Một số đặc trưng của hàm đơn điệu toán tử

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU THỊ HUỲNH TRÂM MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Đinh - Năm 2019 CHÂU THỊ HUỲNH TRÂM MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 Người hướng dẫn: TS LÊ CƠNG TRÌNH Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài “Một số đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử ” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Lê Cơng Trình Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Bình Định, tháng 07 năm 2019 Hoc viên thưc đề tài Châu Thị Huỳnh Trâm Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ MỞ ĐẦU HIỆU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tốn tử tuyến tính khơng gian Hilbert 1.2 Định lý phân tích phổ giá trị toán tử củamột hàm số 1.3 Toán tử nửa xác định dương xác định dương 1.4 Phép nối trung bình tốn tử Đặc trưng Ando-Hiai cho hàm đơn điệu tốn tử 10 2.1 Hàm lồi lơgarit tốn tử 10 2.2 Đơn điệu tốn tử, lồi lơgarit tốn tử, trung bình tốn tử 14 2.3 Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử dương qua trung bình tốn tử 24 2.4 Thêm số đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình tốn tử 29 Đặc trưng hàm đơn điệu toán tử qua trung bình hình học 33 3.1 Các trung bình số đặc trưng hàm đơn điệu 34 3.2 Đặc trưng hàm đơn điệu toán tử qua trung bình hình học 37 3.3 Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học có trọng 44 KẾT LUẬN 46 TÀI LIÊU THAM KHẢO 47 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐE TÀI LUẬN VĂN 49 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R : Tập hợp số thực R : Tập hợp số thực không âm + H : Không gian Hilbert B(H) : Tập hợp tốn tử tuyến tính bị chặn H B(H) : Tập hợp tốn tử tuyến tính nửa xác định dương H + B(H) : Tập tốn tử tuyến tính xác định dương H ++ (x,y) : Tích vơ hướng vectơ x y C : Không gian vectơ phức n chiều n M (C) : Tập hợp ma trận vuông phức cấp n n A* : Toán tử liên hợp toán tử A A : Toán tử nghịch đảo toán tử A -1 I: Toán tử đơn vị A > : Toán tử A nửa xác định dương A > : Toán tử A xác định dương A(A) : Giá trị riêng toán tử A Ỡ-(A) : Phổ toán tử A ||A|| : Chuẩn tốn tử tốn tử A AVB : Trung bình số học hai toán tử A B A!B : Trung bình điều hịa hai tốn tử A B A#B : Trung bình hình học hai tốn tử A B VA : Trung bình số học với trọng số A !A : Trung bình điều hịa với trọng số A #x : Trung bình hình học với trọng số A log : Hàm lơgarit sinh(t) : Hàm sin hyperbolic t cosh(t) : Hàm cos hyperbolic t MỞ ĐẦU Cho H không gian Hilbert (tách được) vô hạn chiều Ký hiệu B(H) tập hợp tốn tử tuyến tính bị chặn H; B(H) tập hợp B(H) gồm + tốn tử tuyến tính nửa xác định dương; B(H) tập B(H) gồm ++ + tốn tử tuyến tính khả nghịch Cho f : (0, +rc>) R hàm liên tục f gọi hàm đơn điệu toán tử (rõ hơn, đơn điệu tăng toán tử) với A,B G B(H) , ++ A>B f (A) > f (B), A > B có nghĩa A — B toán tử nửa xác định dương f gọi hàm lồi toán tử với A,B G B(H) với A G [0,1], ++ f (AA + (1 — A)B) < Af(A) + (1 — A)f(B) Lớp hàm đơn điệu/lồi toán tử lớp hàm quan trọng Giải tích ma trận Lý thuyết toán tử Vào năm 1930, lý thuyết hàm đơn điệu toán tử khởi xướng Lowner [12], sau Kraus [10] tiếp tục phát triển lý thuyết hàm lồi toán tử Gần nửa kỷ sau, lý thuyết đại lớp hàm đơn điệu/lồi toán tử đưa Hansen Pedersen [8] Đã có nhiều đặc trưng đưa cho lớp hàm đơn điệu/lồi toán tử, chủ yếu dựa vào trung bình tốn tử bất đẳng thức tốn tử Nội dung luận văn tập trung nghiên cứu số đặc trưng lớp hàm đơn điệu toán tử qua trung bình tốn tử Ngồi Mở đầu, Mục lục, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết toán tử không gian Hilbert với số kết liên quan đến chương sau luận văn Chương Đặc trưng Ando-Hiai cho hàm đơn điệu toán tử Trong chương chúng tơi trình bày báo Ando Hiai [2] số đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử thơng qua đặc trưng hàm lồi lơgarit tốn tử Chương Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử thơng qua trung bình hình học Trong chương chúng tơi trình bày báo Dinh, Dumitru Franco [5] số đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử thơng qua trung bình hình học Luận văn hồn thành sau hai năm học tập rèn luyện Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy Lê Cơng Trình Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến Thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến q Thầy, Cơ giảng dạy khoa Tốn Thống kê Trường Đại học Quy Nhơn tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng trình thực luận văn hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện (D) f (AỠB) < f (ATB) với A, B G B(H) với trung bình tốn tử khác ++ T cho < T Trong chương này, chúng tơi trình bày kết báo [5] trả lời cho câu hỏi Trong toàn chương xét H = C Khi B(H) = M (C), tập n n ma trận phức vng cấp n 3.1 Các trung bình số đặc trưng hàm đơn điêu Với hai số thực không âm x y với s G [0,1], ký hiệu trung bình Heinz x y, sxy = ■ H ( , ) Gs(x, y) = xsy1-s + (1 - s)x + yx y 1/2 1-s 1/2 s trung bình Heron x y Chú ý ựxy < G (x,y) < x + y (bất đẳng thức Heinz) s ựxy < H (x,y) < x + y(bất đẳng thức Heron), với s G [0,1] s Bhatia [4] mối quan hệ trung bình Heinz trung bình Heron sau: G (a,b) t < H(2t_1)2 (3 1) Vt G [0, 1], Do đó, với t G [0,1], ta có vỖ < Gt(a, b) < Hpi-ry < H|2t_i| < (3.2) Để trả lời cho câu hỏi (C), chứng minh cho đặc trưng tính đơn điệu (như hàm thực) dựa vào Bất đẳng thức (3.2) Định lý 3.1.1 Gọi M trung bình số đối xứng R cho # < + M Nếu số thực < a, b, < f (M(a, b)) (3.3) hàm f : (0, +rc>) —> R đơn điệu tăng (0, +rc>) Chứng minh Để chứng minh định lý, ta phải với < x < y, tồn a,b > cho x = Võb y = M(a,b) = ah(b/a), h(t) = M(1, t) hàm đại diện M Hoặc, tương đương, với y > 1, tồn a,b > cho = Vãb y = M(a,b) = a h(a ) (vì đồng thức đầu tiên) Hàm ^(t) = t h(t ) -1 -1 toàn ánh từ (0, rc>) tới [1,Y), đó, Y = lim ^ (^(t)) > Do đó, với t TO < y < Y, tồn a > cho y = a h(a ) Cho nên, < x < y < YX , lập luận -1 trước suy f(x) < f(y) Nếu y > YX, tương đương yo > Y, gọi Y0 € (1, Y) xét dãy {Yn} Vì neN n {YO } 'X, tồn k € N cho < x < Y x < < YOx < y < Y x k+1 Do đó, lập luận trước rằng: f (x) < f (Y0x) < < f (Y x) < f (y) k Vì vậy, f đơn điệu tăng R □ + Bây bất đẳng thức trung bình Heinz trung bình Heron cho số đặc trưng cho tính đơn điệu Định lý 3.1.2 ([5, Theorem 2]) Một hàm f liên tục [0, rc>) đơn điệu tăng với cặp số dương x,y s € (0,1/2) u (1/2,1), (^y1 s + x1 s ys\ f I ) < (^ a(s) = 2s — a(s) 2 x+ + (1 - a(s) y, vxy) ,.3 (3.4) Chứng minh Điều kiện cần cho tính đơn điệu f suy từ (3.2) tính đơn điệu Do ta cần chứng minh điều kiện đủ Cho hai số dương a < b Ta tồn số dương x y cho s 1-s xy +x 1-s s y x+y a = v + x y , b = a(s) '2' + (1 - a(s) )ựxỹ (3.5) 2 Khi f (a) < f (b), tức f hàm đơn điệu tăng Nếu x y tồn vậy, từ (3.5) ta có s 1-s a xy b +x 1-s s y a(s) (x + y) + 2(1 — a(s) )ựxy (y/x) + (y/x) a(s) ((y/s) + (y/x) ) + 2(1 — a(s) ) cosh(a(s)c) a(s) cosh(c) + (1 — a(s) ), 2 a(s)/2 -a(x)/2 1/2 -1/2 2 e = y/x Ta định nghĩa 2c ac f : [0, xỉ cosh(ac) a cosh(c) + (1 — a ) 2 (0,1] song ánh Thật vậy, ý a fa(0) = lim fa(c) = Do f liên tục áp dụng Định lý giá trị trung bình, nên hàm f : [0, x) a a (0,1] toàn ánh Hơn nữa, ta chứng tỏ hàm f : [0, x) (0,1] a đơn ánh Để chứng minh điều này, ta cần chứng tỏ f đơn a điệu [0, x) Vì vậy, ý d f Do đó, hàm f : [0, x) (0,1] song ánh Để có a nghiệm (3.5), cố định s (0,1/2) u (1/2,1) đặt c = f (S) (a/b) Với - điều này, ta có x y thỏa mãn (3.5) □ Chú ý 3.1.3 Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh bất đẳng thức sau thỏa mãn với số không âm x < y: (1) f (x) < f (ựĩỹ); (2) f (x^+y) < f(y); s 1- s x y +x 1- s s y x +y xy + M < f (|2s - 1|+ (1 - |2s - 1|)ựxy) hàm f đơn điệu tăng R + 3.2 Đặc trưng hàm đơn điêu toán tử qua trung bình hình học Trong phần chúng tơi sử dụng đặc trưng trung bình đối xứng đưa [3] trung bình tự liên hợp đưa [6] để thiết lập dạng ma trận cho kết phần trước Trước hết chúng tơi trình bày định nghĩa trung bình tốn tử đối xứng Định nghĩa 3.2.1 Cho f : R R Ta nói f đối xứng (hoặc + + f Fop) f thỏa mãn điều kiện sau: (1) f đơn điệu toán tử; (2) tf (t ) = f (t) với t R , -1 + (3) f(1) = Trong [3], Audenaert cộng giới thiệu thứ tự tập hợp hàm đối xứng sau Định nghĩa 3.2.2 Với f, g G F , định nghĩa t + f (t) Ta nói f g nếu(t)G F t > ^ = Rõ ràng, nếutrường f G F , hợp đặc biệt này, ^(t)2 = g(t)t f (t) ^(t) = f (t) hai 2t thứ tự mạnh thứ tự thơng thường < hàm đơn điệu tốn tử Chú ý f (t) Tức là, f g f < g 1+t op op op Theo [3, Proposition 2.1] điều kiện f G F suy f có biểu diễn tích op phân dạng (3.6) f (t) = i+í e , H(t) I'1 J0 (t + H(t) (t) h : [0,1] - 1)(1 - t) ,.M)d> A)(1 + tA)(A + 1) h(X)dX 2 [0,1] hàm đo xác định f hầu khắp nơi, ký hiệu hf Các tác giả [3] chứng tỏ fg hf > h hầu khắp nơi g Nếu f g hf = h tập có độ đo khác 0, ta nói f g g Bổ đề 3.2.3 ([5, Lemma 4]) Cho f G F định nghĩa ^(t) = t f (t ) -1 op Khi đó, (1) Nếu f f, đơn điệu giảm (0,1) đơn điệu tăng (1, M (2) Nếu f y f đơn điệu tăng (0,1) đơn điệu giảm (1, M Chứng minh Xét đạo hàm ự'(t) = -t f (t ) + 2f '(i ) -2 2 Để chứng tỏ tính đơn điệu hàm thực, ta cần chứng tỏ 2tf'(t) ị f(t) phụ thuộc vào khoảng xác định quan hệ thứ tự xét Theo (3.6), ta xét 2tf'(t) = te (1 + (1+ t)H'(t)) ị f (t) H(t) t H'(t) < v7> 2t(1 + t) Bằng cách tính tốn chi tiết H'(t), ta H (t) ' (1 - A; )(1 -t ) ha)dX (t + A) (1 + tA) h(A)dA = ío (Ỡ+Ã)2 - (iw) h(A)dA = £ 2 Dễ thấy h(A) thay hàm , 1 - ttích phân trở thành 2t(1 + t) f1 (1 - A )(1 - t ) dA = 7o (t + A) (1 + tA) 2 2 Bây giờ, giả sử yf- = f t G (0,1) Trong trường hợp này, h(A) < 1/2 biểu thức dấu tích phân, (1 - A )(1 - t ) h(A) > (t + A) (1 + tA) 2 2 với (t, A) G (0,1) X [0,1] Do đó, H'(t) < Ị~ \ , điều chứng tỏ đơn điệu giảm (0,1) Khi t G (1, rc>) biểu thức dấu tích phân khơng dương, bất đẳng thức trở thành ngược, suy đơn điệu tăng khoảng Trường hợp ự- f cho tương tự, trường hợp h(A) > 1/2 □ Bổ đề 3.2.4 ([5, Lemma 6]) Cho trung bình tốn tử đối xứng R + với hàm đại diện f cho ỵf- = f (tương ứng, ỵf- > f) đặt Y := lim ^ f (t )/t t TO Khi đó, X Y toán tử xác định dương cho X < Y < YX (tương ứng, YX 1/2 1/2 n n cho Yo = AoaA- Vì vậy, định nghĩa ^(t) = tơt = tf (t ) Bởi tính đối xứng, ta có ^(t) = t f(t ) Vì ^(t) -1 -2 -1 liên tục [1, x) ^(1) = f(1) = 1, nên hàm song ánh từ [1, x) đến [1, Y) Và vậy, ta định nghĩa A = (Y ) Điều 0 suy kết mong muốn Phép chứng minh cho trường hợp ỵf-y f giống trên, trường hợp sử dụng : [1, x) (Y, 1] song ánh □ Định lý sau đặc trưng hàm đơn điệu toán tử [0, +x) Định lý 3.2.5 ([5, Theorem 11]) Cho trung bình tốn tử đối xứng R với hàm đại diện f cho f f Khi đó, + (3.7) g(A#B) < g(AơB), với toán tử nửa xác định dương A B, hàm g đơn điệu toán tử R Mặt khác, nếu, f~- y f + (3.8) g(A#B) > g(AơB) g đơn điệu tốn tử R + Chứng minh Giả sử ta có với (3.7) với f Gọi f giống chứng minh Bổ đề 3.2.4, tức là, f hàm đại diện trung bình tốn tử đối xứng ^(t) = tat = tf (t ) Giả sử f > ỵf- chọn Y (1,Y) Cho < X < Y -1 -2 Y = X YX Xét phân tích phổ, Y = En=i AiPi, với giá trị riêng A -1/2 -1/2 i xếp theo thứ tự khơng tăng Khi đó, tồn tập hợp số nguyên không tăng {m | < i < n} cho i Yỏm < Ai < YỈ’ i+1 Đặc biệt, ta có I < YoI < YO2I < < I < AnPn + £ P < AnPn + £ Y^ Pi < i=1 m k < £ An-jPn-j + j=o m n- k - £ i=1 n+1 k Yo Pi < mn-k £ An-jPn-j + j=o i=1 n- k - £ i=1 Y mn-k+1 O Pi < < Yo < Y I m1 o Nhân hai bên hạng tử chuỗi bất đẳng thức với X , ta nhận 1/2 chuỗi bất đẳng thức < X < YoX < Y X < < Y < Y X o m1 o Bây giờ, xét hạng tử thứ k k + chuỗi Chúng thỏa mãn bất đẳng thức Zk := E= An-jX P nX + EX* X PiX -1 m 1/2 1/2 1/2 n- k- k < Zk+1 := £ An-jX ■-/'X + £ X PiX 1/2 1/2 j=o 1/2 i=1 < Y (E= An-j X P X + En-i" 1/2 X PiX ) = YZk 1m 1/2 1/2 Do đó, Bổ đề 3.2.4 suy tồn toán tử dương A B cho: k Z k= k Ak #Bk Zk+1 = AkơBk g(X) < g(Z1) < g(Z2) < < g(Zn) = g(Y) Tương tự, (3.8) thỏa mãn với đơn điệu toán tử f, ta chứng minh g □ Sau trình bày đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình tốn tử tự liên hợp Định nghĩa 3.2.6 Một trung bình tốn tử gọi tự liên hợp thỏa mãn (AaB) = A ơB với A,B > -1 Định nghĩa 3.2.7 Cho f : R -1 -1 R Ta nói f G £ thỏa mãn + + điều kiện sau: (1) f đơn điệu toán tử , (2) f (t ) = f (t) với t G R -1 -1 + Hansen [6] chứng tỏ tồn tương ứng 1-1 lớp trung bình tốn tử tự liên hợp với hàm thuộc lớp £ Hansen [6] chứng minh f G £ có biễn tích phân dạng f (ĩ—t +1—x) h(A)dA’ - h : [—1,0] [0,1] hàm đo được, xác đinh f, ký hiệu hf Tương tự trước ta đinh nghĩa thứ tự £ Định nghĩa 3.2.8 Cho f, g G £ Ta nói f y g fg đơn điệu toán tử -1 sa Nếu f £ g hf = h tập có độ đo khác khơng, ta nói f £ g sa g sa Mệnh đề 3.2.9 ([5, Proposition 9]) Cho f,g E £ Khi đó, f £ g hf > h sa g hầu khắp nơi Chứng minh Chú ý rằng, f, g G £ suy (f /g)(t ) = ((f /g)(t)) Vì vậy, yêu cầu -1 -1 fg đơn điệu toán tử tương đương với yêu cầu fg E £ Do đó, tồn lớp -1 -1 hàm đo hf -i : [—1, 0] [0,1] cho g (f (x dx h = exP (xTt + fg) > -1 hfg-1 (A) = hf (A) — h (A) hầu khắp nơi Ị t) )( g- g Điều cần chứng minh suy từ nhận xét □ Bổ đề 3.2.10 ([5, Lemma 11]) Cho f G £ định nghĩa ^(t) = t f (t ) Khi -1 (1) Nếu £ f

) (2) Nếu y f

) sa sa Chứng minh Như trước đó, để chứng minh tính đơn điệu 2> 4U oV f ^2 f f a(s) + (1 —)A B I -—) < I ~2~ ^ ); lQ oX (3A3) (iv) Với ma trận nửa xác định dương A B, f («(s) A+B + (1 — «(»)2)A«B ) < f (A+B) Chứng minh Rõ ràng (i) suy (ii), (iii) (iv) Đầu tiên ta chứng tỏ (iii) suy (i), sau ta chứng tỏ (ii) suy (i) Điều suy chứng minh cho đinh lý, (iv) suy (i) suy từ Mệnh đề 2.4.1, trung bình Heron đối xứng khác với trung bình số học V Bây ta chứng minh (iii) (i) Giả sử (3.13) thỏa mãn với ma trận xác đinh dương A B Ta cần với < X < Y, f(X) < f(Y) Đầu tiên, ta xét trường hợp Y = I , I ma trận đơn vi M (C) n n n bậc n Bây chứng tỏ tồn ma trận xác đinh dương A0, B0 cho + /Cỏ với + Cbất o \ kỳ A< X song ánh nhận < I , tồn Aotìgiá sBotriAtrong ottl-SB(0,1] = Al/Do đó, =X (3.14) =A o ma trận C thỏa mãn 2(3.16) Do đó, ma trận A nhận từ (3.15) ma trận B 1-s n l /2 o o o o A C Ao 12 /2 o + (3.15) Ao (a(s) I C + (1 - a(s) )C0 Ộ A = đó, C = A0 B A- Từ Trong trường hợp tổng quát, với < X < Y, ta có < Y XY < I Theo lập luận (3.15), ta nhận /2 n 1/ 1/2 o 1/2 o 1/2 1/2 n trên, ta tìm A (a(s) , B G2 M A1 = C +sao (1 cho - a(s) )Co ) 1/2 /2 o o + 2 /2 AottsBo Aoh-sBo = Y -1/2 XY -1/2 = nhận Thay đồng thức cuối vào (3.15),2 ta + Co AAía.++B (s)2 In + Co I ( )2)C1/ A X = í Co a(s) ’ + (1+-(1a(s) )AotìBoa =s In )Co ) • X = I —~2 ) I a(s)2 —2— Từ đó, áp dụng (3.13) cho ma trận A = Y A Y , B = Y B Y ta có f (X) ), tính chất đặc trưng qua trung bình tốn tử đối xứng (Đinh lý 2.2.1) (2) Trình bày chi tiết chứng minh cho tương đương tính đơn điệu tốn tử lõm lơgarit tốn tử hàm liên tục, không âm (0, +rc>), tính chất đặc trưng qua trung bình tốn tử đối xứng (Đinh lý 2.2.3) (3) Trình bày đặc trưng cho tính đơn điệu tốn tử hàm liên tục, dương (0, +rc>) qua trung bình tốn tử (Đinh lý 2.3.1 Đinh lý 2.3.4) (4) Trình bày đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử (khơng thiết khơng âm) qua trung bình tốn tử (Mệnh đề 2.4.1) (5) Trình bày số đặc trưng hàm đơn điệu qua trung bình đối xứng (Đinh lý 3.1.1) qua trung bình Heinz Heron (Đinh lý 3.1.2) (6) Trình bày đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học trung bình tốn tử đối xứng (Đinh lý 3.2.5), qua trung bình tốn tử tự liên hợp (Đinh lý 3.2.11) (7) Trình bày đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học có trọng (Đinh lý 3.3.1) Tài liệu tham khảo [1] T Ando, Topics on Operator Inequalities, Lecture notes (mimeographed) Hokkaido., Sapporo (1978) [2] T Ando, F Hiai, Operator log-convex functions and operator means, Math Ann 350 (2011), 611-630 [3] Audenaert, L Cai, F Hansen, Inequalties for quantum skew information, Lett Math Phys., 85 (2008) 135-146 [4] R Bhatia, Interpolatinh the airthmetic-geometric mean inequality and its operator version Linear Algebra Appl 413 (2006) 355-363 [5] T.H Dinh, R Dumitru and J A Franco, New characterizations of operator monotone functions, Linear Alg Appl (2018) https://doi.org/10.1016/ j.laa.2018.02.004 [6] F Hansen, Selfadjoint Means and Operator Monotone Functions, Math, Ann., 256 (1981) 29-35 [7] F Hansen, Extensions of Lieb's concavity theorem J.Stat Phys 124, 87-101 (2006) [8] F Hansen, G K Pedersen, Jensen's inequality for operators and Lowner's Theorem, Math Ann 258(1982), 229-241 [9] F Hiai, D Petz, Introduction to matrix analysis and applications, Springer, 2014 [10] F Kraus, Uber konvexe Matrixfunktionen, Math Z 41 (1936), 18-42 [11] F Kubo,T Ando Means of positive linear operators, Math Ann 246 205224 (1980) [12] K Lowner, Uber monotone Matrixfunktionen, Math Z 38(1934), 177- 216 QUYET ĐỊNH GIAO ĐE TÀI LUẬN VĂN ... Thêm số đặc trưng hàm đơn điệu toán tử qua trung bình tốn tử 29 Đặc trưng hàm đơn điệu tốn tử qua trung bình hình học 33 3.1 Các trung bình số đặc trưng hàm đơn điệu 34 3.2 Đặc trưng hàm. .. cho hàm đơn điệu toán tử 10 2.1 Hàm lồi lơgarit tốn tử 10 2.2 Đơn điệu tốn tử, lồi lơgarit tốn tử, trung bình tốn tử 14 2.3 Đặc trưng hàm đơn điệu toán tử dương qua trung bình tốn tử. .. MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM ĐƠN ĐIỆU TOÁN TỬ Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 Người hướng dẫn: TS LÊ CƠNG TRÌNH Lời cam đoan Tơi xin cam đoan kết đề tài ? ?Một số đặc trưng hàm đơn