LEC GIỚI HẠN VI TÍCH PHÂN HK1, 2020 – 2021 NGUYỄN VĂN THÙY nvthuy@hcmus.edu.vn GIỚI HẠN HÀM SỐ • Xét hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 + Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science GIỚI HẠN HÀM SỐ • Ta nói lim 𝑥 − 𝑥 + = 𝑥→2 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐỊNH NGHĨA • Định nghĩa (𝜀 − 𝛿) lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑥0 ⇔ (∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, 𝑥 − 𝑥0 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀) • Định nghĩa (dãy) lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑥0 ⇔ ∀ 𝑥𝑛 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑛→+∞ 𝑥0 ⇒ 𝑓 𝑥𝑛 Nguyen Van Thuy, University of Science 𝑛→+∞ 𝐿 ĐỊNH NGHĨA • Ví dụ Chứng minh giới hạn sau khơng tồn 𝑎) lim sin 𝑥→0 𝑥 𝑏) lim cos 𝑥→0 𝑥 • Chú ý: dạng vơ định ∞ ; ; ∞ − ∞; ∞ × 0; 1∞ ; 00 ; ∞0 ∞ Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍNH CHẤT • Nếu tồn lim 𝑓(𝑥) , lim 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 + 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥) khơng có dạng ∞ − ∞ 𝑥 → 𝑥0 lim 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = lim 𝑓 𝑥 + lim 𝑔 𝑥 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 𝑥→𝑥0 • Tương tự cho giới hạn hiệu, tích, thương, lũy thừa Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science TÍNH CHẤT • Ví dụ Cho biết 𝑓 𝑥 −8 lim = 10, 𝑥→1 𝑥 − Tìm lim 𝑓(𝑥) 𝑥→1 • Ví dụ Tính lim 𝑥→+∞ Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑥2 2𝑥 𝑥+1 Nguyen Van Thuy, University of Science GIỚI HẠN MỘT PHÍA 𝑥−1 lim+ = 0.5 𝑥→1 𝑥 − Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑥−1 lim− = 0.5 𝑥→1 𝑥 − Nguyen Van Thuy, University of Science GIỚI HẠN MỘT PHÍA • Định lý lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ lim+ 𝑓(𝑥) = 𝐿 = lim− 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 • Ví dụ 𝑥−1 lim 𝑥→1 𝑥 − Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science GIỚI HẠN MỘT PHÍA • Ví dụ Tính giới hạn 2𝑥 + 12 𝑎) lim 𝑥→−6 𝑥 + 2− 𝑥 𝑐) lim 𝑥→−2 + 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑏) lim − 2𝑥 − 2𝑥 − 𝑥 𝑑) lim− 1 − 𝑥 𝑥 𝑥→0.5 𝑥→0 Nguyen Van Thuy, University of Science 10 GIỚI HẠN MỘT PHÍA • Ví dụ Với 𝑛 ∈ ℤ, 𝑎 ∈ ℝ, Tính giới hạn 𝑎) lim + 𝑥 𝑏) lim 𝑥 𝑐) lim 𝑥 𝑑) lim− 𝑥 𝑒) lim+ 𝑥 𝑓) lim 𝑥 𝑥→−1 𝑥→𝑛 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑥→−1 𝑥→𝑛 Nguyen Van Thuy, University of Science 𝑥→3.2 𝑥→𝑎 11 ĐỊNH LÝ KẸP • Định lý Nếu 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 ≤ ℎ 𝑥 ,𝑎 − 𝜀 < 𝑥 < 𝑎 + 𝜀 lim 𝑓(𝑥) = lim ℎ(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 ∃ lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎 Vi tich phan 1, 2020-2021 12 Nguyen Van Thuy, University of Science ĐỊNH LÝ KẸP • Ví dụ Nếu 4𝑥 − ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑥 − 4𝑥 + 7, 𝑥 ≥ Tính lim 𝑓(𝑥) 𝑥→4 • Ví dụ Chứng minh lim 𝑥 cos = 𝑥→0 𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 13 ĐỊNH LÝ KẸP • Ví dụ Tính giới hạn 𝑎) lim+ 𝑥𝑒 sin(𝜋/𝑥) 𝑥→0 𝑏) lim 𝑥 sin 𝑥→0 𝑥 • Ví dụ [15-16] Tính 𝑥 + cos 2𝑥 lim 𝑥→+∞ 𝑥 + sin 3𝑥 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 14 CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN sin 𝑢 ln(1 + 𝑢) 𝑒𝑢 − lim = 1; lim = 1; lim =1 𝑢→0 𝑢 𝑢→0 𝑢→0 𝑢 𝑢 lim 𝑢→±∞ 1+ 𝑢 𝑢 = 𝑒 = lim + 𝑢 𝑢→0 𝑢 arcsin 𝑢 arctan 𝑢 lim = 1; lim =1 𝑢→0 𝑢→0 𝑢 𝑢 𝑛 1+𝑢−1 lim = 𝑢→0 𝑢 𝑛 Vi tich phan 1, 2020-2021 Nguyen Van Thuy, University of Science 15 CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN • Ví dụ Tính giới hạn − cos 𝑥 𝑎) lim 𝑥→0 𝑥2 𝑐) lim cos 𝑥 𝑥→0 Vi tich phan 1, 2020-2021 𝑥2 𝑏) lim 𝑥→+∞ 𝑥+1 𝑥−1 2𝑥+1 sin 𝑥 − sin 𝑎 𝑑) lim 𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 Nguyen Van Thuy, University of Science 16 ... Xét hàm số