ly thuyet cac dang toan va bai tap bat phuong trinh bac nhat mot an

Chương IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Bài 1: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG Bài 2: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Với ba số a, b, c ta có: + Nếu a b a + c > b + c; + Nếu a ≤ b a + c ≤ b + c; + Nếu a ≥ b a + c ≥ b + c; + Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho Với ba số a, b c mà c > , ta có: + Nếu a b ac > bc , a ≥ b ac ≥ bc Với ba số a, b c mà c < , ta có: + Nếu a bc , a ≤ b ac ≥ bc; + Nếu a > b ac < bc , a ≥ b ac ≤ bc + Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho + Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: BIỂU THỊ THỨ TỰ CÁC SỐ Phương pháp giải + a < b : Đọc a nhỏ b + a ≤ b : Đọc a nhỏ b + Chú ý đến quy tắc cộng nhân hai vế bất đẳng thức cho số Ví dụ ( Bài 1, trang 37 SGK) Bất đẳng thức biểu thị thứ tự số ? Vì sao? b) −6 ≤ ( −3) ; a) ( −2 ) + ≥ 2; c) + ( −8 ) < 15 + ( −8 ) ; d) x + ≥ Giải a) ( −2 ) + ≥ sai ≥ bất đẳng thức sai b) −6 ≤ ( −3) −6 =−6 c) + ( −8 ) < 15 + ( −8 ) từ < 15 cộng vào hai vế bất đẳng thức cho −8 d) x + ≥ x ≥ với x Ví dụ ( Bài 4, trang 37 SGK) Đố Một biển báo giao thông với trắng, số 20 màu đen, viền đỏ ( xem hình bên) cho biết vận tốc tối đa mà phương tiện giao thông quãng đường có biển quy định 20km / h Nếu ơtơ đường có vận tốc a(km / h) a phải thỏa mãn điều kiện điều kiện sau: a ≥ 20? a > 20; a < 20; a ≤ 20; Tốc độ tối đa cho phép Đáp số a ≤ 20 Ví dụ ( Bài 5, trang 39 SGK) Bất đẳng thức biểu thị thứ tự số ? Vì sao? a) ( −6 ) < ( −5 ) 5; b) ( −6 ) ( −3) < ( −5 ) ( −3) ; c) ( −2003) ( −2005 ) ≤ ( −2005 ) 2004; d) −3 x ≤ Giải a) Bất đẳng thức đúng, từ −6 < −5 > nên ( −6 ) < ( −5 ) b) Bất đẳng thức sai, từ −6 < −5 −3 < nên: ( −6 ) ( −3) > ( −5 ) ( −3) c) Bất đẳng thức cho sai, vế trái số dương vế phải âm d) Bất đẳng thức x ≥ nên −3.x ≤ với x Ví dụ ( Bài 7, trang 40 SGK) Số a số âm hay số dương nếu: 12a < 15a; 4a < 3a; − 3a > −5a ? - Vì 12 < 15 nên từ 12a < 15a suy a > - Vì > nên từ 4a < 3a suy a < - Vì −3 > −5 nên từ −3a > −5a suy a > Ví dụ ( Bài 9, trang 40 SGK) Cho tam giác ABC Các khẳng định sau hay sai:      a) A + B + C > 1800 ; b) A + B < 1800 ;     c) B + C ≤ 1800 ; d) A + B ≥ 1800    a) A + B + C > 1800 bất đẳng thức sai b) , c) đúng, d) Sai Ví dụ (Bài 10, trang 40 SGK) Giải a) So sánh ( −2 ) −4,5 b) Từ kết câu a) chứng minh đẳng thức sau: ( −2 ) 30 < −45; ( −2 ) + 4,5 < Giải a) Ta có ( −2 ) = −6 < −4,5 suy ( −2 ) < −4,5 b) Theo a) ( −2 ) < −4,5 10 > nên: ( −2 ) 3.10 < −4,5.10 ⇒ ( −2 ) 30 < −45 Mặt khác: ( −2 ) < −4,5 ⇒ ( −2 ) + 4,5 < −4,5 + 4,5 ⇒ ( −2 ) + 4,5 < Dạng SO SÁNH HAI PHÂN SỐ Phương pháp giải Sử dụng quy tắc cộng nhân hai vế bất đẳng thức cho số Ví dụ (Bài 2, trang 37 SGK) Giả sử a < b , so sánh: a) a + b + b) a − b − Giải a) Ta có a < b suy a + < b + b) Ta có a < b suy a − < b − Ví dụ (Bài 3, trang 37 SGK) So sánh a b nếu: a) a − ≥ b − b) 15 + a ≤ 15 + b Giải a) Từ a − ≥ b − suy ( a − ) + ≥ ( b − ) + ⇒ a ≥ b b) Từ 15 + a ≤ 15 + b ⇒ (15 + a ) + ( −15 ) ≤ (15 + b ) + ( −15 ) ⇒ a ≤ b Ví dụ (Bài 6, trang 39 SGK) Giả sử có a nên 2a < 2b - Ta có a ( −1) b ⇒ −a > −b Ví dụ 10 (Bài 13, trang 40 SGK) So sánh a b nếu: a) a + −3b c) 5a − ≥ 5b − d) −2a + ≤ −2b + Giải a) a + −3b − < nên ( −3a )  −  < ( −3b )  −  ⇒ a < b  3  3 c) 5a − ≥ 5b − ⇒ ( 5a − ) + ≥ ( 5b − ) + ⇒ 5a ≥ 5b 1 ⇒ ( 5a ) ≥ ( 5b ) ⇒ a ≥ b 5 d) −2a + ≤ −2b + ⇒ ( −2a + 3) + ( −3) ≤ ( −2b + 3) + ( −3)  1  1 ⇒ −2a ≤ −2b ⇒ ( −2a )  −  ≥ ( −2b )  −   2  2 ⇒ a ≥ b Ví dụ 11 (Bài 14, trang 40 SGK) Cho a b > , so sánh hai số: • x= 1+ a 1+ b y = 1+ a + a + b + b2 Giải Ta có x > 0, y > và: 1 + a + a2 1 a2 1+ 1+ 1+ = = = = 1 a + 1+ a 1+ a x + 2 a a a 1 = 1+ 1 y + b2 b Vì a > b > nên 1 1 1 1 < ⇒ + < + ⇒ > ⇒ x < y a b a a b b x y Dạng CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta thường sử dụng phương pháp sau: Lập hiệu A − B chứng minh hiệu khơng âm, tức A − B ≥ Lưu ý: C + D + + F ≥ 0, C ≥ 0, D ≥ 0, , F ≥ Phương pháp biến đổi tương đương: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức Ví dụ 13 (Bài 11, trang 40 SGK) Cho a < b, chứng minh: b) −2a − > −2b − a) 3a + < 3b + Giải a) a −2b ⇒ −2a − > −2b − Ví dụ 14 (Bài 12, trang 40 SGK) Chứng minh: a) ( −2 ) + 14 < ( −1) + 14 b) ( −3) + < ( −3) ( −5 ) + Giải a) Ta có: −2 < −1 ⇒ ( −2 ) < ( −1) ⇒ ( −2 ) + 14 < ( −1) + 14 b) Ta có: > −5 ⇒ ( −3) < ( −3) ( −5 ) ⇒ ( −3) + < ( −3) ( −5 ) + ≥2 a Ví dụ 15 a) Cho a > , Chứng minh rằng: a + a + b2 ≥ ab Giải b) Cho a, b tùy ý, chứng minh rằng: a) Lập hiệu : a + − Ta có: a a + − 2a a= + −2 = a a Vì ( a − 1) ≥ a > nên ( a − 1) ( a − 1) a a ≥ Do đó: a + 1 − ≥ , suy a + ≥ a a a + b2 a + b − 2ab ( a − b ) a + b2 b) = − ab = ≥0⇒ ≥ ab 2 2 Ví dụ 16 Với x, y, z chứng minh rằng: a) x + y + z ≥ xy + yz + zx b) x + y + z ≥ xy − xz + yz c) x + y + z + ≥ ( x + y + z ) Giải a) Ta có: x + y + z − xy + yz + zx = ( ) ( ) ( ) = 1 x − xy + y + y − yz + z + z − zx + x  2 = 1 2 x − y) + ( y − z ) + ( z − x)  ≥ (  2 Vì ( x − y ) ≥ 0, ( y − z ) ≥ 0, ( z − x ) ≥ 2 Do đó: x + y + z ≥ xy + yz + zx Dấu xảy x= y= z b) Ta có: x + y + z − ( xy − xz + yz ) = = x + y + z − xy + xz − yz = Do x + y + z ≥ xy − xz + yz (x − y + z) ≥0 c) Ta có: x + y + z + − ( x + y + z ) = (x = ) ( ) ( ) − 2x +1 + y2 − y +1 + z2 − 2z +1 = ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) 2 Vì ( x − 1) ≥ 0, ( y − 1) ≥ 0, ( z − 1) ≥ 2 Do x + y + z + ≥ ( x + y + z ) Dấu xảy x= y= z= Dạng SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp giải Phương pháp thường sử dụng để chứng minh bất đẳng thức có vế tổng tích hữu hạn Áp dụng tính chất thứ tự để biến đổi tổng tích hữu hạn tổng tích khác mà việc tính tốn đơn giản Ví dụ 17 Cho n số nguyên lớn 1, chứng minh bất đẳng thức sau: a) 1 1 + + + + > n +1 n + n + 2n b) 1 1 + + + + < − 2 n n Giải a) Ta có: 1 (vì n + < 2n ) > n + 2n Tương tự : Do đó: 1 1 1 > ; > ; ; > n + 2n n + 2n 2n − 2n 1 1 1 1 + + ; > + + + = n = n +1 n + 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 + + ; > n +1 n + 2n b) Với k = 2, 3, , n ta có: Vậy : 1 1 < ⇒ 2< − k ( k − 1) k k k − k Lần lượt cho k = 2, 3, , n (1) cộng lại ta được: 1 1 1  1 1 1  + + + + < + 1 −  +  −  + +  −  2 n  2  3  n −1 n  Hay : 1 1 + + + + < − 2 n n (1) Dạng ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT Phương pháp giải • Giả sử f ( x ) ≤ k ( k số) dấu xảy x = a giá trị lớn f ( x ) k x = a , kí hiệu maxf ( x ) = k x = a • Giả sử f ( x ) ≥ k ( k số) dấu xảy x = a giá trị nhỏ f ( x ) k x = a , kí hiệu minf ( x ) = k x = a • Ví dụ 18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = ( x − 1)( x + )( x + 3)( x + ) b) B = x − + x − + x − Giải a) A = ( x − 1)( x + )  ( x + )( x + 3)  = ( = x2 + 5x ) (x )( + 5x − x2 + 5x + ) − 36 hay Vì ( x + x ) ≥ với x nên A ≥ −36 Vậy A = −36 x + x = x = x = −5 b) Áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối: a + b ≥ a + b dấu xảy ab ≥ Ta có: x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = dấu xảy ( x − 1)( − x ) ≥ hay ≤ x ≤ Mặt khác x − ≥ , dấu xảy x = Vậy B = x − + x − + x − ≥ + = Dấu xảy x = , B = x = Ví dụ 19 Tìm giá trị lớn biểu thức: a) C= x + y biết x + y = b) D = 2x +1 x2 + Giải a) Ta có: C =( x ) + ( y ) =( x + y )( x − x y + y ) 3 Vì x + y = nên C = x + y − x y = ( x + y ) − x y 2 = − 3x y ≤ Dấu xảy x = hay y = Vậy maxC = x = 0, y = ±1 y = 0, x = ±1 ( x − 1) ≤ Dấu xảy x = x2 + − x2 + 2x −1 b) Ta có: D = = 1− x +2 x +2 Vậy max D = x = C LUYỆN TẬP (Dạng 1) Bất đẳng thức biểu thị thứ tự số ? Vì ? b) ( −3) > −16 a) −7 ≤ −6 − c) 12 < ( −3) d) ( −2 ) > ( −7 )( −2 ) (Dạng 2) a) So sánh a − a ; −2b −2b + b) Cho a b > , chứng minh 1 < a b (Dạng 3) a) Cho a < b c < d , chứng minh a + c < b + d b) a, b, c, d dương a < b, c < d Chứng minh ac < bd (Dạng 3) Chứng minh bất đẳng thức: a) ( x + y ) ≤ ( x + y ) b) x + y + z + ≥ ( x + y + z ) x2 + y + z  x + y + z  ≥  3   c) (Dạng 2) Cho a, b dấu, so sánh hai số (1 + a )(1 + b ) + a + b (Dạng 4) Chứng minh bất đẳng thức: a) 1 1 + + + < 1.3 3.5 ( 2n − 1) ( 2n + 1) b) 1 1 + + + + < (với n > ) 2 n 1 99 < < 15 100 10 10 (Dạng 5) Chứng minh hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số c) < x ) b) C= x + 12 (Dạng 5) Tìm giá trị nhỏ lớn D = (với x > ) x −1 4x + x2 + BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Nghiệm bất phương trình: x = a gọi nghiệm bất phương trình ta thay x = a vào hai vế bất phương trình bất đẳng thức Tập nghiệm bất phương trình: Tập nghiệm bất phương trình tất giá trị biến x thỏa mãn bất phương trình Biểu diễn tập nghiệm: • • • • { x / x > a} : { x / x < a} : { x / x ≥ a} : { x / x ≤ a} : B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1.KIỂM TRA x = a CĨ LÀ NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG Phương pháp giải Bằng cách thay x = a vào hai vế bất phương trình, bất đẳng thức x = a nghiệm bất phương trình, cịn bất đẳng thức sai x = a khơng nghiệm bất phương trình Ví dụ (Bài 15, trang 43 SGK) Kiểm tra xem giá trị x = nghiệm bất phương trình bất phương trình sau: a ) 2x+3 < ; b) − x > x + ; c) − x > x − 12 Giải a ) Thay x = vào hai vế (vế trái : VT ; vế phải : VP) bất phương trình ta có VT = 2.3 + 3= ; VP = Vậy x = khơng nghiệm bất phương trình −4.3 = −12 ; VP = 2.3 + 5= 11 Vì −12 < 11 nên x = b) Với x = , ta có: VT = khơng nghiệm bất phương trình 3.3 − 12 = −3 Vì > −3 nên x = nghiệm c) Với x = , ta có: VT = − = ; VP = bất phương trình Dạng BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải • • • • { x / x > a} : { x / x < a} : { x / x ≥ a} : { x / x ≤ a} : Ví dụ (Bài 16 , trang 43 SGK) Viết kí hiệu biểu diễn tập nghiệm bất phương trình sau trục số: a ) x < 4; b) x ≤ − 2; c) x > − 3; d ) x ≥ Giải a ) { x / x < 4} : b) { x / x ≤ −2} : c) { x / x > −3} : d) { x / x ≥ 1} : Ví dụ (Bài 17 , trang 43 SGK) Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình nào? a) x ≤ ; Giải b) x > ; c) x ≥ ; d ) x < −1 a) x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ b) −3 x ≤ −7 x + ⇔ −3 x + x ≤ ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ Ví dụ (Bài 32 , trang 48 SGK) Giải bất phương trình : a) x + ( x + 1) > x − ( x − ) b) x ( x − 1) > ( x − )( x + 3) Giải a) x + ( x + 1) > x − ( x − ) ⇔ x + x + > x − x + ⇔ 8x > ⇔ x > 3  = S x / x >  Vậy 8  b) x ( x − 1) > ( x − )( x + 3) ⇔ 12 x − x > 12 x + x − x − ⇔ −3x > −6 ⇔ x < Vậy = S { x / x < 2} Dạng BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM TRÊN TRỤC SỐ Phương pháp giải • : • : • : • : Ví dụ (Bài 22, trang 47 SGK ) Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số a) 1, x < −6 ; b) x + > x + Giải a) 1, x < −6 ⇔ x < ( −6 ) :1, ⇔ x < −5 = S { x / x < −5} : -5 ) x b) x + > x + ⇔ x − x > −4 + ⇔ x > −1 = S -1 { x / x > −1} : x ( Ví dụ 10 (Bài 23 , trang 47 SGK) Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số : b) x + < a) x − > ; c) − x ≤ ; d) − x ≥ Giải 3  = S x / x >  a) x − > ⇔ x > ⇔ x > Vậy 2  x ( b) x + < ⇔ x < −4 ⇔ x < − -1 - 4  = S x / x < −  Vậy 3  x ) 4  c) − x ≤ ⇔ −3 x ≤ −4 ⇔ x ≥ = S x / x ≥  4  3 x [  d) − x ≥ ⇔ −2 x ≥ −5 ⇔ x ≤ = S x / x ≤  5  2 x ] Ví dụ 11 (Bài 26, trang 47 SGK) Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình ? ( Kể ba bất phương trình có tập nghiệm ) a) b) 12 ] [ x x Giải a) { x / x ≤ 12} tập nghiệm ba bất phương trình sau : x ≤ 24 ; x + ≤ 13 ; b) { x / x ≥ 8} − x + ≥ −11 tập nghiệm ba bất phương trình sau : x ≥ 16 ; x + ≥ 10 ; − x ≤ −8 ; Ví dụ 12 (Bài 31, trang 48 SGK ) Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số : 15 − x − 11x a) b) >5 ; < 13 x−4 − x − 2x c) ( x − 1) < d) < Giải 15 − x a) > ⇔ 15 − x > 15 ⇔ −6 x > ⇔ x < = S b) = S c) = S d) = S ) { x / x < 0} : x − 11x < 13 ⇔ − 11x < 52 ⇔ −11x < 44 ⇔ x > −4 -4 ( { x / x > −4} : x x−4 ⇔ ( x − 1) < ( x − ) ⇔ x − < x − ⇔ x < −5 ( x − 1) < { x / x < −5} : -5 ) x − x − 2x < ⇔ ( − x ) < ( − x ) ⇔ 10 − x < − x ⇔ x < −1 { x / x < −1} : -1 ) x Dạng BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Phương pháp giải • Hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm •Các quy tắc chuyển vế quy tắc nhân biến đổi bất phương trình tương đương với bất phương trình ban đầu Ví dụ 13 (Bài 21, trang 47 SGK ) Giải thích tương đương : a) x − > ⇔ x + > ; b) − x < ⇔ x > −6 Giải a)Cách Ta có : x − > ⇔ x > 4; x + > ⇔ x > Vậy x − > ⇔ x + > hai bất phương trình có tập nghiệm { x / x > 4} Cách 2.Cộng hai vế x − > cho ta x + > b) − x < ⇔ ( −3) ( − x ) > ( −3) ⇔ x > −6 Hai bất phương trình có tập nghiệm { x / x > −2} Ví dụ 14 (Bài 34 , trang 49 SGK ) Đo Tìm sai lầm ‘’ lời giải ‘’ sau : a) Giải bất phương trình −2 x > 23 Ta có : −2 x > 23 ⇔ x > 23 + ⇔ x > 25 Vậy nghiệm bất phương trình x > 25 b)Giải bất phương trình − x > 12 Ta có :  7    7 − x > 12 ⇔  −   − x  >  −  12 ⇔ x > −28  3    3 Vậy nghiệm bất phương trình x > −28 Giải a)Sai lầm lời giải biến đổi : −2 x > 23 ⇔ x > 23 + 23 Biến đổi : −2 x > 23 ⇔ x < − b)Sai lầm lời giải nhân cho số âm − hai vế bất phương trình mà khơng đổi chiều bất đẳng thức Biến đổi :      − x > 12 ⇔  −  − x  <  −  12      Dạng BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải • Gọi x ẩn cần tìm , tìm điều kiện cho x • Lập bất phương trình theo u cầu đề • Giải bất phương trình để tìm x Ví dụ 15 ( Bài 30 , trang 48 SGK ) Một người có số tiền khơng q 70000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá : loại 2000 đồng loại 5000 đồng Hỏi người có tờ giấy bạc loại 5000 đồng Giải Gọi x số tờ giấy bạc loại 5000 đồng ( x nguyên dương ) Số tờ giấy bạc loại 2000 đồng : 15 – x Số tiền người có : 5000 x + 2000(15 − x) Theo đề ta có : 5000 x + 2000(15 − x) ≤ 70000 ⇔ 3000 x ≤ 40000 ⇔ x ≤ 40 Vì x nguyên nên x ≤ 13 Vậy số tờ giấy bạc loại 5000 khơng vượt q 13 Ví dụ 16 (Bài 33, trang 48 SGK ) Đố Trong kì thi , bạn Chiến phải thi bốn môn Văn , Tốn, Tiếng Anh Hóa Chiến thi ba mơn kết bảng sau : Môn Văn Tiếng Anh Hóa Điểm 10 Kì thi quy định muốn đạt loại giỏi phải có điểm trung bình mơn thi trở lên khơng có môn bị điểm Biết môn Văn Tốn tính hệ số Hãy cho biết , để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi mơn Tốn ? Giải Gọi x điểm thi mơn Tốn Chiến ( x ≥ ) Điểm trung bình mơn thi Chiến : x + 33 ( 2.x + 2.8 + + 10 ) : = Theo đề ta có bất phương trình : x + 33 ≥ ⇔ x + 33 ≥ 48 ⇔ x ≥ 15 ⇔ x ≥ 7,5 Vậy để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi mơn Tốn 7,5 điểm C LUYỆN TẬP (Dạng 3) , Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số : b) x + 18 > ; a) x − ≤ ; c) − x < ; d) −11 − x ≥ ; (Dạng 2) Giải bất phương trình sau : a) x − 3a ≥ ; b) a + − x ≥ 0; c) ( a − 1) x + 2a + < với a > ; (Dạng 2).Với a số cho trước , giải bất phương trình sau : d) ( 2a + 1) x − − a ≥ với a < − a) ( a + 1) x + a − < ; b) ( a − 2a + ) x ≥ 2a + ; c) ( 2a − a − ) x + ≤ ; (Dạng 2) a) Tìm nghiệm nguyên dương bất phương trình : 17 − x ≥ ; b)Tìm nghiệm nguyên âm bất phương trình : x + 13 > ; c) Tìm nghiệm tự nhiên bất phương trình : x − 19 ≤ Định m để bất phương trình : ( m − 4m + 3) x + m − m < có nghiệm với x PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A TĨM TẮT LÍ THUYẾT • Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để rút gọn : • Giải phương trình khơng có dấu giá trị tuyệt đối •Chọn nghiệm thích hợp trường hợp xét •Tính chất : B CÁC DẠNG TỐN Dạng PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải 1.Phương trình dạng : a) (*) trở thành : (*) (2) Giải (2) chọn nghiệm thỏa (1) ta nghiệm (*) b) (3) : (*) trở thành : (4) Giải (4) chọn nghiệm thỏa (3) ta nghiệm (*) c) Kết luận : Nghiệm (*) tất nghiệm vừa tìm trường hợp 2.Phương trình dạng : (**) (**) 3.Phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối : Ta xét dấu khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ (Bài 35, trang 51 SGK ) Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức : a) A = x + + x hai trường hợp : x ≥ x < ; b) B = −4 x − x + 12 hai trường hợp : x ≤ x > ; c) C = x − − x + 12 x > ; d) D = x + + x + Giải a) Với x ≥ ta có A = x + + x = x + Với x < ta có A =3 x + − x =−2 x + −4 x − x + 12 = −6 x + 12 b) Với x ≤ ta có B = Với x > ta có B = x − x + 12 = x + 12 c) Với x > ta có C =x − − x + 12 =− x + d) Với x ≥ −5 ta có D = x + + x + = x + Với x < −5 ta có D = x + − x − = x − Ví dụ 2.(Bài 36, trang 51 SGK) Giải phương trình: a) x = x − 6; b) −3x =x − 8; c) 4= x x + 12; d ) −5 x − 16 = 3x Giải a) Với x ≥ ta có x = x − ⇔ x = x − ⇔ x = −6 (loại) Với x < ta có x = x − ⇔ −2 x = x − ⇔ x = (loại) Vậy S = ∅ b) Với x ≥ ta có −3 x = x − ⇔ x = x − ⇔ x = −4 (loại) Với x < ta có −3 x = x − ⇔ −3 x = x − ⇔ x = (loại) Vậy S = ∅ c) Với x ≥ ta có x = x + 12 ⇔ x = x + 12 ⇔ x = (loại) Với x < ta có x = x + 12 ⇔ −4 x = x + 12 ⇔ x = −2 (loại) {−2;6} {8; − 2} Vậy S = S d) = Ví dụ (Bài 37, trang 51 SGK) Giải phương trình: a) x − = x + 3; b) x + = x − 5; c) x + = 3x − 1; d ) x − + 3x = Giải a) Với x ≥ ta có x − = x + ⇔ x − = x + ⇔ x = −10 (loại) Với x < ta có x − = x + ⇔ − x + = x + ⇔ x = Vậy S =   3 (nhận) b) Với x ≥ −4 ta có x + = x − ⇔ x + = x − ⇔ x = (nhận) (loại) Với x < −4 ta có x + = x − ⇔ − x − = x − ⇔ x = Vậy S = {9} c) Với x ≥ −3 ta có x + = x − ⇔ x + = x − ⇔ x = (nhận) Với x < −3 ta có x + = x − ⇔ − x − = x − ⇔ x = Vậy S = {2} −1 (loại) d) Với x ≥ ta có x − + x =5 ⇔ x − + x =5 ⇔ x = (loại) Với x < ta có x − + x =5 ⇔ − x + + x =5 ⇔ x = (nhận) Vậy S =   2 Ví dụ Giải phương trình: b) x − + − x = 3; a) x + − = 5; c) − x = x − Giải a) x + − =5 ⇔ x + − =±5 = x +1 = x • x +1 −1 = ⇔ x +1 = ⇔  ⇔  x + =−6  x =−7 • x + − =−5 ⇔ x + =−4 Vơ nghiệm (vì x + ≥ ) Vậy tập nghiệm phương trình: S = b) {−7;5} x +1 + − x = (1) x x −1 1− x x −1 x −1 2− x 2− x 2− x x−2 x +1 + − x − 2x 1 i) x < : (1) trở thành: − x = ⇔ x = ⇔ x = (nhận); ii) ≤ x ≤ : (1) trở thành: = 3!! : Phương trình vô nghiệm; iii) x > : (1) trở thành: x − = ⇔ x = ⇔ x = (nhận); 2x − Vậy tập nghiệm phương trình: S = {0;3} ±b , ta có: c) Cách Áp dụng a =b ⇔ a =  x= 2 − x = x −  − x = 2x − ⇔  ⇔  2 − x = − x x = Vậy S = 1;   3 2 Cách Áp dụng a = b ⇔ a =b , ta có : − x = x − ⇔ ( − x ) = ( x − 3) ⇔ ( − x ) − ( x − 3) = 2 2  x= 5 − x = ⇔ ( − x )( x − 1) = ⇔  ⇔   x − =0 x = Vậy S = 1;   3 Dạng BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải Áp dụng số tính chất: A ≤ B ⇔ − B ≤ A ≤ B; A ≥ B ⇔ A ≥ B A ≤ − B A ≥ B ⇔ A2 − B ≥ ⇔ ( A − B )( A + B ) ≥ Nếu bất phương trình có nhiều dấu giá trị tuyệt đối xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Giải bất phương trình: a) x − < x + 1; b) x − > c) x − + x − > x + Giải a) Cách (Dùng định nghĩa) i) Nếu x ≥ x − ≥ x − = x − Khi đó: x +1 ; 2 x − < x + ⇔ x − < x + ⇔ x < Vậy: ≤ x ≤ (1) x − < x − =1 − x Khi đó: 2 x − < x + ⇔ − x < x + ⇔ 3x > ⇔ x > ii) Nếu x < Vậy: < x < (2) Kết hợp (1) (2) ta nghiệm: < x < Cách (Dùng tính chất) Ta có: x − < x + ⇔ − x − < x − < x +  − x − < x − 0 < x ⇔ ⇔ ⇔ < x < 2 x − < x + x < b) Cách (Dùng định nghĩa) i) Nếu x ≥ x − ≥ x − = x − Khi đó: x−2 > x +1 x +1 ⇔ x−2> ⇔ x − > x + ⇔ x > (nhận) 2 ii) Nếu x < − x > x +1 ⇔ − x > x + ⇔ x < (nhận) Vậy nghiệm bất phương trình: x < x > Cách (Dùng tính chất) x +1  − > x  2 x − > x + x > x +1 Ta có: x − > ⇔ ⇔ ⇔  x − < − x −  x < x − < − x +1  c) x − + x − > x + ( 1) i) x < : (1) trở thành: − x > x + ⇔ x < ⇔ x < (nhận); ii) ≤ x ≤ : (1) trở thành: > x + ⇔ x < −2 (loại); iii) x > : (1) trở thành: x − > x + ⇔ x > (nhận) Vậy nghiệm bất phương trình: x < x > ÔN TẬP CHƯƠNG IV A BÀI TẬP ÔN TRONG SGK 38.Cho m > n Chứng minh : a )m + > n + 2; c)2m − > 2n − 5; b) − 2m < −2n; d )4 − 3m < − 3n Giải a) Áp dụng tính chất: Nếu a > b a + c > b + c , ta có: m > n⇒ m+2> n+2 b) m > n ⇒ ( −2 ) m < ( −2 ) n ⇒ −2m < −2n c) m > n ⇒ 2m > 2n ⇒ 2m − > 2n − d) m > n ⇒ −3m < −3n ⇒ − 3m < − 3n 39 Kiểm tra xem −2 nghiệm bất phương trình bất phương trình sau : a ) − x + > −5; b)10 − x < 2; c) x − < 1; d) x < 3; e) x > 2; f ) x + > − x Giải Thay x = −2 vào bất phương trình ta thấy: a); c); d) thỏa cịn b); e); f) không thỏa Vậy −2 nghiệm bất phương trình a); c); d) 40.Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số: a ) x − < 3; c)0, x < 0,6; b) x + > 1; d )4 + x < = S a) x − < ⇔ x < Vậy { x / x < 4} = S b) x + > ⇔ x > −1 Vậy { x / x > −1} = S c) 0, x < 0,6 ⇔ x < Vậy { x / x < 3} d) + x < ⇔ x < 41 1  Vậy = S x / x <  2  Giải bất phương trình: Giải 2x + ; 2x + − x d) ≥ −4 −3 2− x < 5; 4x − − x > c) ; b)3 ≤ a) Giải a) 2− x S < ⇔ − x < 20 ⇔ x > −18= b) ≤ 2x + S ⇔ 15 ≤ x + ⇔ x ≥ 6= { x / x > −18} { x / x ≥ 6} c) 4x − − x S > ⇔ 20 x − 25 > 21 − x ⇔ x > 2= d) 2x + − x ≥ ⇔ −3 ( x + 3) ≤ −4 ( − x ) −4 −3 ⇔ −6 x − ≤ −16 + x ⇔ x ≥ { x / x > 2} 10 7  = S x / x ≥  10   42 Giải bất phương trình: a )3 − x > 4; b)3 x + < 2; c) ( x − 3) < x − 3; d ) ( x − 3)( x + 3) < ( x + ) + 2 Giải 1  a) − x > ⇔ −2 x > ⇔ x < − = S  x / x < −  2  2  b) x + < ⇔ x < − = S  x / x < −  3  c) ( x − 3) < x − ⇔ x − x + < x − ⇔ x > = S { x / x > 2} = S d) ( x − 3)( x + 3) < ( x + ) + ⇔ x − < x + x + + ⇔ x > −4 { x / x > −4} 43.Tìm x cho: a) Giá trị biểu thức − 2x số dương; b) Giá trị biểu thức x + nhỏ giá trị biểu thức x − 5; c) Giá trị biểu thức x + không nhỏ giá trị biểu thức x + 3; d) Giá trị biểu thức x + không lớn giá trị biểu thức ( x − ) Giải a) − x > ⇔ x < Nếu x < giá trị biểu thức − 2x số dương b) x + < x − ⇔ x > Nếu x > giá trị biểu thức x + nhỏ giá trị biểu thức x − c) x + ≥ x + ⇔ x ≥ Nếu x khơng nhỏ ( x ≥ ) giá trị biểu thức x + không nhỏ giá trị biểu thức x + 3 d) x + ≤ ( x − ) ⇔ x + ≤ x − x + ⇔ x ≤ Nếu x không lớn 3   x ≤  giá trị biểu thức x + không lớn giá trị 4  biểu thức ( x − ) 44 Đố Trong thi đố vui, Ban tổ chức quy định người dự thi phải trả lời 10 câu hỏi vòng sơ tuyển Mỗi câu hỏi có sẵn đáp án, có đáp án Người dự thi chọn đáp án điểm, chọn đáp án sai bị trừ điểm Ở vòng sơ tuyển, Ban tổ chức tặng cho người dự thi 10 điểm quy định người có tổng số điểm từ 40 trở lên dự thi vòng Hỏi người dự thi phải trả lời xác câu hỏi vịng sơ tuyển dự thi tiếp vòng sau? Giải Để dự thi tiếp vòng sau người dự thi phải trả lời 30 điểm Vậy người dự thi phải trả lời xác câu hỏi vịng sơ tuyển dự thi tiếp vịng sau 45 Giải phương trình: a ) x = x + 8; b) −2 x = x + 18; c) x − = x; d ) x + = x − 10 Giải a) Với x ≥ : x = x + ⇔ x = x + ⇔ x = (nhận) Với x < : x = x + ⇔ −3 x = x + ⇔ x = −2 (nhận) Vậy S = {−2; 4} b) Với x ≥ : −2 x = x + 18 ⇔ x = x + 18 ⇔ x = −9 (loại) Với x < : −2 x = x + 18 ⇔ −2 x = x + 18 ⇔ x = −3 (nhận) Vậy S = {−3} (loại) (nhận) x − 5= x ⇔ − x + 5= x ⇔ x= c) Với x ≥ : x − = x ⇔ x − = x ⇔ x = − Với x < : Vậy S =   4 d) Với x ≥ −2 : x + = x − 10 ⇔ x + = x − 10 ⇔ x = 12 (nhận) Với x < : x + = x − 10 ⇔ − x − = x − 10 ⇔ x = (loại) Vậy S = {12} B BÀI TẬP BỔ SUNG Giải bất phương trình sau: a) ax + > x + a 2 b) ax + ax − với a > > a −1 a +1 2x +1 ≤1 x+2 Giải bất phương trình: x −1 x +1 a) x + < − ( a − 2) x a a ax − 1 b) ( a + 1) x + > a a c) ( a + a + 1) x − 3a > ( + a ) x + 5a Giải bất phương trình: Định m để bất phương trình sau có nghiệm với x: (m − 4m + ) x + m − m < Định m để hai bất phương trình sau có tập nghiệm trùng nhau: ( m − 1) x − m + > ( m + 1) − m + > Xác định m để hai bất phương trình sau có nghiệm chung: m ( x − ) + ≤ x m ( x − 1) ≥ x − Giải biện luận bất phương trình: −1 ≤ Giải bất phương trình: a) x − ≥ x − b) x + > − x x+m ≤1 mx + c) 2−3 x ≤1 1+ x Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm nhất:  x − m ≤ m   x − + m ≤ 2m 11 Chứng minh bất đẳng thức: 1 a) a + b ≥ với a + b = 1 b) a + b + c ≥ với a + b + c = c) a12 + a22 + + an2 ≥ với a1 + a2 + + an = n Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > Chứng 12 minh ba số a, b, c dương Cho a, b, c thỏa mãn < a, b, c < Chứng minh có bất đẳng 10 thức sau sai: 1 ; b (1 − c ) > ; c (1 − a ) > 4 1 Cho ba số dương a, b, c có tích a + b + c > + + Chứng minh rằng: a b c a) ( a − 1)( b − 1)( c − 1) > a (1 − b ) > 13 14 b) Trong ba số a, b, c có số lớn 1, hai số cịn lại nhỏ Tìm số có hai chữ số cho tỉ số số với tổng chữ số có giá trị nhỏ a) Nhỏ b) Lớn ... không vượt 13 Ví dụ 16 (Bài 33, trang 48 SGK ) Đố Trong kì thi , bạn Chiến phải thi bốn mơn Văn , Tốn, Tiếng Anh Hóa Chiến thi ba môn kết bảng sau : Mơn Văn Tiếng Anh Hóa Điểm 10 Kì thi quy định... Ví dụ (Bài 6, trang 39 SGK) Giả sử có a nên 2a < 2b - Ta có a ( −1) b ⇒ −a > −b Ví dụ 10 (Bài 13, trang 40 SGK) So sánh... 13 (Bài 11, trang 40 SGK) Cho a < b, chứng minh: b) −2a − > −2b − a) 3a + < 3b + Giải a) a −2b ⇒ −2a − > −2b − Ví dụ 14 (Bài 12, trang 40 SGK) Chứng

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	597,09 KB