. Hình sáu cạnh và định lí Brianchon:
b] ≠ 0 Mặt khác, dựng hình bình hành A’BDC’ suy ra
2.2.6. Sử dụng hình học xạ ảnh:
Đối với các bài toán afin trong mặt phẳng, ta có thể sử dụng mô hình afin của KG xạ ảnh để giải. Các bớc tiến hành bao gồm:
Bớc 1: Bổ sung thêm các điểm “ vô tận ” của tất cả các đờng thẳng afin trong mặt phẳng afin ta thu đợc KG xạ ảnh 2-chiều P2.
Bớc 2: Chuyển bài toán afin sang bài toán xạ ảnh tơng ứng. Bớc này đợc thực hiện kết hợp với các kiến thức ở mục 1.2.3.2 chơng 1.
Bớc 3: Sử dụng các tính chất, định lí của hình học xạ ảnh và phép biển đổi xạ ảnh để chứng minh bài toán xạ ảnh thu đợc trong bớc 2. Chẳng hạn, các định lí Desargues, Ceva, Menelaus, hình bốn cạnh ( bốn đỉnh ) toàn phần, định lí Steiner thuận và đảo, Pascal, Brianchon, Frégier…
D C C B A A1 B1 C1 D1 G M N D1’ D C’ B B1’ E A1
Bớc 4: Loại bỏ đờng thẳng vô tận thích hợp để chuyển bài toán xạ ảnh về bài toán afin ban đầu và ta đợc kết quả cần giải.
Trên cơ sở đó, hình học xạ ảnh còn giúp ta phán đoán trớc kết quả của bài toán afin, từ đó mà có cách giải quyết phù hợp các bài toán hình học.
Các loại toán HHPT có thể sử dụng hình học xạ ảnh để giải bao gồm: dựng hình, quỹ tích, chứng minh hệ điểm thẳng hàng, đồng quy, song song, chứng minh chùm đờng thẳng đi qua một điểm cố định, chứng minh đẳng thức quy về đợc tỉ số đơn.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cố định. Một parabol (P) biến thiên tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng mỗi một trong ba đờng thẳng B’C’, C’A’, A’B’ đều đi qua một điểm cố định.
Giải:
Trong mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh P2, đờng parabol là đờng cônic tiếp xúc với đờng thẳng vô tận. Do đó, ta có thể đa bài toán trên về bài toán xạ ảnh sau đây: “ Trong P2 cho tam giác ABC cố định và một đờng thẳng d không đi qua đỉnh nào của tam giác đó. Một cônic (S) biến thiên luôn tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB, d lần l- ợt tại A’, B’, C’, D. Chứng minh rằng các đờng thẳng B’C’, C’A’, A’B’ đều đi qua một điểm cố định ”.
Chứng minh bài toán xạ ảnh: Gọi E = d ∩ AC, F = d ∩ AB.
áp dụng định lí Brianchon cho lục giác BCB’EFC’ ngoại tiếp
cônic (S) ta có BE, CF, B’C’ đồng quy. Vậy B’C’ luôn đi qua điểm cố
định I = BE ∩ CF.
Chọn d là đờng thẳng vô tận và xét mô hình xạ ảnh của mặt phẳng A2 = P2 \ d, trong bài toán ban đầu ta có B’C’ luôn đi qua điểm cố định I = BE ∩ CF, trong đó BE là đờng
thẳng song song với AC, và CF là đờng thẳng song song với AB . Hoàn toàn tơng tự ta thu đợc kết quả:
A’C’ luôn đi qua điểm cố định H = AG ∩ CF, trong đó AG là đờng thẳng song song với BC.
A’B’ luôn đi qua điểm cố định K = AG ∩ BE.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD có các cạnh song song với các đờng tiệm cận của hyperbol (H) cho trớc và có hai đỉnh đối diện A, C nằm trên (H). Chứng minh rằng hai đỉnh còn lại của hình bình hành thẳng hàng với tâm O của (H).
Giải:
Trong mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh P2, đờng hyperbol là đờng cônic cắt đờng thẳng vô tận tại hai điểm I, J. Tiếp tuyến của cônic tại hai điểm vô tận I, J chính là các đờng tiệm cận của hyperbol. Giao điểm O của hai tiếp tuyến chính là tâm của hyperbol. Do đó, ta có thể chuyển bài toán đã cho sang bài toán xạ ảnh sau đây: “ Trong P2 cho một cônic (S) và một đờng thẳng d cắt (S) tại hai điểm I, J. Trên cônic (S) ta lấy hai điểm A, C và gọi B = AI ∩ CJ, D = AJ ∩ CI; các tiếp tuyến của cônic tại I và J cắt nhau ở O. Chứng minh rằng ba điểm B, D, O thuộc một đờng thẳng”. Chứng minh bài toán xạ ảnh:
O B C A D d I (S) C’ E G d A’ F D B’ C B A (S)
áp dụng định lí Pascal cho lục giác IICJJA nội tiếp cônic (S) ta có các giao điểm sau thẳng hàng: O là giao điểm của hai tiếp tại I và J của cônic, B = AI ∩ CJ, D = AJ ∩ CI.
Chọn d là đờng thẳng vô tận và xét mô hình xạ ảnh của mặt phẳng afin A2 = P2 \ d, khi đó bài toán xạ
ảnh trở lại bài toán afin ban đầu và ta đợc kết quả cần chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu A, B, C và D là các điểm tuỳ ý trên một đờng thẳng định hớng thì AB.CD + AC.DB +AD.BC = 0.
Giải:
Xét mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh P2.
Trờng hợp 1: A, B, C không phân biệt, chẳng hạn A trùng với B. Khi đó, AB.CD + AC.DB +AD.BC = AA.CD + AC.DA +AD.AC = 0.
Trờng hợp 2: A, B, D không phân biệt, chẳng hạn D trùng với B. Tơng tự trờng hợp 1 ta cũng có đẳng thức cần chứng minh.
Trờng hợp 3: A, B, C phân biệt, A, B, D phân biệt . Khi đó, tỉ số kép afin (ABCD) bằng tỉ số kép xạ ảnh (ABCD). Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 ta có: (ABCD) + (ACBD) = 1. Nên trong mặt phẳng afin A2 ta cũng có (ABCD) + (ACBD) = 1.
Theo định nghĩa (ABCD) = ((ABDABC)) = CB CA: DB DA= CB CA. DA DB . Tơng tự (ACBD) = BC BA . DA DC . Do đó, CB CA. DA DB + BC BA. DA DC = 1 ⇔ CA.DB - BA.DC = CB.DA ⇔ AB.CD + AC.DB +AD.BC = 0. Luyện tập:
Bài 1: Trong mặt phẳng, một tiếp tuyến bất kì tiếp xúc với một hyperbol cho trớc tại một điểm C và cắt hai đờng tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng C là trung điểm của AB.
Bài 2: Một đờng tròn đợc vẽ không có tâm trên mặt phẳng. Hãy lấy một điểm tuỳ ý của nó và dựng tiếp tuyến tại đó bằng cách chỉ dùng thớc kẻ.
Bài 3: Cho elip (E) và một đờng thẳng d không cắt (E). A và B là hai điểm cố định trên (E). X là một điểm biến thiên trên d. Gọi M và N lần lợt là giao điểm thứ hai của AX và BX với (E) ( nếu AX là tiếp tuyến với (E) thì lấy M trùng A, còn nếu BX là tiếp tuyến với (E) thì lấy N trùng B).
Tìm quỹ tích giao điểm I = AN ∩ BM.