Tập con lồi trong không gian r

Lời nói đầu Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết các bài toán cực trị và các ngành toán học ứng dụng có sử dụng công cụ giải tích và không gian tuyến tính. Sinh viên các trờng đại học (Khối KHTN), đặc biệt là sinh viên ngành toán đều đợc trang bị kiến thức về tôpô - nền tảng của lý thuyết giải tích hiện đại trong đó có giải tích lồi. Tuy nhiên, do chơng trình đào tạo nên sinh viên đợc nghiên cứu về lý thuyết giải tích lồi là rất ít. Khoá luận này là một phần nguyện vọng của tác giả muốn tìm hiểu kỹ hơn về lý thuyết giải tích lồi, trên cơ sở kiến thức tôpô đã đợc tiếp thu qua các bài giảng. Tập lồi trong không gian tuyến tính đã đợc nghiên cứu bởi các tác giả C. Caratheodory, L.Klee, Helly, Đỗ Văn Lu và Phan Huy Khải. Tuy nhiên khoá luận làm rõ hơn các tính chất của tập lồi và mối quan hệ giữa các tập lồi trong không gian Euclide n - chiều. Với quan điểm tập dợt nghiên cứu khoa học, các vấn đề mang tính chất chuẩn bị nội dung tác giả chỉ giới thiệu mà bỏ qua các chứng minh chi tiết các định lý. Khoá luận đợc chia thành 3 chơng Chơng I. Trình bày một số kiến thức có liên quan, các định lý đợc sử dụng về sau đều đợc tác giả chứng minh chi tiết. Chơng này bao gồm - Đại số tuyến tính và tôpô - Một số khái niệm về giải tích lồi Chơng II. Trình bày các vấn đề chính của khoá luận gồm hai tiết nội dung. - Một số định lý kinh điển. Trong tiết này, tác giả trình bày nộidung và chứng minh chi tiết một số kết quả nổi tiếng của các nhà toán học nh: C. Caratheodory, Radon, Helly, Blaschke Trên cơ sở những hiểu biết về tính compăct và định lý Helly, tác 1 giả phát hiện ra một kết quả tơng tự nh định lý Helly đối với họ tuỳ ý các tập lồi compact khác rỗng. - Phần trong tơng đối. Tiết này, tác giả đã chứng minh một số kết quả nh: Phần trong tơng đối của một tập lồi là một tập lồi. Các khái niệm về thể lồi, thể lồi đại số, mối quan hệ giữa chúng với chiều của một tập lồi trong không gian Euclide n - chiều. Chơng III. Trình bày một số bài tập áp dụng nh ví dụ 4, ví dụ 5, ví dụ 6, ví dụ 7, ví dụ 8. Khoá luận đợc hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này, tác giả xin đợc tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích - Khoa Toán - Tr- ờng Đại học Vinh. Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo TS. Tạ Khắc C, ngời đã hớng dẫn tận tình tác giả trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khoá luận. Trong quá trình nghiên cứu tác giả đã nhận đợc nhiều sự đóng góp của tập thể lớp 41B - Toán cũng nh các bạn sinh viên khác. Xin chân thành cảm ơn! Vinh, ngày tháng năm 2004 Tác giả 2 Chơng I. kiến thức chuẩn bị Đ1. Đại số tuyến tính và tôpô Giả sử x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) R n và R thì các phép cộng vectơ và nhân vô hớng x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + x 2 , , x n + y n ) R n x = (x 1 , x 2 , , x n ) R n sẽ biến R n thành một không gian tuyến tính. Trong R n , ta trang bị tích vô hớng y,x = = n 1i ii yx R (*) Khi đó R n là một không gian Euclide. Khi nói về không gian tuyến tính R n với tích vô hớng đợc cho nh công thức (*) ta gọi là không gian Euclide n - chiều và ký hiệu là E n 1.1.1. Định lý. Với mọi z, y, z E n và R, ta có: a) y,x = 0 nếu và chỉ nếu x = ( ký hiệu là vectơ không của E n ). b) y,x = x,y c) z,yz,xz,yx +=+ d) y,xy,x = 1.1.2. Định nghĩa. Chuẩn của một vectơ x, ký hiệu x đợc cho bởi 2 1 y,xx = . Nếu giá trị x = 1, thì x đợc gọi là vectơ đơn vị. 1.1.3. Định lý. Với mọi x, y E n , và với mọi R, ta có: a) x > 0 và x = 0 x = b) x = || . x c) yxyx ++ 1.1.4. Định nghĩa. Nếu x, y E n thì khoảng cách từ x tới y và ký hiệu là d(x, y) đợc cho bởi công thức d(x, y)= yx . 3 1.1.5.Định nghĩa. Với mọi điểm x E n và > 0, ta gọi hình cầu mở tâm x bán kính là tập hợp B(x, ) = {y E n : d(x, y) < }. 1.1.6. Định nghĩa. Một điểm x đợc gọi là điểm trong của tập S nếu tồn tại một số > 0 sao cho B(x, ) S. 1.1.7. Định nghĩa. Một tập S đợc gọi là mở nếu mỗi điểm của nó là điểm trong của S. 1.1.8. Định nghĩa. Họ tất cả các tập con mở của E n đợc định nghĩa nh trên đợc gọi là tôpô thông thờng của E n . Nếu S là một tập con không rỗng của E n , thi tôpô tơng đối trên S là họ tất cả các tập U sao cho U = S V, ở đây V là mở trong E n (hay còn gọi tôpô trên S là tôpô cảm sinh bởi tôpô trên R n ). Dễ dàng thấy rằng: - Hình cầu mở, toàn bộ không gian E n và tập là mở. - Hợp của một họ bất kỳ các tập mở là mở. - Giao của một họ hữu hạn các tập mở là mở. 1.1.9. Định nghĩa. Một tập S đợc gọi là đóng nếu phần bù của nó CS = E n \ S = { x E n : x S} là mở. Dễ dàng nhận thấy: - Tất cả các tập hữu hạn điểm của E n , toàn bộ không gian E n và tập là đóng. - Giao của một họ bất kỳ các tập đóng là đóng. - Hợp của một họ hữu hạn bất kỳ các tập đóng là đóng. 1.1.10. Định nghĩa. Phần trong của một tập S là hợp của tất cả các tập mở đợc chứa trong S và đợc ký hiệu là int S. - Bao đóng của một tập S là giao của tất cả các tập đóng chứa S và đợc ký hiệu là S . 1.1.11. Nhận xét. 1) int S là mở và là tập mở lớn nhất nằm trong S. 2) S là đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa S. 4 1.1.12. Định nghĩa. Một hàm f : E n E m đợc gọi là liên tục trên E n nếu với U là một tập mở bất kỳ trong E m , thì f -1 (U) là tập mở trong E n . Ta có thể phát biểu định nghĩa tính liên tục của hàm f bằng các cách khác nh sau: 1) Hàm f liên tục theo ngôn ngữ - . Hàm f : E n E m đợc gọi là liên tục tại điểm x E n nếu với mỗi > 0, tồn tại số > 0 sao cho f(B(x, ) B(f(x), ). Nếu f liên tục tại mọi điểm của tập A thì ta nói f liên tục trên A. 2) Hàm f liên tục theo ngôn ngữ dãy. Hàm f ; E n E m đợc gọi là liên tục trên E n nếu và chỉ nếu với mọi dãy {x k } E n hội tụ tới điểm x E n thì dãy {f(x k )} hội tụ tới f(x) E m . 1.1.13. Định lý. Mỗi hàm sau đây là liên tục a) f : E n x E n E n đợc xác định bởi f(x, y) = x + y. b) Với mọi điểm a cho trớc trong E n , hàm f a : E n E n đợc xác định bởi f a (x) = a + x. c) Với mọi số R cho trớc, hàm f : E n E n đợc xác định bởi f (x) = x. d) Với mọi cặp điểm cho trớc x, y E n , hàm f: R E n đợc xác định bởi f() = x + (1 - )y. Chứng minh. a) Cho trớc > 0, giả sử = 2 . Nếu (x 0 , y 0 ) E n x E n , thì mọi (x, y) E n x E n với d[(x, y); (x 0 , y 0 )] < , ta có: ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) [ ] { } 2 1 2 0 2 000 y,ydx,xdy,x;y,xd += . Do đó d(x, x 0 ) < và d(y, y 0 ) < . Từ đó suy ra rằng d(x + y, x 0 + y 0 ) d(x + y, x + y 0 ) + d(x + y 0 , x 0 + y) = d(y, y 0 ) + d(x, x 0 ) < + = . 5 Nh vậy, nếu (x, y) B[(x 0 , y 0 ), ] thì f(x, y) B(f(x 0 , y 0 ), ) và do đó f liên tục tại (x 0 , y 0 ). Do (x 0 , y 0 ) là một điểm tuỳ ý trong E n x E n nên f liên tục trên E n x E n . b) Suy ra từ (a). c) Giả sử > 0 và x E n . Nếu 0, ta lấy = . Khi đó với mỗi y E n sao cho d(x, y) < , ta có: d(f (x), f (y)) = d(x, y) = ||d(x, y) < ||. = . Nếu = 0 thì d(f (x), f (y)) = d(, ) = 0 < với mọi > 0. Vậy f liên tục tại x E n . Vì x là bất kỳ nên f liên tục trên E n . d) Suy từ (c) và (a). 1.1.14. Định nghĩa. Nếu A, B E n và R, ta định nghĩa: A + B = {x + y : x A, y B} A = {x : x A} Nếu A chỉ gồm một điểm, A = {x} thì ta viết x + B thay cho A + B. Tập x + B đợc gọi là một dịch chuyển của B. Tập A đợc gọi là tích vô hớng của A với 1.1.15. Định nghĩa. Biên của một tập A, ký hiệu là bdA đợc xác định bởi bdA = CAA . 1.1.16. Định nghĩa. Một tập S E n đợc gọi là bị chặn nếu nó là tập con của một hình cầu nào đó. - Tập hợp S E n đợc gọi à hoàn toàn bị chặn nếu với mọi số > 0 tập hợp S đợc chứa trong hợp của một số hữu hạn những hình cầu có bán kính . 1.1.17. Nhận xét. Tập S E n bị chặn khi và chỉ khi S hoàn toàn bị chặn. 1.1.18. Định nghĩa. Một tập con A của E n đợc gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. 1.1.19. Định nghĩa. Giả sử A là một tập hợp trong không gian E n . 6 Họ B = {B : I} (I là tập chỉ số) những tập hợp B E n đợc gọi là một cái phu của A nếu A I B . Ngoài ra: - Nếu tập I chỉ gồm một số hữu hạn chỉ số, thì B gọi là một phủ hữu hạn của A. - Nếu tất cả B B đều là tập mở, thì B gọi là một phủ mở của A. - Nếu một họ con B của B (tức là B = {B : J I}) cũng là một cái phủ A, thì B gọi là một phủ con của B. 1.1.20. Định lý (Heine Borel). Để một tập con S của E n là compact, điều kiện cần và đủ là với mọi phủ mở B của S tồn tại một phủ con hữu hạn. Chứng minh. Xem [1] 1.1.21. Hệ quả. Nếu A E n là tập compact và f : E n E m là hàm liên tục, thì f(A) là tập compact. Chứng minh. Giả sử A là tập compact và f là hàm liên tục. Gọi B ={B : I} là một phủ mở của f(A). Khi đó, do f liên tục nên f 1 (B ) mở với mọi I. Do dó {f -1 (B ); I}là một phủ mở của A, và A compact nên tồn tại họ con hữu hạn {f -1 ( ) k,1i;B i = } phủ A. Khi đó ( ) { } k,1i;B i = phủ f(A). Theo định lý 1.20, suy ra f(A) là tập compact. 7 Đ2. Một số khái niệm về giải tích lồi 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử x, y là các điểm thuộc E n , ta gọi đoạn thẳng [x, y] nối x và y là tập hợp tất cả các điểm có dạng x + (1 - )y, ở đây 0 1. Nếu x y, phần trong y,x của đoạn [x, y] là tập có dạng {x + (1 - )y | 0 < < 1}. Tơng tự ta định nghĩa ] y,x = {x + (1 - )y | 0 < 1} [ y,x = {x + (1 - )y | 0 < 1} 1.2.2. Định nghĩa. Giả sử A E n , A đợc gọi là lồi nếu với mỗi cặp điểm x và y trong A, ta có [x, y] A. 1.2.3. Định nghĩa. Một dịch chuyển của một không gian con tuyến tính của E n đợc gọi là một phẳng. Chiều của một phẳng là chiều của không gian con tơng ứng. Chiều của một tập S là chiều của phẳng nhỏ nhất chứa nó và ký hiệu là dim S. Một phẳng có chiều bằng 1 đợc gọi là một đờng thẳng. Một phẳng có chiều bằng (n 1) đợc gọi là một siêu phẳng. Một siêu phẳng trong E n là một tập con của E n có dạng {x E n |(a/x) = }, ở đây a E n , a , R và (a/x) = 1 1 + 2 2 + + n là tích vô hớng của các vectơ a = ( 1 , 2 , , n ) và x = ( 1 , 2 , , n ). 1.2.4. Định nghĩa. Một tập S đợc gọi là một tập affine nếu x, y S thì x + (1 - )y S với mọi R. 1.2.5. Định lý. Một tập S là tập affine khi và chỉ khi S là một phẳng. Chứng minh. Giả sử S là tập affine và x là một điểm cố định bất kỳ thuộc S. Đặt U = -x + S và do đó S = x + U. Ta chỉ ra rằng U là không gian con của E n . Thật vậy, giả sử u 1 , u 2 là các phần tử của U. Khi đó tồn tại s 1 và s 2 thuộc S sao cho u 1 = - x + s 1 và u 2 = - x + s 2 . Nh vậy với mọi số thực , ta có 8 u 1 + u 2 = (- x + s 1 ) + (- x + s 2 ) = - x + ( ) 121 s1xs 2 1 s 2 1 2 + + Vì S là tập affine nên y = 21 s 2 1 s 2 1 + thuộc S. Nhng khi đó 2y + (- 1)x thuộc S và (2y x) + (1 - )s 1 S, do đó u 1 + 2 - x + S = U. Tơng tự ta cũng có với mọi số thực thì u 1 + u 2 U và do đó u 1 + u 2 + u 1 + u 2 = (1 + )u 1 + (1 + )u 2 U. Đặt += +=à 1t 1 , khi đó u 1 , u 2 U, à, t R thì àu 1 + tu 2 U. Vậy U là một không gian con của E n và S = x + U là một phẳng. Ngợc lại, giả sử rằng S = x + U với x nào đó thuộc E n và một không gian con U nào đó. Giả sử s 1 , s 2 là các phần tử của S. Khi đó tồn tại u 1 và u 2 thuộc U sao cho: s 1 = x + u 1 và s 2 = x + u 2 . Vậy với mỗi số , ta có: s 1 + (1 - )s 2 = (x + u 1 ) + (1 - ) (x + u 2 ) = x + u 1 + (1 - )u 2 Do U là một không gian con nên u 1 + (1 - )u 2 U và do đó s 1 + (1 - )s 2 x + U = S. Vậy S là tập affine. 1.2.6. Định nghĩa. Giả sử i R với i = 1, , k và 1 + + k = 1, khi đó: y = 1 x 1 + 2 x 2 + + k x k đợc gọi là một tổ hợp affine của các điểm x 1 , x 2 , , x k . Giả sử 1 R, i 0 với i = 1, , k và 1 + + k = 1, khi đó y = 1 x 1 + 2 x 2 + + k x k đợc gọi là một tổ hợp lồi của các điểm x 1 , , x k . 1.2.7. Định lý. Một tập S là lồi khi và chỉ khi mọi tổ hợp lồi các điểm thuộc S thì thuộc S. Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện cần bằng phơng pháp qui nạp. Khi m = 2, khẳng định là đúng vì theo giả thiết S là tập lồi nên từ định nghĩa tập lồi ta có x = x 1 + (1 - )x 2 S trong đó: o, x 1 , x 2 S 9 Giả sử khẳng định đúng cho mọi tổ hợp lồi gồm k điểm ta sẽ chứng minh đúng cho mọi tổ hợp lồi gồm k + 1 điểm. Thật vậy, giả sử x = 1 x 1 + + k x k + k + 1 x k + 1 . ở đây 1 + + k + 1 = 1, i 0 và x i S với mọi 1k,1i += Nếu k + 1 = 1 thì x = x k + 1 S. Giả sử k + 1 < 1. Khi đó 1 + + k = 1 - k + 1 > 0 và ta có: x = ( ) 1k1k k1 k 1 k1 1 k1 x . .x . . ++ + ++ ++ ++ ++ . Theo giả thiết qui nạp điểm y = k k1 k 2 k1 2 1 k1 1 x . .x . x . ++ ++ ++ + ++ S. Vậy x = (1 - k + 1 ) y + k + 1 x k + 1 là tổ hợp lồi của hai điểm thuộc S nên theo giả thiết qui nạp suy ra x S. 1.2.8. Định lý. Một tập S là affine khi và chỉ khi mọi tổ hợp affine của các điểm thuộc S thì thuộc S. Chứng minh. Chứng minh tơng tự nh định lý 1.2.7. 1.2.9. Định nghĩa. Giả sử A E n . Giao của tất cả các tập lồi chứa A đợc gọi là bao lồi của tập A và ký hiệu là Co(A) (Hoặc Cov(A)). 1.2.10. Định nghĩa. Giả sử A E n . Giao của tất cả các tập affine chứa A đợc gọi là bao affine của tập A và ký hiệu là aff(A). 1.2.11. Nhận xét. Bao lồi Co(A) (Bao affine aff(A)) là tập lồi (tập affine) nhỏ nhất chứa A. Do bao affine aff(A) là tập affine nhỏ nhất chứa A và cũng là phẳng nhỏ nhất chứa A nên chiều của A là chiều của aff(A). 1.2.12. Định nghĩa. Giả sử A E n . Giao tất cả các tập lồi đóng chứa A đợc gọi là bao lồi đóng của tập A và ký hiệu là ACo . 1.2.13. Định nghĩa. Tập m + 1 điểm b 0 , b 1 , , b m đợc gọi là độc lập affine nếu aff{b 0 , b 1 , , b m } là m - chiều. 10