ly thuyet cac dang toan va bai tap tu giac

Chương I TỨ GIÁC Bài TỨ GIÁC A TÓM TẮT LÍ THUYẾT Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng Tứ giác lồi tứ giác ln nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác (Từ nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi) Tổng góc tứ giác 360°   +C +D = A+ B 360 B CÁC DẠNG TỐN Dạng TÍNH GĨC CỦA TỨ GIÁC Phương pháp giải Sử dụng tính chất tổng góc tứ giác, tam giác Ví dụ (Bài SGK) Tìm x hình SGK Giải a)   +Q +R  + S= 360 ⇒ x + x + 95 + 65= P 360 ⇒ x + 160 = 360 ⇒ 2x = 3600 − 1600 = 2000 ⇒ x = 1000 +N +P  +Q = 3600 ⇒ x + x + x + 2= b) M x 3600 ⇒ 10= x 3600 ⇒ = x 36o P S x Q 650 M 3x x 950 R N 4x 2x x Q a) P b) Hình SGK Ví dụ 2: (Bài SGK) Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác a) Tính góc ngồi tứ giác hình 7a b) Tính tổng góc ngồi tứ giác hình 7b (tại đỉnh tứ giác  +C +D = chọn góc ngồi)  A +B ? 1 1 c) Có nhận xét tổng góc ngồi tứ giác? B C 120° 1 A 1 75° A B D D 1 C a) b) Hình SGK Giải a) Góc cịn lại ( )  = 3600 − 750 + 900 + 1200 = 750 D Do     = A1 105 = B1 90 = C1 60 = D1 1050  +C +D = b) Tổng góc  A+ B 3600   +C +D  = 1800 −   + 1800 − C  + 1800 − D  A1 + B A + 1800 − B 1 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )  +C +D = 7200 − 360= = 7200 −  A+ B 3600 c) Tổng góc ngồi tứ giác 3600 Dạng VẼ TỨ GIÁC Phương pháp giải Thường vẽ tam giác có ba đỉnh ba đỉnh tứ giác, sau xác định đỉnh thứ Ví dụ 3: (Bài SGK) Dựa vào cách vẽ tam giác học, vẽ lại tứ giác hình 10 SGK vào Giải Vẽ ∆ABC biết hai cạnh góc xen giữa:  700 = AB 2cm = , BC 4= cm, B Vẽ ∆ADC biết ba cạnh: AC có, AD 1,5 = = cm : C D 3cm Dạng TÍNH ĐỘ DÀI HỆ THỨC GIỮA CÁC ĐỘ DÀI Phương pháp giải A 1,5cm D 3cm 2cm 70° B 4cm Hình 10 SGK C Sử dụng định lí có liên quan đến độ dài, bất đẳng thức tam giác, Định lí Pita-go Ví dụ Chứng minh tứ giác, đường chéo nhỏ nửa chu vi tứ giác Giải Xét tứ giác ABCD có đường chéo AC: B AC < AB + BC (bất đẳng thức ∆ABC ); A AC < AD + DC (bất đẳng thức ∆ADC ) Suy ra: 2AC < AB + BC + AD + DC Do đó: AB + BC + AD + DC AC < C D Vậy AC nhỏ nửa chu vi tứ giác ABCD Chứng minh tương tự, BD nhỏ nửa chu vi tứ giác ABCD C LUYỆN TẬP  (Dạng 1) Cho tứ giác ABCD = có  A 130 = , B 900 , góc ngồi định C 1200  .Tính D   80 (Dạng 1) Tứ giác ABCD = có C = , D 700 Các tia phân giác góc A B cắt I Tính  AIB (Dạng 1) Bốn góc tứ giác góc nhọn (góc tù, góc vng) khơng? Tại sao? Suy tứ giác có nhiều góc nhọn?   70 , H  biết rằng: G = −H (Dạng 1) Tứ giác EFGH = có E = , F 800 Tính G 200 :N :P  :Q  = 1: : : (Dạng 1) Tính góc tứ giác MNPQ , biết rằng: M   (Dạng 2) Vẽ tứ giác ABCD biết: = A 130 = , D 90= , AB 2cm = , BC 3cm AC = 3cm (Dạng 3) Tính độ dài cạnh a, b, c, d tứ giác có chu vi 76cm a : b : c : d = : : : (Dạng 3) Có hay khơng tứ giác mà độ dài cạnh tỉ lệ với 2, 3, 4, 10 ? (Dạng 3) Đường chéo AC tứ giác ABCD chia tứ giác thành hai tam giác có chu vi 25cm 27cm Biết chu vi tứ giác 32cm Tính độ dài AC   110 10 (Dạng 3) Tứ giác ABCD= có B = , D 700 , AC tia phân giác góc A Chứng minh CB = CD 11 (Dạng 3) Chứng minh tứ giác, tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác 12 (Dạng 3) Chứng minh tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với tổng bình phương hai cạnh đối tổng bình phương hai cạnh đối §2 HÌNH THANG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song A  ABCD   tu    giác ABCD hình thang ⇒  AB / / CD  (đáy AB, CD ) B D C Hình thang vng hình thang có góc vng B CÁC DẠNG TỐN Dạng TÍNH GĨC CỦA HÌNH THANG Phương pháp giải Sử dụng tính chất góc tạo hai đường thẳng song song với cát tuyến Ví dụ (Bài SGK)  200 ,=  2C  Tính góc hình thang Hình thang ABCD (AB // CD) có  A −= D B Giải Ta có AB // CD nên:  = A+ D 1800 A = Ta lại có  A− D 20 , nên: B 1800 + 200  = A = 1000  = 1800 − 1000 = 800 D Ta có AB // CD nên:  +C = B 1800 D C  = 2C  nên 3C  = 1800 Suy ra: Ta lại có B   60 = C = , D 1200 Dạng NHẬN BIẾT HÌNH THANG, HÌNH THANG VNG Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vng Ví dụ (Bài SGK) Tứ giác ABCD có AB = CD AC tia phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang B Giải  Ta có AB = BC ⇒ ∆ABC cân ⇒  A = C 1 = Ta lại có  A1 =  A2 nên C A2 suy BC // AD Vậy ABCD hình thang C A D Dạng TÍNH TỐN VÀ CHỨNG MINH VỀ ĐỘ DÀI Phương pháp giải Sử dụng Đinh lí Pi-ta-go, sử dụng cách chứng minh hai đoạn thẳng nhau,… Ví dụ Chứng minh hình thang vng, hiệu bình phương hai đường chéo hiệu bình phương đáy A B ∆ADC vng nên AC = AD + DC ∆ABD vuông nên B= D AD + AB Từ (1) (2) suy AC − BD = DC − AB D C LUYỆN TẬP C  40o ,= A 2C  Tính góc (Dạng 1) Hình thang ABCD (AB // CD) có  A −= D hình thang (Dạng 1) Hình thang có nhiều góc tù, có nhiều góc nhọn? sao? (Dạng 1, 2, 3) Cho tam giác ABC vuông A, BC = 2cm Vẽ tam giác ACE vuông cân E (E B khác phía AC ) Chứng minh AECB hình thang vng, tính góc cạnh (Dạng 3) Cho hình thang vng ABCD có  = 900 , AB= 5cm, A= D = AD 12 = cm, BC 13cm Tính CD (Dạng 3) Hình thang ABCD (AB // CD)= có AB 2= cm, CD 5cm Chứng minh AD + BC > 3cm (Dạng 3).Cho hình thang ABCD (AB //CD) có tia phân giác góc C D gặp điểm I thuộc cạnh đáy AB Chứng minh AB tổng hai cạnh bên (Dạng 3).Cho hình thang ABCD (AB //CD) có tia phân giác góc A D gặp điểm I thuộc cạnh đáy BC Chứng minh AD tổng hai đáy §3 HÌNH THANG CÂN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy ABCD hình thang cân (đáy AB, CD ) ⇔ ABCD hình A =D  thang C B Tính chất Trong hình thang cân D - Hai cạnh bên C - Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết hình thang cân - Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân B CÁC DẠNG TỐN Dạng NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN Phương pháp giải Chứng minh tứ giác hình thang, chứng minh hình có hai góc kề đáy nhau, có hai đường chéo Ví dụ (Bài 17 SGK)  Chứng minh ABCD hình thang Hình thang ABCD ( AB // CD ) có  ACD = BDC cân Giải A B Gọi E giao điểm AC BD =D  nên tam giác cân, suy ra: ∆ECD có C 1 E EC = ED (1) 1 Chứng minh tương tự: D C EA = EB (2) Từ (1) (2) suy AC = BD Hình thang ABCD có hai đường chéo nên hình thang cân Ví dụ (Bài 18 SGK) Chứng minh định lí “Hình thang có hai đường chéo hình thang cân” qua tốn sau: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC , cắt đường thằng DC E Chứng minh rằng: a) ∆BDE tam giác cân ∆BDC b) ∆ACD = c) Hình thang ABCD hình thang cân Giải a) Hình thang ABEC (AB // EC) có hai cạnh bên AC , BE song song nên chúng nhau: AC = BE Theo giả thuyết AC = BD, nên BE = BD, ∆BDE cân =  b) AC // BE ⇒ C E A B 1 D E C =  suy C =D  ∆BDE cân B (Câu a) ⇒ D E 1 ∆ACD = ∆BCD (c.g c)  Hình thang ABCD có hai c) ∆ACD = ∆BDC ⇒  ADC = BCD góc kề đáy nên hình thang cân Ví dụ (Bài 19 SGK) Cho ba điểm A, D, K giấy kẻ vng (H32.SGK) Hãy tìm điểm thứ tư M giao điểm dòng kẻ cho với ba điểm cho bốn đỉnh hình thang cân Giải Có thể vẽ hai điểm M: Hình thang AKDM (với AK đáy), hình thang ADKM (với DK đáy) Dạng SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH THANG CÂN ĐỂ TÍNH SỐ ĐO GĨC, ĐỘ DÀI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải Sử dụng tính chất hình thang cân: Hai góc kề cạnh đáy nhau, hai cạnh bên nhau, hai đường chéo Ví dụ (Bài 12 SGK) Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD, AD < CD ) Kẻ đường cao AE , BF hình thang Chứng minh DE = CF Giải A B ∆AED = ∆BFC (Cạnh huyền - góc nhọn) – suy DE = CF D E Ví dụ (Bài 13 SGK) Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), E giao điểm hai đường chéo Chứng minh = EA EB = , EC ED A Giải ∆BDC theo trường hợp c.c.c Chứng minh ∆ACD = =D  , ∆ECD cân, EC = ED c.g.c Suy C B E 1 Ta lại có AC = BD nên EA = EB C F D C Ví dụ (Bài 15 SGK) Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy theo thứ tự điểm D E cho AD = AE a) Chứng minh BDEC hình thang cân A b) Tính góc hình thang cân đó, biết  A = 500 Giải  =B  (cùng 180 − A ) ⇒ DE//BC a) D  =C  nên hình thang cân Hình thang BDEC có B = C = 650 , D = E = 1150 b) B 2 Ví dụ (Bài 16 SGK) Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD, CE ( D ∈ AC , E ∈ AB ) Chứng minh BEDC D B C A hình thang cân có đáy nhỏ cạnh bên Giải a) ∆ABD = ∆ACE ( g c.g ) ⇒ AD = AE D E Chứng BEDC hình thang cân câu a) Bài 15 SGK (ví dụ 6) =  (so le trong) Ta lại có B =B  nên b) DE//BC ⇒ D B E B C =D  , DE = BE B 1 C LUYỆN TẬP (Dạng 1) Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia AC lấy điểm D, tia đối tia AB lấy điểm E cho AD = AE Tứ giác DECB hình gì? Vì sao? A 1100 , =  700 Chứng minh rằng: (Dạng 1) Tứ giác ABCD có AB = BC = AD, = C a) DB tia phân giác góc D b) ABCD hình thang cân (Dạng 2) Cho tam giác ABC , điểm M nằm tam giác Qua M, kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC D, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB F Chứng minh rằng: a) BFMD, CDME , AEMF hình thang cân    b) DME = EMF = DMF c) Trong ba đoạn thẳng MA, MB, MC đoạn lớn nhỏ tổng hai đoạn (Dạng 2) Hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo cắt P, hai cạnh bên kéo dài cắt Q Chứng minh PQ đường trung trực hai đáy (Dạng 2) Hình thang cân ABCD (AB//CD) có DB tia phân giác góc D, DB ⊥ BC Biết AB = 4cm Tính chu vi hình thang (Dạng 2) Tính chiều cao hình thang cân ABCD , biết cạnh bên đáy AB 10 BC = 25cm , cạnh= = cm, CD 24cm (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD, CE a) Tứ giác BEDC hình gì? Vì sao? b) Tính chu vi tứ giác BEDC ,= biết BC 15 = cm, ED 9cm BÀI ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Đường trung bình tam giác Định lí Đường thẳng qua trung điểm A cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba ∆ABC   AD = DB ⇒ AE = EC  DE / / BC  D E B C Định nghĩa Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Định lí Đường trung binh tam giác song song với cạnh thứ ba cạnh ∆ABC  DE / / BC   = DB ⇒   AD  AE = EC  DE = BC  Đường trung bình hình thang Định lí Đường thẳng qua trung điểm A B cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh thứ hai  AE = ED ⇒ BF = FC   EF//AB//CD E D Định nghĩa Đường trung bình hình thang F C đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang Định lí Đường trung bình hình thang song song với hai đáy tổng hai đáy   EF / / AB AB / / CD    = ED ⇒  EF / / CD  AE   =  BF FC  EF = AB + CD  B CÁC DẠNG TỐN Dạng SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI VÀ CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ VỀ ĐỘ DÀI Phương pháp giải Vận dụng định lí định lí đường trung bình tam giác Ví dụ Cho tam giác ABC Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC , BC Tính chu vi tam giác MNP, biết AB = 8cm, AC = 10cm, BC = 12cm Giải Tam giác ABC = có AM MB = , AN NC nên MN đường trung bình Suy ra: BC 12 = = (cm) MN = A 2 Tương tự: AC 10 MP = = = (cm) 2 AB = = (cm) NP = 2 Vậy chu vi tam giác MNP : + + = 15 (cm) Dạng SỬ DỤNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, TÍNH GĨC Phương pháp giải Ví dụ (Bài 25 SGK) Hình thang ABCD có đáy AB, CD Gọi E, F, K theo thứ tự trung Sử dụng định lí đường trung bình tam giác điểm AD, BC, BD Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng Giải EK đường trung bình ∆ABD nên EK//AB Do AB//CD nên EK//CD KF đường trung bình ∆BDC nên KF//CD Qua K ta có KE KF song song với CD nên theo tiên đề Ơ-clít E, K, F thẳng hàng Ví dụ (Bài 22 SGK) Cho hình vẽ bên (hình 43 SGK) Chứng minh AI = IM - Tứ giác có bốn cạnh hình thoi - Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi - Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi - Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi B CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: NHẬN BIẾT HÌNH THOI Phương pháp giải Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi Ví dụ (Bài 75 SGK) Chứng minh trung điểm bốn cạnh hình chữ nhật đỉnh hình thoi Giải Bốn tam giác vuông AEH , BEF , CGF , DGH nên: EH = EF = GF = GH Do EFGH hình thoi Dạng SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH THOI ĐỂ TÍNH TỐN, CHỨNG MINH CÁC ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, CÁC GÓC BẰNG NHAU, CÁC ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Phương pháp giải Áp dụng tính chất hình thoi Ví dụ (Bài 74 SGK) Hai đường chéo hình thoi 8cm 10 cm Cạnh hình thoi giá trị giá trị sau: (A): 6cm; (B): 41 cm; (C): 164 cm; (D): 9cm? Giải Gọi O giao điểm đường chéo hình thoi ABCD ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD OB = BD = 4cm ; OC = AC = 5cm BC = OB + OC = 42 + 52 = 41 Nên BC = 41cm Vậy câu trả lời B Ví dụ (Bài 76 SGK) Chứng minh trung điểm bốn cạnh hình thoi đỉnh hình chữ nhật Giải EF đường trung bình ∆ABC ⇒ EF / / BC HG đường trung bình ∆ADC ⇒ HG / / AC Suy EF / / HG Chứng minh tương tự EH / / FG Do EFGH hình bình hành EF / / AC BD ⊥ AC nên BD ⊥ EF EH / / BD EF ⊥ BD nên EF ⊥ EH Hình bình hành EFGH có  = 900 E nên hình chữ nhật Ví dụ (Bài 78 SGK) Hình 103 SGK biểu diễn phần cửa xếp, gồm kim loại dài liên kết với chốt hai đầu trung điểm Vì vị trí cửa xếp, tứ giác hình vẽ hình thoi Các điểm chốt I , K , M , N , O nằm đường thẳng? Giải Các tứ giác IEKF , KGMH hình thoi có bốn cạnh Theo tính chất hình thoi, KI tia phân giác góc EKF , KM ti phân giác góc GKH Do ta chứng minh I , K , M thẳng hàng Chứng minh tương tự, điểm I , K , M , N , O nằm đường thẳng Dạng TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH THOI Phương pháp giải Vận dụng tính chất đối xứng trục đối xứng tâm học Ví dụ (Bài 77 SGK) Chứng minh rằng: a) Giao điểm hai đường chéo hình thoi tâm đối xứng hình thoi b) Hai đường chéo hình thoi hai trục đối xứng hình thoi Giải a) Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo làm tâm đối xứng Hình thoi hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo hình thoi tâm đối xứng hình b) BD đường trung trực AC nên A đối xứng với C qua BD : B D đối xứng với qua BD Do BD trục đối xứng hình thoi Tương tự AC trục đối xứng hình thoi B A C O D Dạng DỰNG HÌNH THOI Phương pháp giải Để dựng hình thoi ta thường đưa dựng tam giác Ví dụ (Bài 77 SGK) Dựng hình thoi biết góc tạo hai cạnh 600 tổng độ dài hai đường chéo cm Giải Giả sử dựng hình thoi ABCD có  A = 600 , AC + BD = cm Gọi O giao điểm đường chéo, ta có: AO + OB = cm Trên tia OC lấy điểm E cho OE = OB , AE = AO + OE = AO + OB = cm B A C O D ∆ BOE vuông cân nên  = 450 , BEO ∆ BAE dựng (g.c.g) Điểm O giao điểm AE đường trung trực BE Từ dựng tiếp D C C LUYỆN TẬP (Dạng 1) Chứng minh trung điểm cạnh hình thang cân đỉnh hình thoi (Dạng 1) Cho tam giác ABC Qua diểm D thuộc cạnh BC , kẻ đường thẳng song song với AB AC , cắt AC AB theo thứ tự E F a) Tứ giác AEDF hình gì? b) Điểm D vị trí BC AEDF hình thoi? (Dang 1) Cho tứ giác ABCD có  = 90o , A= C tia DA CB cắt E , tia AB DC cắt F  =F  a) Chứng minh E b) Tia phân giác góc E cắt AB , CD theo thứ tự G H Tia phân giác góc F cắt BC , AD theo thứ tự I K Chứng minh GKHI hình thoi (Dạng 1) Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh BC Gọi E , F chân đường vng góc kẻ từ M đến AB , AC Gọi I trung điểm AM , D trung điểm BC a) Tính số đo góc DIE , DIF b) Chứng minh DEIF hình thoi (Dạng 2) Tính chu vi hình thoi, biết đường chéo 16cm 30cm (Dạng 2) Chứng minh đường cao hình thoi (Dạng 2) Cho hình thoi ABCD đường vng góc kẻ từ dỉnh góc từ A đến cạnh BC chia đơi cạnh Tính góc hình thoi (Dạng 2) Cho tam giác ABC Lấy điểm D thuộc cạnh AB , điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Gọi I , K , M , N theo thứ tự trung điểm DE , BC , BE , CD Chứng minh IK vng góc với MN (Dạng 2) Gọi O giao điểm đường chéo hình thoi ABCD Gọi E , F , G, H theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ O đến AB, BC , CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? 10 (Dạng 2) Hình thoi ABCD có đường cao a , cạnh 2a Tính góc hình  thoi, biết A > B 11 (Dạng 2) Hình thoi ABCD có  A = 60o Trên cạnh DA, DC lấy điểm E , F cho DE = CF Chứng minh tam giác BEF tam giác 12 (Dạng 2) Cho hình thoi ABCD Từ đỉnh góc tù B , kẻ đường vng góc BE , BF đến AD, DC cắt AC theo thứ tự M N Chứng minh BMDN hình thoi 13 (Dạng 2) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC , lấy điểm D, E cho BD = CE Gọi M , N , I , K theo thứ tự trung điểm DE , BC , BE , CD a) Tứ giác MINK hình gì? Vì sao? b) Gọi G, H giao điểm IK với AB, AC Chứng minh tam giác AGH tam giác cân  khác góc bẹt Dùng thước có hai lề song song, đặt lề 14 (Dạng 2) Cho góc xOy trùng với Oy kẻ theo lề đường thẳng đường thẳng d cho d1 cắt d2 d1 , đặt lề trùng với Oy kẻ theo lề  Chứng minh điểm B nằm góc xOy  OB tia phân giác góc xOy 15 (Dạng 3) Áp dụng tính chất đối xứng qua trục hình thoi, nêu cách gấp giấy dùng kéo cắt để nhận hình thoi 16 (Dạng 4) Dựng hình thoi ABCD biết cạnh cm, đường cao 1,5 cm §11 HÌNH VNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh  ABCD tứ giác   =C  =D  =90o A =B ABCD hình vng ⇔    AB = BC = CD = DA  Tính chất Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Dấu hiệu nhận biết - Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng - Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng - Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng - Hình thoi có góc vng hình vng - Hình thoi có hai đường chéo hình vng B CÁC DẠNG TỐN Dạng NHẬN BIẾT HÌNH VNG Phương pháp giải Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vng Có hai cách chứng minh: Cách 1: Chứng minh tứ giác hình chữ nhật có thêm dấu hiệu: Hai cạnh kề nhau, hai đường chéo vng góc, đường chéo đường phân giác góc Cách Chứng minh tứ giác hình thoi có thêm dấu hiệu: Một góc vng, hai đường chéo Ví dụ (Bài 81 SGK) Cho hình 106 SGK Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? Giải Tứ giác AEDF hình vng Giải thích: AEDF hình bình hành (theo định nghĩa) Hình bình hành AEDF có AD phân giác góc A nên hình thoi Hình thoi AEDF có  A = 90o nên hình vng B D E A F C Ví dụ (Bài 83 SGK) Các câu sau hay sai? a) Tứ giác có hai đường chéo vng góc với hình thoi b) Tứ giác có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường hình thoi c) Hình thoi tứ giác có tất cạnh d) Hình chữ nhật có hai đường chéo hình vng e) Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng Giải Các câu a d sai Các câu b, c, e Ví dụ (Bài 85 SGK) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = AD Gọi E , F theo thứ tự trung điểm AB , CD Gọi M giao điểm AF DE , N giao điểm BF CE a) Tứ giác ADFE hình gì? Vì sao? b) Tứ giác EMFN hình gì? Vì sao? Giải a) Tứ giác ADFE hình vng Giải thích: Tứ giác ADFE có AE / / DF , AE = DF nên hình bình hành Hình bình hành ADFE có  A = 90o nên hình chữ nhật, lại có AE = AD nên hình vng A E B D F C b) Tứ giác EMFN hình vng Giải thích: Tứ giác DEBF có EB / / DF , EB = DF nên hình bình hành, DE / / BF Tương tự AF / / EC Suy EMFN hình bình hành ADFE hình vng (câu a) ⇒ ME = MF , ME ⊥ MF Hình bình hành EMFN có  = 90o nên M hình chữ nhật, lại có ME = MF nên hình vng Dạng SỬ DỤNG TÍNH CHẤT HÌNH VNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ BẰNG NHAU, SONG SONG, THẲNG HÀNG, VNG GĨC Ví dụ (Bài 79 SGK0 a) Một hình vng có cạnh 3cm Đường chéo hình vng bằng: cm, 18 cm, cm hay cm? b) Đường chéo hình vng dm Cạnh hình vng bằng: dm, dm, 2dm hay dm ? Đáp số a, 18cm b, 2dm Chú ý: Hình vng cạnh a có đường chéo a Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Qua giao điểm O hai đường chéo, kẻ đường thẳng d Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự hình chiếu A, B, C , D đường thẳng d Chứng minh rằng: A ' A2 + B ' B + C ' C + D ' D = a2 Giải ∆AA ' O = ∆OD ' D (cạnh huyền – góc nhọn) nên A’O = D’D Do A ' A2 + D ' D = A ' A2 + A ' O = OA2 Tương tự: (1) B ' B2 + C ' C = OB (2) Từ (1) (2) suy ra: A ' A2 + B ' B + C ' C + D ' D = OA2 + OB = a A B O D' C' B' A' D C Dạng TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT HÌNH TRỞ THÀNH HÌNH VNG Phương pháp giải - Bước phân tích: Giả sử hình B hình vng, ta tìm hình A phải có thêm điều kiện M - Bước chứng minh: Khi hình A có thêm điều kiện M, chứng minh B hình vng Vẽ hình minh họa Trong trường hợp giải vắn tắt, cần nên điều kiện M bước phân tích mà bỏ qua giải thích vi tìm điều kiện M Ví dụ (Bài 84 SGK) Cho tam giác ABC , D điểm nằm B C Qua D kẻ đường thẳng song song với AB AC , chúng cắt cạnh AC AB theo thứ tự E F a) Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? b) Điểm D vị trí cạnh BC tứ giác AEDF hình thoi? c) Nếu tam giác ABC vng A tứ giác AEDF hình gì? Điểm D vị trí cạnh BC tứ giác AEDF hình vng? Giải a) Tứ giác AEDF hình bình hành (theo định nghĩa) b) Nếu D giao điểm tia phân giác góc A với cạnh BC AEDF hình thoi c) Nếu ∆ABC vng A tứ giác AEDF hình gì? Điểm D vị trí cạnh BC tứ giác AEDF hình vng? A E B F D C Dạng DỰNG HÌNH VNG, CẮT HÌNH VNG Phương pháp giải Đưa dựng tam giác Có trường hợp sử dụng tính đối xứng hình vng Ví dụ (Bài 86 SGK) Lấy tờ giấy gấp làm tư cắt chéo theo nhát cắt AB (H 108 SGK) Sau mở tờ giấy ra, ta tứ giác Tứ giác nhận hình gì? Vì sao? Nếu ta có OA = OB tứ giác nhận hình gì? Giải Tứ giác nhận hình thoi có hai đường chéo cắt trung điểm đường vng góc với Nếu có thêm OA = OB hình thoi nhận có hai đường chéo nên hình vng Ví dụ Một mảnh vườn hình vng rào xung quanh Sau thời gian, bờ rào bị hỏng, lại hai cọc rào hai cạnh đối diện Nếu biết tâm mảnh vườn, hỏi xác định cạnh mảnh vườn hay khơng? Giải Giả sử dựng hình vng ABCD có tâm O , điểm M ∈ AD , điểm N ∈ BC Kẻ MO cắt BC M ' Do O tâm đối xứng hình vng nên M ' đối xứng với M qua O Nếu M , N , O khơng thẳng hang M ', N hai điểm phân biệt, đường thẳng BC xác định nhất, từ dễ dàng dựng cạnh hình vng Trong trường hợp M , O, N thẳng hang M ' trùng N , đường thẳng BC không xác định nhất, khơng xác định cạnh hình vng C LUYỆN TẬP (Dạng 1) Cho hình thoi ABCD , O giao điểm hai đường chéo Các tia phân giác bốn góc đỉnh O cắt cạnh AB, BC , CD, DA theo thứ tự E , F , G, H Chứng minh EFGH hình vng (Dạng 1) Cho đoạn thẳng AM Trên đường vng góc với AM M , lấy điểm K cho MK = AM Kẻ MB vuông góc với AK ( B ∈ AK ) Gọi C điểm đối xứng với B qua M Đường vng góc với AB A đường vng góc với BC C cắt D Chứng minh ABCD hình vng (Dạng 2) Cho hình vng ABCD có cạnh 17 cm Trên cạnh AB, BC , CD, DA lấy theo thứ tự điểm E , F , G, H cho AE = BF = CG = DH = 5cm Chứng minh EFGH hình vng tính cạnh hình vng (Dạng 2) Cho hình vng ABCD cạnh a , điểm E thuộc cạnh CD Tia phân giác góc DAE cắt CD F Gọi H hình chiếu F AE Gọi K giao điểm FH BC a) Tính độ dài AH B A N M O D M' C b) Chứng minh AK tia phân giác góc BAE c) Tính chu vi tam giác CFK (Dạng 2) Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không Chứng minh tia phân giác góc hình chữ nhật cắt tạo thành hình vng có đường chéo song song với cạnh hình chữ nhật (Dạng 2) Cho tam giác ABC Ở phía ngồi tam giác đó, vẽ hình vng ABDE ACFH Gọi M , I , N , K theo thứ tự trung điểm EB, BC , CH , HE Chứng minh MINK hình vng (Dạng 2) Cho hình vng ABCD cạnh a Lấy điểm E cạnh BC , điểm F cạnh  CD cho EAF = 45° Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BE a) Tính số đo góc KAF b) Tính chu vi tam giác CEF (Dạng 2) Cho hình vng ABCD , điểm E thuộc cạnh CD Tia phân giác góc ABE cắt AD K Chứng minh AK + CE = BE (Dạng 2) Cho hình vuông ABCD Gọi E , G, F theo thứ tự điểm thuộc cạnh AD, AB, BC Qua G vẽ đường vng góc với EF , cắt CD K Chứng minh EF = GK 10 (Dạng 2) Cho hình vng ABCD E , F theo thứ tự trung điểm AB, BC a) Chứng minh CE ⊥ DF b) Gọi M giao điểm CE DF Chứng minh AM = AB 11 (Dạng 2) Cho hình vng ABCD Qua điểm M thuộc đường chéo AC , kẻ ME vng góc với AD, MF vng góc với CD Chứng minh rằng: a) BE vng góc với AF b) BM vng góc với EF c) Các đường thẳng BM , AF , CE đồng quy 12 (Dạng 2) Cho hình vng ABCD Vẽ điểm E , F nằm hình vuông cho tam giác ECD cân E , tam giác AFD cân F góc đáy hai tam giác 15° Chứng minh rằng: a) Tam giác DEF tam giác b) Tam giác ABE tam giác 13 (Dạng 3) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy theo thứ tự điểm D, E cho BD = CE Gọi M , N , I , K theo thứ tự trung điểm BE , CD, DE , BC Tìm điều kiện tam giác ABC để MINK hình vng 14 (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân A , đường trung tuyến BD CE cắt G Gọi H , K theo thứ tự trung điểm GB, GC Tam giác cân ABC có thêm điều kiện DEHK hình vng? 15 (Dạng 4) Cho tam giác ABC vuông cân A Dựng hình vng DEGH cho D thuộc cạnh AB, E thuộc cạnh AC , G H thuộc cạnh BC 16 (Dạng 4) Cho hình vng ABCD Dựng điểm E cạnh CD , điểm F cạnh BC cho tam giác AEF tam giác ƠN TẬP CHƯƠNG I 87 Sơ đồ hình 109 SGK biểu thị quan hệ tập hợp hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng Dựa vào sơ đồ đó, điền vào chỗ trống: a) Tập hợp hình chữ nhật tập hợp tập hợp hình … b) Tập hợp hình thoi tập hợp tập hợp hình… c) Giao tập hợp hình chữ nhật tập hợp hình thoi tập hợp hình Trả lời a) Tập hợp hình chữ nhật tập hợp hình bình hành, hình thang b) Tập hợp hình thoi tập hợp tập hợp hình bình hành, hình thang c) Giao tập hợp hình chữ nhật tập hợp hình thoi tập hợp hình vng 88 Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC , CD, DA Các đường chéo AC , BD tứ giác ABCD có điều kiện EFGH là: a) Hình chữ nhật? b) Hình thoi? c) Hình vng? Giải a) Hình bình hành EFGH hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD (vì EH / / BD, EH / / AC ) Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC BD vng góc với b) Hình bình hành EFGH hình thoi ⇔ EF = EH (vì EF 1= ⇔ AC = BD= AC , EH BD ) 2 Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC BD c) Hình bình hành EFGH hình vng khi: AC BD EFGH hình chữ nhËt ⇔   AC = BD  EFGH lµ h×nh thoi Điều kiện phải tìm: Các đường chéo AC , BD vng góc với 89 Cho tam giác ABC vuông A , đường trung tuyến AM Gọi D trung điểm AB, E điểm đối xứng với M qua D a) Chứng minh điểm E đối xứng với điểm M qua AB b) Các tứ giác AEMC , AEBM hình gì? Vì sao? c) Cho BC = 4cm , tính chu vi tứ giác AEBM d) Tam giác vng ABC có điều kiện AEBM hình vng? Giải a) MD đường trung bình ∆ABC ⇒ MD / / AC Do AC ⊥ AB nên MD ⊥ AB Ta có AB đường trung trực ME nên E đối xứng với M qua AB b) Ta có EM / / AC , EM = AC (vì 2DM ) nên AEMC hình bình hành Tứ giác AEBM hình thoi Giải thích: AEBM hình bình hành đường chéo cắt trung điểm đường Hình bình hành AEBM có AB ⊥ EM nên hình thoi c) BC = 4cm ⇒ BM = 2cm Chu vi hình thoi AEBM BM= 2.4 = 8(cm) E A d) Cách Hình thoi AEBM hình vng ⇔ AB = EM ⇔ AB = AC D Vậy ∆ABC vng có thêm điều kiện AB = AC (tức tam giác vng cân A ) AEBM hình vng M B AEBM Cách Hình thoi hình vng ⇔ AM ⊥ BM ⇔ ∆ABC có đường trung tuyến AM đường cao ⇔ ABC cân A Vậy ∆ABC vng có thêm điều kiện cân A AEBM hình vng C B BÀI TẬP ÔN BỔ SUNG Xác định dạng tứ giác sau, cạnh có tính chất: a) Hai cạnh đối song song nhau, hai cạnh kề vng góc với b) Các cạnh nhau, hai cạnh kề vng góc với c) Hai cạnh đối song song, hai cạnh đối Xác định dạng tứ giác sau, đường chéo có tính chất: a) Hai đường chéo cắt trung điểm đường b) Hai đường chéo cắt trung điểm đường c) Hai đường chéo vng góc với cắt trung điểm đường Cho tam giác cân A Điền thêm vào hình vẽ để được: a) Một hình chữ nhật hai đường chéo b) Một hình thoi hai đường chéo Cho hình bình hành ABCD có BC = AB  A = 60° Gọi E , F theo thứ tự trung điểm BC , AD Gọi I điểm đối xứng với A qua B a) Tứ giác ABEF hình ? Vì ? b) Tứ giác AIEF hình ? Vì ? c) Tứ giác BICD hình ? Vì ? d) Tính số đo góc AED Cho hình thang ABCD ( AB / / CD ) Gọi E , F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi O trung điểm EF Qua O kẻ đường thẳng song song với AB , cắt AD BC theo thứ tự M N a) Tứ giác EMFN hình gì? Chứng minh b) Hình thang ABCD có thêm điều kiện EMFN hình thoi? c) Hình thang ABCD có thêm điều kiện EMFN hình vuông? Cho tam giác ABC Gọi D, E , F theo thứ tự trung điểm AB, BC , CA Gọi M , N , P, Q theo thứ tự trung điểm AD, AF , EF , ED a) Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao? b) Tam giác ABC có điền kiện MNPQ hình chữ nhật? c) Tam giác ABC có điền kiện MNPQ hình thoi? Cho tam giác ABC vuông A , đường trung tuyến AM Gọi H điểm đối xứng với M qua AB , E giao điểm MH AB Gọi K điểm đối xứng với M qua AC , F giao điểm MK AC a) Xác định dạng tứ giác AEMF , AMBH , AMCK b) Chứng minh H đối xứng với K qua A c) Tam giác vng ABC có thêm điều kiện AMEF hình vng? Cho tam giác ABC cân A , đường cao AD Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm M AC a) Tứ giác ADCE hình gì? Vì sao? b) Tứ giác ABDM hình gì? Vì sao? c) Tam giác ABC có thêm điều kiện ADCE hình vng? d) Tam giác ABC có thêm điều kiện ABDM hình thang cân? Cho hình bình hành ABCD Vẽ ngồi hình bình hành hình vng có cạnh theo thứ tự AB, BC , CD, DA có tâm (đối xứng) E , F , G, H Chứng minh rằng: a) ∆HAE = ∆FBE b) EFGH hình vng 10 Cho hình vng ABCD , điểm E thuộc cạnh BC , điểm F thuộc tia tới tia DC cho BE = DF Qua A kẻ đường thẳng vng góc với EF , cắt CD K Qua E kẻ đường thẳng song song với CD , cắt AK I Tứ giác FIEK hình gì? Vì sao? 11 Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMNP BMLK có giao điểm đường chéo theo thứ tự C D Gọi G, Q hình chiếu C , D AB a) Tứ giác CDQG hình gì? b) Gọi O giao điểm AC BD Tứ giác OCMD hình gì? c) Tính khoảng cách từ trung điểm I AB đến AB biết AB = a d) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB I di chuyển đường thẳng nào?