lec6 vtp1 20 21 dhcc taylor lhospital

ĐẠO HÀM CẤP CAO KHAI TRIỂN TAYLOR-MACLAURIN QUY TẮC L’HOSPITAL LEC VI TÍCH PHÂN HK1, 2020-2021 NGUYỄN VĂN THÙY nvthuy@hcmus.edu.vn ĐẠO HÀM CẤP CAO • 𝑦 (𝑛) = 𝑦 (𝑛−1) ′ • Tính chất 𝑢±𝑣 (𝑛) 𝑐𝑢 Vi tich phan 1, 2020-2021 = 𝑢(𝑛) ± 𝑣 (𝑛) (𝑛) = 𝑐 𝑢(𝑛) Nguyen Van Thuy, University of Science ĐẠO HÀM CẤP CAO 𝑥+𝑎 (𝑛) −1 𝑛 𝑛! = 𝑥 + 𝑎 𝑛+1 𝜋 sin 𝑎𝑥 = 𝑎 sin 𝑎𝑥 + 𝑛 𝜋 (𝑛) 𝑛 cos 𝑎𝑥 = 𝑎 cos 𝑎𝑥 + 𝑛 𝑒 𝑎𝑥 (𝑛) = 𝑎𝑛 𝑒 𝑎𝑥 (𝑛) Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑛 Nguyen Van Thuy, University of Science CÔNG THỨC LEIBNIZ • Đạo hàm cấp n tích 𝑛 𝑢𝑣 (𝑛) = ෍ 𝐶𝑛𝑘 𝑢(𝑘) 𝑣 (𝑛−𝑘) 𝑘=0 Gottfried Wilhelm (von) Leibniz 1646-1716 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐẠO HÀM CẤP CAO • Ví dụ Tính 𝑦 (20) 𝑦 = 2𝑥 + 𝑒 𝑥 • Ví dụ Tính 𝑦 (100) 𝑦 = 𝑥 + 𝑒 2𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐẠO HÀM CẤP CAO 1) Tính 𝑦 (𝑛) 𝑦 = 3𝑥 + 𝑒 𝑥 2) Tính 𝑦 (𝑛) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 + 𝑒 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐẠO HÀM CẤP CAO 3) [2012-2013] Tính 𝑦 (𝑛) 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 4) Tính 𝑦 (𝑛) 3𝑥 + 𝑦= 𝑥 − 4𝑥 + Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science KHAI TRIỂN TAYLOR 𝑓 𝑥 𝑓′(𝑎) 𝑓′′(𝑎) =𝑓 𝑎 + 𝑥−𝑎 + 𝑥−𝑎 1! 2! 𝑓′′′(𝑎) + 𝑥−𝑎 3! + 𝑅𝑛 (𝑥) + ⋯+ 𝑓 𝑛 𝑛! 𝑎 𝑥−𝑎 𝑛 • Ý nghĩa: xấp xỉ hàm số 𝑓(𝑥) đa thức theo 𝑥 − 𝑎 đến cấp 𝑛 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science KHAI TRIỂN TAYLOR • Tính chất lim 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑥→𝑎 𝑅𝑛 (𝑥) lim =0 𝑛 𝑥→𝑎 (𝑥 − 𝑎) • 𝑅𝑛 (𝑥) → nhanh 𝑥 − 𝑎 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 𝑛 KHAI TRIỂN MACLAURIN 𝑓 𝑥 𝑓′(0) 𝑓′′(0) 𝑓′′′(0) =𝑓 + 𝑥+ 𝑥 + 𝑥 +⋯ 1! 2! 3! + 𝑓 𝑛 𝑛! • Chú ý 𝑥 𝑛 + 𝑅𝑛 (𝑥) 𝑅𝑛 (𝑥) lim 𝑅𝑛 𝑥 = 0; lim =0 𝑛 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 10 KHAI TRIỂN MACLAURIN • [2015-2016] Cho hàm số 𝑓 𝑥 = − 2𝑥 • Viết cơng thức khai triển Maclaurin đến cấp • Áp dụng tính gần 0,98 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 11 KHAI TRIỂN MACLAURIN • [2014-2015] Cho hàm số 𝑓 𝑥 = ln(1 + 2𝑥) • Tính f’(x), f’’(x) f’’’(x) • Tìm khai triển Maclaurin f đến 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 12 KHAI TRIỂN MACLAURIN • [2013-2014] • Viết khai triển Maclaurin hàm 𝑓 𝑥 = arcsin 𝑥 đến số hạng 𝑥 • Áp dụng tính 𝑥 − arcsin 𝑥 lim 𝑥→0 𝑥3 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 13 KHAI TRIỂN MACLAURIN 1) Viết khai triển Maclaurin đến cấp 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 2) Viết khai triển Maclaurin đến cấp 𝑓 𝑥 = arctan 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 14 KHAI TRIỂN MACLAURIN 3) Viết khai triển Maclaurin đến cấp 𝑓 𝑥 = 1+𝑥 4) Viết khai triển Maclaurin đến cấp 𝑓 𝑥 = tan 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 15 KHAI TRIỂN TAYLOR • [2017-2018] Cho hàm số 𝑓 𝑥 = 26 + 𝑥 • Viết khai triển Taylor hàm số f(x) đến cấp quanh điểm 𝑥 = • Áp dụng, tính gần Vi tich phan 1, 2020-2021 26 + 1.001 Nguyen Van Thuy, University of Science 16 QUY TẮC L’HOSPITAL • Định lý Nếu ∞ ; ∞ 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) có dạng 𝑥 → 𝑎 tồn 𝑢′ (𝑥) lim ′ 𝑥→𝑎 𝑣 (𝑥) = 𝐿 𝑢(𝑥) lim =𝐿 𝑥→𝑎 𝑣(𝑥) Vi tich phan 1, 2020-2021 John Bernoulli (1667–1748) Nguyen Van Thuy, University of Science 17 QUY TẮC L’HOSPITAL • Quy tắc L’Hospital 𝑢(𝑥) 𝑢′(𝑥) lim = lim 𝑥→𝑎 𝑣(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑣′(𝑥) • Áp dụng trực tiếp cho dạng vơ định ∞ ; ∞ • 𝑥 → 𝑎, 𝑥 → 𝑎+ , 𝑥 → 𝑎− , 𝑥 → +∞, 𝑥 → −∞ Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 18 QUY TẮC L’HOSPITAL 1) Tính 0 𝑥 − sin 𝑥 𝐿 = lim 𝑥→0 𝑥3 2) Tính ∞ ∞ Vi tich phan 1, 2020-2021 ln 𝑥 𝐿 = lim 𝑥→+∞ 𝑥 Nguyen Van Thuy, University of Science 19 QUY TẮC L’HOSPITAL 3) Tính ∞×0 𝐿 = lim+ 𝑥 ln 𝑥 𝑥→0 4) Tính ∞−∞ Vi tich phan 1, 2020-2021 𝐿 = lim 𝑥 − ln 𝑥 𝑥→+∞ Nguyen Van Thuy, University of Science 20 QUY TẮC L’HOSPITAL 5) Tính 00 𝐿 = lim+ 𝑥 𝑥 𝑥→0 6) Tính ∞0 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝐿 = lim 𝑥 𝑥→+∞ + 𝑒𝑥 𝑥 Nguyen Van Thuy, University of Science 21 ...