M O IQ IP NO
AM qua hệ đó đợc Từ đó, gợi ý học sinh chọn hệ khác để lập thành cơ sở, chẳng hạn hệ {
qua hệ đó đợc. Từ đó, gợi ý học sinh chọn hệ khác để lập thành cơ sở, chẳng hạn hệ {
→ BA, → BC, → ' BB }, để giải.
Ví dụ 4: Cho hai đờng thẳng cắt nhau a, b. Hãy xác định các phép biến hình biến cặp đờng thẳng (a, b) thành chính nó.
Gọi O là giao điểm của a và b. Ta kiểm tra xem các phép biến hình nào trong HHPT có thể biến cặp đờng thẳng (a, b) thành chính nó.
Một phép biến hình f trong mặt phẳng chính là một phép đẳng cự trong KG Euclide E2 nên nó là một phép afin. Hai đờng thẳng cắt nhau là khái niệm afin nên f bảo toàn tính cắt nhau của hai đờng thẳng. Do đó, một phép biến hình f biến cặp đờng thẳng (a, b) thành chính nó sẽ có điểm bất động là O. Nên f không thể là một phép tịnh tiến ( với véctơ tịnh tiến khác →
0) hay một phép vị tự (với tỉ số khác 1 và -1) đợc vì hai phép này không có điểm bất động. Tóm lại, f chỉ có thể là phép đối xứng trục hay phép đối xứng tâm hay phép quay.
Ví dụ 5: Cho tam giác A1A2A3. Một đờng thẳng d không đi qua các đỉnh của tam giác đó cắt các đờng thẳng A2A3, A3A1, A1A2 lần lợt tại P1, P2, P3. Ta gọi B1 là điểm đối xứng của A1 qua trung điểm của đoạn P2P3, B2 là điểm đối xứng của A2 qua trung điểm của đoạn P3P1 và B3 là điểm đối xứng của A3 qua trung điểm của đoạn P1P2. Chứng minh rằng B1, B2, B3 thẳng hàng.
Giải theo HHCC:
Bổ sung vào mặt phẳng afin A2 (mặt phẳng thông thờng) các điểm vô tận, chúng nằm trên đờng thẳng vô tận W. Xét mặt phẳng xạ ảnh P2 = A2 + {W}.
Trong A2 có ba hình bình hành là A1P2B1P3, A2P3B2P1 và A3P1B3P2 (do A3B3 và P1P2, A1B1 và P2P3, A2B2 và P1P3 là các cặp đoạn thẳng đôi một cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn ). Khi đó, trong P2, nếu gọi E, F, G là các điểm vô tận lần lợt của A2A3, A3A1, A1A2 thì E, F, G thuộc W và các cặp cạnh đối của các hình bình hành trên đều đi qua một trong số ba điểm E, F, G.
áp dụng định lí Papus của hình học xạ ảnh cho hai bộ ba điểm thẳng hàng P1, P2, P3
và F, F, G ta có ba giao điểm B1 = P2G∩ P3F, B2 = P1G∩ P3E và B3 = P1F∩ P2E thẳng hàng.
Luyện tập:
Bài 1: Tại sao khi thực hiện liên tiếp 2 hay 3 hay n phép tịnh tiến thì ta cũng thu đợc một phép tịnh tiến?
Bài 2: SGKHH10 định nghĩa tổng của hai véctơ nh sau “ Cho hai véctơ →
avà →
b. Từ một điểm A nào đó vẽ véctơ →
AB = →
a , rồi lại từ điểm B vẽ véctơ →
BC = →
b. Khi đó, véctơ →
ACđợc gọi là tổng của hai véctơ →