b. Phép dời hình và phép phản chiếu:
XY xác định bởi →
XY = (X1- Y1, X2- Y2, , X… n- Yn), trong đó X=(X1, X2…,Xn) và Y = (Y1, Y2…,Yn), thoã mãn các tiên đề của KG afin nên An là KG afin liên kết với KGVT Kn. W gọi là “ siêu phẳng vô tận ” của KG afin An. Gọi Ei là giao điểm của đ- ờng thẳng SiS0 với siêu phẳng đi qua E và qua các đỉnh của mục tiêu trừ đỉnh Si thì toạ độ không thuần nhất của chúng là: Ei = (0, ,0 ,…
i
1 ,0 , ,0), i = 0, 1, , n.… …
Khi đó, (X1, X2…,Xn) là toạ độ afin của X đối với mục tiêu afin {S0 ; → i 0E S }. Ta nhận đợc:
. Nếu m-phẳng xạ ảnh U của Pn không nằm trên siêu phẳng W thì tập U’=U\W là một m-phẳng afin trong KG afin An. Nếu U nằm trên W thì U gọi là “ m-phẳng vô tận ”.
. Cho r - phẳng xạ ảnh U và s-phẳng xạ ảnh V trong Pn, không nằm trên siêu phẳng W, với r≤s. Khi đó, nếu U∩ W ⊆ V ∩W thì r-phẳng afin U’=U\W song song với s-phẳng afin V’ = V \ W.
Đặc biệt, nếu gọi a và b là hai đờng thẳng trong Pn, không nằm trên W và cắt nhau tại một điểm M∈W thì khi bỏ đi điểm M ta còn lại hai đờng thẳng afin a’ và b’ song song. Điểm M gọi là “điểm vô tận” của a’ và b’. Nếu M=(0: m1: m2: : m… n) thì các đ- ờng thẳng afin đi qua M có cùng véctơ chỉ phơng là →
a = (m1,m2, ,m… n).
Trong KG afin có thể định nghĩa tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng A, B, C, D là tỉ số của hai tỉ số đơn (A, B, C) và (A, B, D).
Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng A, B, C trong An là tỉ số kép của ba điểm đó và điểm vô tận của đờng thẳng đi qua chúng. Nếu tỉ số đơn đó bằng -1, tức là C là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì ta nói trung điểm của đoạn AB là điểm cùng với điểm vô tận của đờng thẳng AB chia điều hoà cặp điểm A, B.