ly thuyet cac dang toan va bai tap phuong trinh bac nhat mot an

Chương III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BÀI MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI A TĨM TẮT LÍ THUYẾT * Một phương trình ẩn x ln có dạng A( x) = B ( y ), vế trái A( x) vế phải B ( x) hai biểu thức biến x * Gía trị x0 ẩn x để A( x0 ) = B( x0 ) gọi nghiệm * Tập hợp tất nghiệm phương trình gọi tập nghiệm phương trình * Giải phương trình tìm tập nghiệm phương trình * Hai phương trình có tập nghiệm hai phương trình tương đương Từ phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta phương trình tương đương với phương trình −b Nghiệm phương trình a x + b= (a ≠ 0) x = a B CÁC DẠNG TOÁN Dạng XÉT XEM x = a CĨ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG Phương pháp giải * Nghiệm phương trình A( x) = B( x) giá trị x mà thay vào phương trình, giá trị tương ứng hai vế * Muốn xem số a có phải nghiệm phương trình hay khơng, ta thay x = a vào hai vế phương trình, tức tính A(a) B (a) Nếu hai vế phương trình nhau, tức A(a ) = B (a ) x = a nghiệm phương trình Cịn A(a) ≠ B (a) x = a khơng nghiệm phương trình Ví dụ (Bài 1, SGK trang 6) Với phương trình, xét xem x = −1 có nghiệm khơng : a) x − = 3x − ; b) x + 1= 2(x − 3) ; c) 2( x + 1) + = − x Giải a) Với x = −1 : Vế trái có giá trị : 4.(−1) − =−5 Vế phải có giá trị : 3.(−1) − = Vậy x = −1 nghiệm phương trình x − = 3x − b) Với x = −1 : Vế trái có giá trị : (−1) + = Vế phải có giá trị : 2.(−1 − 3) =2.(−4) =−8 Vậy x = −1 không nghiệm phương trình x + 1= 2(x − 3) c) Với x = −1 : Vế trái có giá trị : 2.(−1 + 1) + =3 Vế phải có giá trị : − (−1) =3 Vậy x = −1 nghiệm phương trình 2( x + 1) + = − x Ví dụ (Bài trang SGK) Trong giá trị t = −1; t = 0; t = giá trị nghiệm phương trình (t + 2) =3t + 4? Giải - Thay t = −1 vào phương trình : (−1 + 2) = 3(−1) + ⇔ 12 = : Vậy t = −1 nghiệm phương trình - Thay t = vào phương trình : (0 + 2) = 3.0 + ⇔ 22 = : Vậy t = nghiệm phương trình - Thay t = vào phương trình : (1 + 2) = 3.1 + ⇔ 32 = : sai Vậy t = khơng nghiệm phương trình Ví dụ (Bài trang SGK) Xét phương trình x + = + x Ta thấy số thực nghiệm Hãy cho biết tập nghiệm phương trình ? Giải Phương trình x + = + x nghiệm với x (x ∈ ) nên tập nghiệm phương trình S =  Ví dụ (Bài 4, trang SGK) Nối phương trình sau với nghiệm (theo mẫu) : 3( x − 1) = x − (a) x = 1− x +1 (b) x2 − x − = (c) -1 Giải x = −1 nghiệm phương trình (c) x = nghiệm phương trình (a) x = nghiệm phương trình (b) Dạng XÉT HAI PHƯƠNG TRÌNH CĨ TƯƠNG ĐƯƠNG NHAU KHƠNG Phương pháp giải * Hai phương trình gọi tương đương nghiệm phương trình nghiệm phương trình nghược lại Nói cách khác, hai phương trình tương đương hai phương trình có tập nghiệm Đặc biệt : Hai phương trình vơ nghiệm xem hai phương trình tương đương (vì tập nghiệm chúng ∅ ) * Nếu nghiệm phương trình mà khơng nghiệm phương trình phương trình có nghiệm, phương trình vơ nghiệm kết luận hai phương trình khơng tương đương * Để chứng tỏ hai phương trình (1) (2) tương đương, phương pháp chứng tỏ hai phương trình (1) (2) có tập nghiệm S1 ; S nhau, ta dùng phương pháp khác dùng phép biến đổi tương đương để biến (1) thành (2) ; biến đổi (2) thành (1) Ví dụ (Bài 5, trang SGK) Hai phương trình x = x(x − 1) = có tương đương khơng, ? Giải Phương trình x = có tập nghiệm S1 = {0} Phương trình x( x − 1) = có tập nghiệm S1 = {0;1} Vì S1 ≠ nên hai phương trình đx cho khơng tương đương Ví dụ (Bài 6, trang SGK) Tính diện tích S hình thang ABCD theo x hai cách: 1) Theo công= thức S BH ( BC + DA) : ; 2) S =S ABH + S BCKH + SCKD với khơng ? Sau sử dụng giả thiết S = 20 để thu hai phương trình tương đương Trong hai phương trình ấy, có phương trình phương trình bậc B C x A H x K D Giải 1) Ta có : BH = x ; BC = HK = x; DA = AH + HK + KD = + x + = 11 + x Vậy : S = BH ( BC + DA) : = x(11 + x) : = 2) Ta có : S ABH 1 x = BH AH 2 = S BCKH BH = HK x ; = SCKD 1 = CK KD x.4 2 Vậy S =AABH + S BCKH + SCKD 1 11 = x + x + x.4 = x + x + x = x + x 2 2 Theo giả thiết, S = 20 ta haiphuowng trình tương đương với : x(11 + x) 11 = 20 x + x = 20 2 Trong hai phương trình ấy, khơng có phương trình phương trình bậc Dạng NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ Phương pháp giải : Phương trình bậc ẩn phương trình dạng a x + b = với a, b tùy ý a ≠ Ví dụ (Bài 7, trang 10 SGK) Hãy phương trình bậc phương trình sau a) + x = b) x + x = c) − 2t = 0; d) y = e) −3 =0 Giải phương trình bậc với = a) + x = a 1;= b b) x + x = khơng phải phương trình bậc phương trình bậc với a = c) − 2t = −2; b = d) y = phương trình bậc với= a 3;= b e) −3 =0 khơng phải phương trình bậc Dạng GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Phương pháp giải : Áp dụng quy tắc chuyển vế quy tắc nhân để tìm nghiệm phương trình bậc Ví dụ (Bài 8, trang 10 SGK) Giải phương trình : a) x − 20 = b) x + x + 12 = c) x − = − x; d) − x =9 − x Giải a) x − 20 = ⇔ x = 20 ⇔ x = Phương trình có nghiệm x = 3x + 12 =⇔ 3x = −12 ⇔ x = −4 b) x + x + 12 =⇔ Phương trình có nghiệm x = −4 c) x − = − x ⇔ x + x = + ⇔ x = ⇔ x = Phương trình có nghiệm x = d) − x =9 − x ⇔ x − x =9 − ⇔ −2 x =2 ⇔ x =−1 Phương trình có nghiệm x = −1 Ví dụ (Bài trang 10 SGK) phân Giải phương trình sau, viết số gần nghiệm dạng số thập cách làm tròn đến hàng phần trăm a) x − 11 = b) 12 + x = c) 10 − x = x − Giải a) x − 11 = ⇔ x = 11 ⇔ x = 11 = 3, 67 −12 ⇔ 7x = −12 ⇔ x = = −1, 71 b) 12 + x = c) 10 − x = x − ⇔ −2 x − x = −10 − ⇔ −6 x = −13 ⇔ x = 13 = 2,17 C LUYỆN TẬP −3 (Dạng 1) Trong số −2; ; − 1; ; ; 2;3 tìm nghiệm phương trình sau: 2 a) x − x = 3; c) b) y − =−3 − y; 3z − = −1 2 (Dạng 1) Thử lại phương trình có nghiệm số viết dấu ngoặc: x − x + =x − 3(3 x + 1) ( x =−1; x =−4) (Dạng 1) Thử lại phương trình 2mx + 2= 6m − x + nhận x = làm nghiệm, dù m lấy giá trị (Dạng 2) Hai phương trình sau có tương đương khơng? a) 1 x = x = x ; 5 c) x + =x x + = 0; (Dạng 4) Giải phương trình : x + = b) x + = d) x + = (x + 3)(x − 5) = a) x − = x + b) x + = 20 − x; c) y + 12 = y + 27 ; d) 13 − y =y − 2; e) + 2, 25 x + 2, = x + + 0, x; x + 3, 48 − 2,35 x = 5,38 − 2,9 x + 10, 42 g) BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG AX + B = A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 0: Cách giải phương trình thu gọn dạng ax + b = - Quy đồng mẫu thức hai vế - Nhân hai vế cho mẫu thức để khử mẫu thức - Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế, số sang vế - Thu gọn giải phương trình B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: TÌM CHỖ SAI VÀ SỬA LẠI CÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Chú ý đến quy tắc chuyển vế: Trong phương trình ta chuyển vế hạng tử từ vế sang vế đổi dấu hạng tử - Quy tắc nhân: Ta nhân hai vế với số khác Ví dụ 1: Tìm chỗ sai sửa lại giải sau cho đúng: a) 3x − + x = − x ⇔ 3x + x − x = − ⇔ 3x = ⇔x= b) 2t − + 5t = 4t + 12 ⇔ 2t + 5t − 4t = 12 − ⇔ 3t = ⇔t= Giải a) x − + x = − x ⇔ x + x − x = − : Sai chuyển vế không đổi dấu Lời giải đúng: x − + x = − x ⇔ x + x + x = + ⇔ x = 15 ⇔ x = b) 2t − + 5t = 4t + 12 ⇔ 2t + 5t − 4t = 12 − : Sai chuyển vế không đổi dấu Lời giải đúng: 2t − + 5t = 4t + 12 ⇔ 2t + 5t − 4t = 12 + ⇔ 3t = 15 ⇔ t = Ví dụ 2: Bạn Hịa giải phương trình x( x + 2) = x( x + 3) Theo em, bạn Hòa giải hay sai? Em giải phương trình nào? x( x + 2) = x( x + 3) ⇔ x + = x + ⇔ x − x = − ⇔ 0.x = (vô nghiệm) Giải Bạn Hịa giải sai: Khơng rút gọn x hai vế (vì x 0) Lời giải đúng: x( x + 2) = x( x + 3) ⇔ x + x = x + x ⇔ x − x = ⇔ − x = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Dạng 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải: - Quy đồng mẫu thức khử mẫu thức - Thực quy tắc chuyển vế quy tắc nhân để tìm nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: a) x − = x − b) − 4u + 24 + 6u =u + 27 + 3u c) − ( x − 6) = 4(3 − x) d) −6.(1,5 − x) = 3.(−15 + x) e) 0,1 − 2(0,5t − 0,1) =2(t − 2,5) − 0, f) 3 5 x x− − = 2 4 Giải a) x − =2 x − ⇔ x − x =−3 + ⇔ x =−1 b) − 4u + 24 + 6u =u + 27 + 3u ⇔ −4u + 6u − u − 3u =27 − − 24 ⇔ −2u =0 ⇔ u =0 c) − ( x − 6)= 4(3 − x) ⇔ − x + 6= 12 − x ⇔ − x + x= 12 − − ⇔ x= ⇔ x= d) −6(1,5 − x) = 3(−15 + x) ⇔ −9 + 12 x = −45 + x ⇔ 12 x − x = −45 + ⇔ 6x = −36 ⇔ x = −6 e) 0,1 − 2(0,5t − 0,1) = 2(t − 2,5) − 0, ⇔ 0,1 − t + 0, = 2t − − 0, ⇔ −t − 2t = −5 − 0, − 0,1 − 0, ⇔ −3t = −6 ⇔ t = f) 3 5 x 15 − − = x ⇔ 12 x − 20 = x x− − = x ⇔ 2 4 8 ⇔ x = 20 ⇔ x = Ví dụ 4: Giải phương trình: a) x − − 3x = b) 10 x + + 8x = 1+ 12 c) 7x −1 16 − x + 2x = 5x − − d) 4(0,5 − 1,5 x) = Giải a) x − − 3x = ⇔ 2(5 x − 2) = 3(5 − x) ⇔ 10 x − = 15 − x ⇔ 10 x + x = 15 + ⇔ 19 x = 19 ⇔ x = b) 10 x + + 8x =1 + ⇔ 3(10 x + 3) =36 + 4(6 + x) 12 ⇔ 30 x + = 36 + 24 + 32 x ⇔ 30 x − 32 x = 36 + 24 − ⇔ −2 x = 51 ⇔ x = − c) 51 7x −1 16 − x + x= ⇔ 5(7 x − 1) + 60 x= 6(16 − x) ⇔ 35 x − + 60 x = 96 − x ⇔ 35 x + 60 x + x = 96 + ⇔ 101x= 101 ⇔ x= 5x − − ⇔ 12(0,5 − 1,5 x) = −(5 x − 6) d) 4(0,5 − 1,5 x) = ⇔ − 18 x = −5 x + ⇔ −18 x + x = − ⇔ −13x − ⇔ x =0 Ví dụ 5: Số ba số −1, 2, −3 nghiệm phương trình sau: x = x (1) x2 + 5x + = (2) Giải x = nghiệm phương trình (1) x = −3 nghiệm phương trình (2) = x + ( 3) 1− x x = −1 nghiệm phương trình (3) Ví dụ 6: Giải phương trình a) + x = 22 − x b) x − = x + 12 c) x − 12 + x = 25 + x − d) x + x + x − 19 = x + e) − (2 x + 4) = −( x + 4) f) ( x − 1) − (2 x − 1) = − x Giải a) + x = 22 − x ⇔ x + x = 22 − ⇔ x = 15 ⇔ x = b) x − = x + 12 ⇔ x − x = 12 + ⇔ x = 15 ⇔ x = c) x − 12 + x = 25 + x − ⇔ x + x − x = 25 − + 12 ⇔ x = 36 ⇔ x = 12 d) x + x + x − 19 = x + ⇔ x = 24 ⇔ x = e) − (2 x + 4) = −( x + 4) ⇔ − x − = −x − ⇔ −2 x + x = −4 − + ⇔ − x = −7 ⇔ x = f) ( x − 1) − (2 x − 1) = − x ⇔ x − − x + = − x ⇔ x − 2x + x = +1−1 ⇔ 0x = phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: a) x 2x +1 x − = −x b) 2+ x 1− 2x − 0,5 x = + 0, 25 Giải a) x 2x +1 x − = − x ⇔ x − 3(2 x + 1) = x − x ⇔ 2x − 6x − = x − 6x ⇔ 2x − 6x − x + 6x = ⇔ x = b) 2+ x 1− 2x − 0,5 x = + 0, 25 ⇔ 4(2 + x) − 10 x = 5(1 − x) + 5 ⇔ + x − 10 x = − 10 x + ⇔ x = ⇔ x = 0,5 gấp lần tuổi Phương Hỏi năm Phương tuổi ? Giải Gọi x tuổi Phương năm Điều k i ệ n n g u yê n d n g x Tuổi Phương Năm 13 năm Tuổi mẹ x 3x x + 13 3x + 13 13 năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Phương nên ta có phương trình : x + 13 = ( x + 13) Giải phương trình ta x = 13 (thỏa điều kiện) nên Phương năm 13 tuổi Ví dụ (Bài 41 trang 31 SGK) Một số tự nhiên có hai chữ số; chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục Nếu thêm chữ số xen vào hai chữ số số lớn ban đầu 370 Tìm số ban đầu Giải Gọi chữ số hàng chục x với x nguyên < x < 12 x Chữ số hàng đơn vị 2x số cho là: 10 x + x = Khi xen chữ số vào hai chữ số x 2x x thành chữ số hàng trăm, 2x chữ số hàng đơn vị Số là: 100.x + 10.1 + x= 102 x + 10 Số lớn số cho 370 đơn vị nên ta có phương trình: 102 x + 10 − 12 x= 370 ⇔ 90 x= 360 ⇔ x= nên số cần tìm 48 Ví du (Bài 42, trang 31 SGK) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái chữ số vào bên phải số ta số lớn gấp 153 số ban đầu Giải Gọi x số tự nhiên có hai chữ số Khi viết thêm chữ số vào bên trái chữ số vào bên phải số ta 2002 + 10 x số có bốn chữ số, số nhận là: 2000 + x.10 += Do số nhận lớn gấp 153 số ban đầu nên 2002 + 10= x 153 x ⇔ 143= x 2002 ⇔ = x 14 Vậy số cần tìm 14 Ví dụ 7: (Bài 43 trang 31, SGK) Tìm phân số có tính chất sau : a) Tử số phân số số tự nhiên có chữ số; b) Hiệu tử số mẫu số 4; ta có phương trình: c) Nếu giữ nguyên tử số viết thêm vào bên phải mẫu số chữ số tử số, ta phân số phân số Giải Gọi x mẫu số ( x có chữ số, x ∈ N ), tử số x + Viết thêm bên phải mẫu số chữ số tử số được: 10.x + ( x + 4) = 11x + Ta có phương trình: x+4 = ⇔ 6( x + 4)= 11x + ⇔ x + 24= 11x + ⇔ x= 20 ⇔ x= 11x + Vậy phân số cần tìm Dạng TỐN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp giải  Loại tốn chuyển động có ba đại lượng tham gia vào toán là: vận tốc (v), thời gian (t) quãng đường (s) ta có cơng thức s = v.t Ví dụ 8: Lúc sáng, xe máy khởi hành từ A để đến B Sau giờ, ô tô xuất phát từ A đuổi theo xe máy với vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình xe máy 20 km/h Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 30 phút sáng ngày Tính độ dài quãng đường AB vận tốc trung bình xe máy Giải Goi x (km/h) vận tốc trung bình xe máy ( x > 0) Thời gian xe máy từ A đến B là: 30 ph Thời gian xe ôtô từ A đến B là: 9h30 ph −= 6h 3h30= ph 3, 5h Thời gian xe ô tô từ A đến B là: 3,5 − =2,5h Ta lập bảng sau Vân tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km) Xe máy x 3, 3,5x Ô tô x + 20 2, 2,5 ( x + 20 ) Ta có phương trình: 3, ⋅= x 2, 5( x + 20) ⇔ 3, 5.= x 2, 5.x + 50 ⇔= x 50 (thỏa điều kiện) Vậy vận tốc trung bình xe máy là: 50 km/h quãng đường AB : 3, 5.50 = 175 km Ví dụ 9: (Bài 46, trang 31 SGK) Một người lái ôtô dự định từ A đến B với vận tốc 48 km/h Nhưng sau với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chắn đường 10 phút Do đó, để kịp đến B thời gian định, người phải tăng vận tốc thêm km/h Tính quãng đường AB Giải 10 = h Gọi 60 Tacó: 10 ph = x (km) quãng đường AB ( x > ) Đoạn đường từ A đến C (điểm nghỉ 10 phút) 48 km Ta lập bảng sau: Vân tốc (km/h) Thời gian (h) Dự định 48 x 48 Đoạn đường CB 54 x − 48 54 Ta có + + x − 48 x = ⇔ 432 + 72 + 8( x − 48) = x ⇔ x = 120 (thỏa điều kiện) 54 48 Vậy quãng đường AB 120 km Dạng TỐN VỀ CƠNG VIỆC Phương pháp giải: Chú ý: Tỉ lệ phần trăm a % = a 100 Ví dụ 10 (Bài 39, trang 30 SGK) Lan mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng, tính 10 nghìn đồng thuế giá trị gia tăng (thuế VAT), biết loại hàng thứ nhất, thuế VAT 10 %, loại hàng thứ hai thuế V A T l % Hỏi khơng kể thuế VAT Lan phải trả loại hàng tiền? Giải Gọi x (nghìn) số tiền loại hàng thứ không kể thuế V A T m Lan phải trả ( x > ) 110 nghìn, ta lập bảng sau: Tổng số tiền Lan phải trả không kể thuế VAT : 120 − 10 = Tiền khơng tính VAT Tiền thuế VAT Hàng loại I x 10 x 100 Hàng loại II 110 − x (110 − x ) 100 Ta có phương trình: 10 ⋅x+ (110 − x) = 10 ⇔ 10 x + 880 − x = 1000 ⇔ x = 60 (thỏa điều kiện) 100 100 Vậy số tiền Lan phải trả (không kể thuế VAT) loại hàng I 60 nghìn đồng loại hàng II 50 nghìn đồng Ví dụ 11: Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt thảm len 20 ngày Do cải tiến kỹ thuật, suất dệt xí nghiệp tăng 20 % Bởi vậy, 19 ngày, khơng xí nghiệp hồn thành số thảm cần dệt mà cịn dệt thêm 24 với chất lượng cao Tính số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng Giải x số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng ( x > ) , Gọi ta có bảng sau: Số thảm dệt Số thảm dệt ngày Hợp đồng x x 20 Thực tế x + 24 x + 24 18 Vì suất dệt xí nghiệp tăng 20 % nên ngày xí nghiệp dệt 120 % so với hợp đồng Ta có phương trình: x + 24 120 x x + 24 x = ⋅ ⇔ = ⇔ 50 x + 1200 = 54 x ⇔ x = 1200 ⇔ x = 300 (thỏa điều 18 100 20 50 kiện) Vậy xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng 300 thảm len Ví dụ 12 (Bài 47 trang 32 SGK) Bà An gởi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất tháng a % ( a số cho trước) lãi tháng tính gộp vào vốn cho tháng sau a) Hãy viết biểu thức biểu thị: + Số tiền lãi sau tháng thứ nhất; + Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có sau tháng thứ nhất; + Tổng số tiền lãi có sau tháng thứ hai b) Nếu lãi suất 1, % tức a = 1, sau tháng tổng số tiền lãi 48, 288 nghìn đồng, lúc đầu bà An gởi tiền tiết kiệm? Giải a) Số tiền lãi sau tháng thứ x a nghìn 100 + Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có sau tháng thứ là: x + x a a   = x + 1 +  (nghìn) 100  100  + Tổng số tiền lãi có sau tháng thứ hai là: x a a  a a  a   (nghìn) + x 1 + = x  2+  (nghìn) 100 100  100   100  100 b) Với a = 1, ta có phương trình 1,  1, 201, 2.1,  x2 + = 48, 288 ⇔ x = 48, 288  10000  100  100 = ⇔x 482880 = 2000 (nghìn) 241, 44 Vậy bà An gửi triệu đồng tiền tiết kiệm Ví dụ 13 (Bài 48, trang 32 SGK) Năm ngoái, tổng số dân hai tỉnh A B triệu Năm nay, số dân tỉnh A tăng thêm 1,1% tỉnh B tăng thêm 1, 2% Tuy số dân tỉnh A năm nhiều tỉnh B 807200 người Tính số dân năm ngối tỉnh Giải Gọi số dân tỉnh A năm ngoái x (người) ( x nguyên dương) Ta lập bảng sau: Năm ngoái Số dân tỉnh A x Số dân tỉnh B 4000000 − x Năm 101,1 x 100 101, ( 4000000 − x ) 100 Số dân tỉnh A năm nhiều số dân tỉnh B 807200 người nên ta có phương trình 1, 011x − 1, 012 ( 4000000 = − x ) 807200 ⇔ −4 048000 + 2,= 023 x 807200 ⇔ 2, 203 x = 4855 200 ⇔x= 400 000 Vậy số dân tỉnh A năm ngoái 2, triệu số dân tỉnh B năm ngoái 1, triệu Dạng TỐN LÀM CHUNG CƠNG VIỆC Phương pháp giải * Tốn làm chung cơng việc có ba đại lượng tham gia: tồn cơng việc, phần làm việc đơn vị thời gian ( ngày, giờ,…) thời gian làm cơng việc * Nếu đội làm xong cơng việc x ngày đội làm cơng x việc Ví dụ 14 Hai vịi nước chảy vào bể sau 48 phút bể đầy Mỗi lượng nước vòi I chảy 1,5 lượng nước chảy vòi II Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể? Giải Ta có: 48 phút = + 48 24 = giờ; 1,5 = 60 Gọi x (giờ) thơi gian vịi II chảy đầy bể ( x > ) Ta lập bảng sau: Thời gian chảy đầy bể (h) Vòi I Vòi II x Cả hai vịi 24 Ta có phương trình: chảy (bể) x x 24 + = x x 24 Giải phương trình ta được: x = 12 (thỏa mãn điều kiện) Vịi II chảy 12 đầy bể Trong giờ, vòi I chảy được: 1 − =(bể) 24 12 Vịi I chảy đầy bể Ví dụ 15 (Bài 38 trang 30 SGK) Điểm kiểm tra Toán tổ học tập cho bảng sau: Điểm số (x) Tần số (n) * * N = 10 Biết điểm trung bình tổ 6, Hãy điền giá trị thích hợp vào hai cịn trống (được đánh dấu *) Giải Gọi x số điểm tổ ( x nguyên dương) Số điểm tổ là: 10 − (1 + x + + 3) = − x Điểm trung bình tổ 6, nên ta có phương trình:  4.1 + x + 7.2 + 8.3 + ( − x )  = 6, ⇔ 78 − x = 66 ⇔ x = 12 10  ⇔x= (thỏa mãn điều kiện) Vậy số điểm tổ số điểm tổ Ví dụ 16 (bài 44, trang 31 SGK) Điểm kiểm tra Toán lớp cho dây: Điểm (x) 10 Tần số (n) 0 * 10 12 N=* Trong có hai ô để trống (thay dấu *) Hãy điền số thích hợp vào trống điểm trung bình lớp 6, 06 Giải Gọi x số học sinh lớp ( x nguyên dương) Số điểm lớp là: x − ( + 10 + 12 + + + + 1) = x − 42 Điểm trung bình lớp 6, 06 nên ta có phương trình: 6, 06 1.0 + 2.0 + 3.2 + ( x − 42 ) + 5.10 + 6.12 + 7.7 + 8.6 + 9.4 + 10.1 = x ⇔ 103 + 4= x 6, 06 x ⇔ 2, 06= x 103 ⇔x= 50 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số học sinh lớp 50 số điểm lớp Ví dụ 17 (Bài 49, trang 32 SGK) Đố Lan có miếng bìa hình tam giác ABC vuông A , cạnh AB = 3cm Lan tính cắt miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài 2cm hình bên hình chữ nhật có diện tích nửa diện tích miếng bìa ban đầu Tính độ dài canh AC tam giác ABC Giải Gọi x (cm) độ dài cạnh AC ( x > ) Diện tích tam giác ABC là: = S 1 3x AB= AC = x.3 2 Theo định lý Ta – lét ta có: 3( x − 2) DE EC DE x − = ⇒ = ⇒ DE = AB AC x x Diện tích hình chữ nhật là: ( x − ) x − 12 = AE.ED 2.= x x Theo đề ta có phương trình: x − 12 x = ⇔ ( x − 12 ) = x ⇔ x − 24 x + 48 = x 2 ⇔ x − x + 16 =0 ⇔ ( x − ) =0 ⇔x= (thỏa mãn điều kiện) Vậy AC = 4cm C LUYỆN TẬP (Dạng 1) Hai số có tổng 120 tỉ số chúng 1/ (Dạng 1) Tổng hai số 90 Số gấp đơi số Tìm hai số (Dạng 1) Một phân số có tử số bé mẫu số 13 Nếu tăng tử số lên đơn vị giảm mẫu số đơn vị ta phân số / Tìm phân số cho (Dạng 1) Tỉ số hai số / Nếu chia số thứ cho chia số thứ hai cho thương thứ nhỏ thương thứ hai Tìm hai số cho (Dạng 2) Tổng bốn số 45 Nếu lấy số thứ cộng thêm , số thứ hai trừ , số thứ ba nhân với , số thứ tư chia cho bốn kết Tìm bốn số ban đầu (Dạng 2) Một ô tô từ A đến 30 phút Nếu với vận tốc nhỏ 10km / h nhiều thời gian 50 phút Tính quãng đường từ A đến B (Dạng 2) Một người dự định xe máy quãng đường dài 120km 30 phút Đi người nghỉ 15 phút Để đến đích dự định người phải tăng vận tốc gấp 1, lần vận tốc lúc đầu Tính vận tốc lúc đầu người (Dạng 2) Một ô tô từ A đến B với vận tốc 50km / h Sau 24 phút giảm bớt vận tốc 10km / h Vì đến B muộn dự định 18 phút Tính thời gian dự định tơ? (Dạng 2) Một ô tô từ A đến B với vận tốc 40km / h từ B đến A với vận tốc 30km / h Thời gian thời gian 45 phút Tính đoạn đường AB 10 (Dạng 2) Một môtô ôtô từ A đến B với vận tốc khác Vận tốc môtô 62km / h Vận tốc ôtô 55km / h Để hai xe đến B lúc, người ta tính tốn cho ơtơ chạy trước thời gian Nhưng lí đặc biệt chạy / quãng đường AB , xe ôtô lại chạy với vận tốc 27, 5km / h Do cịn cách B 124km mơtơ đuổi kịp ơtơ Tính khoảng cách AB 11 (Dạng 3) Một hồ nước có dung tích 5000 lít Hai vịi nước chảy vào hồ, vòi thứ mở trước vòi thứ hai 90 phút vòi thứ hai 100 lít/h Khi hai vịi khóa vịi thứ chảy thiếu 120 lít đầy hồ Tính xem vịi chảy lít nước? 12 (Dạng 4) Hai vịi nước chảy vào bể đầy bể 20 phút Người ta cho vòi thứ chảy giờ, vòi thứ hai chảy hai vịi chảy / bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể 13 An hỏi Bình “Năm cha mẹ anh tuổi?” Bình trả lời “Cha tơi mẹ tuổi” Trước tổng số tuổi cha mẹ tơi 104 tuổi tuổi ba anh em 14; 10 tuổi Hiện tổng số tuổi cha mẹ gấp hai lần tổng số tuổi ba anh em chúng tơi” Tính xem tuổi cha mẹ Bình bao nhiêu? ƠN TẬP CHƯƠNG III A BÀI TẬP ƠN TRONG SGK 50 Giải phương trình: a) − x ( 25 − x )= x + x − 300 (1) b) (1 − x ) + 3x ( x + 1) − = 7− 10 (2) c) 5x + 8x −1 x + − = −5 (3) d) 3x + 3x + − = 2x + (4) Giải 2 a) (1) ⇔ − 100 x + x = x + x − 300 ⇔ −100 x − x = −300 − ⇔ −101x = −303 ⇔ x = Vậy S = {3} b) ( ) ⇔ (1 − x ) − ( + x ) = 140 − 15 ( x + 1) ⇔ − 24 x − − x= 140 − 30 x − 15 ⇔ x= 121 vô nghiệm Vậy S = ∅ c) ( 3) ⇔ ( x + ) − 10 ( x − 1= ) ( x + ) − 150 ⇔ 25 x + 10 − 80 x + 10 = 24 x + 12 − 150 ⇔ −79 x = −158 ⇔ x = Vậy S = {2} d) ( ) ⇔ ( x + ) − ( x + 1) = 12 x + 10 ⇔ x + − x − =12 x + 10 ⇔ x =−5 ⇔ x =−  5  6 Vậy S = −  51 Giải phương trình sau cách đưa phương trình tích: a) ( x + 1)( x − ) = b) x − 1= ( x − 8)( x + 1) (1) ( x + 1)( 3x − 5) (2) c) ( x + 1) = ( x − x + 1) (3) d) x + x − x = (4) Giải a) (1) ⇔ ( x + 1)( x − ) − ( x − )( x + 1) = ⇔ ( x + 1)( x − − x + ) =⇔ ( x + 1)( −2 x + ) =  x + =0  x =−1/ ⇔ ⇔ +6 =  −2 x= x Vậy S = {−1/ 2;3} b) ( ) ⇔ ( x − 1)( x + 1) − ( x + 1)( x − ) = ⇔ ( x + 1)( x − − x + ) =⇔ ( x + 1)( − x + ) =  x + =0  x =−1/ ⇔ ⇔ x+4 =  −= x {−1/ 2; 4} Vậy S = c) ( 3) ⇔ ( x + 1) − ( x − 1) = 2 ⇔ ( x + − x + )( x + + x − ) = ⇔ ( − x + 3)( x − 1) = x+3 =  −= x ⇔ ⇔ 3x − = =  x 1/ Vậy S = {1/ 3; 3} d) ( ) ⇔ x ( x + x − 3) = ⇔ x ( x − x + x − 3) = ⇔ x  x ( x − 1) + ( x − 1)  = =  x 0= x  ⇔ x ( x − 1)( x + 3) = ⇔  x − = ⇔  x = 1/  x + =0  x =−3 = Vậy S {0; 1/ 2; − 3} 52 Giải phương trình a) − = x − x ( x − 3) x (1) b) x+2 − = x − x x ( x − 2) (2) x + x −1 ( x + 2) − = c) x−2 x+2 x2 − (3) 3x +   3x +  + 1 = + 1 ( x − 5)   − 7x   − 7x  d) ( x + 3)  (4) Giải a) ĐKXĐ: x ≠ x ≠ MTC: x ( x − 3) (1) ⇔ ( x − 3) x − = ⇔ x −= ( x − 3) x ( x − 3) x ( x − 3) x ( x − 3) ⇔ x − = 10 x − 15 ⇔ x = 12 ⇔ x = / (thỏa ĐKXĐ) Vậy S = {4 / 3} b) ĐKXĐ: x ≠ x ≠ MTC: x( x − 2) ( 2) ⇔ x( x + 2) x−2 − = x( x − 2) x( x − 2) x( x − 2) ⇔ x ( x + ) − ( x − ) =2 ⇔ x + x − x + =2 ⇔ x + x = ⇔ x ( x + 1) = =  x 0=  x 0(loai vi khong thuoc DKXD) ⇔ ⇔  x + =0  x =−1 Vậy: S = {−1} c) ĐKXĐ: x ≠ ±2 MTC: x − x − 1)( x − ) ( x + ) ( + = ( 3) ⇔ ( x − )( x + ) ( x + )( x − ) x − ( x + 1) ( x + ) ⇔ ( x + 1)( x + ) + ( x − 1)( x − = ) ( x2 + 2) ⇔ x + x + x + + x − x − x + 2= x + ⇔ x= Phương trình có nghiệm với x ≠ ±2 S  \ {±2} Vậy= d) ĐKXĐ: x ≠ / ( 4) ⇔ ( x − 5)( 3x + + − x ) ( x + 3)( 3x + + − x ) = − 7x − 7x ⇔ ( x + 3)(10 − x ) =− ( x 5)(10 − x ) ⇔ (10 − x )( x + − x + ) = ⇔ (10 − x )( x + ) = 4x = 10 −= x / ⇔ ⇔  x + =0  x =−8 = S Vậy: {5 / 2; −8} 53 Giải phương trình: x +1 x + x + x + + = + ( *) Giải Cộng vào hai vế phương trình (*) ta được: x +1   x +   x +   x +  + 1 +  += 1  + 1 +  + 1         (*) ⇔  ⇔ x + 10 x + 10 x + 10 x + 10 + = + 37 1 1 1 ⇔ ( x + 10 )  + − −  = ⇔ ( x + 10 ) = ⇔ x = −10 504 9 6 Vậy S = {−10} 54 Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B ngược dòng từ bến B bến A Tính khoảng cách hai bến A B, biết vận tốc nước chảy 2km/h Giải Gọi (x km/h) vận tốc thật canô (x > 0) Ta lập bảng sau: Canơ xi dịng Canơ ngược dòng Thời gian ( h) Vận tốc ( km/h) x+2 Quãng đường AB x−2 ( x − 2) ( x + 2) Ta có phương trình: ( x + ) = ( x − ) ⇔ x + = x − 10 ⇔ x = 18 ( thỏa mãn điều kiện ) 80 ( km) Quãng đường AB là: (18 + ) = 55 Biết 200g dung dịch chứa 50g muối Hỏi phải pha thêm gam nước vào dung dịch đề dung dịch chứa 20% muối ? Giải Gọi x ( g ) lượng nước thêm vào để dung dịch chứa 20% muối ( x > ) Khi ta có ( 200 + x ) g dung dịch chứa 50g muối Để dung dịch 20% muối ta có phương trình: 200 + x 50 = ⇔ x = 50 ( thỏa mãn điều kiện) 100 20 Vậy phải pha thêm 50g nước để dung dịch 20% muối 56 Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa người sử dụng nhiều điện giá số điện ( 1kWh) tăng lên theo mức sau: Mức thứ nhất: Tính cho 100 số điện đầu tiên; Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ 101 đến 150 , số đắt 150 đồng so với mức thứ nhất; Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ 151 đến 200 , số đắt 200 đồng so với mức thứ hai; v.v… Ngồi ra, người sử dụng cịn phải trả thêm 10% thuế giá trị gia tăng ( thuế VAT) Tháng vừa qua, nhà Cường dùng hết 165 số điện phải trả 95.700 đồng Hỏi số điện mức thứ giá ? Giải Gọi x ( đồng) giá tiền mà Cường phải trả cho số điện mức thứ ( x > 0) Giá tiền cho 100 số điện là: 100x ( đồng) Giá tiền cho 50 số điện thứ 101 đến 150 là: 50 ( x + 150 ) đồng Giá tiền cho 15 số điện từ 151 đến 165 là: 15 ( x + 150 + 200 ) = 15 ( x + 350 ) ( đồng) Số tiền nhà Cường phải trả không kể thuế VAT là: 100 x + 50 ( x + 150 ) + 15 ( x + 350 ) = 165 x + 12750 ( đồng)   Nếu phải trả thêm 10% thuế VAT nhà Cường phải trả số tiền là: (165 x + 12750 ) 1 + ( đồng) Ta có phương trình: 11 (165 x + 12750 ) = 95700 ⇔ 165 x + 12750 = 87000 10 ⇔ 165 x = 74250 ⇔x= 450 ( thỏa mãn điều kiện) Vậy Cường phải trả 450 cho số điện mức thứ B BÀI TẬP ÔN BỔ SUNG Giải phương trình sau: a) x + x3 + 3x + x + = 0; b) x x +1 x +1 x −1 + = + 2x +1 2x + 2x +1 2x + Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm: 1− x x +1 2x = − (m ≠ ±1) m − 1 + m − m2 ( x + 2) + ( x − 2) 1 = Giải phương trình: + 2 x −1 ( x − 1) − Với giá trị m x = −1 nghiệm phương trình: 10   100  x x− x− = a ( x + 2) x 1− x Hai người hai địa điểm cách 7km để gặp Người thứ 6.6km người thứ hai 7.2km lại dừng phút Hỏi sau họ gặp nhau? Tìm số có hai chữ số, biết chữ số hàng đơn vị gấp lần chữ số hàng chục ta đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cũ 54 đơn vị Hai bể chứa nước, chứa 800 lít 1300 lít Người ta tháo lúc bể thứ phút 15 lít bể thứ hai phút 25 lít Hỏi sau số nước cịn lại bể thứ / số nước lại bể thứ hai Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số Nếu thêm số vào hai chữ số số lớn số cho 180 đơn vị Lúc 7h sáng, chiến canơ xi dịng từ bến A đến bến B, cách 36km , quay trở đến bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc canơ xi dịng, biết vận tốc nước chảy 6km / h ... thuế VAT Lan phải trả loại hàng tiền? Giải Gọi x (nghìn) số tiền loại hàng thứ khơng kể thuế V A T m Lan phải trả ( x > ) 110 nghìn, ta lập bảng sau: Tổng số tiền Lan phải trả không kể thuế VAT... Ví dụ 10 (Bài 39, trang 30 SGK) Lan mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng, tính 10 nghìn đồng thuế giá trị gia tăng (thuế VAT), biết loại hàng thứ nhất, thuế VAT 10 %, loại hàng... Thời gian xe máy từ A đến B là: 30 ph Thời gian xe ôtô từ A đến B là: 9h30 ph −= 6h 3h30= ph 3, 5h Thời gian xe ô tô từ A đến B là: 3,5 − =2,5h Ta lập bảng sau Vân tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng