lec8 vtp1 20 21 tichphanbatdinh

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH LEC VI TÍCH PHÂN HỌC KỲ 1, 2020-2021 NGUYỄN VĂN THÙY nvthuy@hcmus.edu.vn NGUYÊN HÀM sin 𝑥 + ′ = cos 𝑥 = ⋯ = sin 𝑥 + 𝐶 ′ • Hàm số cos 𝑥 có vơ số ngun hàm, có dạng tổng qt sin 𝑥 + 𝐶 • Tập hợp tất nguyên hàm hàm cos𝑥 gọi tích phân bất định hàm cos 𝑥, ký hiệu න cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH • Định nghĩa Nếu 𝐹 nguyên hàm hàm 𝑓 tập hợp tất nguyên hàm 𝑓 gọi tích phân bất định hàm 𝑓, ký hiệu න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 • 𝑓(𝑥) gọi hàm số dấu tích phân Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ′ 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 ⇒ න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 • Ví dụ Chứng minh න Vi tich phan 1, 2020-2021 + 𝑥2 =− +𝐶 𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥2 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍNH CHẤT න 𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 න 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ′ න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) න 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science CÔNG THỨC 𝛼+1 𝑥 න 𝑥 𝛼 𝑑𝑥 = +𝐶 𝛼+1 𝑥 𝑎 න 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = +𝐶 ln 𝑎 𝑑𝑥 න =2 𝑥+𝐶 𝑥 න sin 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑎𝑥 + 𝐶 𝑎 𝑑𝑥 න =− +𝐶 𝑥 𝑥 න cos 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑎𝑥 + 𝐶 𝑎 𝑑𝑥 න = ln 𝑥 + 𝑎 + 𝐶 𝑥+𝑎 න + tan2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 න 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑎𝑥 = 𝑒 +𝐶 𝑎 න + cot2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶 Nguyen Van Thuy, University of Science CÔNG THỨC 𝑑𝑥 𝑥−𝑎 න = ln +𝐶 𝑥 − 𝑎2 2𝑎 𝑥+𝑎 න 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥 න = ln tan + 𝐶 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝜋 න = ln tan + cos 𝑥 +𝑘 = ln 𝑥 + 𝑥 + 𝑘 + 𝐶 න tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos 𝑥 + 𝐶 න cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln sin 𝑥 + 𝐶 +𝐶 𝑑𝑥 𝑥 න = arctan +𝐶 𝑥 +𝑎 𝑎 𝑎 𝑑𝑥 𝑥 න = arcsin +𝐶 𝑎 𝑎2 − 𝑥 න 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH • Ví dụ 𝑑𝑥 𝐼=න 𝑥 −𝑥+1 𝐼=න Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑑𝑥 + 2𝑥 − 𝑥 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH • [2017-2018] Tính න −𝑥 𝑥𝑒 2𝜋 𝑑𝑥; න 𝑑𝑥 3−𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 න ;න 𝑥 +𝑥 − 2𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐỔI BIẾN SỐ • Trường hợp • Trường hợp 𝐼 = න 𝑓 𝑢 𝑥 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 Đặt 𝑡 = 𝑢 𝑥 ⇒ 𝑑𝑡 = 𝑢′ 𝑥 𝑑𝑥 𝐼 = න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝐼 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Đặt 𝑥 = 𝑔 𝑡 ⇒ 𝑑𝑥 = 𝑔′ 𝑡 𝑑𝑡 𝐼 = න 𝑓 𝑔 𝑡 𝑔′ 𝑡 𝑑𝑡 Nguyen Van Thuy, University of Science 10 ĐỔI BIẾN SỐ • Ví dụ 𝑑𝑥 𝐼=න (1 + 𝑥) 𝑥 𝑑𝑥 𝐼=න 1+ 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 11 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN • Cơng thức tích phân phần න 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න 𝑣 𝑑𝑢 • Dạng ln 𝑥 𝐼 = න 𝑃(𝑥) arcsin 𝑥 𝑑𝑥 : ⋮ arccot 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ln 𝑥 arcsin 𝑥 𝑢= ⋮ arccot 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 12 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN • Dạng 𝑒𝑥 𝐼 = න 𝑃(𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥: cos 𝑥 • Dạng 𝐼 = න 𝑒𝑥 𝑢 = 𝑃(𝑥) 𝑒𝑥 𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑥 𝑥 sin 𝑥 𝑢 = 𝑒 sin 𝑥 𝑢=ቊ sin 𝑥 𝑑𝑥 : ቐ ∨൞ cos 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 13 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN • Ví dụ 𝐼 = න 𝑒 2𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 𝐽 = න 𝑥 + 𝑥 + 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 𝐾 = න arctan 𝑥 𝑑𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 14 BÀI TẬP 1) [2014-2015] −𝑥 𝐼 = න𝑥 𝑒 𝑑𝑥 2) [2012-2013] arctan 𝑥 𝐽=න 𝑑𝑥 3/2 1+𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 15 BÀI TẬP 3) Tìm cơng thức truy hồi 𝑑𝑥 𝐼𝑛 = න 𝑥 + 𝑎2 𝑛 4) [2015-2016] 𝑑𝑥 𝐼=න 𝑥 +3 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 16 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ • Tính 𝑃(𝑥) 𝐼=න 𝑑𝑥 𝑄(𝑥) với bậc tử < bậc mẫu • Phân tích 𝑄(𝑥) thành tích nhị thức bậc tam thức bậc có ∆< Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 17 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ • Nếu 𝑄(𝑥) chứa thừa số 𝑥 + 𝑎 𝑛 phân thức 𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥) chứa tổng n phân thức 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 + + ⋯+ 𝑥+𝑎 𝑥+𝑎 𝑥+𝑎 𝑛 • Nếu 𝑄(𝑥) chứa thừa số 𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑚 phân thức 𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥) chứa tổng m thức 𝐵1 𝑥 + 𝐶1 𝐵𝑚 𝑥 + 𝐶𝑚 +⋯+ 2 𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑥 + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑚 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 18 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ • [2011-2012] 𝑑𝑥 𝐼=න 𝑥 +1 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 19 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC • Tích phân hàm hữu tỷ theo sin, cos đưa tích phân hàm hữu tỷ cách đặt 𝑥 𝑡 = tan • Ví dụ Tính 𝑑𝑥 𝐼=න sin 𝑥 + cos 𝑥 + Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 20 TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ • Tích phân số hàm vơ tỷ, đổi biến số để đưa tích phân hàm hữu tỷ • Ví dụ Tính 𝑑𝑥 1+ 𝑥 𝐼=න ; 𝐼=න 𝑑𝑥 𝑥 𝑥− 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 21 ...