lec9 vtp1 20 21 tichphanxacdinh

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH LEC VI TÍCH PHÂN HK1, 2019-2020 NGUYỄN VĂN THÙY nvthuy@hcmus.edu.vn BÀI TỐN DIỆN TÍCH Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science BÀI TỐN DIỆN TÍCH Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science XẤP XỈ DIỆN TÍCH HÌNH THANG 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 𝐴𝑖 ≈ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 𝑥𝑖−1 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 𝐴𝑖 ≈ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 𝑥𝑖 Nguyen Van Thuy, University of Science 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖∗ 𝑥𝑖 𝐴𝑖 ≈ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 𝑥𝑖∗ 𝑛 𝐴 = lim 𝑆𝑛 = lim ෍ 𝑓 𝑥𝑖∗ 𝑛→+∞ Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑛→+∞ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑖=1 Nguyen Van Thuy, University of Science DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG • Chia đoạn 𝑎; 𝑏 thành 𝑛 đoạn chọn 𝑥𝑖∗ = 𝑥𝑖 Khi 𝑛 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝐴 = lim ෍ 𝑓 𝑎+ 𝑖 𝑛→+∞ 𝑛 𝑛 𝑖=1 • Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: 𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑥 ; 𝑥 = 0; 𝑥 = Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐỊNH NGHĨA TP XÁC ĐỊNH • Chia đoạn [a; b] thành n đoạn n+1 điểm 𝑥0 = 𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 • Trên đoạn thứ i 𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 , lấy tùy ý 𝑥𝑖∗ • Lập tổng tích phân Riemann 𝑛 𝑆𝑛 = ෍ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 ∗ 𝑥𝑖 𝑖=1 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐỊNH NGHĨA TP XÁC ĐỊNH • Cho 𝑛 → +∞ cho max 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 → 𝑖 • Nếu lim 𝑆𝑛 = 𝑆 hữu hạn, khơng phụ thuộc 𝑛→+∞ vào cách chia đoạn [a; b] không phụ thuộc ∗ vào cách chọn điểm 𝑥𝑖 , hàm 𝑓(𝑥) gọi khả tích đoạn [a; b] S gọi tích phân xác định 𝑓(𝑥) đoạn [a;b], ký hiệu Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐỊNH NGHĨA 𝑛 𝑏 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim ෍ 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑓 𝑥𝑖∗ 𝑛→+∞ 𝑎 𝑖=1 • Ý nghĩa hình học: 𝑏 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim 𝑆𝑛 = 𝑑𝑡(𝐷) 𝑛→∞ 𝑎 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH • Điều kiện cần: Nếu 𝑓(𝑥) khả tích đoạn [a;b] 𝑓(𝑥) bị chặn đoạn [a;b] • Suy ra: 𝑓(𝑥) không bị chặn đoạn [a;b] 𝑓(𝑥) khơng khả tích đoạn [a;b] • Điều kiện đủ: Nếu 𝑓(𝑥) liên tục đoạn [a;b] 𝑓(𝑥) có hữu hạn điểm gián đoạn loại đoạn [a;b] 𝑓(𝑥) khả tích đoạn [a;b] Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 10 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Ví dụ Các tích phân sau có phải tích phân xác định không? 1 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝐼=න 𝑑𝑥 ; 𝐽 = න 𝑥 𝑥−1 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 11 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Chú ý Nếu f(x) khả tích đoạn [a;b] giới hạn tổng tích phân không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a;b] không phụ thuộc vào cách chọn điểm 𝑥𝑖∗ Do đó, ta chia đoạn [a;b] thành n đoạn chọn 𝑥𝑖∗ = 𝑥𝑖 , ta có 𝑏 𝑛 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim ෍ 𝑓 𝑎+ 𝑖 𝑛→+∞ 𝑛 𝑛 𝑎 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑖=1 Nguyen Van Thuy, University of Science 12 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Chú ý: 𝑥0 điểm gián đoạn loại hàm 𝑓 hai giới hạn sau tồn hữu hạn lim+ 𝑓(𝑥) ; lim− 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 • Ví dụ Tính tích phân sau định nghĩa 𝐼 = න 𝑥 𝑑𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 13 CƠNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ • Định lý (Định lý phép tính vi tích phân) • Nếu 𝑓(𝑥) khả tích đoạn [𝑎; 𝑏] 𝐹(𝑥) nguyên hàm 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑏 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)ቚ = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝑎 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑎 Nguyen Van Thuy, University of Science 14 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Ví dụ 𝐼 = න arctan 𝑥 𝑑𝑥 • Ví dụ 𝐼=න Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑑𝑥 1+ 𝑥+1 Nguyen Van Thuy, University of Science 15 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Tính chất 𝑥 න 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ′ = 𝑓(𝑥) 𝑎 𝑣(𝑥) න 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 ′ = 𝑓 𝑣 𝑥 𝑣 ′ 𝑥 − 𝑓 𝑢 𝑥 𝑢′(𝑥) 𝑢(𝑥) Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 16 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Ví dụ 2+ℎ lim න ℎ→0 ℎ 𝑥 + 𝑡 𝑑𝑡 ; lim න − tan 2𝑡 𝑥→0 𝑥 1/𝑡 𝑑𝑡 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 17 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau 𝑥 𝑡2 𝐹 𝑥 =න 𝑑𝑡; 𝐹 𝑥 = න 𝑡 + sin 𝑡 𝑑𝑡 1+𝑡 3𝑥+1 𝑥 𝐹 𝑥 = න sin 𝑡 𝑑𝑡 2𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 18 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Ví dụ Tìm 𝑓′(𝜋/2) 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = න cos 𝑥 𝑔 𝑥 = න 1 + 𝑡3 𝑑𝑡; + sin(𝑡 ) 𝑑𝑡 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 19 ...BÀI TỐN DIỆN TÍCH Vi tich phan 1, 202 0 -202 1 Nguyen Van Thuy, University of Science BÀI TỐN DIỆN TÍCH Vi tich phan 1, 202 0 -202 1 Nguyen Van Thuy, University of Science XẤP XỈ DIỆN... tich phan 1, 202 0 -202 1