0; ;1; ; A Dãy số 2 cấp số cộng: � � u � �1 � 1 1 � d ;n ; ; ; B Dãy số 2 cấp số cộng: � C Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2; � là cấp số cộng u1 2 � � �d D Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; � cấp số cộng Lời giải Chọn B � u � �1 � u2 � 1 1 �d ; ; ; 2 Dãy số cấp số cộng � 1 u1 ; d 2 Hãy chọn kết Câu : Cho cấp số cộng có 1 1 ;0;1; ;1 ;0; ;0; A Dạng khai triển : B Dạng khai triển : 2 ;1; ; 2; ; C Dạng khai triển : 2 1 ;0; ;1; D Dạng khai triển: 2 Lời giải Chọn D Câu : Cho cấp số cộng có A d u1 3; u6 27 B d THÔNG HIỂU Tìm d ? C d D d Lời giải Chọn C Ta có: u6 27 � u1 5d 27 � 3 5d 27 � d thuvienhoclieu.com Trang 115 thuvienhoclieu.com u1 ; u8 26 Câu : Cho cấp số cộng có Tìm d ? 11 10 d d d 11 A B C D d 10 Lời giải Chọn A u8 26 � u1 d 26 � Ta có: Câu : Cho cấp số cộng un có: A 1, 11 d 26 � d 3 u1 0,1; d 0,1 Số hạng thứ cấp số cộng là: C 0,5 B D 0, Lời giải Chọn C u Số hạng tổng quát cấp số cộng n un u1 n 1 0,1 � u7 0,1 1 0,1 là: u u 0,1; d Câu : Cho cấp số cộng n có: Khẳng định sau đúng? A Số hạng thứ cấp số cộng là: 0,6 B Cấp số cộng khơng có hai số 0,5 0,6 C Số hạng thứ cấp số cộng là: 0,5 D Số hạng thứ cấp số cộng là: 3,9 Lời giải Chọn B Số hạng tổng quát cấp số cộng * Giả sử tồn k �� cho un là: un 0,1 n 1 n uk 0,5 � k 11 10 11 0,5 � k 10 (loại) Tương tự số 0,6 u u 0,3; u8 Câu : Cho cấp số cộng n có: Khẳng định sau sai? A Số hạng thứ cấp số cộng là: 1,4 B Số hạng thứ cấp số cộng là: 2,5 C Số hạng thứ cấp số cộng là: 3,6 D Số hạng thứ cấp số cộng là: 7,7 Lời giải Chọn D Ta có: u8 � u1 7d � 0,3 d � d u Số hạng tổng quát cấp số cộng n là: 11 10 un 0,3 11 n 1 � u 6,9 10 Câu : Viết ba số xen số 22 để cấp số cộng có số hạng A 7; 12; 17 B 6; 10;14 C 8;13;18 thuvienhoclieu.com D 6;12;18 Trang 116 thuvienhoclieu.com Lời giải Chọn A u2 � u1 � � � 22 u1 4d � d � � u3 12 � u 22 �5 � u4 12 17 � Khi 16 Câu : Viết số hạng xen số để cấp số cộng có số hạng 7 10 13 11 14 11 15 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; A 3 3 B 3 3 C 3 3 D 4 4 Lời giải Chọn B 4 � � u1 u2 ; u3 � � 16 � � 3 3 � u1 5d � d � � � 16 10 13 � � u6 u4 ; u5 3 � Ta có � Câu 10 : Cho dãy số với : un 2n Khẳng định sau sai? A số hạng đầu dãy: u 5; u2 3; u3 B Số hạng thứ n + 1: un 1 n C Là cấp số cộng có d = – D Số hạng thứ 4: u4 1 Lời giải Chọn B Thay n 1; 2;3; đáp án A, D un 1 n 1 2n 2n (2) un (2)n ��* suy đáp án B sai un n u Câu 11 : Cho dãy số n với : Khẳng định sau đúng? A Dãy số cấp số cộng C Hiệu : un 1 un B Số hạng thứ n + 1: un 1 n D Tổng số hạng là: Lời giải Chọn C Ta có: un 1 Câu 12 : Cho dãy số 1 1 n 1 n un n ��* � Đáp án C 2 2 un với : un 2n Khẳng định sau sai? thuvienhoclieu.com Trang 117 A Là cấp số cộng có d = – C Số hạng thứ n + 1: thuvienhoclieu.com B Là cấp số cộng có d = un 1 2n D Tổng số hạng là: S4 40 Lời giải Chọn A Phương pháp loại trừ: A B sai Thật un 1 n 1 2n un +2 n ��* � u Câu 13 : Cho dãy số n A C có: u1 3; d đáp án A sai Khẳng định sau đúng? un 3 n 1 un 3 n B u n 3 n 1 � � un n � 3 n 1 � � � D Lời giải Chọn C Sử dụng công thức SHTQ u Câu 14 : Cho dãy số n S5 un u1 n 1 d n �2 Ta có: un 3 n 1 1 u1 ; d 4 Khẳng định sau đúng? có: S5 S5 B C S5 D A Lời giải Chọn C n� 2u1 n 1 d � � n u1 un , n ��* Sn � 2 Sử dụng cơng thức tính tổng n số hạng đầu tiên: Tính được: Câu 15 : Cho dãy số u1 16 S5 un có d = –2; S8 = 72 Tính u1 ? B u1 16 C u1 16 D u1 16 A Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 118 thuvienhoclieu.com Chọn A � n u1 un Sn � u1 u8 2S8 : � u8 u1 18 � � �� �� � u1 16 � u u d u u 14 u u 8 � � n �d � n 1 Ta có: Câu 16 : Cho dãy số A un có d 0,1; S5 0,5 u1 0,3 B u1 Tính u1 ? 10 C u1 10 D u1 0,3 Lời giải Chọn D Ta có : � un u1 n 1 d u5 u1 4.0,1 � � �� � u1 0,3 � 2S n u5 u1 0, 25 un u1 � � n � Câu 17 : Cho dãy số A n 20 un có u1 1; d 2; S n 483 B n 21 Suy chọn đáp án D Tính số số hạng cấp số cộng? C n 22 D n 23 Lời giải Chọn D n 23 n� 2u1 n 1 d � �� 2.483 n n 1 � n 2n 483 � � Sn � � n 21 � Ta có: * Do n �N � n 23 u u 2; d 2; S 21 Khẳng định sau đúng? Câu 18 : Cho dãy số n có A S tổng số hạng đầu cấp số cộng B S tổng số hạng đầu cấp số cộng C S tổng số hạng đầu cấp số cộng D S tổng số hạng đầu cấp số cộng Lời giải Chọn B n6 n� 2u1 n 1 d � �� 2.21 n 2 n 1 � n n 21 � � Sn � � n 7 � Ta có: thuvienhoclieu.com Trang 119 thuvienhoclieu.com Do n �N � n Suy chọn đáp án B * Câu 19 : Công thức sau với cấp số cộng có số hạng đầu A un u1 d B un u1 n 1 d C u1 , công sai d, n �2 ? un u1 n 1 d D un u1 n 1 d Lời giải Chọn D Công thức số hạng tổng quát : un u1 n 1 d n �2 , Câu 20 : Xác định x để số : x; x ;1 x theo thứ tự lập thành cấp số cộng? A Khơng có giá trị x B x �2 C x �1 D x Lời giải : Chọn C x2 x x x2 x ; x ;1 x Ba số : lập thành cấp số cộng � x � x �1 suy chọn đáp án C Câu 21 : Xác định x để số : x; x 1; 2 x theo thứ tự lập thành cấp số cộng? A x �3 C x� B x� D Khơng có giá trị x Lời giải Chọn B Ba số : x; x 1; 2 x theo thứ tự lập thành cấp số cộng x x 2 x x � x2 � x � Suy chọn đáp án B Câu 22 : Xác định a để số : 3a; a 5;1 a theo thứ tự lập thành cấp số cộng? A Khơng có giá trị a B a C a �1 D a � Lời giải Chọn A thuvienhoclieu.com Trang 120 thuvienhoclieu.com Ba số : 3a; a 5;1 a theo thứ tự lập thành cấp số cộng a 3a a a � a 3a a a � a a PT vô nghiệm Suy chọn đáp án A VẬN DỤNG Câu 23 : Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức sau đúng? 2 2 A a c 2ab 2bc B a c 2ab 2bc 2 C a c 2ab 2bc 2 D a c ab bc Lời giải Chọn B a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi: b a c b � b a c b � a c 2ab 2bc 2 Suy chọn đáp án B Câu 24 : Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức sau đúng? 2 2 A a c 2ab 2bc 2ac B a c 2ab 2bc 2ac 2 C a c 2ab 2bc 2ac 2 D a c 2ab 2bc 2ac Lời giải Chọn C a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng b a c b � b a c b � a c 2ab 2bc 2 � a c 2c 2ab 2bc 2ab 2c c b 2ab 2c b a ab 2bc 2ac Câu 25: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số lập thành cấp số cộng? 2 A 2b , a, c B 2b, 2a, 2c C 2b, a, c D 2b, a, c Lời giải Chọn B Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng a c 2b thuvienhoclieu.com Trang 121 thuvienhoclieu.com � 2 b c 2.2a � 2b 2c 2a � 2b, 2a, 2c lập thành cấp số cộng u u 12; u14 18 Tìm u1, d cấp số cộng? Câu 26 : Cho cấp số cộng n có u 20, d 3 u 22, d u 21, d 3 u 21, d 3 A B C D Lời giải Chọn C u4 u1 3d u 3d 12 d 3 � � � � �1 �� � u1 21 u u1 13d u1 13d 18 � � Ta có : �14 Suy chọn đáp án C Câu 27 : Cho cấp số cộng A S = 24 un có u4 12; u14 18 Tổng 16 số hạng cấp số cộng là: B S = –24 C S = 26 D S = –25 Lời giải Chọn A n� 2u1 n 1 d � 21 15.3� �� S 16 � � � 24 Sn � 16 2 Sử dụng kết 17 Tính u Câu 28 : Cho cấp số cộng n có u5 15; u20 60 Tìm u1, d cấp số cộng? A u1 35, d 5 B u1 35, d C u1 35, d 5 D u1 35, d Lời giải Chọn B u5 u1 4d u 4d 15 � d 5 � � � �1 �� � u1 35 u u1 19d u1 19d 60 � � Ta có : �20 Suy chọn B Câu 29 : Cho cấp số cộng A S20 = 200 un có u5 15; u20 60 B S20 = –200 Tổng 20 số hạng cấp số cộng là: C S20 = 250 D S20 = –25 Lời giải Chọn C n� 2u1 n 1 d � 35 19.5� �� S 20 � � � 250 Sn � 20 2 Sử dụng kết 17 Tính (u ) Câu 30 : Cho cấp số cộng n có u2 u3 20, u5 u7 29 Tìm u1 , d ? A u1 20; d B u1 20,5; d C u1 20,5; d 7 D u1 20,5; d 7 Lời giải thuvienhoclieu.com Trang 122 thuvienhoclieu.com Chọn C Áp dụng công thức un u1 (n 1) d ta có 2u1 3d 20 u 20,5 � � � �1 � 2u1 10d 29 d 7 � � Câu 31 : Cho cấp số cộng: 2; 5; 8; 11; 14; Tìm d tổng 20 số hạng đầu tiên? d 3;S20 510 d 3;S20 610 A B C d 3;S20 610 D d 3;S20 610 Lời giải Chọn B Ta có 5 2 ( 3); 8 5 (3); 11 8 (3); 14 11 (3); nên d 3 Áp dụng công thức S n nu1 n(n 1) d , ta có S 20 610 Câu 32 : Cho tam giác ABC biết góc tam giác lập thành cấp số cộng có góc 25 o Tìm góc cịn lại? A 65o ; 90o B 75o ; 80o C 60o ; 95o D 60o ; 90o Lời giải Chọn D Ta có : Vâỵ u1 u2 u3 180 � 25 25 d 25 d 180 � d 35 u2 60; u3 90 Câu 33 : Cho tứ giác ABCD biết góc tứ giác lập thành cấp số cộng góc A 30o Tìm góc cịn lại? A 75o ; 120o; 165o B 72o ; 114o; 156o C 70o ; 110o; 150o D 80o ; 110o; 135o Lời giải Chọn C Ta có: u1 u2 u3 u4 360 � 30 30 d 30 2d 30 3d 360 � d 40 Vậy u2 70; u3 110; u 150 Câu 34 : Cho dãy số un : Khẳng định sau sai? A (un) cấp số cộng C Số hạng u20 19,5 B có d 1 D Tổng 20 số hạng 180 Lời giải Chọn C thuvienhoclieu.com Trang 123 thuvienhoclieu.com 1 ( 1); - (1); - ( 1); 2 2 Ta có 2 Vậy dãy số cấp số cộng với cơng sai d 1 Ta có u20 u1 19d 18, u un Câu 35 : Cho dãy số n có 2n Khẳng định sau đúng? ; d A (un) cấp số cộng có u1 = B (un) cấp số cộng có u1 = C (un) khơng phải cấp số cộng D (un) dãy số giảm bị chặn Lời giải Chọn B Ta có un 1 un 2(n 1) 2n u1 3 u Câu 36 : Cho dãy số n có Khẳng định sau sai? A Các số hạng dãy dương B dãy số giảm dần C cấp số cộng D bị chặn M = Lời giải Chọn C 1 u1 ; u ; u u2 u1 �u3 u2 nên dãy số khơng phải cấp số cộng Ta có Câu 37 : Cho dãy số un (un) có Khẳng định sau sai? 2(n 1) un 1 A Là cấp số cộng có B Số hạng thứ n+1: C Hiệu D Không phải cấp số cộng Lời giải Chọn A Ta có un 1 un 2(n 1) 2n 2(2 n 1) 3 Vậy dãy số cấp số cộng VẬN DỤNG CAO thuvienhoclieu.com Trang 124 thuvienhoclieu.com V PHỤ LỤC PHIẾU HỌC TẬP PHIẾU HỌC TẬP SỐ VÀI NÉT SƠ LƯỢC TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC GAU – XƠ (GAUSS) Nhà toán học người Đức Gauss (1777 - 1855) mệnh danh "ơng hồng nhà tốn học" Các cơng trình ơng rộng khắp lĩnh vực toán học, thiên văn học, vật lý, trắc địa có ảnh hưởng sâu sắc phát triển toán học nhiều ngành khoa học khác Ông xếp ngang hàng Archimede, Euler Newton, nhà toán học vĩ đại nhân loại Toán học Châu Âu phục hồi nhanh chóng phát triển từ thời kỳ Phục hưng Sự phát triển nhanh chóng tốn học giai đoạn này, với phát triển ngành khoa học khác nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển kinh tế khoa học kỹ thuật Châu Âu Thế kỷ XVII chứng kiến bùng nổ chưa thấy ý tưởng toán học khoa học tồn Châu Âu Đến kỷ XIX, tốn học ngày trở nên trừu tượng Có thể nói Gauss bước tiếp nối phát triển thành tựu vĩ đại khoa học trước Từ nhỏ, ông thần đồng Giai thoại kể lúc học tiểu học, ơng giải tốn tính tổng số từ đến 100 vài giây Lúc học trung học, ông khám phá số định lý toán học Nổi tiếng toán vẽ đa giác 17 cạnh thước kẻ compa, toán làm đau đầu nhà tốn học 2.000 năm Ơng người đặt móng cho mơn Lý thuyết số với cơng trình: đồng dư, nghịch đảo tồn phương, định lý số nguyên tố, nghiệm đa thức Ơng đóng góp cho đại số cơng trình Định lý đại số Ơng góp phần phát triển số phức nhằm hồn thiện dần mơn đại số ngày Ông người tuyên bố khám phá hình học phi Euclide Gauss người cẩn thận khoa học, tự trọng đời sống người có sức làm việc phi thường Ơng cho đăng cơng trình sau hồn thiện kỹ càng, qua phản biện khẳng định tính đắn khoa học Chính điều mà sau ơng mất, người ta tìm thấy nhiều ghi chép khoa học ông chưa công bố Khẩu hiệu ông "ít chắn" Phải ngun nhân mà ơng khơng cơng bố cơng trình hình học phi Euclide? Nhà viết sử Bell năm 1937 ước đốn rằng, Gauss xuất hết cơng trình ơng từ lúc ơng cịn sống tốn học tiến nhanh 50 năm Thật đáng kinh ngạc đóng góp cá nhân ơng nhân loại! Ơng nhận tước hiệu Cơng tước với mức lương cao Vì nhiều lý do, có việc ơng đánh giá đóng góp cho tốn học khơng xứng chu cấp nhiều vậy, nên ông chuyển sang ngành thiên văn học Ông làm việc với chức danh Giám đốc Đài Thiên văn Đại học Gottingen từ năm 1807 đến hết đời Từ đó, ơng tiếp tục đóng góp cơng sức lĩnh vực thiên văn học, quang học, từ học Với tốn học, ơng tiếp tục khám phá hình vi phân, sai số ơng người thầy nhiều nhà khoa học tài Thành tựu khoa học vĩ đại Gauss nhân loại ghi nhận Tên ông đặt cho hố bề Mặt Trăng Ảnh ông in mặt đồng tiền Đức Giải thưởng Gauss thành lập năm 2006, thuvienhoclieu.com Trang 125 thuvienhoclieu.com dành tặng cho thành tựu toán học ứng dụng vào ngành khác sống Tại Canada, thi toán cho học sinh trung học mang tên ông PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2 Nội dung Cấp số cộng MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ Nhận thức Thông hiểu Nắm định nghĩa Tính chất cấp số cấp số cộng cộng Số hạng tổng qt cấp số cộng, cơng thức tính tổng cấp số cộng Vận dụng Vận dụng cao - Chứng minh dãy số Tính số yếu tố cấp số cộng cấp số cộng biết số yếu - Tính số hạng tố khác đầu công sai cấp số cộng thuvienhoclieu.com Trang 126 ... 10 09 đoạn f� t 10 09.t1008 10 09 t f� t � 10 09t1008 10 09 t 10 09 1? ?? t 10 09 0 ;1? ?? 10 08 10 08 0 10 08 1? ?? t � � 1? ?? t � � � ? ?1 � ? ?1 � t �t � t ? ?1 � f � � 10 08... hàm số cho ? ?1; 1 C Lời giải D 0 ;1? ?? ? ?1; 1 Câu 4: Mệnh đề sai? A Hàm số y tan x tuần hồn với chu kì B Hàm số y cos x tuần hồn với chu kì C Hàm số y cot x tuần hồn với chu kì. .. D Hàm số y tan x hàm số lẻ Lời giải C Hàm số y sin x hàm số lẻ Chọn A Ta có kết sau: + Hàm số y cos x hàm số chẵn + Hàm số y cot x hàm số lẻ + Hàm số y sin x hàm số lẻ + Hàm số y
Ngày đăng: 14/09/2021, 16:29
Xem thêm:
