Khai thác tiềm năng của một số kiến thức hình học cao cấp vận dụng vào việc dạy học hình học ở trường phổ thông

mở đầu I- Lí do chọn đề tài: Luật giáo dục của nớc ta ( thông qua ngày 2 tháng 12 năm 1998 ) nêu rõ: Ph ơng pháp giáo dục đại học phải coi trọng việc bồi dỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu, tạo điều kiện cho ngời học phát triển t duy sáng tạo, rèn luyện kĩ năng thực hành, . Chính vì vậy cần phải đổi mới và hiện đại hoá giáo dục. Điều này đ ợc thể hiện trong Chiến lợc phát triển giáo dục 2001- 2010: Chuyển từ việc truyền đạt tri thức thụ động, thầy giảng, trò ghi sang hớng dẫn ngời học chủ động t duy trong quá trình tiếp cận tri thức; dạy cho ngời học phơng pháp tự học, tự thu nhận thông tin một cách hệ thống và có t duy phân tích tổng hợp; phát triển đợc năng lực của mỗi cá nhân; tăng cờng tính chủ động, tính tự chủ của học sinh, sinh viên trong quá trình học tập . Giáo s Trần Bá Hoành (trong Nghiên cứu giáo dục, số 9/1999) đã viết: Giáo viên giỏi là ngời biết giúp đỡ học sinh của mình tiến bộ nhanh trên con đờng phát triển năng lực tự học, phát huy nội lực làm cho kết quả học tập đợc nâng lên gấp bội . Việc đổi mới PPDH hiện nay xác định thầy giáo có vai trò là ngời tổ chức, điều khiển quá trình nhận thức của học sinh. Vấn đề quan trọng trong quá trình điều khiển là giúp học sinh định hớng tìm tòi kiến thức mới, giúp học sinh đánh giá và thể chế hoá kiến thức, nghĩa là những kiến thức học sinh phát hiện ra đúng hay sai. Để giải quyết đợc vấn đề đó thầy giáo phải đứng trên tầm cao để nhìn nhận vấn đề PT, chẳng những khai thác triệt để SGK mà còn phải biết chuyển tải tri thức THCC sang tri thức THPT. Việc chuyển tải tri thức THCC sang tri thức THPT đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện nghiệp vụ s phạm cho sinh viên.Thực tiễn dạy học toán ở trờng PT và thực tiễn thực tập s phạm của sinh viên ngành toán còn bộc lộ nhiều nhợc điểm trong việc bắc cầu nối từ tri thức THCC sang tri thức THPT, tức là cha đủ sức chuyển tải trong dây chuyền: Bộc lộ thiếu sót chủ yếu của sinh viên trong mạch trên, một phần thể hiện ở chỗ: Cha chú trọng đúng mức, thờng xuyên việc chuyển đổi ngôn ngữ từ tri thức khoa học sang ngôn ngữ phổ thông của các tri thức tơng ứng, để từ đó giúp tạo cơ sở định hớng giải quyết các vấn đề, các bài toán đặt ra ở trờng phổ thông. Do các kiến thức của THCC rất trừu tợng nên sinh viên cha thấy đợc mối liên hệ hữu cơ giữa các kiến thức đó với các kiến thức trong THPT. Vì thế họ cha nhìn đ- ợc tri thức THPT trên cơ sở nền tảng của tri thức THCC, sử dụng THCC để khám phá một cách có hệ thống các cơ sở khoa học này đa vào THPT, nhìn các vấn đề riêng lẻ của giáo trình toán PT theo quan điểm thống nhất và đầy đủ hơn. Cũng chính vì thế nên sinh viên không biết những kiến thức của THCC mà họ đợc học sẽ giúp ích gì cho bản thân trong quá trình giảng dạy toán ở trờng PT sau này, họ không thực sự hứng thú khi học các kiến thức đó. 1 Tri thức khoa học Tri thức chương trình Tri thức dạy học Tuy rằng trong khi giảng dạy các kiến thức của THCC , giáo viên cũng đề cập đến những tri thức THPT nh là trờng hợp riêng của tri thức THCC nhng tất cả cũng chỉ dừng lại đó mà cha có sự khai thác một cách hệ thống và sâu rộng hơn. Mối quan hệ giữa THCC và THPT là một vấn đề rất lớn, nội dung phong phú và đầy khó khăn. Vì thế, luận văn này chỉ giới hạn trong bộ môn hình học, là môn đặc biệt thuận lợi cho việc thiết lập mối liên hệ giữa THCC với THPT . Từ những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài: Khai thác tiềm năng của một số kiến thức hình học cao cấp vận dụng vào việc dạy học hình học ở trờng phổ thông. II- Đối tợng nghiên cứu: Đối tợng nghiên cứu của đề tài là kiến thức HHCC đợc trang bị cho sinh viên ngành toán, chơng trình HHPT và mối liên hệ giữa chúng. III- Mục đích nghiên cứu: Thiết lập mối liên hệ giữa HHCC và HHPT nhằm nhìn nhận sâu sắc hơn HHPT. IV- Nhiệm vụ nghiên cứu: a. Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hình học cao cấp và hình học phổ thông. b. Xây dựng hệ thống bài tập HHPT giải trên cơ sở chuyển tải ý tởng HHCC. c.Kiểm nghiệm ý nghĩa của đề tài từ thực tiễn dạy học toán ở trờng PT và thực tiễn nghiên cứu toán của sinh viên s phạm. V- Giả thuyết khoa học: Nếu trong quá trình học HHCC ở trờng ĐHSP và nghiên cứu HHPT thờng xuyên quan tâm mối liên hệ tơng hỗ thì sẽ góp phần giúp sinh viên, giáo viên ngành toán nhìn nhận các vấn đề của HHPT sâu sắc hơn, hệ thống hơn và từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn hình học ở trờng PT. VI- Phơng pháp nghiên cứu: a. Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoa học nhằm làm sáng tỏ vai trò của mối quan hệ giữa HHCC và HHPT b. Nghiên cứu các cơ sở HHCC của HHPT theo định hớng xác lập mối liên hệ trên. c. Nghiên cứu con đờng chuyển tải từ tri thức khoa học toán học sang tri thức chơng trình và tri thức dạy học. VII- Cấu trúc của luận văn: Mở đầu. Chơng 1- Cơ sở lí luận của mối liên hệ giữa HHCC và HHPT. 1.1. Các quan điểm khác nhau về sự cần thiết liên hệ giữa HHCC và HHPT. 1.2. Một số cơ sở HHCC của HHPT. 1.3. Kết luận chơng 1. Chơng 2-Tiềm năng của mối liên hệ giữa HHCC và HHPT 2.1. Nhìn nhận các khái niệm, tính chất của Hình học phổ thông theo quan điểm của Hình học cao cấp. 2.2. Sử dụng HHCC để định hớng tìm tòi lời giải cho một số loại toán của HHPT. 2 2.3. Sử dụng HHCC để sáng tạo các bài toán HHPT. 2.4. Tìm hiểu mối liên hệ giữa HHCC và HHPT giúp sinh viên, giáo viên giải thích một số kiến thức khó của HHPT. 2.5. Kết luận chơng 2. Chơng 3- Thực nghiệm s phạm Kết luận Tài liệu tham khảo 3 Chơng I Cơ sở lí luận của mối liên hệ giữa HHCC và HHPT 1.1. Các quan điểm khác nhau về sự cần thiết liên hệ giữa HHCC và HHPT. 1.1.1. Về phơng diện lịch sử hình học: Trong sự phát triển của hình học có thể chỉ ra bốn giai đoạn cơ bản; bớc chuyển tiếp giữa các giai đoạn đánh dấu sự biến đổi về chất của hình học. Giai đoạn thứ nhất là sự ra đời của hình học nh là một khoa học toán học. Giai đoạn này diễn ra ở Ai cập , Babilon và Hi lạp cổ xa, khoảng 5 thế kỉ trớc công nguyên. Những kiến thức hình học thời đó hãy còn ít ỏi và thờng quy về việc tính toán một số diện tích và thể tích. Chúng đợc trình bày dới dạng quy tắc mà phần lớn là rút ra từ kinh nghiệm, việc chứng minh logic hãy còn rất sơ sài. Hình học, theo chứng cứ của các nhà sử học Hi lạp, đã chuyển từ Ai cập đến Hi lạp vào thế kỉ thứ VII trớc Công nguyên. ở đây, sau vài ba thế hệ, hình học đã trở thành một hệ thống đẹp đẽ. Quá trình đó diễn ra bằng con đờng tích luỹ những kiến thức mới về hình học, làm sáng tỏ các mối liên hệ giữa các sự kiện khác nhau của hình học, vạch ra những biện pháp chứng minh và cuối cùng, hình thành các khái niệm về hình, về mệnh đề hình học và về chứng minh. Có lẽ Pythagore là ngời mang lại nhiều biến đổi sâu sắc cho hình học, ông là ngời đầu tiên xây dựng hình học nh là một khoa học suy diễn. Giai đoạn thứ hai của sự phát triển hình học bắt đầu từ khi hình học trở thành một khoa học toán học độc lập, đợc trình bày có hệ thống, trong đó các mệnh đề lần lợt đợc chứng minh. Giai đoạn này gắn với tên tuổi của Hippocrate, Euclide, Archimède và Apollonius. Suy luận toán học của Hippocrate ( thế kỉ V trớc Công nguyên ) đã đạt đến trình độ cao, trong đó đã áp dụng triệt để các quy tắc suy diễn chặt chẽ để từ kết quả này suy ra kết quả khác. Vào thế kỉ thứ III trớc Công nguyên, nổi lên ba nhà toán học vĩ đại: Euclide, Archimède và Apollonius mà tác phẩm của họ có ảnh hởng hết sức to lớn đối với sự phát triển sau này của hình học. Bộ sách Các nguyên lí của Euclide là tác phẩm đầu tiên của thời cổ còn giữ đợc nguyên vẹn đến ngày nay. Tất cả các nhà toán học trên thế giới đều phải học trong cuốn sách này, nh là bớc cần thiết để nắm đợc hình học. Phần lớn chơng trình hình học ở trờng phổ thông trên thế giới hiện nay đợc trình bày cơ bản giống nh tập sách đó. Tập Các nguyên lí hệ thống những kiến thức hình học đã biết thành một lí thuyết toán học hoàn chỉnh, dựa trên một số tiên đề, và các định lí đều đợc chứng minh bằng suy diễn một cách chặt chẽ. Đó là khoa học về những hình dạng và quan hệ không gian đơn giản nhất phát triển theo trình tự logic, xuất phát từ những luận điểm cơ bản đợc phát biểu rõ ràng. Hình học phát triển trên các cơ sở đó với đối tợng và phơng pháp nghiên cứu đợc chính xác hoá và làm cho phong phú thêm đợc gọi là hình học Euclide. Ngay tại Hi lạp, hình học Euclide đợc bổ sung những kết quả mới, phát sinh những phơng pháp mới xác định diện tích và thể tích ( phơng pháp tổng trên, tổng d- ới của Archimède - thực chất là phơng pháp tích phân ) cùng với việc nghiên cứu các thiết diện cônic ( của Apollonius ). Giai đoạn này, Menelaus ( thế kỉ I ) đã trình bày hệ thống hình học trên mặt cầu và đó là hệ thống hình học đầu tiên khác với hình học Euclide. Sự suy sụp của xã hội cổ đại dẫn đến tình trạng đình trệ đáng kể trong sự phát triển của hình học. Tuy nhiên nó vẫn phát triển ở ấn độ, ở Trung á và ở các nớc ả rập ph- ơng đông. 4 Giai đoạn thứ ba của sự phát triển hình học đợc đánh dấu bằng sự ra đời của hình học giải tích vào nửa đầu thế kỉ XVII. Có thể nói việc phát minh ra hình học giải tích là một khâu quan trọng trong việc chuyển đối tợng toán học từ đại lợng không đổi sang đại lợng biến thiên. Hai nhà toán học lớn ngời Pháp là R.Descartes và P.Fermat đồng thời cùng nêu ra cơ sở cho môn học này. Hình học đã chuyển lên một trình độ mới về chất so với hình học thời cổ đại: nó nghiên cứu những hình tổng quát hơn nhiều và sử dụng những phơng pháp thực sự mới. Hình học giải tích nghiên cứu những hình và những phép biến đổi; đợc cho bởi những phơng trình đại số trong hệ toạ độ vuông góc, bằng cách sử dụng những phơng pháp đại số. Hình học vi phân ( xuất hiện vào thế kỉ XVIII với các công trình của L.Euler, G.Monge và của các nhà bác học khác ) nghiên cứu mọi đờng cong và mặt đủ trơn, họ của chúng ( tức là những tập hợp liên tục của chúng ) và các phép biến đổi. Vào nửa đầu thế kỉ XVII, hình học xạ ảnh ra đời với các công trình của G.Désargues và B.Pascal. Nó phát sinh từ bài toán biểu diễn một vật thể trên mặt phẳng; đối tợng đầu tiên của nó là những tính chất của các hình phẳng đợc bảo toàn trong phép chiếu xuyên tâm, từ mặt phẳng này sang mặt phẳng khác. Những hớng phát triển mới đó của hình học đã đợc bố cục lại và trình bày có hệ thống vào thế kỉ XVIII đầu thế kỉ XIX. Công lao đó thuộc về L.Euler đối với hình học giải tích, G.Monge đối với hình học vi phân, J.Poncelet đối với hình học xạ ảnh. Ngoài ra, lí thuyết biểu diễn hình học ( có quan hệ trực tiếp với bài toán hoạ hình ) đã đợc G.Monge phát triển hệ thống hoá trớc đó trong môn hình học hoạ hình. Trong tất cả các bộ môn mới ấy, nền tảng hình học đợc giữ nguyên không thay đổi, chỉ phạm vi các hình đợc nghiên cứu và tính chất của chúng, cũng nh các phơng pháp áp dụng là đợc mở rộng. Năm 1872, P. Klein trình bày bài giảng, bây giờ đợc gọi là Chơng trình Erlanghen theo đó hình học đợc định nghĩa nh là lí thuyết về các bất biến của một nhóm biến đổi nào đó. Bằng cách mở rộng hay thu hẹp ta có thể chuyển từ một dạng hình học này sang một dạng hình học khác. Hình học Euclide nghiên cứu các bất biến của nhóm dời, hình học xạ ảnh nghiên cứu những bất biến của nhóm các phép biến đổi xạ ảnh. Sự phân loại các nhóm biến đổi sẽ cho ta một sự phân loại hình học, và lí thuyết về các bất biến đại số và vi phân của mỗi một nhóm sẽ cho ta cấu trúc giải tích của hình học tơng ứng. Giai đoạn thứ t của sự phát triển hình học bắt đầu từ khi N.I.Lobachevski xây dựng thành công vào năm 1826 một hình học mới, phi Euclide, ngày nay gọi là hình học Lobachevski. Độc lập với N.I. Lobachevski, J.Bolyai cũng xây dựng môn hình học nh vậy vào năm 1832 ( K.Gauss cũng đã phát triển những ý tởng đó, nhng không công bố ). Đặc điểm chủ yếu của giai đoạn mới trong lịch sử hình học, bắt đầu từ N.I. Lobachevski , là sự phát triển những lí thuyết hình học mới, những môn hình học mới, cùng sự mở rộng tơng ứng đối tợng hình học. Xuất hiện khái niệm về không gian các loại khác nhau ( thuật ngữ không gian trong khoa học có hai nghĩa:không gian hiện thực thông thờng và không gian toán học trừu tợng ). Thời kì này cũng đã nảy sinh tôpô học-là học thuyết về tính chất các hình, những tính chất chỉ phụ thuộc vào sự tiếp xúc lẫn nhau giữa các bộ phận của các hình, và bằng cách đó, chúng đợc bảo toàn qua mọi phép biến đổi không phá huỷ mà cũng không đa thêm vào những sự tiếp xúc mới. Song song với sự phát triển những lí thuyết hình học mới, ngời ta tiến hành nghiên cứu những lĩnh vực đã có của hình học Euclide: hình học sơ cấp, hình học giải tích và hình học vi phân. Trong hình học, hình bắt đầu đợc định nghĩa là một tập hợp điểm. Sự phát triển của hình học gắn chặt với việc phân tích sâu sắc những tính chất 5 của không gian, nằm sâu trong nền tảng của hình học Euclide. Nói cách khác, sự phát triển đó gắn liền với sự chính xác hoá cơ sở của bản thân hình học Euclide nhờ công trình của D.Hilbert và những ngời khác đã dẫn đến phát biểu chính xác các tiên đề của hình học Euclide, và của những hình học khác vào cuối thế kỉ XIX. Quá trình lịch sử trên đây cho chúng ta thấy mối liên hệ chặt chẽ của các giai đoạn phát triển hình học và sự kế tục khoa học đã diễn ra; những lí thuyết, kết quả của giai đoạn sau thờng có mầm mống từ những giai đoạn trớc. Việc phân chia các giai đoạn nh trên chỉ là tơng đối, ranh giới giữa các thời kì khó tách bạch đợc. Các kiến thức hình học ở hai giai đoạn hai là nội dung chủ yếu trong các giáo trình hình học ở trờng phổ thông, ngoài ra một số kiến thức hình học giải tích ở giai đoạn ba đợc đa xuống đầu lớp 10 và lớp 12. Với tính chất quy ớc ( theo [21]), hình học dạy và học ở bậc trung học gọi là hình học sơ cấp. Nh vậy, có thể xem hình học sơ cấp ra đời từ thế kỉ III trớc Công nguyên nhờ tác phẩm Các nguyên lí của Euclide và kết thúc vào năm 1899 bởi tác phẩm Cơ sở hình học của D.Hilbert. Đặc trng của hình học sơ cấp là không nghiên cứu những hình bất kì nói chung mà chỉ nghiên cứu những hình khá xác định. Đối tợng của hình học sơ cấp bao gồm: a). Những hình xác định bởi một số hữu hạn những hình đơn giản nhất ( chẳng hạn, một đa giác đợc xác định bởi một số hữu hạn những đoạn thẳng; một đa diện đợc xác định bởi một số hữu hạn đa giác, tức cũng là bởi một số hữu hạn những đoạn thẳng). b). Những hình xác định bởi những tính chất phát biểu bằng những khái niệm ban đầu ( chẳng hạn, Elip với các tiêu điểm F 1 , F 2 là tập hợp những điểm M sao cho tổng các đoạn thẳng MF 1 và MF 2 bằng một độ dài cho trớc ). c). Những hình xác định đợc bằng phép dựng ( chẳng hạn, mặt nón đợc dựng bởi những đờng thẳng kẻ từ một điểm O cho trớc đến tất cả những điểm của một đờng tròn cho trớc, không nằm trong một mặt phẳng với O. Còn thiết diện cônic thì đợc xác định bởi sự tơng giao của mặt nón với một mặt phẳng). Một hình dù phức tạp đến đâu, nhng đợc xác định bằng cách trên đây, cũng có thể trở thành đối tợng nghiên cứu trong khuôn khổ của hình học sơ cấp. Đối với các tính chất của các hình đó thì hình học sơ cấp chỉ nghiên cứu những tính chất nào đợc xác định dựa trên những khái niệm đơn giản nhất đã nêu. Các tính chất đó, trớc hết, là vị trí tơng đối và sự bằng nhau của các yếu tố của hình, độ dài, diện tích, thể tích. Trong hình học sơ cấp có nghiên cứu các tính chất của tiếp tuyến với đờng tròn, cũng có thể nghiên cứu các tính chất của tiếp tuyến với Elip, Hypebol, Parabol, nhng khái niệm tổng quát về tiếp tuyến thì lại nằm ngoài phạm vi của hình học sơ cấp. Các phép dựng hình và các phép biến hình, nghiên cứu trong hình học sơ cấp, đợc xác định bởi những quy định hình học cụ thể trớc đó trên cơ sở những khái niệm sơ khai của hình học. Phơng pháp cơ bản của hình học sơ cấp là rút ra định lí bằng cách lập luận trực quan, dựa trên các tiên đề hoặc các định lí đã biết của hình học sơ cấp, có sử dụng phép xây dựng bổ trợ ( chẳng hạn, kéo dài đoạn thẳng AB, chia đôi góc A, ). Những phơng tiện tính toán của đại số và lợng giác, đợc sử dụng trong hình học, thực ra là để cung cấp số liệu cho những phép xây dựng đó. Khái niệm giới hạn không bị loại trừ khỏi hình học sơ cấp, nhng trong mỗi trờng hợp cũng chỉ nói đến một luận cứ cụ thể, cho bởi phép dựng hình sơ cấp, và việc cho qua giới hạn đợc thức hiện một cách trực tiếp, không đả động gì đến lí thuyết tổng quát về giới hạn, chẳng hạn việc xác định độ dài về đ- ờng tròn bằng cách xét một dãy các đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp đờng tròn đó. 6 Cũng với tính chất quy ớc (theo [21] ), HHCC thờng đợc hiểu là hình học dạy và học ở bậc đại học, bao gồm: Hình học giải tích , Cơ sở hình học , Hình học xạ ảnh , Hình học vi phân , Tuy nhiên thuật ngữ Hình học cao cấp mà chúng tôi sử dụng ở đây chỉ bao gồm hình học Afin, hình học Euclide và hình học xạ ảnh. Cách hiểu cũng phù hợp với các quyển sách lấy tên Hình học cao cấp đợc viết cho sinh viên đại học của các tác giả nh Nguyễn Cảnh Toàn, Văn Nh Cơng - Kiều Huy Luân, Nguyễn Mộng Hy, Qua những điều đã trình bày ở trên, chúng ta có cơ sở khoa học để thiết lập mối liên hệ giữa hình học cao cấp và hình học sơ cấp. 1.1.2. Về phơng diện yêu cầu đổi mới PPDH Toán với việc nâng cao tay nghề cho giáo viên: Trong thời đại ngày nay, tri thức khoa học nói chung, tri thức toán học nói riêng phát triển nh vũ bão. Nhiều ngành mới, nhiều khái niệm mới ra đời đòi hỏi cần phải cập nhật cho học sinh tránh sự lạc hậu, trong khi đó thời lợng ở trờng phổ thông có hạn dẫn đến yêu cầu đổi mới PPDH. T tởng chính của công cuộc đổi mới này là lấy học sinh làm trung tâm , phải dạy cho học sinh phơng pháp t duy tự nghiên cứu, tự học độc lập trong việc chiếm lĩnh tri thức, đào tạo ngời học sinh có đủ phẩm chất, năng lức tiếp cận và giải quyết mọi vấn đề trong cuộc sống, trong học tập. Định hớng của sự đổi mới có thể gọi tắt là hoạt động hoá ngời học. Từ đó, xác định vai trò mới của ngời thầy giáo với t cách là ngời thiết kế, uỷ thác, điều khiển và thể chế hoá. Vai trò thiết kế: Lập kế hoạch, chuẩn bị quá trình dạy học cả về mặt mục đích, nội dung, phơng pháp, phơng tiện và hình thức tổ chức; Vai trò uỷ thác: Biến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụ học tập tự nguyện, tự giác của trò, là chuyển giao cho trò không phải những tri thức dới dạng có sẵn mà là những tình huống để trò hoạt động và thích nghi; Vai trò điều khiển: (kể cả điều khiển về mặt tâm lí ) bao gồm sự động viên, hớng dẫn trợ giúp và đánh giá; Vai trò thể chế hoá: Xác nhận những kiến thức mới phát hiện, đồng nhất hoá những kiến thức riêng lẻ mang màu sắc cá thể, phụ thuộc hoàn cảnh và thời gian của từng học sinh thành tri thức khoa học của xã hội, tuân thủ chơng trình về mức độ yêu cầu, cách thức diễn đạt và định vị tri thức mới trong hệ thống tri thức đã có, hớng dẫn vận dụng và ghi nhớ hoặc giải phóng khỏi trí nhớ nếu không cần thiết. Việc xác định vai trò mới của ngời thầy giáo ở trên là khá rõ ràng. Song một vấn đề đặt ra là: làm thế nào để nâng cao chất lợng đào tạo giáo viên ? Để giải quyết vấn đề này, theo PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, đã có nhiều giải pháp đợc thực hiện : Giải pháp thứ nhất đã đợc thực hiện trong nhiều năm: tăng cờng kiến tập s phạm và tăng thời gian thực tập. Tuy nhiên, chất lợng đào tạo giáo viên không nâng đợc bao nhiêu. Giải pháp thứ hai cũng đã đợc thực hiện trong nhiều năm: tăng cờng các môn khoa học giáo dục và giải toán sơ cấp. Giải pháp này đã có tác dụng tơng đối tốt, kết quả thức tập s phạm cao hơn trớc. Tuy nhiên, nói chung, sinh viên mới chỉ đạt đợc mức độ thực hiện tốt hoặc đầy đủ yêu cầu giảng dạy trên cơ sở những vấn đề đã đợc gợi ý khá chi tiết hoặc có tài liệu hớng dẫn. Những vấn đề nảy sinh phải tự giải quyết thì cha đáp ứng đợc. Do vậy, nhiều ngời đã đề xuất giải pháp: liên hệ giữa THCC, THHĐ dạy ở các trờng s phạm và môn toán dạy ở trờng PT, từ đó giúp cho sinh viên thấy đợc mối liên quan hữu cơ giữa hai chơng trình toán nói trên. 7 Đi theo hớng này, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy cùng nhóm nghiên cứu của mình đã đạt đợc một số kết quả sau: - ứng dụng đạo hàm để giải toán sơ cấp. - Giảng dạy tích phân trong chơng trình toán 12. - ứng dụng số phức để giải toán sơ cấp. - Dạy học phép đo đại lợng ở bậc tiểu học. Các kết quả này đã đợc công bố trong sáu công trình. Cũng theo hớng nghiên cứu cơ sở của THPT, PGS.TS Đào Tam đã thu đợc một số kết quả thông báo trong các giáo trình và bài báo: - Các cơ sở THCC của THPT ( Đào Tam, Nguyễn Huỳnh Phán, Giáo trình cao học, ĐHSP Vinh). - Một số cơ sở phơng pháp luận của toán học và ứng dụng của chúng trong việc dạy học toán ở trờng phổ thông (Tạp chí Giáo dục. số 9/1998). Trong các sách viết về HHCC của các tác giả nh Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Mộng Hy, Văn Nh Cơng, , đều có đề cập đến một số ứng dụng của HHCC trong HHPT, tuy nhiên chúng chỉ đóng một vai trò minh hoạ cho các vấn đề đợc đa ra chứ cha thực sự đợc khai thác một cách đầy đủ, hệ thống. Sau khi tiến hành điều tra 256 giáo viên toán trung học cơ sở ( ở Sơn La và Hà Nội ), TS Nguyễn Hữu Châu và Th.s Đặng Quang Việt đã rút ra những khó khăn của giáo viên khi áp dụng các kiến thức của Đại số đại cơng vào dạy Số học và Đại số ở trung học cơ sở và từ đó đề xuất giải pháp s phạm sau đây: Tăng cờng tính định hớng s phạm trong dạy học các bộ môn ở trờng s phạm, cần thiết và có xây thể xây dựng một số chuyên đề cho sinh viên làm cầu nối giữa các kiến thức cơ bản đợc trang bị ở trờng s phạm với các kiến thức sẽ dạy ở trờng PT. Các chuyên đề này cần đợc thiết kế theo cách tiếp cận modul (modular approach) - là một kiểu tài liệu dạy học nhằm chuyển tải một số đơn vị chơng trình dạy học tơng đối độc lập, đợc cấu trúc một cách đặc biệt, chứa đựng cả mục tiêu, nội dung, PPDH và hệ thống công cụ đánh giá kết quả lĩnh hội; chúng gắn bó với nhau nh một chỉnh thể - dành cho sinh viên tự chọn và đợc thực hiện chủ yếu bằng tự học. Tiếp bớc những nghiên cứu trên, trong luận văn tốt nghiệp đại học chúng tôi cũng đã xác lập đợc một số mối liên hệ giữa THCC với THPT đối với các môn toán bậc đại học nh đại số, hình học, giải tích, số học. Tuy nhiên những kết quả thu đợc cha thật sự sâu sắc và còn chung chung. Lần này, chúng tôi tập trung nghiên cứu sâu mối liên hệ giữa HHCC và HHPT, đó là một bộ phận của mối liên hệ giữa THCC và THPT. 1.2. Một số cơ sở HHCC của HHPT. Trong giáo trình HHPT có chứa đựng nhiều yếu tố có thể nhìn nhận bằng HHCC. Sau đây chúng tôi sẽ trình bày một số yếu tố đó: 1.2.1. KG Afin: 1.2.1.1. Một số định nghĩa và tính chất: 1.2.1.1.1 KG afin: Cho KGVT V trên trờng K, tập A mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ :A ì A V. Kí hiệu (M,N) = MN với mọi điểm M, N A. Bộ ba (A, , V) gọi là KG afin nếu hai tiên đề sau đây đợc thoả mãn: 8 i). Với mọi điểm M A và mọi véctơ c V có duy nhất một điểm N A sao cho c = MN . ii). Với ba điểm bất kì M, N, P A ta có MN + NP = MP . KG afin (A, ,V) còn gọi là KG afin A trên trờng K. KGVT V gọi liên kết ( nền ) của KG A và kí hiệu là A . KG afin A gọi là n-chiều ( kí hiệu dimA = n) nếu dimV = n. Khi đó, kí hiêu là A n . Nếu trờng K là trờng số thực (trờng số phức) thì ta nói A là KG afin thực (phức). Từ định nghĩa suy ra: . Với mọi M A n thì MM = 0 . . Với ba điểm tuỳ ý M, N, P A n thì NP = MP - MN . . AB = CD AC = BD ( A, B, C, D A n ). . Với mọi M, N A n mà MN = 0 thì M trùng N. . Với mọi M, N A n thì MN = - NM . 1.2.1.1.2. Hệ điểm độc lập: Hệ m+1 điểm A 0 , A 1 , A 2 , , A m (m 1) của KG afin A gọi là độc lập nếu m véctơ 10 AA , 20 AA , , n0 AA của A là hệ véctơ độc lập tuyến tính. Hệ gồm chỉ một điểm M bất kì luôn đợc xem là độc lập. Nếu A là KG afin n-chiều thì mọi hệ điểm nhiều hơn n+1 điểm đều là không độc lập. 1.2.1.1.3. Toạ độ afin: Cho KG afin n-chiều A n liên kết với KGVT A . Giả sử = { 1 e , 2 e , , n e } là một cơ sở của A và O là một điểm thuộc A. Khi đó, tập hợp {O; } hay {O; 1 e , 2 e , , n e } gọi là mục tiêu afin của A n . O gọi là điểm gốc của mục tiêu, i e gọi là véctơ thứ i của mục tiêu. Với mỗi điểm M A n có duy nhất n phần tử x 1 , x 2 , , x n của trờng K sao cho OM = x 1 1 e + x 2 2 e + + x n n e . Bộ n phần tử đó đợc gọi là toạ độ của điểm M đối với mục tiêu đã chọn, kí hiệu M( x 1 , x 2 , , x n ) hay M = ( x 1 , x 2 , , x n ). 1.2.1.1.4. Phẳng trong KG afin: Cho KG afin A liên kết với KGVT A . Gọi O là một điểm của A và là một KGVT con của A . Khi đó, tập hợp = {M A : OM } đợc gọi là phẳng qua O và có phơng là . Nếu dim = m thì gọi là cái phẳng m-chiều hay m-phẳng. Nh vậy, 0-phẳng là một điểm, n-phẳng của KG afin n-chiều A n chính là A n , 1-phẳng gọi là đờng thẳng, 2- phẳng gọi là mặt phẳng, (n-1)-phẳng gọi là siêu phẳng của KG afin n-chiều A n . Qua m+1 điểm độc lập của KG afin A có một và chỉ một m-phẳng (m 0). Trong KG affin A n cho p-phẳng và q-phẳng ( p q ) lần lợt có phơng là và . . và gọi là cắt nhau nếu có điểm chung. . và gọi là song song nếu 9 . và gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không song song với nhau. . Giao hiểu theo nghĩa thông thờng của lí thuyết tập hợp và gọi là giao của hai cái phẳng và . Giao này hoặc là rỗng hoặc là phẳng có phơng . Các quan hệ trên giữa hai cái phẳng có những tính chất sau: - Hai đờng thẳng phân biệt thì không giao nhau hoặc giao nhau tại một điểm. - Hai siêu phẳng phân biệt thì song song và không giao nhau hoặc có giao là một (n-2)-phẳng. - Một m-phẳng mà không thuộc một siêu phẳng thì song song với siêu phẳng hoặc giao với siêu phẳng theo một (m-1)-phẳng. - Nếu hai cái phẳng và cùng song song với cái phẳng và cắt thì cái phẳng song song với . - Nếu hai siêu phẳng và cắt nhau, siêu phẳng song song với ; các giao và đều khác rỗng thì và song song với nhau. - Nếu cho trớc một điểm M và một m- phẳng không đi qua M thì có một và chỉ một ( m+1)-phẳng chứa M và . 1.2.1.1.5. Tâm tỉ cự: Cho m+1 điểm P 0 , P 1 , P 2 , , P m của KG afin A và m+1 số 0 , 1 , , m thuộc trờng K sao cho = m 0i i 0. Khi đó, có điểm G duy nhất thoả mãn = m 0i i i GP = 0. Điểm G đó gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm P i gắn với họ hệ số i . Trong trờng hợp các i bằng nhau thì điểm G đợc gọi là trọng tâm của hệ điểm P 0 , P 1 , P 2 , , P m . Khi m = 1 thì trọng tâm G của hai điểm P 0 và P 1 gọi là trung điểm của cặp điểm (P 0 , P 1 ). Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ điểm P 0 , P 1 , P 2 , , P k (với các họ hệ số khác nhau) là cái phẳng bé nhất chứa các điểm ấy. Ngợc lại, m- phẳng đi qua m+1 điểm độc lập P 0 , P 1 , P 2 , , P m chính là tập hợp các tâm tỉ cự của họ điểm đó (gắn với các họ hệ số khác nhau). Do đó, cần và đủ để một điểm M là OM = = m 0i i i OP , với O nào đó, trong đó, = m 0i i = 1. Họ số { i }, i=0, 1, , m, gọi là toạ độ tỉ cự hay toạ độ trọng tâm của M đối với hệ điểm P 0 , P 1 , P 2 , , P m . 1.2.1.1.6. Đơn hình: Cho m+1 điểm độc lập P 0 , P 1 , P 2 , , P m . Xét tập hợp gồm những điểm M sao cho OM = = m 0i i i OP , với O nào đó. Trong đó, = m 0i i = 1 và i 0, i=0, 1, , m. Tập hợp đó gọi là m-đơn hình với các đỉnh P 0 , P 1 , P 2 , , P m và kí hiệu là S(P 0 , P 1 , P 2 , , P m ). 1.2.1.1.7. Hộp: Cho m+1 điểm độc lập P 0 , P 1 , P 2 , , P m . Tập hợp gồm những điểm M sao cho MP 0 = = m 1i i i0 PP , với 0 i 1, đợc gọi là m- hộp. 1.2.1.1.8. ánh xạ afin và biến đổi afin: 10