Nội dung Bài giảng Giải tích số gồm 6 chương: Tính toán với các số gần đúng; Phương pháp nội suy; Đạo hàm và tích phân bằng số; Giải gần đúng phương trình đại số và siêu việt; Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính; Giải gần đúng phương trình vi phân thường.
UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƢỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH SỐ Biên soạn : ThS PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Tháng 7/ 2018 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Chƣơng TÍNH TỐN VỚI CÁC SỐ GẦN ĐÚNG 1.1 Khái niệm 1.2 Các loại sai số 1.3 Sai số tính tốn Bài tập chương Chƣơng PHƢƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG BÉ NHẤT 2.1 Phương pháp nội suy .9 2.2 Tính giá trị đa thức sơ đồ Hoocner .10 2.3 Đa thức nội suy Lagrăng .12 2.4 Đa thức nội suy Newton 18 2.5 Phương pháp bình phương bé .22 Bài tập chương 28 Chƣơng TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 32 3.1 Tính gần đạo hàm 32 3.2 Tính gần tích phân xác định 33 Bài tập chương 37 Chƣơng GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT .40 4.1 Giới thiệu 40 4.2 Tách nghiệm 40 4.3 Tách nghiệm cho phương trình đại số 42 4.4 Chính xác hóa nghiệm 43 Bài tập chương 50 Chƣơng GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 52 5.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính 52 5.2 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính phương pháp Cramer .55 5.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính phương pháp Gausse 58 5.4 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính phương pháp lặp đơn 60 5.5 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính phương pháp Gausse - Siedel 63 Bài tập chương 66 Chƣơng GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG .68 6.1 Khái niệm 68 6.2 Giải tốn Cauchy phương pháp giải tích 68 6.3 Giải toán Cauchy phương pháp số 69 Bài tập chương 71 Tài liệu tham khảo .72 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích số lĩnh vực tốn học nghiên cứu phương pháp số giải gần toán thực tế mơ hình hóa ngơn ngữ tốn học Bài tốn có liệu ban đầu thu thập cách đo đạc, thống kê để có lời giải gần Giải tích số môn học bắt buộc trường thuộc khối ngành sư phạm Nội dung “ Bài giảng Giải tích số” gồm chương: Chương Tính tốn với số gần Chương Phương pháp nội suy Chương Đạo hàm tích phân số Chương Giải gần phương trình đại số siêu việt Chương Giải gần hệ phương trình đại số tuyến tính Chương Giải gần phương trình vi phân thường Bài giảng trình bày nội dung Giải tích số Đặc biệt, sau chương có phần tập phong phú để củng cố kiến thức rèn luyện kỹ tính tốn Bài giảng giới thiệu ví dụ minh hoạ thật đơn giản, dễ hiểu giúp người học dễ dàng tiếp cận với khối lượng kiến thức hấp dẫn thú vị chương Chúng tơi hy vọng “Bài giảng Giải tích số” tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu Đây lần viết đầu tiên, chắn giảng cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi chân thành cảm ơn góp ý, nhận xét bạn đọc nhiều phương diện để nội dung giảng ngày tốt CHƢƠNG TÍNH TỐN VỚI CÁC SỐ GẦN ĐÚNG 1.1 KHÁI NIỆM 1.1.1 Số gần - Số x* biểu thị giá trị thực đại lượng gọi số Số x có giá trị nhiều sai lệch với số x* gọi số gần số x* - Giá trị đại lượng dùng tính tốn khơng biết cách xác Chẳng hạn: giá trị đại lượng nhận từ phép đo, thí nghiệm, số hữu tỉ: 1/3; 1/7; 20/3; ; giá trị số vơ tỉ e, ; - Trong tính toán, làm việc chủ yếu với giá trị gần đại lượng 1.1.2 Sai số Giả sử x số gần x* (x* : số đúng) Khi đó: x x* gọi sai số tuyệt đối số gần x gọi sai số tương đối số gần x x Ý nghĩa sai số tuyệt đối sai số tương đối: - Người ta dùng sai số tuyệt đối để so sánh độ xác phân tích mà kết biểu diễn với đơn vị đo khác - Để đánh giá tốt độ xác để so sánh kết phân tích biểu diễn đơn vị khác ta dùng sai số tương đối Sai số tương đối phản ánh độ xác phép phân tích tiêu khác nhau, phương pháp khác Ta xét đến loại sai số sau: Sai số tuyệt đối giới hạn, ký hiệu x số không nhỏ sai số tuyệt đối số gần x Nghĩa là: x x* x Suy x x x* x x Trong đó: x x số gần thiếu số x * * x x số gần thừa số x * x x x Quy ước: 3,14 3,15 Ví dụ 1: Số 3,14 số gần thiếu số số 3,15 số gần thừa số Ví dụ 2: Khi đo chiều dài hai trục, ta thu kết sau: l1 112,5cm 0,1cm ; l2 7,3cm 0,1cm Ta thấy sai số tuyệt đối giới hạn hai phép đo rõ ràng phép đo trục l1 xác phép đo trục l2 Ví dụ 3: Khi đo đường kính dây đồng ta kết d * (0,5 0,01) mm, tức 0,49 d * 0,51 mm với sai số tuyệt đối giới hạn d 0,01 Sai số tương đối giới hạn, ký hiệu x tính cơng thức: x x x số không nhỏ sai số tương đối số gần x, nghĩa là: x 1.2 CÁC LOẠI SAI SỐ Dựa vào nguyên nhân gây sai số, ta có loại sau: - Sai số giả thiết: xuất việc giả thiết toán đạt số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp toán - Sai số số liệu ban đầu: xuất việc đo đạc cung cấp giá trị đầu vào khơng xác - Sai số phƣơng pháp: xuất việc giải toán phương pháp gần - Sai số tính tốn: xuất làm trịn số q trình tính tốn, q trình tính nhiều sai số tích luỹ lớn 1.3 SAI SỐ TÍNH TỐN 1.3.1 Cơng thức tổng qt sai số Giả sử dùng n số gần xi ; i 1, n để tính đại lượng y với y f xi f x1, x2 , , xn giả sử biết sai số tuyệt đối giới hạn xi ; i 1, n đối số xi ; i 1, n Trong đó, hàm số f hàm khả vi, liên tục theo đối số x i Khi sai số y xác định theo công thức sau: Sai số tuyệt đối giới hạn: n y i 1 Sai số tương đối giới hạn: n y i 1 f xi xi (1) ln f y xi xi y (2) Ví dụ 4: Tính sai số tuyệt đối giới hạn sai số tương đối giới hạn thể tích hình cầu d V Biết đường kính d 3,70cm 0,05cm 3,14 Giải Xem d đối số hàm số V, ta có: V d 3,7 8,4422 ; 6 V d 3,143,7 21,4933 d 2 Dùng cơng thức (1) ta có: Sai số tuyệt đối giới hạn là: V Do V V d 8,4422.0,0016 21,4933.0,05 1,0882 d 3,14.3,7 V V 1,0882 26,5084cm3 1,0882cm3 6 d 3 Sai số tương đối giới hạn là: V V 1,0882 0,04105 4,1% V 26,5084 tính theo công thức: n V i 1 ln V ln V ln V xi d xi d 0,0016 3.0,05 d 0,041 4,1% d 3,14 3,7 1.3.2 Sai số tổng đại số Trường hợp hàm số f có dạng y f xi x1 x2 xn Ta có f 1, i 1, n , suy ra: xi n Sai số tuyệt đối giới hạn: y xi (3) i 1 Sai số tương đối giới hạn: y y x1 x2 xn y x1 x2 xn (4) Ví dụ 5: Cho a = 50,9; b = 50,5 với a = b = 0,05 u = a - b Hãy tính sai số tuyệt đối giới hạn sai số tương đối giới hạn u Giải Ta có u = a - b = 50,9 - 50,5 = 0,4 với Sai số tuyệt đối giới hạn u là: u = a + b = 0,05 +0,05 = 0,1 Sai số tương đối giới hạn u là: u u 0,1 25% u 0,4 1.3.3 Sai số tích thƣơng Trường hợp hàm số f có dạng y f xi x1.x2 .xm xm 1 xm xn Khi đó: ln f ln x1.x2 .xm ln x1 ln x2 ln xm ln xm 1 ln xm ln xn xm 1 xm xn ln f ; i 1; n , suy ra: xi xi Sai số tương đối giới hạn: n xi xi i 1 xi i 1 n y (5) Sai số tuyệt đối giới hạn: y y y (6) Ví dụ 6: Xét S = d.r với d = 5,45 ; r = 2,94 ; d = r = 0,001 Hãy tính sai số tuyệt đối giới hạn sai số tương đối giới hạn S Giải Ta có: d d r 0,0001835; r 0,0003401 d r Sai số tương đối giới hạn S là: S = d + r = 0,0001835 + 0,0003401 = 0,0005236 Ta có: S = (5,45).(2,94) = 16,023 Sai số tuyệt đối giới hạn S là: S = S S = (16,023).(0,0005236) = 0,0084 Đặc biệt, trường hợp hàm số f có dạng luỹ thừa y f x x ; 0 ln f , suy ra: Khi đó: ln y ln f ln x x Sai số tương đối giới hạn: y x x x x Sai số tuyệt đối giới hạn: y y y y x (9) (10) BÀI TẬP CHƢƠNG SAI SỐ VÀ TÍNH GẦN ĐÚNG Bài Xác định sai số tuyệt đối giới hạn số gần x = 3,14 thay cho số Bài Đo trọng lượng dm3 nước 00C nhận được: p* = 999,847g 0,001g Hãy xác định sai số tương đối giới hạn phép đo Bài Một mảnh đất hình chữ có chiều dài d =15,45m chiều rộng r = 3,94m với sai số 1cm Hãy ước lượng sai số tuyệt đối giới hạn diện tích S Bài Cho số gần a =4,7658 b = 3,456 với a =5.10-4 b=10-3; u = a.b Hãy tìm sai số tương đối giới hạn a b; tính u ước lượng sai số u u Bài Cho a=12345; a =0,1%, b=34,56 với b=0,8% Xác định sai số tuyệt đối giới hạn a; b Bài Cho u = a-b với a = 55,23 b = 55,20; a = b = 0,005 Tính u, u u Bài Cho u = a/b + c với a = 125, b = 0,5, c = 5; a = b = 0,1 ; c = Tính u u PHƢƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ PHƢƠNG CHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG BÉ NHẤT 2.1 PHƢƠNG PHÁP NỘI SUY 2.1.1 Trong toán học ta thường gặp toán liên quan đến khảo sát tính giá trị hàm y = f(x) Tuy nhiên thực tế có trường hợp ta không xác định biểu thức hàm f(x) mà nhận giá trị rời rạc: y0, y1, , yn điểm tương ứng x0, x1, , xn Vấn đề đặt để xác định giá trị hàm điểm lại Ví dụ Cho hàm f(x) thỏa: xi f(xi) -1 Tìm hàm nội suy f(x) tính f(5) Ta phải xây dựng hàm x cho: xi = yi = f (xi) với i 0, n x f (x) x x [a, b] x xi - Bài toán xây dựng hàm x gọi toán nội suy - Hàm x gọi hàm nội suy f(x) [a, b] - Các điểm xi ( i0,n ) gọi mốc nội suy 2.1.2 Hàm nội suy áp dụng trường hợp xác định biểu thức f(x) phức tạp việc khảo sát, tính tốn Khi ta tìm hàm nội suy xấp xỉ với để đơn giản phân tích khảo sát Trong trường hợp ta chọn n + điểm làm mốc nội suy tính giá trị điểm đó, từ xây dựng hàm nội suy (bằng công thức Lagrange, công thức Newton,…) 2.1.3 Trường hợp tổng quát: hàm nội suy x không thoả mãn giá trị hàm mốc nội suy mà thoả mãn giá trị đạo hàm cấp mốc / x0 f / x0 ; / x1 f / x1 ; … … // x0 f // x0 ; // x1 f // x1 ; … … Nghĩa ta tìm hàm nội suy f(x) thỏa mãn bảng giá trị sau: xi yi = f(xi) y /i = f /(xi) y //i = f //(xi) x0 y0 y/0 y//0 x1 y1 y/1 y//1 xn yn y/n y//n 2 TÍNH GIÁ TRỊ ĐA THỨC BẰNG SƠ ĐỒ HOOCNER 2.2.1 Tính giá trị đa thức sơ đồ Hoocner 2.2.1.1 Đặt vấn đề Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát : px a0 x n a1 x n1 an1 x an ; a0 Tính giá trị đa thức p(x) x = c (c: giá trị cho trước) 2.2.1.2 Phương pháp Áp dụng sơ đồ Hoocner nhằm làm giảm số phép tính nhân (chỉ thực n phép nhân), phương pháp phân tích sau: p(x) = ( (( a x + a1)x +a2)x+ + a n 1 )x + a n p(c) = ( (( a c + a1)c +a2)c+ + a n 1 )c + a n Suy ra: Đặt p0 a p = a c + a = p c + a1 p = p 1c + a pn pn1c an pc Sơ đồ Hoocner a0 p0 a1 a2 a n 1 an p0 c p1c pn2 c p n 1c p1 p2 p n 1 pn pc Ví dụ Cho px x 5x x x Tính p(-2) 10 Phần ngoặc vế phải khai triển định thức : a11 a12 a1(i 1) b1 a 21 a 22 a 2(i 1) b2 a n1 a n a n (i 1) bn a1n a n a nn Là định thức thu từ A cách thay cột thứ i cột phần tử bj Ký hiệu định thức Di A = D, ta có cơng thức nghiệm là: xi Di , i 1,2, , n D (5) Ví dụ Xét hệ phương trình x1 2 x1 5 x x2 3x 8x2 x3 x3 x3 1 Ta có định thức ma trận hệ số là: 1 1 D 2 Vậy hệ cho hệ Cramer Áp dụng công thức (5) 1 D1 18 ; 2 1 D2 1 14 ; 1 D3 8 Ta suy nghiệm hệ phương trình là: x1 D D1 D 9 , x , x3 4 D D D 5.3 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP GAUSS 5.3.1 Phƣơng pháp Gauss (Phƣơng pháp khử dần ẩn số) Đối với hệ phương trình tuyến tính mà số phương trình khác với số ẩn, số phương trình số ẩn định thức ma trận hệ số ta khơng áp dụng phương pháp Cramer Lúc ta phải dùng phương pháp nhà tốn Gauss tìm ra, gọi phương pháp khử dần ẩn số 5.3.2 Nội dung phƣơng pháp Gauss 58 Nội dung phương pháp thực dòng ma trận bổ sung A hệ phương trình (1) phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận dạng đặc biệt, phần tử nằm đường chéo Ta hệ phương trình tương đương với hệ phương trình cho Ta thể phương pháp Gauss ví dụ cụ thể sau: Ví dụ Giải hệ phương trình x1 4 x1 2 x 3x2 x2 x2 _ x3 x3 x3 x4 x4 1 Ta thực phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận bổ sung: 1 2 1 2 2 1 13 4 2 1 1 13 1 2 1 3 13 0 0 Ta đến hệ, phương trình cuối có dạng : 0x1 + x2 + 0x3 + 0x4 = - Rõ ràng phương trình vơ nghiệm, nên hệ cho vơ nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính x1 3x x3 x1 x x3 3x x x Biến đổi ma trận bổ sung sau: 1 A -2 -1 7 3 d1 d d 3d1 d3 d3 -11d2 d3 d3 1 1 3 11 3 - 28 10 26 10 - 84 Từ ma trận ta suy hệ phương trình sau tương đương với hệ phương trình cho: 59 x1 3x x3 x 3x3 10 28 x3 84 Vậy nghiệm hệ phương trình x1 2; x2 1; x3 Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính x1 x x3 x x x 2x 4x x1 x 3x3 x 12 x1 x x3 x 10 Để biến đổi ma trận bổ sung, trước hết ta đổi dòng thứ hai cho dòng thứ nhất, sau khử dần hệ số: 1 5 1 1 5 1 1 1 1 9 1 9 12 12 10 10 5 1 5 1 10 14 10 14 0 0 10 14 0 0 0 10 25 50 70 0 0 Vậy ta dẫn tới hệ phương trình tương đương : x1 x2 x3 x4 x2 x3 10 x4 14 Trong hệ phương trình ta giữ lại hai ẩn x1, x2 với định thức 1 2 ẩn lại chuyển sang vế phải làm ẩn tự giải x1, x2 theo ẩn số đó, ta được: x2 x3 x4 ; x1 x3 x4 2 Cho ẩn tự giá trị thực c, d tùy ý ta nghiệm tổng quát hệ phương trình phụ thuộc hai tham số: c d , c 5d , c , d 5.4 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LẬP ĐƠN: 5.4.1 Nội dung phƣơng pháp 60 Giả sử cần giải hệ phương trình sau: a11 x1 a12 x a1n x n b1 a x a x a x b 21 22 2n n a n1 x1 a n x a nn x n bn (1) Ax = b Nếu đưa dạng: x = Bx +d (2) B ma trận vuông cấp n thỏa mãn điều kiện sau: n max | bij | q 1 1) j j 1; n i 1 n max | bij | q 1 2) i n n ij i 1 j 1 (ii ) q1 Khi x x1 ; x2 , , xn lặp: i 1; n j 1 b 3) (i) 0 (iii ) tùy ý, dãy nghiệm xấp xỉ xây dựng công thức x k 1 Bx k d hay xik 1 bij x kj d i (3 ) Sự hội tụ sai số Chúng ta thừa nhận định lý sau: 5.4.2 Định lý Nếu đưa hệ (1) hệ tương đương (2) hệ có nghiệm x* lim xk = x* ( k ) Hơn ta có ước lượng sai số: | xi* xi( k ) | q max | x kj x kj 1 | ; q j n i n Thơng thường người ta chọn x0 = d Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp đơn: 61 (4 ) 1,02 x1 0,05 x2 0,10 x3 0,795 0,11x1 1,03 x2 0,05 x3 0,849 0,11x 0,12 x 1,04 x 1,398 Giải Ta đưa hệ phương trình dạng: x1 0,02 x1 0,05x2 0,10 x3 0,795 x2 0,11x1 0,03x2 0,05x3 0,849 x 0,11x 0,12 x 0,04 x 1,398 Vậy hệ phương trình có dạng x = Bx +d - 0,02 B 0,11 0,11 Trong 0,05 - 0,03 0,12 0,10 0,05 , - 0,04 0,795 d 0,849 1,398 Để kiểm tra điều kiện hội tụ, ta tính: b j 1 1j b j 1 2j b j 1 3j 0,02 0,05 0,10 0,17 ; 0,11 0,03 0,05 0,19 ; 0,11 0,12 0,04 0,27 ; Max bij Max{0,17; 0,19; 0,27} 0,27 nên phương pháp lặp hội tụ i j 1 Chọn xấp xỉ ban đầu véctơ gần véctơ d: x 0,80;0,85;1,40 Sau tính xấp xỉ công thức lặp x1k 0,02 x1k 1 0,05 x2k 1 0,10 x3k 1 0,795 k k 1 k 1 k 1 0,849 x2 0,11x1 0,03x2 0,05 x3 k k 1 k 1 k 1 x3 0,11x1 0,12 x2 0,04 x3 1,398 Kết cho bảng sau: 62 k x1k x2k x3k 0,800 0,962 0,978 0,980 0,850 0,982 1,002 1,004 1,400 1,532 1,560 1,563 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x1 = 0,980; x2 = 1,004; x3 = 1,563 với sai số | xi* xi( k ) | 0,27 3.103 1,1.103 ; 0,27 i 5.5 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP LẶP GAUSSS - SIEDEL 5.5.1 Nội dung phƣơng pháp Biến đổi hệ phương trình dạng: x B x g x x1 ; x2 ; ; xn ; g g1 ; g ; ; g n ; B bij n ; i, j n Cách biến đổi a11.x1 a12 x a1n x n b1 a1,n 1 a 21.x1 a 22 x a n x n b2 a 2,n 1 a m1 x1 a m1 x a mn x n bm a 2,n 1 Tổng quát: n x1 a1,n 1 a1 j / a11 j 1 j 1 n x a 2,n 1 a j / a 22 j j 1 n x n a n ,n 1 a nj / a nn j n j 1 n xi ,n 1 aij x j / aii j i j 1 Cho hệ phương trình xấp xỉ nghiệm ban đầu: x0 x10 ; x20 ; ; x00 Thay x0 vào (*) để tính: x1 x11 ; x12 ; ; x01 63 (*) n xi1 ,n 1 aij x 0j / aii j 1 Tương tự tính: j i x2 ; x3 ; n xik 1 ,n 1 aij x kj / aii j 1 Tổng quát: j i Quá trình lặp dừng thoả mãn tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối; xik 1 xik i 1, n Khi xk x1k ; x2k ; ; x0k nghiệm hệ phương trình 5.5.2 Điều kiện hội tụ Hệ phương trình có ma trận lặp B thoả mãn: n r1 max bij i j 1 n r2 max bij j i 1 n n r3 bij2 i 1 j 1 trình lặp hội tụ đến nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình x3 10 10 x1 x x1 10 x x3 12 x x 10 x Giải Biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình sau: - 0,2 x 0,1x3 x1 0,2 x3 1,2 x 0,1x1 x - 0,1x - 0,1 x 0,8 Ta có: x B x g , với: B 0,1 0,1 - 0,2 - 0,1 - 0,1 - 0,2 , 1,0 g 1,2 0,8 Để kiểm tra điều kiện hội tụ, ta tính: b j 1 1j 0,2 0,1 0,3 ; 64 b j 1 2j b j 1 3j 0,1 0,2 0,3 ; 0,1 0,1 0,2 ; Max bij Max{0,3; 0,3; 0,2} 0,3 (Thỏa mãn điều kiện hội tụ) i j 1 Áp dụng phương pháp Gauss - Siedel Chọn x0 0;0;0 ta có bảng kết sau: xi x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 1,00 0,68 0,754 0,733 0,738 0,737 0,737 x2 1,20 0,94 1,016 0,997 1,002 1,001 1,001 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x1 = 0,737; x2 = 1,001; x3 = 0,626 3 với xi xi 10 ; i 1,3 65 x3 0,80 0,58 0,638 0,623 0,627 0,626 0,626 BÀI TẬP CHƢƠNG GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài Giải hệ phương trình phương pháp Cramer x1 x x3 2 x1 x x3 - x x x 2 Bài Giải hệ phương trình phương pháp Cramer x1 x x3 2 2 x1 x x3 x x 3x 2 Bài Giải hệ phương trình phương pháp Cramer x1 x x3 2 x1 x x3 1 3x x x Bài Giải hệ phương trình phương pháp Cramer 8 - x1 x 3x1 x x3 - x x 1 Bài Giải hệ phương trình phương pháp Cramer 2 x1 x x3 x1 x x3 x x3 Bài Giải hệ phương trình phương pháp Cramer x1 x x3 31 5 x1 x x3 29 3 x x x 10 Bài Giải hệ phương trình phương pháp Gauss x1 x x3 x 2 x x x x 3 x1 x x3 3x 5 x1 x x3 3x Bài Giải hệ phương trình phương pháp Gauss x1 x x3 x 2 x x x x 13 x x3 x 3 x1 x x3 x 10 66 Bài Giải hệ phương trình phương pháp Gauss x1 2 x x1 3x 2 x1 x2 x2 3x2 x2 8x2 x3 x3 x3 x4 5x4 5x4 x4 x4 1 3 14 22 Bài 10 Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp Gauss –Siedel x1 0,24 x2 0,08 x3 0,09 x1 3x2 0,15 x3 0,04 x 0,08 x x3 20 Bài 11 Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp Gauss –Siedel 10 x1 x2 x3 15 2 x1 10 x2 x3 25 2 x x 10 x 36 Bài 12 Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp Gauss –Siedel 5 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x x 5x Bài 13 Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp Gauss –Siedel 10 x1 x2 x3 x1 10 x2 x3 13 - x x 10 x 26 Bài 14 Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp Gauss –Siedel 8 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x x x Bài 15 Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp Gauss –Siedel 5 x1 x2 x3 x1 x2 x3 2 x x x 67 Chƣơng GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 6.1 KHÁI NIỆM - Trong kỹ thuật, kinh tế có nhiều tốn liên quan đến phương trình vi phân thường cần giải - Một số phương trình vi phân thường đơn giản có lời giải xác Vì vậy, phương pháp giải gần phương trình vi phân có ý nghĩa quan trọng việc giải toán thực tế - Bài tốn phương trình vi phân thường thực tế chia làm loại Đó là: toán Cauchy toán biên 6.1.1 Bài toán Cauchy (Bài toán trị ban đầu) Đây toán dạng phương trình vi phân với điều kiện bổ sung cho không điểm phát biểu dạng phương trình vi phân cấp sau: Bài tốn Tìm hàm y yx xác định đoạn x0 ; x thoả: y / f x, y ; x x x ; yx0 y0 Trong đó: f x, y hàm số biết; y0 số thực cho trước 6.1.2 Bài toán biên Đây toán dạng phương trình vi phân với điều kiện bổ sung cho nhiều điểm phát biểu dạng phương trình vi phân cấp sau: Bài tốn Tìm hàm y yx xác định đoạn a, b thoả: y // px y / qx y f x; a x b ; với điều kiện: ya ; yb 6.1.3 Phƣơng pháp giải tốn phƣơng trình vi phân 6.1.3.1 Phương pháp giải tích Phương pháp giải tích phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân dạng biểu thức giải tích 6.1.3.2 Phương pháp số Phương pháp số phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân dạng bảng số tìm nghiệm số điểm mà thơi 6.2 GIẢI BÀI TỐN CAUCHY BẰNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH - Giải tốn cách sử dụng chuỗi Taylor: f x f x0 // k f / x0 x x0 f x0 x x0 2 f x0 x x0 k 1! 2! k! - Ta có: yx0 y0 f x0 ; y / x0 f / x0 f x0 ; y0 x0 f x0 ; y0 / f f / f f y // y / y y // x0 x0 ; y0 x0 ; y0 f x0 ; y0 x y x y Ví dụ Tìm nghiệm gần phương trình vi phân: 68 (*) y / 2x y2 với điều kiện y0 Giải Tìm nghiệm dạng chuỗi Taylor: Theo đề bài, ta có: y0 , yx0 y0 nên: x0 0; f x0 y0 ; y / f x, y x y Nên áp dụng công thức: (1) y / x0 f / x0 f x0 ; y0 x0 f x0 ; y0 Ta có: f / x0 f x0 ; y0 y / 0 2.0 12 Đạo hàm hai vế (1) ta được: y // yy / Do đó: y 0 2.1.0 Đạo hàm hai vế (3) ta có: (2) (3) // y /// y y / y / y y / y y // y /// 0 2.0 2.1.2 Do đó: Tiếp tục ta tính được: / / y 4 8; Thay vào (*) ta có: f x x x3 x 3 6.3 GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ - Giải toán x0 ; x chia thành n đoạn có độ dài h nhau: h x x0 điểm chia xi : n xi x0 i.h; i 1, n - Theo công thức Taylor: // f / xi x xi f ci x xi 2 1! 2! f x f xi Trong đó: ci xi x xi ; Thay x xi 1 vào (i) ta có: f xi 1 f xi h f xi ; yxi h2 // y ci (i) (ii) Gọi yi giá trị gần hàm f(x) giá trị xi h // y ci bé nên bỏ qua được) y Công thức (ii) thay f xi yi fi ta có: ( h bé, suy yi 1 yi hf xi , yi (iii) Cơng thức (iii) cho phép tính giá trị gần f(x) xi+1 biết giá trị gần hàm xi Tiếp tục ta tính y2; y3; ;yn (Đây phương pháp Ơ le) 69 Ví dụ Tìm nghiệm gần phương trình vi phân: x y (1) thoả mãn y0 đoạn 0; 2 x y Giải Theo đề ; x0 0; x ; y0 f x, y 2 Chọn h 0,1 Áp dụng liên tiếp công thức (iii) ta bảng kết sau: y/ i xi yi 0,0 1,0 0,1 1,0 0,2 1,005 0,3 1,0151 0,4 1,0303 0,5 1,0510 Sai số mắc phải là: h 0,01 f(xi;yi) 0,0 0,05 0,1005 0,1523 0,2067 0,2627 70 h.f(xi;yi) 0,0 0,005 0,0101 0,0152 0,0207 0,0263 yxi e 1,0 1,0025 1,0100 1,0227 1,0408 1,0645 xi2 BÀI TẬP CHƢƠNG GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG Bài Tìm nghiệm gần y(x) x = 1,1 phương trình vi phân: y/ với điều kiện y1 y x y (1) (2) Hướng dẫn: f x x 1 x 12 x 13 27 81 Đáp số: y(1,1) ≈ 2,06584 Bài Tìm nghiệm gần phương trình vi phân: y/ y thoả mãn y0 2x ; x 1 y (1) (2) Hướng dẫn: Bài toán có nghiệm là: y x 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Minh Chương (Chủ biên), Giải tích số, NXB GIÁO DỤC, H 2001 [2] Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính thuật toán, NXB GD, H 2001 [3] Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp tính, NXB GD, H 2001 [4] Dương Thủy Vỹ, Giáo trình phương pháp tính, NXB KHKT Hà Nội, H 2007 [5] Phạm Phú Triêm - Nguyễn Bường, Giải tích số, NXBĐH QG HÀ NỘI, H 2000 [6] Đặng Quốc Lương, Phương pháp tính kỹ thuật, NXB Xây dựng Hà Nội, H 2001 72 ... quát : p(x) c =-1 -2 -2 -1 -2 -4 p1(x) 2 -2 -3 -2 -2 -4 -2 -7 11 -2 -4 -2 -1 1 -2 -4 -4 -2 10 c =-1 Vậy an pn-1.c pn =p(c) =bn p2(x) c =-1 p3(x) c =-1 p4(x) c =-1 p5(x) c =-1 -6 -2 -8 p y 1... x-xj = h.(t-j) xi-xj = h.(i-j) x-x0 = h.t xi-x0 = h.i 13 x-x1 = h.(t-1) xi-x1 = h.(i-1) i-1 x-xi-1 = h.[t-(i-1)] xi-xi-1 = h i+1 x-xi+1 = h.[t-(i+1)] xi-xi+1 = -h x-xn = h.(t-n) xi-xn = -h.(n-i)... biết f(x) thoả mãn: xi i yi i Giải Xây dựng bảng nội suy Ayken -1 2.5 -1 -2 -3 -4 60 1.5 -1 -2 -3 -9 0.5 -1 -2 -0 .5 -1 -1 .5 -3 6 16 W(3.5) = (2,5).(1,5).(0,5). (-0 ,5) (-1 ,5) = 1,40625