Néi dung PhÇn më ®Çu Nội dung chuyên đề C¸c kiÕn thøc cÇn lu ý Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức Phơng pháp 1:dùng định nghiã Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng Phơng pháp 3:dùng[r]
(1)Chuyên đề: Bất đẳng thức T¸c gi¶ : NguyÔn –V¨n –Thñy su tËp vµ biªn so¹n n¨m 2000 chØnh söa n¨m :2007 B¸c tÆng ch¸u - chóc ch¸u thµnh c«ng A- Më ®Çu: Bất đẳng thức là mảng kiến thức khó toán học phổ thông Nhng thông qua các bài tập chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc giải và biện luận ph¬ng tr×nh , bÊt ph¬ng tr×nh ,vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c yÕu tè cña tam gi¸c vÒ t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc Trong qu¸ tr×nh gi¶i bµi tËp , n¨ng lùc suy nghĩ , sáng tạo học sinh đợc phat triển đa dang và phong phú vì các bài tập bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc khuôn mẫu nào Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách l«gÝc cã hÖ thèng Cũng vì toán bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo phơng pháp định nên học sinh rât lúng túng giải toán bất đẳng thức vì học sinh không biết đâu và theo hơng nào Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyÕt c¸c lo¹i bµi tËp kh¸c Trong thực tế giảng dạy toán trờng THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công việc quan trọngvà không thể thiếu đợc ngời dạy toán ,thông qua đó rèn luyện T lôgic và khả sáng tạo cho học sinh Để làm đợc điều đó ngời thầy giáo phải cung cấp cho học sinh số kiến thức và số phơng pháp suy nghĩ ban đầu bất đẳng thức Chính vì lí trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục đích giúp học sinh học tèt h¬n Danh mục chuyên đề S.t.t 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Néi dung PhÇn më ®Çu Nội dung chuyên đề C¸c kiÕn thøc cÇn lu ý Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức Phơng pháp 1:dùng định nghiã Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng Phơng pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc Ph¬ng ph¸p 4:dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu Ph¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊtbña tû sè Ph¬ng ph¸p 6: dïng ph¬ng ph¸p lµm tréi Phơng pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác Phơng pháp 8: dùng đổi biến Ph¬ng ph¸p 9: Dïng tam thøc bËc hai Ph¬ng ph¸p 10: Dïng quy n¹p to¸n häc Ph¬ng ph¸p 11: Dïng chøng minh ph¶n chøng C¸c bµi tËp n©ng cao øng dông cña bÊt d¼ng thøc Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ phơng trình Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên Tµi liÖu tham kh¶o B- néi dung PhÇn : c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý trang 4 10 12 14 16 17 18 19 21 23 28 29 31 33 (2) 1- §Þnh nghÜa 2- TÝnh chÊt 3-Một số bất đẳng thức hay dùng Phần 2:một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1-Phơng pháp dùng định nghĩa 2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng 3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc 4- Ph¬ng ph¸p sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu 5- Ph¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt tØ sè 6- Ph¬ng ph¸p lµm tréi 7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức tam giác 8- Phơng pháp đổi biến số 9- Ph¬ng ph¸p dïng tam thøc bËc hai 10- Ph¬ng ph¸p quy n¹p 11- Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng PhÇn :c¸c bµi tËp n©ng cao PHầN : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và bất phơng trình 3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên PhÇn I : c¸c kiÕn thøc cÇn lu ý 1-§inhnghÜa A B A B 0 A B A B 0 2-tÝnh chÊt + A>B ⇔ B< A + A>B vµ B >C ⇔ A>C + A>B ⇒ A+C >B + C + A>B vµ C > D ⇒ A+C > B + D + A>B vµ C > ⇒ A.C > B.C + A>B vµ C < ⇒ A.C < B.C + < A < B vµ < C <D ⇒ < A.C < B.D + A > B > ⇒ A ❑n > B ❑n ∀n +A> B A ❑n > B ❑n víi n lÎ ⇒ + | A| > |B| A ❑n > B ❑n víi n ch½n ⇒ + m > n > vµ A > ⇒ A ❑m > A ❑n + m > n > vµ <A < ⇒ A ❑m < A ❑n 1 +A < B vµ A.B > > ⇒ A B 3-một số bất đẳng thức + A ❑2 víi ∀ A ( dÊu = x¶y A = ) n + A víi ∀ A ( dÊu = x¶y A = ) + | A|≥ víi ∀ A (dÊu = x¶y A = ) + - | A| < A = | A| AB A B + ( dÊu = x¶y A.B > 0) + | A − B|≤|A|−|B| ( dÊu = x¶y A.B < 0) (3) Phần II : số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Phơng pháp : dùng định nghĩa KiÕn thøc : §Ó chøng minh A > B Ta chøng minh A –B > Lu ý dùng bất đẳng thức M ❑2 víi M VÝ dô x, y, z chøng minh r»ng : a) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx b) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz c) x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 (x + y + z) Gi¶i: a) Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz - zx = ( x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx) 2 y− z¿ x − z ¿ +¿ ≥ = đúng với x;y;z R x− y¿ +¿ ¿ ¿ V× (x-y)2 0 víix ; y DÊu b»ng x¶y x=y (x-z)2 0 víix ; z DÊu b»ng x¶y x=z (y-z)2 0 víi z; y DÊu b»ng x¶y z=y VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 xy+ yz + zx DÊu b»ng x¶y x = y =z b)Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - 2xy +2xz –2yz =( x – y + z) ❑2 đúng với x;y;z R VËy x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 2xy – 2xz + 2yz đúng với x;y;z R DÊu b»ng x¶y x+y=z c) Ta xÐt hiÖu x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 +3 – 2( x+ y +z ) = x ❑2 - 2x + + y ❑2 -2y +1 + z ❑2 -2z +1 = (x-1) ❑2 + (y-1) ❑2 +(z-1) ❑2 DÊu(=)x¶y x=y=z=1 VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 2 a2 +b2 +c a+ b+c a) a +b ≥ a+ b ;b) ≥ 2 3 c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n ( ) ( ) gi¶i 2 a +b a+b − 2 2 2 = ( a + b ) − a + 2ab+ b 4 2 = ( a +2 b − a −b −2 ab ) a) Ta xÐt hiÖu ( ) (4) ( a −b )2 ≥ 2 VËy a +b ≥ a+ b 2 DÊu b»ng x¶y a=b b)Ta xÐt hiÖu a2 +b2 +c a+b+ c − 3 = ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 ] ≥ [ 2 2 VËy a +b +c ≥ a+ b+c 3 = ( ) ( ) ( ) DÊu b»ng x¶y a = b =c c)Tæng qu¸t a21 +a22 + +a2n a1 +a2 + +an ≥ n n Tóm lại các bớc để chứng minh A B tho định nghĩa Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B Bớc 2:Biến đổi H=(C+D) ❑2 H=(C+D) ❑2 +….+(E+F) ❑2 Bíc 3:KÕt luËn A B ( ) VÝ dô:(chuyªn Nga- Ph¸p 98-99) Chứng minh m,n,p,q ta có m ❑2 + n ❑2 + p ❑2 + q ❑2 +1 m(n+p+q+1) Gi¶i: 2 2 m m m m ⇔ − mn +n2 + − mp+ p2 + − mq+q2 + − m+1 ≥ 4 4 2 2 m m m m ⇔ − n + − p + − q + −1 ≥ (luôn đúng) 2 2 ( ( )( )( DÊu b»ng x¶y )( )( )( m −n=0 m − p=0 m −q=0 m −1=0 )( ) ) m m p= m q= m=2 { { ⇔ n= ⇔ {n=m=2 p=q=1 Bµi tËp bæ xung phơng pháp : Dùng phép biến đổi tơng đơng Lu ý: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng Chú ý các đẳng thức sau: ( A + B )2= A2 +2 AB+B ( A + B+C )2=A +B 2+C +2 AB+2 AC+2 BC ( A + B )3= A3 +3 A B+3 AB2 + B3 (5) VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng a) a2 + b ≥ ab b) a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b c) a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) Gi¶i: a) a2 + b ≥ ab 2 2 ⇔ a +b ≥ ab ⇔ a − a+b ≥ (bất đẳng thức này luôn đúng) ⇔ ( a −b )2 ≥ VËy a2 + b ≥ ab (dÊu b»ng x¶y 2a=b) 2 b) a +b +1 ≥ ab+a+ b ⇔ 2(a +b2 +1)> 2(ab+ a+b) 2 2 ⇔ a − 2ab+ b +a −2 a+1+b − 2b +1≥ b −1 ¿2 ≥0 a −1 ¿2 +¿ Bất đẳng thức cuối đúng a −b ¿ 2+ ¿ ⇔¿ VËy a2 +b 2+1 ≥ ab+a+ b DÊu b»ng x¶y a=b=1 c) a2 +b 2+ c 2+ d2 + e2 ≥ a ( b +c +d +e ) ⇔ (a 2+ b2+ c 2+ d 2+ e2 )≥ a ( b+c + d+ e ) ⇔ ( a − ab+ b 2) + ( a2 − ac+ c ) + ( a2 − ad + d ) + ( a − ac +4 c2 ) ≥ ⇔ ( a −2 b )2 + ( a− c )2 + ( a− d )2+ ( a− c )2 ≥ Bất đẳng thức đúng ta có điều phải chứng minh VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b )( a4 + b4 ) Gi¶i: ⇔ a12 +a10 b2 +a b10 +b 12 ≥ a12+ a8 b4 + a4 b 8+ b12 ( a10 +b 10) ( a2+ b2 ) ≥ ( a8 +b )( a4 + b4 ) ⇔ a8 b2 ( a − b2 ) +a2 b8 ( b − a2 ) ≥0 ⇔ a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) ⇔ a2b2(a2-b2)(a6-b6) Bất đẳng thứccuối đúng ta có điều phải chứng minh VÝ dô 3: cho x.y =1 vµ x.y 2 Chøng minh x + y √2 x− y Gi¶i: 2 x +y ⇒ x2+y2 √ v× :x y nªn x- y √ ( x-y) x− y ⇔ x2+y2+2- √ x+ √ y -2 ⇒ x2+y2- √ x+ √ y 2 v× x.y=1 nªn 2.x.y=2 ⇔ x +y +( √ ) - √ x+ √ y -2xy Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh ⇒ (x-y- √ ) VÝ dô 4: 1)CM: P(x,y)= x y + y − xy −2 y+ 1≥ ∀ x , y∈ R 2 2)CM: (gîi ý :b×nh ph¬ng vÕ) √ a +b +c ≤|a|+|b|+|c| 3)choba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: (6) x y z =1 1 + + < x+ y+ z x y z Chứng minh :có đúng ba số x,y,z lớn (đề thi Lam Sơn 96-97) Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 1 1 1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( + + )=x+y+z - ( + + ¿>0 (v× + + < x+y+z theo gt) x y z x y z x y z → sè x-1 , y-1 , z-1 ©m hoÆc c¶ ba sç-1 , y-1, z-1 lµ d¬ng NÕñ trêng hîp sau x¶y th× x, y, z >1 → x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z=1 b¾t buéc ph¶i x¶y trêng hîp trªn tức là có đúng ba số x ,y ,z là số lớn { Ph¬ng ph¸p 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc A/ số bất đẳng thức hay dùng 1) Các bất đẳng thức phụ: a) x 2+ y ≥ xy b) x 2+ y ≥∨xy∨¿ dÊu( = ) x = y = c) ( x+ y )2 ≥ xy a b d) + ≥2 b a a1 +a2 +a 3+ + an 2)Bất đẳng thức Cô sy: ≥ √ a1 a2 a3 an n 3)Bất đẳng thức Bunhiacopski +¿ n ¿ x 21+ x 22 + ¿ ( a1 x 1+ a2 x + +an x n ) Víi >0 ( a + a22+ + a2n ) ¿ 4) Bất đẳng thức Trê- b-sép: aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C a≤ b ≤ c NÕu ≥ ⇒ A ≤ B≤ C 3 aA+ bB+cC a+b+ c A+ B+C a ≤b ≤ c NÕu ≤ ⇒ A ≥ B ≥C 3 DÊu b»ng x¶y a=b=c A=B=C b/ c¸c vÝ dô vÝ dô Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Gi¶i: Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ: ( x+ y )2 ≥ xy Tacã ; ( a+b )2 ≥ ab ; ( b+ c )2 ≥ bc ( c +a )2 ≥ ac 2 2 ⇒ ( a+b )2 ( b+ c )2 ( c +a )2 64 a b c =( abc ) ⇒ (a+b)(b+c)(c+a) 8abc DÊu “=” x¶y a = b = c 1 vÝ dô 2(tù gi¶i): 1)Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=1 CMR: (403-1001) + + ≥9 a b c { { { (7) 2)Cho x,y,z>0 vµ x+y+z=1 CMR:x+2y+z (1 − x)(1 − y )(1 − z) 3)Cho a>0 , b>0, c>0 a b c CMR: + + ≥ b+c c +a a+b 4)Cho x ,y vÝ dô 3: tháa m·n √ x − √ y=1 ;CMR: x+y Cho a>b>c>0 vµ a2 +b 2+ c 2=1 chøng minh r»ng a3 b3 c3 b c a c a b Gi¶i: Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b { ⇒ c a ≥ b2 ≥c a b c ≥ ≥ b+ c a+ c a+ b ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã 2 a b c a + b +c a b c a2 +b + c2 ≥ + + b+ c a+ c a+ b b+ c a+c a+ b 3 a b c VËy DÊu b»ng x¶y a=b=c= + + ≥ b+c a+ c a+b vÝ dô 4: Cho a,b,c,d>0 vµ abcd =1 Chøng minh r»ng : a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 Gi¶i: Ta cã a2 +b ≥ ab 2 c + d ≥ cd 1 Do abcd =1 nªn cd = (dïng x+ ≥ ) ab x Ta cã a2 +b 2+ c ≥ 2(ab+cd )=2(ab+ )≥ (1) ab a ( b+ c )+ b ( c+ d )+ d ( c+ a ) =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 = ab+ + ac+ + bc+ ≥ 2+ 2+ ab ac bc VËy a2 +b 2+ c 2+ d2 + a ( b+c ) +b ( c +d ) +d ( c +a ) ≥ 10 vÝ dô 5: Cho sè a,b,c,d bÊt kú chøng minh r»ng: b+d ¿2 ¿ a+c ¿2 +¿ ¿ √¿ Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski tacã ac+bd √ a2 +b2 √c +d 2 mµ ( a+ c ) + ( b+ d )2=a 2+ b2+ ( ac + bd ) + c2 +d ( a 2+b ) +2 √ a2+ b2 √ c 2+ d 2+ c 2+ d b+d ¿2 ¿ ⇒ a+ c ¿2 +¿ ¿ √¿ vÝ dô 6: Chøng minh r»ng ( ( )( )( ) ) = = 2 √3 MÆt kh¸c: (8) 2 a +b + c ≥ ab+ bc+ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski C¸ch 1: XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã ( 12 +12+12 ) (a2 +b 2+ c2 )≥ ( a+ b+1 c )2 ( a 2+b 2+ c ) ≥ a2 +b 2+ c 2+2 ( ab+ bc+ ac ) ⇒ §iÒu ph¶i chøng minh DÊu b»ng x¶y a=b=c ⇒ a2 +b 2+ c ≥ ab+ bc+ac Ph¬ng ph¸p 4: Sö dông tÝnh chÊt b¾c cÇu Lu ý: A>B vµ b>c th× A>c 0< x <1 th× x ❑2 <x vÝ dô 1: Cho a, b, c ,d >0 tháa m·n a> c+d , b>c+d Chøng minh r»ng ab >ad+bc Gi¶i: a −c >d >0 Tacã a>c +d ⇒ b>c +d b −d >c >0 (a-c)(b-d) > cd ⇒ ⇔ ab-ad-bc+cd >cd (®iÒu ph¶i chøng minh) ⇔ ab> ad+bc vÝ dô 2: Cho a,b,c>0 tháa m·n a2 +b 2+ c 2= 1 1 Chøng minh + + < a b c abc Gi¶i: Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) ¿ ( a2+b2+c2) ⇒ ac+bc-ab ¿ ¿ ¿ 1 + − ⇒ ac+bc-ab ¿ Chia hai vÕ cho abc > ta cã a b c ¿ vÝ dô Cho < a,b,c,d <1 Chøng minh r»ng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Gi¶i: Ta cã (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nªn ab>0 (1) ⇒ (1-a).(1-b) > 1-a-b Do c <1 nªn 1- c >0 ta cã ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd ⇒ (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (§iÒu ph¶i chøng minh) vÝ dô 1- Cho <a,b,c <1 Chøng minh r»ng 3 2 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a Gi¶i : Do a < ⇒ a2 <1 vµ Ta cã ( 1− a2 ) ( 1− b ) <0 ⇒ 1-b- a2 + a2 b > ⇒ 1+ a2 b2 > a2 + b { mµ 0< a,b <1 { ⇒ a2 > a3 , b2 > b3 ¿ ¿ ¿ abc (9) Tõ (1) vµ (2) ⇒ 1+ a2 b2 > a3 + b3 VËy a3 + b3 < 1+ a2 b2 T¬ng tù b3 + c 1+b2 c c ❑3 + a3 1+c a Cộng các bất đẳng thức ta có : 3 2 2 a +2 b +2 c ≤ 3+a b+b c+ c a b)Chøng minh r»ng : NÕu a2 +b 2=c +d 2=1998 th× ac+bd =1998 (Chuyªn Anh –98 – 99) Gi¶i: Ta cã (ac + bd) ❑2 + (ad – bc ) ❑2 = a ❑2 c ❑2 + b ❑2 d +2 abcd+ a2 d +b2 c - abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rá rµng (ac+bd)2 ( ac+ bd )2 + ( ad − bc )2=19982 ⇒ |ac+ bd|≤1998 2-Bµi tËp : 1, Cho c¸c sè thùc : a1; a2;a3 ….;a2003 tháa m·n : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 c høng minh r»ng : a ❑12 + a22 +a 23+ + a22003 ( đề thi vào chuyên nga pháp 20032003 2004Thanh hãa ) 2,Cho a;b;c tháa m·n :a+b+c=1(?) 1 Chøng minh r»ng: ( −1 ¿ ( − 1).( −1)≥ a b c Ph¬ng ph¸p 5: dïng tÝnh chÊtcña tû sè KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th× a a a+ c a – NÕu >1 th× > b b b+ c a a a+ c b – NÕu <1 th× < b b b+ c 2)NÕu b,d >0 th× tõ a c a a+c c < ⇒ < < b d b b+ d d ` vÝ dô : Cho a,b,c,d > Chøng minh r»ng a b c d 1< + + + <2 a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b (10) Gi¶i : Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã a a a+ d <1 ⇒ < a+b+ c a+b+c a+b+ c+ d a a MÆt kh¸c : > a+b+ c a+b+ c+ d Tõ (1) vµ (2) ta cã (1) (2) a a a+d < < (3) a+b+ c+ d a+b+ c a+b+ c+ d T¬ng tù ta cã b b b+ a (4) < < a+b+ c+ d b+c +d a+b+ c+ d c c b +c (5) < < a+b+ c+d c +d +a a+b+ c+d d d d+ c (6) < < a+b+ c+ d d +a+b a+ b+c +d céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã a b c d 1< + + + <2 ®iÒu ph¶i chøng minh a+b+ c b+c +d c+ d+ a d +a+ b vÝ dô : ab+cd c a c a Cho: < vµ b,d > Chøng minh r»ng < 2< b d b b +d d ab cd ab ab+cd cd c a c ⇒ 2< < 2 < 2= Gi¶i: Tõ < ⇒ b d b d b b +d d d ab+cd c a VËy < 2< ®iÒu ph¶i chøng minh b b +d d vÝ dô : Cho a;b;c;dlµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a+b = c+d =1000 a b t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña + c d a b a b a a+b b gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : Tõ : ⇒ ≤ ≤ c d c d c c+ d d a ≤ v× a+b = c+d c b a b a, NÕu :b 998 th× 999 + 998 ⇒ d c d a b 999 b, NÕu: b=998 th× a=1 ⇒ = + §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt d= 1; c=999 + c d c d a b VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña =999+ a=d=1; c=b=999 + c d 999 (11) Ph¬ng ph¸p 6: Ph¬ng ph¸plµm tréi Lu ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đa vế bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn tích hữu h¹n (*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 +u2 + + un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u ❑k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk =ak −a k+1 Khi đó : S = ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) + + ( an − an+1 ) =a1 −a n+1 (*) Ph¬ng ph¸p chung vÒ tÝnh tÝch h÷u h¹n P = u1 u .u n Biến đổi các số hạng uk thơng hai số hạng liên tiếp nhau: ak uk = ak+ a1 a a a Khi đó P = n = a2 a an+1 an +1 VÝ dô : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng 1 1 < + + + < n+1 n+2 n+ n Gi¶i: 1 Ta cã víi k = 1,2,3,…,n-1 > = n+k n+ n 2n Do đó: 1 1 n + + + > + + = = n+1 n+2 2n 2n n 2n VÝ dô : Chøng minh r»ng: 1 1+ + + + >2 ( √ n+ 1− ) √2 √ √n Gi¶i : 2 = > =2 ( √ k +1 − √ k ) √k √ k √ k + √k + Khi cho k chạy từ đến n ta có Ta cã Víi n lµ sè nguyªn (12) > ( √ 2− ) >2 ( √3 − √ ) √2 ……………… >2 ( √ n+1− √ n ) √n Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có 1 1+ + + + >2 ( √ n+ 1− ) √2 √ √n VÝ dô : n Chøng minh r»ng ∑ k12 < ∀ n∈ Z k=1 Gi¶i: 1 1 < = − k k ( k −1 ) k −1 k Cho k chạy từ đến n ta có 1 <1 − 2 1 < − 32 1 < − n n −1 n 1 ⇒ + + + <1 n Ta cã n VËy ∑ k12 < k=1 Ph¬ng ph¸p 7: Dùng bất đẳng thức tam giác Lu ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a;b;c> Vµ |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a VÝ dô1: Cho a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c chøng minh r»ng a, a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b, abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i (13) a)V× a,b,c lµ sè ®o c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã a2 <a(b+c ) 0<a< b+c 0<b< a+c b2 <b(a+c ) 0<c <a+ b c 2< c (a+b) Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) b−c¿ b) Ta cã a > b-c 2 >0 a >a − ¿ c −a ¿ b > a-c >0 2 b >b − ¿ a −b ¿ > c > a-b 2 c >c − ¿ Nhân vế các bất đẳng thức ta đợc ⇒ a b2 c > [ a2 − ( b − c )2 ][ b − ( c − a )2 ] [ c − ( a −b )2 ] 2 ⇒ a b c > ( a+b − c ) ( b +c − a ) ( c +a −b ) ⇒ abc> ( a+b − c ) ( b+c −a ) ( c +a −b ) { { VÝ dô2: (404 – 1001) 1) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c Chøng minh r»ng ab+ bc+ ca< a2 +b2 +c <2(ab+ bc+ ca) 2) Cho a,b,c lµ chiÒu dµi ba c¹nh cña tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh r»ng a2 +b 2+ c 2+2 abc< Ph¬ng ph¸p 8: VÝ dô1: đổi biến số a b c (1) + + ≥ b+c c +a a+b Gi¶i : y+z − x z+x − y x+y −z §Æt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta cã a= ; b= ;c= 2 y + z − x z +x − y x+ y − z ta cã (1) ⇔ + + 2x 2y 2z y z x z x y + − 1+ + −1+ + −1 ≥3 ⇔ x x y y z z y x z x z y + ¿+( + )+( + )≥ ⇔ ( x y x z y z y x z x z y Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( + ≥ 2; + ≥2 ; + ≥ nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh x y x z y z VÝ dô2: Cho a,b,c > Chøng minh r»ng (14) Cho a,b,c > vµ a+b+c <1 Chøng minh r»ng 1 + + ≥9 a +2 bc b +2 ac c +2 ab (1) Gi¶i: §Æt x = a2 +2 bc ; y = b2 +2 ac ; z = c 2+ 2ab Ta cã x+ y+ z=( a+b +c )2< 1 1 (1) ⇔ + + ≥ Víi x+y+z < vµ x ,y,z > x y z Theo bất đẳng thức Côsi ta có x+ y+ z ≥ √3 xyz 1 + + ≥ x y z xyz √ ⇒ ( x+ y+ z ) ( 1x + 1y + 1z ) ≥ Mµ x+y+z < 1 1 VËy + + ≥9 x y z VÝ dô3: Cho x Gîi ý: §Æt √ x=u ,y , (®pcm) tháa m·n √ y=v √ x − √ y=1 CMR x+ y ≥ ⇒ 2u-v =1 vµ S = x+y = u2 +v Bµi tËp 1) Cho a > , b > , c > CMR: ⇒ v = 2u-1 thay vµo tÝnh S 25 a 16 b c + + >8 b+c c +a a+b 2)Tæng qu¸t m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc + + ≥ ( √m+ √ n+ √ p ) − ( m+n+ p ) b+c c +a a+b (15) Ph¬ng ph¸p 9: dïng tam thøc bËc hai Lu ý : Cho tam thøc bËc hai f ( x )=ax + bx+ c NÕu Δ< th× a f ( x )> ∀ x∈R NÕu Δ=0 th× NÕu Δ> th× a f ( x )> a f ( x )< ∀ x ≠− a f ( x )> víi víi b a x< x1 hoÆc x 1< x < x VÝ dô1: Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x 2+5 y −4 xy +2 x −6 y +3> Gi¶i: Ta cã (1) ⇔ x −2 x ( y −1 ) +5 y − y+ 3>0 Δ ' =( y −1 )2 −5 y 2+ y − 2 ¿ y − y +1− y + y − − ( y −1 ) − 1<0 VËy f ( x , y )> víi mäi x, y VÝ dô2: Chøng minh r»ng f ( x , y ) =x y +2 ( x +2 ) y +4 xy + x 2> xy Gi¶i: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với x y +2 ( x +2 ) y + xy + x − xy 3> y 2+1¿ x2 + y (1 − y )2 x+ y >0 ⇔¿ ' Ta cã Δ =4 y ( 1− y )2 − y ( y +1 )2=− 16 y 2< V× a = ( y +1 )2 >0 vËy f ( x , y ) > (®pcm) x> x2 (1) ( x 2> x ) (16) Ph¬ng ph¸p 10: dïng quy n¹p to¸n häc KiÕn thøc: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n>n ta thực các bớc sau : – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n=n0 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dïng gi¶ thiÕt quy n¹p) – kết luận BĐT đúng với n>n VÝ dô1: Chøng minh r»ng 1 1 + + + <2 − ∀ n∈ N ; n>1 n n Gi¶i : 1 Víi n =2 ta cã 1+ <2 − (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 ThËt vËy n =k+1 th× k +1¿ ¿ ¿ (1) ⇔ 1 1 + + + + 2 k ¿ Theo gi¶ thiÕt quy n¹p k +1¿ ¿ ¿ ⇔ 1 1 + + + + ¿ 2 k k + 1¿ ¿ ¿ ⇔ 1 + + ¿ (1) k +1 ¿ ¿ k +1 ¿2 ⇔ ¿ k +1+1 ¿ VÝ dô2: Cho n ∈ N Chøng minh r»ng ⇔ k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng Vậy bất đẳng thức (1)đợc chứng minh vµ a+b> a+b n ( ) n n a +b (1) Gi¶i Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 ThËt vËy víi n = k+1 ta cã k+ k+1 a+b k+1 a +b (1) ⇔ 2 ( ) (17) k k+ k+1 a+b a+b a +b (2) 2 k k k+ k k k +1 k+1 k +1 a +b a+ b a + ab +a b+ b a +b ⇔ VÕ tr¸i (2) = ≤ 2 k+ k+1 k+1 k k k+1 a +b a +ab +a b+ b ⇔ − ≥0 (3) ⇔ ( a k − bk ) ( a −b ) ≥ Ta chøng minh (3) (+) Gi¶ sö a b vµ gi¶ thiÕt cho a -b ⇔ a |b| k k k k k ⇔ ⇒ ( a − b ) ( a −b ) ≥ a ≥|b| ≥ b k (+) Gi¶ sö a < b vµ theo gi¶ thiÕt - a<b ⇔ ⇔ |a| <bk ⇔ ak <b k Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) ⇔ ( ) Ph¬ng ph¸p 11: ( a k − bk ) ( a −b ) ≥ Chøng minh ph¶n chøng Lu ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngợc Từ đó suy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “G ⇒ K” phép toán mệnh đề cho ta : Nh để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận nó Ta thêng dïng h×nh thøc chøng minh ph¶n chøng sau : −− −− A - Dùng mệnh đề phản đảo : K ⇒ G B – Phủ định rôi suy trái giả thiết : C – Phủ định suy trái với điều đúng D – Phủ định suy điều trái ngợc E – Phủ định suy kết luận : VÝ dô 1: (18) Cho ba sè a,b,c tháa m·n a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chøng minh r»ng a > , b > , c > Gi¶i : Gi¶ sö a th× tõ abc > ⇒ a đó a < Mµ abc > vµ a < ⇒ cb < Tõ ab+bc+ca > ⇒ a(b+c) > -bc > V× a < mµ a(b +c) > ⇒ b + c < a < vµ b +c < ⇒ a + b +c < tr¸i gi¶ thiÕt a+b+c > VËy a > t¬ng tù ta cã b > , c > VÝ dô 2: Cho sè a , b , c ,d tháa m·n ®iÒu kiÖn ac 2.(b+d) Chứng minh có ít các bất đẳng thức sau là sai: 2 , a <4b c <4 d Gi¶i : Giả sử bất đẳng thức : a2 < b , c 2< d đúng đó cộng các vế ta đợc (1) a2 +c <4 (b +d) Theo gi¶ thiÕt ta cã 4(b+d) 2ac (2) 2 Tõ (1) vµ (2) ⇒ hay ( a − c )2 <0 (v« lý) a +c <2 ac 2 Vậy bất đẳng thức a < b và c < d có ít các bất đẳng thức sai VÝ dô 3: Cho x,y,z > vµ xyz = Chøng minh r»ng 1 NÕu x+y+z > th× cã mét ba sè nµy lín h¬n + + x y z Gi¶i : Ta cã (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 1 =x + y + z – ( + + ) v× xyz = x y z 1 theo gi¶ thiÕt x+y +z > + + x y z nªn (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba sè x-1 , y-1 , z-1 chØ cã mét sè d¬ng ThËt vËy nÕu c¶ ba sè d¬ng th× x,y,z > ⇒ xyz > (tr¸i gi¶ thiÕt) Còn số đó dơng thì (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) VËy cã mét vµ chØ mét ba sè x , y,z lín h¬n (19) PhÇn iii : c¸c bµi tËp n©ng cao 1/dùng định nghĩa 1) Cho abc = vµ Ta cã hiÖu: 2 a +¿ b2+c2> ab+bc+ac a >36 Chøng minh r»ng Gi¶i a2 +¿ b2+c2- ab- bc – ac a2 = a +¿ +¿ b2+c2- ab- bc – ac 12 2 = ( a +¿ b2+c2- ab– ac+ 2bc) + a − 3bc 12 a =( -b- c)2 + a − 36 abc 12 a a =( -b- c)2 + a − 36 abc >0 (v× abc=1 vµ a3 > 36 nªn 12 a a +¿ b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 2) Chøng minh r»ng 4 2 a) x + y + z +1 ≥2 x (xy − x + z +1) b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã a2 +5 b2 − ab+2 a − b+3>0 2 c) a +2 b −2 ab+2 a − b+2 ≥ Gi¶i : a) XÐt hiÖu H = x + y + z +1 −2 x y 2+ x − xz − x = ( x − y 2) 2+ ( x − z )2 + ( x −1 )2 H ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −2 b+1 )2 + ( b − )2+1 ⇒ H > ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt H = ( a −b +1 )2+ ( b −1 )2 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh ⇒ H VËy : Ii / Dùng biến đổi tơng đơng a >0 ) (20) 1) Cho x > y vµ xy =1 Chøng minh r»ng ( x2 + y ) ≥8 ( x − y )2 Gi¶i : 2 2 Ta cã (v× xy = 1) x + y =( x − y ) +2 xy =( x − y ) +2 2 ⇒ ( x + y ) =( x − y ) +4 ( x − y ) +4 Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với ( x − y )4 +4 ( x − y )2 +4 ≥ ( x − y )2 ⇔ ( x − y )4 −4 ( x − y )2 + ≥ ⇔ [ ( x − y )2 − ] ≥ BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy Chøng minh r»ng 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y 1+ xy Gi¶i : 1 + ≥ 2 1+ x 1+ y 1+ xy 1 1 − + − ≥0 ⇔ 2 1+ x 1+ y 1+ y 1+ xy 2 xy − x xy − y + ≥0 ⇔ ( 1+ x ) (1+ xy ) ( 1+ y ) ( 1+ xy ) x( y −x) y(x− y) + ≥0 ⇔ ( 1+ x ) (1+ xy ) ( 1+ y ) ( 1+ xy ) ( y − x )2 ( xy −1 ) ≥0 ⇔ ( 1+ x ) ( 1+ y 2) ( 1+xy ) BĐT cuối này đúng xy > Vậy ta có điều phải chứng minh Ta cã ( )( ) Iii / dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a , b, c lµ c¸c sè thùc vµ a + b +c =1 Chøng minh r»ng a2 +b 2+ c ≥ Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho sè (1,1,1) vµ (a,b,c) Ta cã ( a+1 b+1 c )2 ≤ ( 1+1+1 ) ( a2 +b2 +c ) ⇔ ( a+b +c )2 ≤ ( a2 +b2 +c ) (v× a+b+c =1 ) (®pcm) a2 +b 2+ c ≥ ⇔ (21) 2) Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng ( a+b +c ) Chøng minh r»ng ( 1a + 1b + 1c )≥ (1) Gi¶i : a a b b c c 1+ + + +1+ + + +1≥ b c a c a a a b a c b c 3+ + + + + + ≥ ⇔ b a c a c b x y ¸p dông B§T phô Víi x,y > + ≥2 y x Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng 1 VËy ( a+b +c ) + + ≥ (®pcm) a b c (1) ⇔ ( )( )( ) ( ) Iv / dïng ph¬ng ph¸p b¾c cÇu 1) Cho < a, b,c <1 Chøng minh r»ng : 3 2 2 a +2 b +2 c <3+ a b+b c +c a Gi¶i : Do a <1 ⇒ a2 <1 vµ b <1 Nªn ( 1− a2 ) ( 1− b2 ) >0 ⇒1+ a2 b − a2 −b> Hay 1+a2 b> a2+ b (1) MÆt kh¸c <a,b <1 ⇒ a >a ; b>b 3 ⇒ 1+a >a + b VËy a3 +b 3< 1+ a2 b T¬ng tù ta cã b3 +c <1+b c a3 +c <1+c a ⇒ a3 +2 b3 +2 c 3<3+ a2 b+b c +c a 2) So s¸nh 31 ❑11 (®pcm) vµ 17 ❑14 Gi¶i : 11 Ta thÊy 31 < 3211 25 256 2 4.14 24 MÆt kh¸c Vëy 31 ❑11 14 11 255 256 1614 1714 < 17 ❑14 (®pcm) V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè 1) Cho a ,b ,c ,d > Chøng minh r»ng : a b b c cd d a 2 3 a b c b c d c d a d a b Gi¶i : V× a ,b ,c ,d > nªn ta cã a b a b a b d a b c d a b c a b c d (1) b c b c bc a a b c d b c d a b c d (2) (22) d a d a d a c a b c d d a b a b c d (3) Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có : a b bc cd d a 2 3 a b c b c d c d a d a b (®pcm) 2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c Chøng minh r»ng a b c 1 2 b c c a a b Gi¶i : V× a ,b ,c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c nªn ta cã a,b,c > Vµ a < b +c ; b <a+c ; c < a+b a a a 2a b c a b c a b c Tõ (1) a a MÆt kh¸c b c a b c a a 2a b b 2b VËy ta cã a b c b c a b c T¬ng tù ta cã a b c a c a b c c c 2c a b c b a a b c Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta có : a b c 1 2 b c c a a b (®pcm) V/ ph¬ng ph¸p lµm tréi : 1) Chøng minh B§T sau : 1 1 (2n 1).(2n 1) a) 1.3 3.5 1 b) 1 2 1.2 1.2.3 1.2.3 n Gi¶i : a) Ta cã 1 2k 1 (2k 1) 1 2n 1 2n 1 (2k 1).(2k 1) 2k 2k 1 Cho n chạy từ đến k Sau đó cộng lại ta có 1 1 1.3 3.5 (2n 1).(2 n 1) n 1 (®pcm) b) Ta cã 1 1 1 1 1 1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n 1 n 1 1 1 1 2 2 n 2 3 n n < (®pcm) (23) Phần iv : ứng dụng bất đẳng thức 1/ dùng bất đẳng thức để tìm cc trị Lu ý - NÕu f(x) A th× f(x) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ A - NÕu f(x) B th× f(x) cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ B VÝ dô : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Gi¶i : Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = (1) x x x x x x 1 Vµ VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y x 4 (2) DÊu b»ng x¶y x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x 3 VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > vµ x+y+z =1 Gi¶i : V× x,y,z > ,¸p dông B§T C«si ta cã 3 xyz x+ y + z 1 xyz xyz 27 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có x y y z z x 3 x y y z x z 3 x y y z z x DÊu b»ng x¶y x=y=z= 8 VËy S 27 27 729 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 729 x=y=z= VÝ dô : Cho xy+yz+zx = (2) (24) 4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x y z Gi¶i : ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z) xy yz zx Ta cã x2 y z x2 y z 2 (1) 2 Ap dông B§T Bunhiacèpski cho ( x , y , z ) vµ (1,1,1) ( x y z )2 (12 12 12 )( x y z ) ( x y z ) 3( x y z ) Ta cã 4 Tõ (1) vµ (2) 3( x y z ) x4 y z 3 VËy x y z cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x=y=z= VÝ dô : Trong tam gi¸c vu«ng cã cïng c¹nh huyÒn , tam gi¸c vu«ng nµo cã diÖn tÝch lín nhÊt Gi¶i : Gäi c¹nh huyÒn cña tam gi¸c lµ 2a §êng cao thuéc c¹nh huyÒn lµ h H×nh chiÕu c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn c¹nh huyÒn lµ x,y x y h a.h a h a xy Ta cã S = Vì a không đổi mà x+y = 2a VËy S lín nhÊt x.y lín nhÊt x y VËy c¸c tam gi¸c cã cïng c¹nh huyÒn th× tam gi¸c vu«ng c©n cã diÖn tÝch lín nhÊt 4 Ii/ dùng b.đ.t để giải phơng trình và hệ phơng trình (25) VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau x x 19 x 10 x 14 4 x x Gi¶i : 2 Ta cã 3x x 19 3.( x x 1) 16 3.( x 1) 16 16 x 10 x 14 5 x 1 9 2 VËy x x 19 x 10 x 14 2 5 DÊu ( = ) x¶y x+1 = x = -1 2 VËy x x 19 x 10 x 14 4 x x VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x = -1 VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x = -1 x x 4 y y Gi¶i : ¸p dông B§T BunhiaCèpski ta cã : x x 12 12 x x 2 2 DÊu (=) x¶y x = y y y 1 2 MÆt kh¸c DÊu (=) x¶y y = - 2 VËy x x 4 y y 2 x =1 vµ y =- x 1 y VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ VÝ dô : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x y z 1 4 x y z xyz Gi¶i : ¸p dông B§T C«si ta cã x4 y y z z x4 2 2 2 2 x y y z z x x4 y4 z4 x2 y y z z y z z x2 z y x2 2 y xz z xy x yz xyz.( x y z ) V× x+y+z = 1) 4 Nªn x y z xyz (26) DÊu (=) x¶y x = y = z = x y z 1 4 x y z xyz VËy cã nghiÖm x = y = z = VÝ dô : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau xy 8 y (1) (2) xy 2 x y 0 hay y x x y 2 x Tõ ph¬ng tr×nh (1) Tõ ph¬ng tr×nh (2) x 2 x 22 0 (x 2)2 0 x x NÕu x = th× y = 2 NÕu x = - th× y = -2 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x y vµ Iii/ dùng B.Đ.t để giải phơng trình nghiệm nguyên 1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n x y z xy y z Gi¶i : V× x,y,z lµ c¸c sè nguyªn nªn x y z xy y z x 2 y 2 (27) x y z xy y z 0 y2 3y2 x xy y z z 1 0 y y x 1 z 1 0 2 2 y y x 1 z 1 0 2 2 Mµ y x 3 2 y x 0 y 0 2 z 0 (*) x, y R y 1 z 1 0 x 1 y 2 z 1 x 1 y 2 z 1 C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lµ VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh 1 2 x y z Gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x y z 1 z 3 x y z z Ta cã Mµ z nguyªn d¬ng vËy z = 1 1 Thay z = vào phơng trình ta đợc x y 1 y y 2 mµ y nguyªn d¬ng Theo gi¶ sö x y nªn = x y Nªn y = hoÆc y = Víi y = kh«ng thÝch hîp Víi y = ta cã x = VËy (2 ,2,1) lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Hoán vị các số trên ta đợc các nghiệm phơng trình lµ (2,2,1) ; (2,1,2) ; (1,2,2) VÝ dô : T×m c¸c cÆp sè nguyªn tho¶ m·n ph¬ng tr×nh x x y (*) Gi¶i : (*) Víi x < , y < th× ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghÜa (*) Víi x > , y > (28) Ta cã x x y x x y x y2 x §Æt x k (k nguyªn d¬ng v× x nguyªn d¬ng ) k (k 1) y Ta cã k k k 1 k 1 Nhng k y k 1 Mµ gi÷a k vµ k+1 lµ hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp kh«ng tån t¹i mét sè nguyªn d¬ng nµo c¶ Nªn kh«ng cã cÆp sè nguyªn d¬ng nµo tho¶ m·n ph¬ng tr×nh x 0 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt lµ : y 0 Tµi liÖu tham kh¶o ************ 1- toán nâng cao và các chuyên đề đại số -nxb gi¸o dôc – – 1998 T¸c gi¶ : NguyÔn Ngäc §¹m – NguyÔn ViÖt H¶i – Vò D¬ng Thôy 2- toán nâng cao cho học sinh - đại số 10 -nxb §¹i häc quèc gia hµ néi – 1998 T¸c gi¶ : Phan Duy Kh¶i – toán bồi dỡng học sinh đại số -nhµ xuÊt b¶n hµ néi T¸c gi¶ : Vò H÷u B×nh – T«n Th©n - §ç Quang ThiÒu – sách giáo khoa đại số 8,9,10 -nxb gi¸o dôc – 1998 – toán nâng cao đại số 279 bài toán chọn lọc -nhµ xuÊt b¶n trÎ – 1995 T¸c gi¶ : Vâ §¹i Mau – Giáo trình đại số sơ cấp trờng đhsp i – hà nội &&& - (29) (30)