Một số tính chất của trường thực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THẾ TÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH – 2010 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THẾ TÌNH MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG VINH – 2010 2 Mục lục Trang mở đầu 1 Chơng 1 Một số kiến thức cơ sở 5 1.1 Trờng sắp thứ tự 5 1.2 Mở rộng đại số Mở rộng đại số 10 1.3 Trờng đóng đại số 15 Chơng 2 Các trờng thực 23 2.1 Trờng thực. Trờng đóng thực 23 2.2 Bao đóng thực của trờng 27 2.3 Các nghiệm thực và các đồng cấu 33 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo . 40 3 mở đầu Trờng là một trong những Lý thuyết đặt nền móng cho việc nghiên cứu các lĩnh vực khác nhau của toán học. Xin phép nhắc lại tên tuổi của các nhà toán học có liên quan đến lĩnh vực này nh : Galois, Gauss, Abel, Hinbe, Lindemann, Dedekind Liouville, Hermite. Cấu trúc trờng đợc nghiên cứu trong toán học từ khi ngời ta chứng minh đợc sự tồn tại của nó trên nhiều hệ thống số nh số hữu tỷ, số thực, số phức, số p - adic. Mở rộng trờng là nội dung chính đợc nghiên cứu trong Lý thuyết trờng. Cách thức tổng quát là bắt đầu với một trờng cơ sở, ngời ta xây dựng một trờng rộng hơn chứa trờng cơ sở và thỏa mãn một số tính chất cần thiết. Bài toán mở rộng trờng xuất phát từ bài toán giải phơng trình đại số. Định lý cơ bản của Đại số khẳng định sự tồn tại và duy nhất của trờng số phức là trờng phân rã của đa thức 2 1 0x + = trên trờng số thực Ă . Tổng quát hơn, trong Lý thuyết trờng ta có Định lý về sự tồn tại duy nhất trờng phân rã của một đa thức trên một trờng cơ sở, nh là sự khái quát Định lý cơ bản của Đại số. Các hiểu biết về Lý thuyết trờng sẽ góp phần làm cho chúng ta hiểu sâu sắc hơn chơng trình toán phổ thông đặc biệt là chơng trình toán Trung học phổ thông, góp phần tích cực bồi dỡng học sinh giỏi toán. Với những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài Một số tính chất của trờng thực. Đây là một nội dung cần quan tâm tìm hiểu của Lý thuyết trờng. Một trờng K đợc gọi là trờng thực nếu 1 không phải là tổng các bình phơng trong K. Trờng số thực Ă , trờng các số đại số Ô là các ví dụ về trờng thực. Các trờng khác nhau đều có tính chất đặc trng của trờng đó. Trờng thực cũng có các tính chất nh tính liên tục; lấy đạo hàm; Định lý về giá trị trung bình; đa thức bất khả quy; nghiệm của đa thức; các ánh xạ đồng cấu là những tính chất quan trọng của toán học, đợc trình bày trong luận văn. Luận văn đợc chia thành hai chơng: 4 Trong chơng 1, chúng tôi trình bày các khái niệm cơ sở về mở rộng trờng; trờng sắp thứ tự; trờng đóng đại số, trờng phân rã của đa thức. Chơng 2 là nội dung chính của luận văn bao gồm: Trờng thực; trờng đóng thực và bao đóng thực; các tính chất trờng thực và nghiệm của đa thức trên trờng thực; các đồng cấu, chứng minh một số Định lý nhằm làm rõ các cấu trúc của trờng thực. Luận văn đã giới thiệu các tính chất đặc trng của trờng thực; đó là các nội dung chính sau đây. Mnh 2.1.3. Gi s K l mt trng thc. (i) Nu a K , thỡ hoc ( ) K a hoc ( ) K a l trng thc. Nu a l tng cỏc bỡnh phng trong K, thỡ trng ( ) K a thc. Nu ( ) K a khụng phi l trng thc, thỡ a l tng ca cỏc bỡnh phng trong K. (ii) Nu ( )f x l mt a thc bt kh quy bc n l thuc [ ]K x v l nghim ca ( )f x thỡ ( )K l trng thc. Mnh 2.1.4. Gi s R l mt trng sao cho R R v ( ) R R 1= . Khi đó, R thc, v do ú l úng thc. nh lý 2.1.5. Gi s R l mt trng úng thc , Ra b v ( )f x l a thc thuc R[ ]x , trong ú ( ) 0f a < v ( ) 0f b > . Khi đó, tn ti phn t c gia a v b ma ( ) 0f c = . nh lý 2.2.2. Tớnh cht ca bao úng thc (i) Mi trng thc K cú mt bao úng thc. (ii) Trng úng thc R cú th sp th t mt cỏch duy nht. (iii) Mi phn t dng thuc R l mt bỡnh phng. (iv) Mi a thc bc l thuc R[ ]x cú nghim trong R . (v) Ta cú ng thc ( ) R R 1= . Tiờp theo luõn vn gii thiờu inh nghia va inh ly Stuyc trờn trng thc. nh ngha dóy Stuyc trờn trng thc 2.2.5. Gi s ( )f x l a thc vi h t thuc mt trng úng thc R , khụng cú nghim bi, v u v< l cỏc phn t 5 thuc R . Ta nh ngha dóy Stuyc i vi ( )f x trờn khong [u, ]v l mt h thng cú th t cỏc a thc. { } 0 1 1 S = ( ) = ( ), '( ) ( ), . . ., ( ) , m f x f x f x f x f x= cú cỏc tớnh cht sau: (i). a thc cui cựng ( ) m f x l mt hng t khỏc khụng. (ii). Vi mi 0 1j m u khụng tn ti [u, ]x v , sao cho 1 ( ) ( ) 0 j j f x f x + = = . (iii). Nu [u, ]x v v ( ) 0 j f x = vi j no ú trong {1,. . ., m - 1} , thỡ 1 ( ) j f x v 1 ( ) j f x + cú du trỏi nhau. (iv). Ta cú ( ) 0 j f u v ( ) 0 j f v vi mi = 0,. . .,j m . i vi phn t [u, ]x v tựy ý khụng phi l nghim ca bt k a thc ( ) j f x no, ta s ký hiu W ( ) S x l s (ln) thay du trong dóy { } 1 ( ), ( ), . . . , ( ) m f x f x f x , v se gi W ( ) S x l s bin du trong dóy ú. T inh nghia trờn ta co inh ly sau. nh lý Stuyc 2.2.6. S nghim ca a thc ( )f x , nm gia u v v, bng hiu W ( ) W ( ) S S u v vi mi dóy Stuyc S tựy ý. Tinh bao toan th t trờn cac bao ong thc cua trng sp th t. nh lý 2.2.8. Gi s K l mt trng sp th t v R, R ' l cỏc bao úng thc ca nú, cm sinh ra s sp th t ó cho trờn K. Khi ú, tn ti ng cu : R R ' , trờn K xỏc nh mt cỏch duy nht, v ng cu ú bo ton th t. Định lý 2.3.1. Giả sử E là một trờng, 1 ( , . . ., ) n K E x x= là một mở rộng hữu hạn sinh. Giả thiết rằng E đợc sắp thứ tự. Giả sử R E là bao đóng thực của trờng E, cảm sinh ra cùng sự sắp thứ thự trên E nh K. Khi đó, tồn tại đồng cấu 1 : [ , . . . , ] R n E E x x , trờn E. 6 Luận văn đợc thực hiện dới sự hớng dẫn nghiêm túc và chu đáo của PGS.TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Lê Quốc Hán, PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, TS. Mai Văn T và các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại số và Khoa Toán, Khoa Đào tạo Sau Đại học trờng Đại học Vinh đã tận tâm dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua, dới mái trờng Đại học Vinh thân yêu. Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những ngời bạn học viên cao học khoá 16 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã cố gắng, song cũng không trách khỏi những thiếu sót trong luận văn. Tác giả vô cùng biết ơn nếu nhận đợc những ý kiến đóng góp và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo cùng các bạn học viên. Tác giả 7 CHNG 1 MT S KIN THC C S Trong chơng này, chúng tôi trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản liên quan tới trờng sắp thứ tự, mở rộng trờng, mở rộng đại số, nghiệm của đa thức, trờng đóng đại số, bao đóng đại số, trờng phân rã của đa thức. 1.1. TRNG SP TH T 1.1.1. Đặc số của trờng. Cho K là một trờng với đơn vị 1 . Nếu 1 0n , với mọi số tự nhiên 0n , thì ta nói trờng K có đặc số 0. Trong trờng hợp ngợc lại, ta gọi số nguyên dơng p bé nhất sao cho 1 0p = là đặc số của trờng K. Đặc số của trờng K đợc ký hiệu bởi char(K). Ví dụ. Các trờng , ,Ô ĂÊ có đặc số 0. Trờng P Â có đặc số p. Nhận xét. Nếu trờng K có đặc số 0p thì p là số nguyên tố. 1.1.2. nh ngha. Giả sử K là một trờng. Một sự sắp thứ tự trờng K là một tập con P của K có các tính chất: (i). Vi mi phn t a cho x K , hoc x P , hoc 0x = , hoc x P , v ba kh nng ú kh ln nhau. Núi mt cỏch khỏc, K l hp ca cỏc tp hp ri nhau P, {0} v P . (ii). Nếu ,x y P , thì x y P+ và xy P . Phần tử x K đợc gọi là phần tử dơng nếu 0x > . Gọi P là tập hợp các phần tử dơng của K. Ta cũng nói K đợc sắp thứ tự bởi P. Gi s K c sp th t. Vi mi , 0x K x phn t 2 x dng, vỡ 2 2 ( )x x= v hoc x P , hoc x P . Nh vy, tng cỏc bỡnh phng hoc l dng hoc l bng 0. Ví dụ. Trờng số hữu tỉ Ô và trờng số thực Ă là những trờng sắp thứ tự. Nhận xét. Trờng số phức Ê không phải là một trờng sắp thứ tự. Chứng minh. Ta biết rằng nếu ( , )X là một trờng sắp thứ tự thì: 8 2 , 0; 0a X a a và 2 1 1 0= > , suy ra 0 1> . Nếu trong Ê có một quan hệ thứ tự sao cho ( , )Ê là một trờng sắp thứ tự thì ta phải có 2 0i . Nhng 2 0 1 i> = mâu thuẫn. Vậy không có một quan hệ thứ tự nào trong Ê để Ê trở thành một trờng sắp thứ tự. 1.1.3. Định nghĩa. Trờng sắp thứ tự X đợc gọi là sắp thứ tự Acsimet nếu với mọi , , 0x y X x > tồn tại một số tự nhiên n sao cho nx y> . Ví dụ. Trờng số hữu tỉ Ô và trờng số thực Ă là những trờng sắp thứ tự Acsimet. Chứng minh. i) Giả sử , a c b d là hai số hữu tỉ, với 0 c d > . Nếu 0 a b < , ta có 1 a c c b d d < = . Nếu 0 a b > , ta lấy số tự nhiên n Ơ sao cho nbc ad> thì sẽ đợc a c n b d < . Vậy Ô là trờng sắp thứ tự Acsimet. ii) Giả sử ,a b là hai số thực với 0a > . Nếu 0b < thì 1b a a< = . Nếu 0b > , ta đặt [ ] b là phần nguyên của b . Ta luôn có [ ] 1b b+ > . Nếu 1a < thì 1 1 1 1, 1 a a a > + > , do đó [ ] [ ] [ ] ( ) 1 1 1 1 1 b b b a b a a a + < + = < + + ữ . Nếu 1a > thì [ ] ( ) 1b b a< + . Vậy Ă là trờng sắp thứ tự Acsimet. 1.1.4. Mnh . Gi s E l mt trng. Khi ú, tớch ca cỏc tng cỏc bỡnh phng trong E cng l tng cỏc bỡnh phng. Nu ,a b E l tng cỏc bỡnh phng v 0b , thỡ a b l tng cỏc bỡnh phng. 9 Chng minh. Khẳng định u của mệnh đề l hin nhiờn vỡ , , ,a b c d E l cỏc bỡnh phng trong E, khi ú ( )( )a b c d ac ad bc bd+ + = + + + cú v trỏi l tớch ca cỏc tng cỏc bỡnh phng trong E v v phi cng l tng cỏc bỡnh phng trong E. khẳng định th hai của mệnh đề cng đúng, v chỳ ý n nờu ,a b E va 0b l tng cỏc bỡnh phng thi ng thc 1 2 ( )a b ab b = cung l tng cỏc bỡnh phng. 1.1.5. nh ngha. Cho K l mt trng vi s sp th t P, v F l mt trng con, thỡ hin nhiờn P F xỏc nh s sp th t trờn F, c gi l s sp th t cm sinh. Chỳ ý rng c hai iờu kiờn (i) v (ii) cua inh nghia 1.1.2 cng ỏp dng c cho cỏc vnh. Nu A l mt vnh sp th t, vi 1 0 , thỡ hin nhiờn A khụng th cha c ca khụng, v vic sp th t của vnh A cú th m rng mt cỏch hin nhiờn lờn trng cỏc thng: phõn thc c gi l dng, nu no cú th vit di dng a b , trong ú ,a b A v , 0a b > . Th thõy dờ dang rng o qua la s sp th t trờn trng cac thng. 1.1.6. Mệnh đề. Cho X là vành giao hoán. Các tính chất sau là tơng ơng. a) X là một vành sắp thứ tự; b) Tồn tại một bộ phận P X khác rỗng, sao cho: i) a P và b P a b P + ; ii) a P và b P ab P ; iii) ( ) {0}; ( )P P P P X = = với { | }P x x P = . Tập hợp {0}P P = đợc gọi là tập con dơng của X. Chứng minh. ) )a b Giả sử ( ) ,X là một vành sắp thứ tự. Khi đó ta đặt { } | 0P x X x= , khi đó các điều kiện của b) đợc thoả mãn. ) )b a Đảo lại, nếu P là tập con dơng của X thỏa mãn các tính chất: a P và b P a b P + 10