ly thuyet cac dang toan va bai tap phep nhan va phep chia da thuc

CHƯƠNG I PHÉP NHÂN VÀ CHIA CÁC ĐA THỨC §1 NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC §2 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với Nếu kí hiệu đơn thức chữ A, B, C, D, … viết gọn quy tắc sau: A ( B + C ) = A.B + A.C Phép nhân đơn thức với đa thức tương tự phép nhân số với tổng ý đến dấu đơn thức tham gia phép toán để đặt dấu “+” “ – ” cho thích hợp: A ( B + C − D )= A.B + A.C − A.D Ví dụ: x ( x − x + 1= ) 12 x − 3x3 + 3x Muốn nhân đa thức với đa thức ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với nhau: ( A + B )( C + D ) = AC + AD + BC + BD Phép nhân hai đa thức tổng kết nhân đơn thức đa thức với đa thức ( A + B )( C + D − E=) A ( C + D − E ) + B ( C + D − E ) = AC + AD − AE + BC + BD − BE Ví dụ: ( x + 1) ( x3 − x − 1=) x ( x3 − x − 1) + 1( x3 − x − 1) = x − x − x + x3 − x − = x + x3 − x − x − B CÁC DẠNG TOÁN Dạng LÀM TÍNH NHÂN Phương pháp giải Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhân đa thức với đa thức A ( B + C ) = A.B + A.C ( A + B )( C + D ) = AC + AD + BC + BD Chú ý phép tính lũy thừa a n a m = a n + m ; (a ) n m = a nm ; = a 1( a ≠ ) Ví dụ (Bài 1, trang SGK) Làm tính nhân : 1  a) x  x − x −  ; 2  ( b) xy − x + y ) 23 x y;   c) ( x3 − xy + x )  − xy    Giải Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, ta có: 1 1  a) x  x − x − = x x − x x − x = x − x − x ; 2 2  ( b) xy − x + y ) 23 x =y 2 2 2 xy x y − x x y + y x 2= y x3 y − x y + x y ; 3 3   c) ( x − xy + x )  − xy  = −2 x y + x y − x y   Ví dụ (Bài 7, trang SGK) Làm tính nhân : a) ( x − x + 1) ( x − 1) ; b) ( x − x + x − 1) ( − x ) ( ) Từ câu b) suy kết phép nhân x3 − x + x + ( x − ) Giải: a)Thực phép nhân đa thức với đa thức ta có: ( x2 − x + 1) ( x − 1=) x ( x − 1) − x ( x − 1) + ( x − 1) = x3 − x − x + x + x − = x3 − x + x − b) ( x3 − x2 + x − 1) (5 − x )= x3 ( − x ) − x ( − x ) + x ( − x ) − ( − x ) = x3 − x − 10 x + x3 + x − x − + x = − x + x3 − 11x + x − Vì x − =− ( − x ) nên : ( x3 − x2 + x − 1) ( x − 5) =− ( x3 − x2 + x − 1) (5 − x ) =− ( − x + x3 − 11x + x − ) = x − x3 + 11x − x + Ví dụ ( Bài 8, trang SGK) Làm tính nhân :     2 a)  x y − xy + y  ( x − y ) ; ( ) b) x − xy + y ( x + y ) Giải:     2 2 2 2 a)  x y − xy + y  ( x − y ) = x y − x y − x y + xy + xy − y ( ) b) x − xy + y ( x + y ) =x3 + x y − x y − xy + y x + y =x3 + y Ví dụ ( Bài 10, trang SGK) Thực phép tính: ( )  12 (   a) x − x +  x −  ; ) b) x − xy + y ( x − y ) Giải: ( )  12   a)Ta có x − x +  x − = = 3 x − x − x + 10 x + x − 15 2 23 x − x + x − 15 2 ( ) b) x − xy + y ( x − y ) = x3 − x y − x y + xy + y x − y = x3 − 3x y + 3xy − y Ví dụ (Bài 15, trang SGK) Làm tính nhân : 1 2       a)  x + y  x + y  ; b)  x −   y  x − y    Giải: 1 2     a)  x + y  x + y =   b)  x − 1 x + xy + yx + y 2= x + xy + y 2   1 1 y  x − y  = x − xy − yx + y = x − xy + y   2 4 DẠNG TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Phương pháp giải * Dựa vào quy tắc nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức ta rút gọn biểu thức * Thay giá trị biến vào biểu thức đá rút giọn Ví dụ (Bài 2, trang SGK) Thực phép nhân rút gọn tính giá trị biểu thức: −6 y = a) x( x − y ) + y ( x + y ) tai x = ( ) ( ) −100 b) x x − y − x ( x + y ) + y x − x tai x = y = Giải: a)Trước hết ta rút gọn biểu thức: x( x − y ) + y ( x + y ) = x − xy + yx + y = x + y Thay giá trị x = −6; y = vào biểu thức rút gọn ta được: x + y =− ( 6) + 82 = 36 + 64 = 100 ( ) ( b) x − y − x ( x + y ) + y x − x Thay giá trị x = ) = x3 − xy − x3 − x y + yx − yx = −2 xy , y = −100 vào biểu thức rút gọn ta được: −2 xy =−2 ⋅ ⋅ (−100) =100 Ví dụ (Bài , trang SGK ) Điền dấu x vào ô mà em cho đáp số Giá trị biểu thức ax( x − y ) + y ( x + y ) x = −1 y = ( a số) là: a −a + −2a 2a Giải Ta có: ax( x − y ) + y ( x + y ) = ax − axy + xy + y Thay x = −1 y = vào ta được: a (−1) − a (−1)(1) + (−1) ⋅13 + 14 = a + a − + = 2a a −a + −2a 2a x Ví dụ (Bài , trang SGK ) Điền kết tính vào bảng: Giá trị x y Giá trị biểu thức ( x − y ) ( x + xy + y ) x= −10; y = x= −1; y = x = 2; y = −1 x= −0,5; y = 1, 25 (trường hợp dùng máy tính bỏ túi để tính Lời giải Rút gọn biểu thức ta ( x − y ) ( x + xy + y ) − x3 + x y + xy − yx − xy − y = x3 − y Ta có kết sau: Giá trị x y Giá trị biểu thức x3 − y x= −10; y = −1008 x= −1; y = −1 x = 2; y = −1 x= −0,5; y = 1, 25 −2, 078125 (trường hợp dùng máy tính bỏ túi để tính Ví dụ (Bài 12 , trang SGK ) ( ) ( ) Tính giá trị biểu thức x − ( x + 3) + ( x + 4) x − x trường hợp sau: a) x = b) x = 15 c) x = −15 d) x = −0,15 Lời giải Rút gọn biểu thức ta được: (x − ) ( x + 3) + ( x + 4) ( x − x ) = x3 + 3x − x − 15 + x − x3 + x − x =− x − 15 Kết tính theo bảng sau Giá trị x Giá trị biểu thức − x − 15 x=0 −15 x = 15 −30 x = −15 x = −0,15 −15,15 Dạng RÚT GỌN BIỂU THỨC Phương pháp giải Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức rút gọn biểu thức Ví dụ 10 (Bài , trang SGK ) Rút gọn biểu thức: a) x ( x − y + y ( x − y ) ) b) x n−1 ( x + y ) − y ( x n−1 + y n−1 ) Giải a) x ( x − y ) + y ( x − y ) = x − xy + ? − x = x − y b) x n−1 ( x + y ) − y ( x n−1 + y n−1 = ) x n + x n−1 y − − yx n−1 − y n= x n − y n Dạng TÌM x THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC Phương pháp giải • Thực phép nhân đa thức, biến đổi rút gọn để đưa đẳng thức cho dạng ax = b • Tìm x = b ( a ≠ ) a Ví dụ 11 ( Bài 3, trang SGK) Tìm x , biết a) x (12 x − ) − x ( x − 3) = 30 b) x ( − x ) + x ( x − 1) = 15 Giải a) Rút gọn biểu thức vế trái ta có x (12 x − ) − x ( x − 3)= 36 x − 12 x − 36 x + 27 x= 15 x Đẳng thức cho trở thành: 15 x = 30 Vậy = x 15 = Ví dụ 12 (Bài 3, trang SGK) Tìm x , biết (12 x − )( x − 1) + ( x − )(1 − 16 x ) = 81 Giải Thực phép tính vế trái, ta có (12 x − 5)( x − 1) + ( 3x − )(1 − 16 x ) 48 x − 12 x − 20 x + + x − 48 x − + 112 x= 83 x − Đẳng thức cho trở thành: 83 x − = 81 , tức 83 x = 83 hay x = Dạng CHỨNG MINH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN Phương pháp giải • Ta biến đổi biểu thức cho thành biểu thức khơng cịn chứa biến x • Để kiểm tra kết tìm ta thử thay giá trị biến (chẳng hạn x = ) vào biểu thức so sánh kết Ví dụ 13 (Bài 11, trang SGK) Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến ( x − 5)( x + 3) − x ( x − 3) + x + Giải Thực phép nhân đa thức rút gọn ta ( x − 5)( x + 3) − x ( x − 3) + x + =2 x + x − 10 x − 15 − x + x + x + =−8 Giá trị biểu thức −8 với giá trị biến x Vậy giá trị biểu thức cho không phụ thuộc vào giá trị biến x Chú ý: Nếu thay x = vào biểu thức cho ta −5.3 + =−8 Dạng GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN x Phương pháp giải • Chọn ẩn x xác định điều kiện cho ẩn • Dựa vào đề để tìm đẳng thức có chứa x • Giải tìm x chọn kết thích hợp Ví dụ 14 (Bài 14, trang SGK) Tìm số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích hai số sau lớn tích hai số đầu 192 Giải Gọi x, x + 2, x + ba số chẵn liên tiếp phải tìm ( x số tự nhiên chẵn) Tích hai số đầu là: x ( x + ) Tích hai số sau là: ( x + )( x + ) Theo đề ta có ( x + 2)( x + 4) − x( x + 2) = 192 Rút gọn vế trái đẳng thức ta được: ( x + 2)( x + 4) − x( x + 2) = x + x + x + − x − x = x + Khi ta có: x + 8= 192 ⇒ x= 184 ⇒ x= 46 Vậy ba số chẵn liên tiếp cần tìm 46, 48, 50 Ví dụ 15 (Bài trang SGK) Đố đoán tuổi Bạn lấy tuổi mình: - Cộng thêm - Được đem nhân với - Lấy kết vừa tìm cộng với 10 - Nhân kết vừa tìm với - Đọc kết cuối sau trừ cho 100 Tôi đốn tuổi bạn Giải thích ? Giải Giả sử tuổi b n l x Lấy tuổi cộng thêm được: x + Sau đem nhân với được: 2(x + 5) = 2x +10 Lấy kết cộng với 10: (2x + 10) + 10 = 2x + 20 Nhân kết vừa tìm với 5: (2x + 20).5 = 10x + 100 Đọc kết cuối sau trừ 100 (l0x +100) – 100 = 10x Vậy tuổi bạn kết đọc cuối chia cho 10 Dạng CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Phương pháp giải Để chứng minh đẳng thức ta áp dụng cách sau : • Biến đổi vế trái (VT) vế phải (VP) biến đổi VP VT • • Biến đổi hai vế biểu thức Chứng minh hiệu VT VP Ví dụ 16 Chứng minh : a) ( x − xy + y ) ( x + y ) = x + y b) ( x + xy + y ) ( x − y ) = x − y Giải a) Thực phép nhân đa thức vế trái rút gọn ta có : (x − xy + y ) ( x + y ) = x + x y − x y − xy + y x + y = x + y b) ( x + xy + y ) ( x − y ) = x − x y + x y − xy + xy − y = x − y Ví dụ 17 Chứng minh x + y + z − xyz = ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) Giải Thực phép nhân đa thức vế phải, ta có : ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) =x + xy + xz − x y − xyz − x z + yx + y + yz − xy − y z − xyz + + zx + zy + z − xyz − yz − xz = x + y + z − xyz ( Vậy: x + y + z − xyz = ( x + y + z ) x + y + z − xy − yz − zx ) Dạng ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC Phương pháp giải: • Phép chia hết : Cho hai số nguyên a b ( b ≠ ) , ta nói a chia hết cho b , kí hiệu a b có số ngun q cho a = b.q, ta cịn nói b ước c ủ a a • Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho   c Ví dụ 18 Chứng minh : a) 352003 – 352004 chia hết cho 17 b) 432004 + 432005 chia hết cho 11 c) 273 + 95 chia hết cho Giải a) Ta có: 352003 – 352004 = 352004 (35 – 1) = 34.352004 Vì 34 = 2.17 c h i a hết cho 17 nên 34.352004 chia hết cho 17 b) 432004 + 432005= 432004 (1 + 43) = 44.432004 Vì 44 = 4.11 chia hết cho 11 nên 44.432004 chia hết cho 11 ) c) 273 + 95 = 39 + 310 = 39 (1 + 3) = 4.39 chia hết cho Ví dụ 19: Chứng minh (2m − 3)(3n − 2) − (3m − 2)(2n − 3) chia hết cho với số nguyên m, n Giải Ta có: ( 2m − 3)( 3n − ) − ( 3m − )( 2n − 3) = = 6mn − 4m − 9n + − 6mn + 9m + 4n − = 5m − 5n = ( m − n ) chia hết cho Dạng ĐA THỨC ĐỒNG NHẤT BẰNG NHAU Phương pháp giải - Hai đa thức biến số x gọi đồng chúng nhận giá trị giá trị biến số x , kí hiệu f ( x ) ≡ g ( x ) Vậy f ( x ) ≡ g ( x ) f ( x ) = g ( x ) với x - Hai đa thức đồng đồng hệ số tương ứng chúng ngược lại Chẳng hạn cho f ( x ) = a1 x + b1 x + c1 g ( x ) = a2 x + b2 x + c2 Nếu f ( x ) ≡ g ( x ) = a1 a= b= c2 , b1 , c1 - Một đa thức đồng đa thức có hệ số ngược lại Ví dụ 20 Xác định a, b, c, d thỏa đẳng thức sau với giá trị x : a) ( ax + b ) ( x + cx + 1) = x3 − x + b) x + ax + b= (x − x + )( x + cx + d ) Giải a) Thực phép nhân đa thức rút gọn vế trái ta được: ( ax + b ) ( x + cx + 1) = ax3 + acx + ax + bx + bcx + b = ax + ( ac + b ) x + ( a + bc ) x + b Vậy ta có hai đa thức đồng sau: ax + ( ac + b ) x + ( a + bc ) x + b = x3 − x + Suy a = a = ac + b =   ⇒ b =  −3  a + bc = c = −2 b = b) Biến đổi vế phải ta được: (x − x + )( x + cx + d ) =x + cx + dx − x − 3cx − 3dx + x + 2cx + 2d = x + ( c − 3) x + ( d + − 3c ) x + ( 2c − 3d ) x + 2d Vậy ta có hai đa thức đồng sau: c − = d + − 3c = a  x + ax + b º x + ( c − 3) x3 + ( d + − 3c ) x + ( 2c − 3d ) x + 2d Suy ra:  2c − 3d = 2d = b Từ (1) suy c = , thay c = vào (3) ta d = Từ (4) suy b = 4, thay c = = , b 4,= d vào (2) ta a = −5 Vậy a = −5, b = 4, c = 3, d = (1) (2) (3) (4) § 12.CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP A TĨM TẮT LÝ THUYẾT •Phép chia hai đa thức xếp thực tương tự phép chia hai số tự nhiên • Đối với hai đa thức biến A,B tùy ý , B ≠ tồn hai đa thức Q R cho= A B.Q + R ,Trong R=0 bậc R thấp bậc B Khi R=0 phép chia A cho B phép chia hết •Muốn tìm hạng tử cao đa thức thương Q ta chia hạng tử cao đa thức bị chia A cho hạng tử cao đa thức chia B •Để tìm hạng tử thứ hai đa thức thương ta chia hạng tử cao dư thứ cho hạng tử cao đa thức chia •Chia đến bậc đa thức dư R bé bậc đa thức chia B B CÁC DẠNG TOÁN Dạng THỰC HIỆN PHÉP CHIA ĐA THỨC Phương pháp giải - Sắp xếp đa thức biến theo lũy thừa giảm dần - Các bước chia đa thức xếp + Trình bày phép chia phép chia số tự nhiên A+ B +C D + E + Chia hạng tử cao đa thức bị chia cho hạng tử cao đa thức chia ta hạng tử cao đa thức thương + Chia hạng tử cao dư thứ cho hạng tử cao đa thức chia ta hạng tử thứ hai đa thức thương … Chú ý Nếu đa thức bị chia khuyết bậc trung gian viết ta để trống khoảng ứng với bậc khuyết Ví dụ (Bài 67, trang 31 SGK) Sắp xếp đa thức sau làm phép chia : a) ( x3 − x + − x ) : ( x − 3) b) ( x − x − x − + x ) : ( x − ) Giải a) x −3 x − x − x +3 x +2x − x3 − 3x − − 2x − x +3 2x − x − − x +3 − x +3 Vậy ( x − x + − x ) : ( x − 3) = x + x − b) x − 3x3 − 3x + x − x2 − − − x2 x4 x − 3x + − 3x3 + x + x − − − 3x + 6x x2 −2 x2 −2 − Vậy : (2 x − 3x3 − 3x + x − 2) : ( x − 2) = x − 3x + Ví dụ ( Bài 69, trang 31 SGK) Cho hai đa thức A = 3x + x3 + x − 5, B=x + Hãy chia A cho B viết A dạng= A B.Q + R Giải Thực chia A cho B 3x + x3 + 6x − x2 + − 3x + 3x 3x + x − x3 − 3x + x − − x3 +x − 3x + x − − − 3x −3 −5 x + Vậy: 3x + x3 + x − 5= ( x + 1)(3x + x − 3) + x − Ví dụ ( Bài 70, trang 32 SGK) Làm tính chia: a) (15 x3 y − x y − 3x y ) : x y b) (25 x5 − x + 10 x ) : x Giải a) (15 x y − x y − x y ) : x 2= y b) Ví dụ xy − − y 2 (25 x5 − x + 10 x ) : x = x3 − x + ( Bài 72, trang 32 SGK) Làm tính chia: (2 x + x3 − 3x + x − 2) : ( x − x + 1) Giải x + x3 − 3x + x − x2 − x + x − x3 + x 2 x + 3x − − 3x3 − x + x − − 3x3 − 3x + 3x − x2 + x − − − x2 + x − Dạng 2: TÍNH NHANH Phương pháp giải Sử dụng đẳng thức đáng nhớ Ví dụ ( Bài 68, trang 31 SGK) Tính nhanh: a) ( x + xy + y ) : ( x + y ); b) (125 x3 + 1) : (5 x + 1); c) (x − xy + y ) : ( y − x) Giải a) ( x + xy + y ) : ( x + y ) =( x + y )2 : ( x + y ) =x + y b) (125 x3 + 1) : (5 x + 1)= 25 x + x + c) (x − xy + y ) : ( y − x) =(y− x)2 : ( y − x) = y − x Ví dụ ( Bài 71, trang 32 SGK) Không thực phép chia, xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B không a) A = 15 x − x3 + x ; B= x b) A = x − x + 1; B=1-x Giải a) A chia hết cho B 15 x ,8 x3 b) A chia hết cho B A= (1 − x ) x chia hết cho x Ví dụ (Bài 73, trang 32) Tính nhanh: a) ( x − y ) : ( x − y ) b) ( 27 x − 1) : ( x − 1) c) ( x + 1) : ( x − x + 1) d) ( x − x + xy − y ) : ( x + y ) Giải a) ( x − y ) : ( x − y ) =( x − y )( x + y ) : ( x − y ) =2 x + y b) ( 27 x − 1) : ( x − 1) = x + x + c) ( x + 1) : ( x − x + 1) = x + d) x − x + xy − y = x ( x − 3) + y ( x − 3) = ( x + y )( x − 3) Do đó: ( x − x + xy − y ) : ( x + y ) =x − Dạng ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ BÉZOUT ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC RA THỪA SỐ Phương pháp giải • Định lí Bézout Dư phép chia đa thức f ( x ) cho f ( x ) • Hệ x = a ) x−a f ( a ) ( f ( a ) giá trị đa thức - Nếu f ( x ) chia hết cho x−a f ( a ) = - Nếu f ( a ) = f ( x ) chia hết cho Chứng minh: Lấy f ( x ) chia cho x−a x−a dư λ Ta có: f ( x) = ( x − a ) q ( x ) + λ x=a Thay (1) vào (1) ta được: f ( a ) = λ Vậy f ( a ) dư phép chia f ( x ) cho x−a Ví dụ (Bài 74, trang 32 SGK) Tìm số a để đa thức f ( x )= x3 − 3x + x + a chia hết cho đa thức x + Giải f ( x ) chia hết cho x + f ( −2 ) = tức khi: ( −2 ) − ( −2 ) + ( −2 ) + a = ⇒ a = 30 3 Ví dụ Cho đa thức f ( x ) = x − x + x − Chứng minh f ( x ) chia hết cho x − Tìm thương phép chia f ( x ) cho x − Từ phân tích đa thức x − x + x − thừa số Giải Thay x = vào f ( x ) ta được: f ( = ) 3.23 − 7.22 + 4.2 − 4= Vậy f ( x ) chia hết cho x − Thực phép chia đa thức f ( x ) cho x − ta thương q ( x )= x − x + Vậy : x − x + x − = ( x − ) ( 3x − x + 2.) Dạng TÌM SỐ NGUYÊN n ĐỂ BIỂU THỨC A ( n ) CHIA HẾT CHO BIỂU THỨC B ( n ) Phương pháp giải • Thực phép chia đa thức A ( n ) cho B ( n ) • A(n) R (n) Giả sử: = Q ( n ) + Xác định B (n) B (n) Ví dụ 10 Tìm tất giá trị nguyên n để R ( n ) B (n) n để số nguyên 2n + 3n + chia hết cho 2n − Giải Thực phép chia 2n + 3n + cho 2n − ta được: 2n + 3n + = n+2+ 2n − 2n − 2n + 3n + Để số nguyên phải số nguyên Suy 2n − ước Ước 2n − 2n − bao gồm số ±1 , ±5 Với 2n − =−1 ta có n = ta có n = Với 2n − = Với 2n − =−5 ta có n = −2 Với 2n − =−1 ta có n = ta có n = Với 2n − = Vậy với n = 0; 1; -2; 2n + 3n + chia hết cho 2n − Tóm lại x − x + = ( x − 1) ( 3x ) + 2x +1 • Tìm nghiệm đa thức với biến cho • Áp dụng Định lý Bézout (dạng 3) Để tìm dư phép chia f ( x ) cho x − α tìm đa thức thương q ( x ) ta dùng cách sau: + Thay giá trị đặc biệt x gọi phương pháp xét giá trị riêng + Thực phép chia đa thức f ( x ) cho f ( x ) + Dùng sơ đồ Horner để tính hệ số đa thức thương dư sau: Giả sử: f ( x= ) an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 ; q (= x ) bn x n −1 + bn −1 x n − + + b2 x + b1 Các hệ số bi tính sau : α an an −1 an − a1 bn bn −1 bn − b1 = an = α b2 + a1 = α bn + an −1 = α bn −1 + an − Dư = λ α b1 + a0 Chẳng hạn, phân tích f ( x ) = x − x3 + thành nhân tử Ta có x = nghiệm đa thức f ( x ) f (1) = nên f ( x ) chia cho x − Thực phép chia đa thức f ( x ) cho x − ta thương q ( x )= x − x − x − dùng sơ đồ Horner sau: Vậy f ( x ) = −4 0 −1 −1 −1 ( x − 1) ( 3x3 − x − x − 1) Ta lại có q (1) = với q ( x )= x − x − x − nên ( ) q ( x ) = ( x − 1) x + x + 1 −1 −1 −1 Dạng PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG Phương pháp giải Ví dụ 11 Phân tích thành nhân tử đa thức sau phương pháp xét giá trị riêng a ) P= ab ( a − b ) + bc ( b − c ) + ca ( c − a ) ; ( ) ( ) ( ) b) Q=a b − c + b c − a + c a − b ; Giải a ) Nếu thay a b P= b ( b − b ) + bc ( b − c ) + cb ( c − b = ) nên P chia hết cho a − b Vì vai trị a, b, c đa thức nên P chia hết cho ( a − b )( b − c )( c − a ) Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc ba biến, đa thức chia ( a − b )( b − c )( c − a ) có bậc ba biến nên thương số k Trong đẳng thức : ab ( a − b ) + bc ( b − c ) + ca ( c − a )= k ( a − b )( b − c )( c − a ) Ta cho biến nhận giá trị riêng a = 2, b=1, c=0 ta được: 2.1.1 + + =k 1.1 ( −2 ) ⇒ k =−1 Vậy P = ( a − b )( b − c )( a − c ) b) Tương tự Q = ( a − b )( b − c )( c − a ) Ví dụ 12 Phân tích đa thức a + b3 + c − 3abc thành nhân tử Giải Cách Xem f ( x ) = a − 3abc + b3 + c3 đa thức bậc ba a Ta có: f ( −b − c ) =− ( b + c ) + ( b + c ) bc + b3 + c3 =0 f ( a ) chia hết cho a + b + c Thực phép chia đa thức f ( a ) cho a + b + c dùng sơ đồ horner để tìm đa thức dương: −b − c −3bc b3 + c −b − c b + c − bc Đa thức thương q ( x ) = a − ( b + c ) a + b + c − bc Vậy: f ( a ) = ( a + b + c )  a − ( b + c ) a + b2 + c − bc  Hay: a + b3 + c − 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) Cách Thay a −b − c đa thức có giá trị nên P = a + b3 + c3 − 3abc chia hết cho a+b+c P có bậc ba biến, a + b + c có bậc nên thương đa thức bậc hai biến a, b, c có vai trị nên thương có dạng k ( a + b + c ) + l ( ab + bc + ca ) với k l số Ta có hẳng đẳng thức: a + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)[k (a + b + c ) + l (ab + bc + ca )] Thay a= 1, b= c= ta k = 2(2 + l ) suy l = −1 Thay a= b= 1, b= ta := Vậy : a + b3 + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca ) Dạng TÌM CÁC HỆ SỐ ĐỂ ĐA THỨC f(x) CHIA HẾT CHO g(x) Phương pháp giải • Đa thức f(x) gọi chia hết cho đa thức g(x) có đa thức q(x) cho Chẳng hạn : chia hết cho • Để xác định hệ số đa thức cho f(x) chia hết cho g(x) ta sử dụng phương pháp : + Định lí Bezout : ‘’ Nếu f(x) chia hết cho + Thực phép chia đa thức tìm đa thức dư ‘’ : , sau cho + Dùng đồng Ví dụ 13 Xác định hệ số a b để đa thức f ( x) =x + ax + b chia hết cho g ( x) = x − 3x + Tìm đa thức thương Giải Cách Phân tích g ( x) thành nhân tử: g ( x) = x − x − x + = x( x − 1) − 2( x − 1) = ( x − 1)( x − 2) Nếu f ( x) chia hết cho g ( x) f ( x) chia hết cho x − chia hết cho x − Theo x 1;= x vào f ( x) ta : + a + b = định lí Bezout ta có: f (1) = f (2) = Thay = −5, b = 16 + 4a + b = Từ suy a = Thực phép chia đa thức f ( x) =x − x + cho đa thức x − x + ta thương q ( x) = x + x + Cách Lấy đa thức f ( x) chia cho đa thức g ( x) đa thức dư r ( x)= (3a + 15) x + b − 2a − 14 đa thức thương q ( x) = x + x + a + + ax x4 x4 x − 3x + +b x + 3x + a + − 3x3 + x2 3x3 + (a − 2) x 3x3 − 9x2 + 6x (a + 7) x − 6x +b +b (a + 7) x − 3(a + 7) x + 2(a + 7) (3a + 15) x + b − 2a − 14 Để f ( x) chia hết cho g ( x) dư r ( x)= (3a + 15) x + b − 2a − 14 phải đồng −5, b = Khi đa thức thương b − 2a − 14 = Suy a = tức : 3a + 15 = q( x) = x + 3x + Cách Giả sử đa thức thương q ( x) = x + cx + d Ta có đồng hai đa thức: x + ax + b ≡ ( x − x + 2)( x + cx + d ) Thực phép nhân đa thức vế phải ta được: x − ax + b = x + (c − 3) x3 + (d + − 3c) x + (2c − 3d ) x + 2d 3, d = 2, a = −5, b = Từ suy : c − 3= 0, d + − 3c= a, 2c − 3d= 0, b= 2d Hay c = −5, b = f ( x) chia hết cho g ( x) đa thức thương q( x) = x + x + Vậy với a = Dạng TÌM DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC Phương pháp giải • Dư phép chia đa thức đa thức cho (bậc • Dư phép chia cho Ví dụ 14 < bậc Để tính Thật vậy, giả sử : Với Tìm dư phép chia đa thức : a) f ( x) =1 + x + x + x + + x100 cho x + ; b) f ( x)= x − 70 x + x − x + cho x − ; Giải nhỏ bậc với bậc ) ta dùng sơ đồ Horner (xem dạng 5) ta có: 51 a) Dư phép chia f ( x ) cho x + f ( −1) = b) Dư phép chia f ( x ) cho x − f ( ) = 571 Ví dụ 15 −70 −1 12 16 95 571 Tìm dư phép chia đa thức f ( x ) = x + x + cho đa thức g ( x= ) x3 − x Giải Cách Thực phép chia đa thức f ( x ) cho g ( x ) ta được: − − Do đó: x5 + x + 1= (x x5 + x + x5 − x3 x3 − x x2 + x3 + x + x3 − x 2x +1 − x )( x + 1) + x + Vậy dư cần tìm x + Cách Giả sử f ( x ) =− ( x3 x ) q ( x ) + r ( x ) Vì bậc g ( x ) nên bậc r ( x ) không Đặt r ( x ) = ax + bx + c , ta có: x5 + x + = x ( x − 1)( x + 1) q ( x ) + ax + bx + c (1) Lần lượt thay x= 0, − 1, vào (1) ta được: c =−1, a − b + c =3, a + b + c =−1 Suy ra= a 0,= b 2,= c Vậy dư cần tìm x + Ví dụ 16 Cho đa thức f ( x ) , phần dư phép chia f ( x ) cho x cho x − Hãy tìm phần dư phép chia f ( x ) cho x ( x − 1) Giải Theo Định lí Bézout ta có f ( ) = f (1) = Vì x ( x − 1) có bậc hai nên dư phép chia f ( x ) cho x ( x − 1) có bậc khơng q Giả sử dư r ( x= ) ax + b ta có: f ( x ) = x ( x − 1) q ( x ) + ax + b Thay x = vào (1) ta : f ( )= b= Thay x = vào (1) ta được: f (1) = a + b = Từ suy a= b= Vậy dư cần tìm x + C LUYỆN TẬP (Dạng 1) Sắp xếp đa thức làm phép chia: a) ( x + x5 − x − 15 x3 + x + x − ) : ( x + x − 1) ; (1) b) (17 x − x + x3 − 23 x + ) : ( − x − x ) ; (Dạng 2) Làm tính chia: a) (15 x3 y − 10 x y + xy ) : ( −5 xy ) ; b) 7 ( x − y )( x + y ) − (14 x − y )  : ( −3 y ) (Dạng 2) Thực phép chia đa thức sau cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử: a) ( x + x + x + 1) : ( x + 1) ; b) ( x + x + ) : ( x + 3) ; c) ( x + x − 12 ) : ( x − ) (Dạng 3) Xác định a để đa thức x − x + a chia hết cho ( x − 1) (Dạng 4) Tìm tất số nguyên n để 2n + n − chia hết cho n − (Dạng 5) Dùng sơ đồ Horner phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) x + x − x − 10; a) x − x − 6; c) x − x + 11x − 6; d) x3 − 19 x − 30 (Dạng 5) Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng: a) ( a + b + c ) − a − b3 − c3 ; b) a ( b − c ) + b3 ( c − a ) + c ( a − b ) ; c) ( a + b + c ) − a − b5 − c5 ; d) 2a 2b + 2b 2c + 2c a − a − b − c (Dạng 6) Xác định a, b để đa thức f ( x ) = x − x3 + x + ax + b chia hết cho đa thức g ( x ) = x − x + (Dạng 6) Xác định m để đa thức x3 + y + z + mxyz chia hết cho đa thức x + y + z 10 (Dạng 7) Xác định a, b để đa thức f ( x) = x10 + ax + b chia hết cho x − có dư 2x +1 11 (Dạng 7) Tìm dư phép chia: a) f ( x) =− x + x − x + + (−1) n nx n cho x + ; b) f ( x) = x100 − x50 + x 25 − cho x − 12 (Dạng 7) Xác định a, b để đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + dư −6 , chia cho x − dư 21 ÔN TẬP CHƯƠNG I A 75 Làm tính nhân: a) x (3 x − x + 2) ; BÀI TẬP ÔN TRONG SGK b) xy.(2 x y − xy + y ) Giải a) x (3 x − x + 2)= 15 x − 35 x + 10 x ; b) 2 xy.(2 x y − xy + y 2= ) x y − x y + xy 3 Làm tính nhân: 76 2 a) (2 x − x)(5 x − x + 1) b) ( x − y )(3 xy + y + x) Giải a) (2 x − x)(5 x − x + 1)= 10 x − x + x − 15 x + x − x = 10 x − 19 x + x − x b) ( x − y )(3 xy + y + x)= x y + xy + x − xy − 10 y − xy= x y − xy + x − 10 y − xy 77 Tính nhanh giá trị biểu thức sau: a) M =x + y − xy x = 18 y = ; b) N =8 x − 12 x y + xy − y x = y = −8 Giải a) Ta có M= ( x − y ) Với x = 18 y = thì: M= (18 − 2.4) = 102 = 100 N (2 x − y )3 Với x = y = −8 thì: b) = N = (2.6 + 8)3 = 8000 78 Rút gọn biểu thức sau: a) ( x + 2)( x − 2) − ( x − 3)( x + 1) ; b) (2 x + 1) + (3 x − 1) + 2(2 x + 1)(3 x − 1) Giải a) Ta có ( x + 2)( x − 2) − ( x − 3)( x + 1) = x − − ( x + − x − 3) = x − − x − x + 3x + = 2x −1 b) (2 x + 1) + (3 x − 1) + 2(2 x + 1)(3 x − 1) = [(2 x + 1) + (3 x − 1)]2 2 = (5= x ) 25 x 79 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − + ( x − 2) b) x − x + x − xy b) x − x − 12 x + 27 Giải a) x − + ( x − 2) = ( x − 2)( x + 2) + ( x − 2) b) x − x + x − xy = x( x − x + 1) − xy ) = x[( x − 1) − y ] c) x − x − 12 x + 27 = ( x3 + 27) − 4( x + 3) = ( x − 2)[( x + 2) + ( x − 2)] = x( x − 2) = x( x − − y )( x − + y ) = ( x + 3)( x − 3x + 9) − 4( x + 3) = ( x + 3)( x − 3x + 5) 80 Làm tính chia: a) (6 x3 − x − x + 2) : (2 x + 1) b) ( x − x3 + x + x) : ( x − x + 3) c) ( x − y + x + 9) : ( x + y + 3) Giải a) ¯ x3 − x − x + 2x +1 x3 + 3x 3x − x + −10 x − x + ¯ −10 x − x 4x + ¯ 4x + Vậy (6 x − x − x + 2) : (2 x + 1)= x − x + b) ¯ x − x3 + x + 3x x2 − x + x − x3 + 3x x2 + x x3 − x + 3x ¯ x3 − x + 3x Vậy: ( x − x + x + x) : ( x − x + 3) = x + x c) 2 x − y + x + = ( x + x + 9) − y = ( x + 3) − y = ( x + − y )( x + + y ) Do đó: ( x − y + x + 9) : ( x + y + 3) = ( x + − y )( x + + y ) 81 a) Tìm x , biết: x( x − 4) = c) x + 2 x + x3 = 0 b) ( x + 2) − ( x − 2)( x + 2) = Giải a) Ta có: 2 x( x − 4) = x( x − 2)( x + 2) Do đó: 3 x( x − 2)( x + 2) = x = , x = x = −2 b) ( x + 2) − ( x − 2)( x + 2) = ( x + 2)( x + − x + 2) = 4( x + 2) Vậy 4( x + 2) = x = −2 c) x(1 + 2 x + x ) = hay x(1 + 2 x) = Vậy x = , x = − 82 Chứng minh rằng: a) x − xy + y + > với x , y ; b) x − x − < với x a) Ta có x − xy + y + = ( x − y ) + Vì ( x − y ) ≥ nên ( x − y ) + ≥ với x , y Giải b) 2  1 x − x − =−( x − x) − =−  x − 2.x +  + 4  1  = −  x −  − < với x 2  83 Tìm n ∈  để 2n − n + chia hết cho 2n + Giải Ta có: 2n − n + 2= (2n + 1)(n − 1) + 2n − n + chia hết cho 2n + ước Ước bao gồm ±1 , ±3 Từ tìm n ∈ { − 1;0;1; −2} B BÀI TẬP BỔ SUNG Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3 − 7a − ; b) a + 4a − a − 10 ; c) a (b + c) + b(c + a ) + c(a + b) − 4abc ; d) (a + a ) + 4(a + a ) − 12 ; e) ( x + x + 1)( x + x + 2) − 12 ; f) x8 + x + ; g) x10 + x + ; h) x3 ( z − y ) + y ( x − z ) + z ( y − x ) + xyz ( xyz − 1) ; i) ( x + y + z )3 − ( x + y − z )3 − ( y + z − x )3 − ( z + x − y )3 2 2 Cho a, b, c   thỏa điều kiện ab + ac + bc = Chứng minh (1 + a )(1 + b )(1 + c ) bình phương số hữu tỉ a) Phân tích thành nhân tử x3 + y + z − xyz ; z , y − zx = b , z − xy = c ( x, y, z ∈ ) ax + by + cz b) Chứng minh x − yz = chia hết cho a + b + c Tìm cặp số ( x; y ); x, y ∈  thỏa mãn đẳng thức: a) x + y = xy −2 b) xy − y − x = Xác định a cho (10 x − x + a ) chia hết cho (2 x − 3) Tính giá trị biểu thức x3 + xy + y biết x + y =