. Hình sáu cạnh và định lí Brianchon:
b. Các bất biến của nhóm afin Af(A):
1.2.4.1.4. Nhóm Isom(En) và hình học của nó:
Nhóm Isom(En) là nhóm con của nhóm đồng dạng trên En. Hình học của nhóm Isom(En) gọi là hình học Euclide n-chiều. Nh vậy, hình học Euclide phong phú hơn hình học đồng dạng.
Trong hình học Euclide, hai hình tơng đơng còn gọi là hai hình bằng nhau. Hình học Euclide nghiên cứu những tính chất bất biến qua phép đẳng cự, tức là những tính chất nếu có ở một hình thì cũng có những một hình bằng nó.
Rõ ràng là các bất biến đồng dạng cũng là tính chất Euclide. Ngoài ra, các bất biến của nhóm Isom(En) còn có: khoảng cách giữa hai điểm bất kì, các tam giác bằng nhau, các hình có kích thớc cho trớc, …
1.2.4.1.5.Nhóm xạ ảnh và hình học xạ ảnh:
Tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của Pn là một nhóm với phép toán lấy tích các ánh xạ, kí hiệu Kn và gọi tắt là nhóm xạ ảnh của Pn .
Hình học xạ ảnh là hình học của nhóm xạ ảnh Kn . Các bất biến của nhóm xạ ảnh là:
. Khái niệm m-phẳng, đặc biệt đờng thẳng là một khái niệm xạ ảnh. . Tính chất thẳng hàng của các điểm.
. Tính chất đồng quy của các đờng thẳng.
. Tính độc lập và tính phụ thuộc của một hệ điểm. . Số chiều của phẳng.
. Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng và của chùm bốn siêu phẳng. . Siêu mặt bậc hai.
. Khái niệm suy biến hay không suy biến của siêu mặt bậc hai. . Khái niệm cực điểm, siêu phẳng đối cực.
Tóm lại, ta có mối quan hệ giữa các nhóm hình học ở trên và hình học tơng ứng của chúng nh sau:
Nhóm xạ ảnh Kn ⊇ Nhóm afin Af(A) ⊇Nhóm đồng dạng ⊇ Nhóm dời hình
Isom(En).
Do đó, Hình học xạ ảnh ⊆ Hình học afin ⊆ Hình học đồng dạng ⊆ Hình học Euclide.