. Hình sáu cạnh và định lí Brianchon:
b] ≠ 0 Mặt khác, dựng hình bình hành A’BDC’ suy ra
2.2.5. Sử dụng phép chiếu song song:
Phép chiếu song song trong KG afin An là ánh xạ afin trong An. Do đó, phép chiếu song song có mọi tính chất của ánh xạ afin: bảo tồn tính chất thẳng hàng của các điểm và bảo tồn tỉ số đơn của các hệ ba điểm thẳng hàng.
Với n = 2: Trong mặt phẳng, có phép chiếu song song lên một đờng thẳng theo phơng là một đờng thẳng không song song với đờng thẳng chiếu.
Với n =3: Trong KG thông thờng, có hai kiểu phép chiếu song song. Đó là: - Phép chiếu song song lên một mặt phẳng theo phơng chiếu là đờng thẳng không song song với mặt phẳng chiếu.
- Phép chiếu song song lên một đờng thẳng theo phơng chiếu là mặt phẳng không song song với đờng thẳng chiếu.
Từ tính chất của phép chiếu song song ta rút ra các bất biến của nó là: . Tính chất thẳng hàng của các điểm và thứ tự của chúng.
. Khái niệm đờng thẳng, tia, đoạn thẳng.
. Hai đờng thẳng song song không nằm trên mặt phẳng song song với phơng chiếu.
. Tỉ số đơn của hệ ba điểm thẳng hàng không nằm trên đờng thẳng song song với ph- ơng chiếu.
Đặc biệt, phép chiếu song song bảo toàn trung điểm của đoạn thẳng không song song với phơng chiếu; trọng tâm của tam giác không nằm trong mặt phẳng song song với phơng chiếu.
Từ đó, ta có thể sử dụng phép chiếu song song để giải các bài toán afin trong HHPT chứa đựng các yếu tố: thẳng hàng, song song, đồng quy, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng liên tiếp trên một đờng thẳng.
Ví dụ 1: a). Chứng minh định lí Thales trong mặt phẳng “ Nếu hai đờng thẳng d, d’ cắt ba đờng thẳng song song a, b, c thì chúng sẽ chắn ra trên ba đờng thẳng đó những đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ ”.
Đây là bài toán afin vì:
. Hai đờng thẳng cắt nhau là khái niệm afin. . Hai đờng thẳng song song là khái niệm afin.
. Những đoạn thẳng tỉ lệ có thể diễn đạt qua tỉ số đơn mà tỉ số đơn là khái niệm afin. Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số đơn
và tính thẳng hàng nên có thể sử dụng phép chiếu song song để giải.
Giải:
Gọi A, B, C lần lợt là giao điểm của d với a, b, c và A’, B’, C’ lần lợt là giao điểm của d’ với a, b, c. Ta cần chứng tỏ AC AB = ' C ' A ' B ' A .
Thật vậy, xét phép chiếu song song f lên đờng thẳng d’ theo phơng của ba đờng thẳng song song a, b, c. Khi đó, ta có f: A A’, B B’, C C’ nên [B,C,A] = [B’,C’,A’], suy ra
ACAB AB = ' C ' A ' B ' A .
b). Chứng minh định lí Thales trong KG “ Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song, đờng thẳng a cắt (P), (Q), (R) lần lợt tại A, B, C; đờng thẳng a’ cắt (P), (Q), (R) lần lợt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng
ACAB AB = ' C ' A ' B ' A ”. Định hớng cao cấp:
Đây là bài toán afin vì:
. Đờng thẳng cắt mặt phẳng là khái niệm afin. . Hai mặt phẳng song song là khái niệm afin.
. Những đoạn thẳng tỉ lệ có thể diễn đạt qua tỉ số đơn mà tỉ số đơn là khái niệm afin. Phép chiếu song song bảo toàn tỉ số đơn và tính thẳng hàng nên có thể sử dụng phép chiếu song song để giải.
Giải:
Xét phép chiếu song song f lên đờng thẳng a’ theo phơng của ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R). Khi đó, ta có f: A A’, B B’, C C’ nên [B,C,A] = [B’,C’,A’], suy ra AC AB = ' C ' A ' B ' A .
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Chứng minh rằng A, C1 và trọng tâm của tam giác BDA1 thẳng hàng.
Định hớng cao cấp:
Đây là một bài toán afin vì:
. Hình hộp là khái niệm 3 - hộp trong KG Afin 3 - chiều A3 (KG thông thờng). . Trọng tâm là khái niệm afin.
. Thẳng hàng là khái niệm afin.
c b a d’ d C B C’ B’ A’ A R Q P a’ a C B C’ B’ A’ A
Mặt khác, bài toán yêu cầu chứng minh ba điểm thẳng hàng nên có thể sử dụng phép chiếu song song để giải.
Giải:
Xét phép chiếu song song f lên mặt phẳng (BDA1) theo phơng chiếu là đờng thẳng AC1.
Khi đó, ta có:
f: A G,B B,C C’,D D,A1 A1, B1 B1’,C1 G, D1 D1’
Nh vậy, hình chiếu của hình hộp chính là lục giác BC’DD1’A1B1’ có các cặp cạnh đối diện song song với nhau và bằng nhau. Tam giác BDA1 không đổi qua f nên trọng tâm không thay đổi. Do đó, để chứng minh A, C1 và trọng tâm của tam giác
BDA1 thẳng hàng ta chứng minh G chính là trọng tâm của tam giác BDA1.
Thật vậy, do BB1AA1, BCDA, AA1D1D là các hình bình hành không nằm trên mặt phẳng song song với (BDA1) nên các hình chiếu tơng ứng của chúng BB1’A1G, BC’DG, GA1D1’D cũng là các hình bình hành. Do đó, nếu gọi M, N, E lần lợt là giao điểm của GB1’ và A1B, A1D và GD1’, GC’ và BD thì M, N, E là các trung điểm của A1B, A1D, BD nên G là trọng tâm của tam giác BDA1.
Luyện tập:
Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1. Gọi M, N, G lần lợt là trung điểm của AA1, CC1 và trọng tâm của tam giác A1B1C1. Chứng minh (MGC1) song song với (AB1N).
Bài 2: Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm của một cạnh với trọng tâm tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại của hình chóp tứ giác đồng quy tại một điểm.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD với P, Q lần lợt là trung điểm của AB và CD. Gọi R là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC và S là giao điểm của cạnh AD với mặt phẳng(PQR). Chứng minh rằng AS = 2SD.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M, N là trung điểm của các đoạn AB, SC. Dựng giao điểm K của đờng thẳng MN với mặt phẳng (SBD). Tính tỉ số
KNKM . KM .