-Naém vöõng ñònh nghóa , tính chaát cuûa baát ñaúng thöùc. -Naém vöõng caùc phöông phaùp chöùng mnh baát ñaúng thöùc -Vaän duïng caùc phöông phaùp ñoù vaøo giaûi baøi taäp. B-THÔØI LÖÔÏN[r]
(1)Chuyên đề : BẤT ĐẲNG THỨC A-MỤC TIÊU:
HS:
-Nắm vững định nghĩa , tính chất bất đẳng thức -Nắm vững phương pháp chứng mnh bất đẳng thức -Vận dụng phương pháp vào giải tập B-THỜI LƯỢNG :8 tiết
C-THỰC HIỆN :
HS:Tự đọc phần
Tiết 1: HS Tự đọc phần định nghĩa tính chất. i-ĐỊNH NGHĨA & CÁC TÍNH CHẤT:
1)Định nghóa:
Bất đẳng thức hai số hai biểu thức (Số chữ)nối với bỡi dấu > (lớn hơn),<(nhỏ hơn) ( Lớn bằng) , ≤ (Nhỏ bằng)
Ta coù A>B⇔ A-B>0
¿A ≥ B⇔ A − B ≥ 0
Các bất đẳng thức sai Khi nói bất đẳng thức khơng giải thích thêmthì bất đẳng thức
Trong bất đẳng thức A>Bvà C>Dgọi hai bất đẳng thức chiều Các bất đẳng thức A>Bvà E<F gọi hai bất đẳng thức trái chiều
-Nếu ta có: A>B ⇒C> D Ta nói Bất đẳng thức C > D hệ bất đẳng thức A>B
-Nếu ta có :A>B ⇔ E>F Ta nói hai bất đẳng thức A>B E>F hai bất đẳng thức tương đương 2- Tính chất
Tính chất 1:(Tính chất bắc cầu) a>bvà b>c ⇒a>c
Tính chất
a>b⇔a+c >b+c
Hệ quả:
a>b+c⇔a − c>b
Tính chất 3:
a>b c>d ⇒a+c>b+d
Tính chất 4:
a>b⇔{ac>bc c>0 ac<bc c<0 Tính chất 5:
a>b>0 c>d>0 ⇒ac >bd
Tính chất 6:
a>b>0 n∈ N ⇒an >bn Tính chất
a>b>0 , n∈ N ⇒n
√a>√nb Hệ quả:
a;b ≥ 0
a2≥ b2⇔a ≥ b ⇔√a ≥√b Tính chất 8:
a>b; ab>0 ⇒1 a<
(2)Tính chất 9:
+a>1; m ,n∈ N ;m>n ⇒ am
>an
+0<a<1 m;n∈ N ;⇒ am<an Chuù ý cần tránh sai lầm sau:
-Trừ tùng hai vế hai bất đẳng thức chiều
-Nhân hai vế bất đẳng thức chiều mà chưa biết khơng âm -Bình phưng hai vế mà chưa biết khơng âm
-Khử mẫu chưa biết dấu chúng
-Nghịch đảo hai vế mà chưa biết hai vế dấu
-Thừa nhận xm>xn với m;n N m>n Khi chưa biết điều kiện x
II-CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Muôn chứng minh bất đẳng thức ta dựa vào bất đẳng thức biết
Ghi nhớ:
¿
1 a¿2≥ ;− a2≤ dấu = xẩy ⇔ a=0¿2¿−|a|≤ a ≤|a|¿a¿|a|=a⇔a ≥ 0¿b¿|a|=− a⇔a ≤ 0¿
Có hai cách giải:
Cách 1:Biến đổi Bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức tương đương mà biết đúng. Cách 2:Biến đổi bất đẳng thức tương đương bất đẳng thức cần chứng minh.
Sau phương pháp chứng minh bất đẳng thức ,tuy nhiên giải toán chứng minh bất đẳng thức phải ăn vào đặc thù toán mà chọn phương pháp thích hợp
Mỗi tốn giải phương pháp khác có phải phối hợp nhiêu phương pháp Tiết 2,3: GV Hướng dẫn lớp minh hoạ ví dụ cho HS nắm
III-CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
+Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức mang tính chất tương đối 1-Phương pháp vận dụng định nghĩa tính chất bất đẳng thức : Ta chia phương pháp thành ohương pháp nhỏ:
1-Phương pháp dùng định nghĩa 2-Phương pháp biến đổi tương đương 3-Phương pháp làm trội , làm trụt 4-Phương pháp phản chứng
Các ví dụ minh họa +Để chứng minh A>B ta chứng minh A-B>0
Ví dụ1:C/m:(a-1)(a-2)(a-3)(a-4) −1
Hướng dẫn :Xét hiệu (a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1=…= b2 0( Với b=a2
− a+5)
+Để C/m:A>B ta biến đổi bất đẳng thức cần C/m tương đương với Bất đẳngthức bất đẳng thức C/m
Ví du2ï:C/mBất đẳng thức sau a2+b2+c2 ab+ac +bc (1)
Hướng dẫn:
⇔2 a2
+2 b2+2 c2≥ ab+2 ac+2 bc
⇔(a2−2 ab+b2
)+(a2−2 ac+c2
)+(b2−2 bc+c2
)≥0
¿
20 phép biến
¿
⇔(a− b)2+(a − c)2+(b− c)2≥ 0(2) Bất đẳng thức ¿
Vaäy a2+b2+c2 ab+ac +bc
(3)+Các bất đẳng thường dùng
1) (a ± b)2 0 Đẳng thức xẩy ⇔a=∓b
2) Bất đẳng thức kép: a+b¿2
¿
a+b¿2≥ ab ¿
a2+b2≥2 ab
¿
2(a2+b2)≥¿
3) 1a+1 b≥
4
a+b(Với ab>0)
¿
4 a¿
b+ b
a≥2(Với ab>0)¿5¿(ax+ by)
2
≤(a2+b2)(x2+y2)(Bất đẳng thức Bunhicơpxki)¿
Ví du3ï:Cho a+b>1.C/m:a4+b4>
8
Giải:Ta có a+b>1>0(1),Bình phương hai vế ta có (a+b)2>1 ⇒a2
+2 ab+b2>1(2) Mặt khác a −b¿2≥ 0⇒a2−2 ab+b2≥ 0(3)
¿
Cộng vế (2) (3):2(a2+b2)>1 ⇒a2+b2>1
2(4) Bình phương hai vế (4):a4+2a2b2+b4>
4(5) Mặt khác (a2-b2)2 0⇒a4− a2b2+b4≥ 0(6)
Cộng vế (5) (6) :2(a4+b4)>
4⇒a
4
+b4>1
8 (Đpcm) Ví dụ4:Chứng minh rằng: ∀ n∈ N , n≥ Ta có
23+ 33+ +
1 n3<
1
Bài giải:Gọi A vế trái BĐT Ta sử dụng tính chất bắc cầu BĐT dạng làm trội :Để C/m A<B Ta làm trội A thành C(A<C)Rồi C/m C B (Biểu thức C đóng vai trị trung gian)
Làm trội phân số A cách làm giảm mẫu ,ta có :
k3< k3− k=
1 k(k2−1)=
1
k (k −1)(k +1) Do : A <
23− 2+
1
33−3+ +
1 n3− n=
1 3+
1
2 4+ +
1 (n −1)n (n+1) Đặt C=
1 3+
2 4+ +
1
(n −1)n(n+1), Nhận xét (n-1)n−
1 n(n+1)=
2 (n −1)n (n+1) C=1
2[ 1 2−
1 3+
1 3−
1
3 4+ + (n− 1)n−
1 n(n+1)]=
1 2[
1 2−
1 n(n+1)]=
1 4−
1 2 n(n+1)<
1 Vaäy:
23+ 33+ +
1 n3<
1
Ví du5ï:Cho a2+b2 2 .Chứng minh :a+b 2
Bài giải:
Giả sử a+b>2, bình phương hai vế ta a2+2ab+b2>4(1)
Mặt khác ta có a2+b2 a+b¿2
2 ab⇒2(a2
+b2)≥¿ Mà 2(a
2+b2) 4 (gt)
Do a2+2ab+b2 4 (2) Mâu thuẫn với (1)
(4)2-Phương pháp vận dụng toán BĐT
Để c/mBĐT A>B Nhiều ta cần ghi nhớ số toán BĐT để làm tốn phụ giúp tìm đến lời giải toán
-Phương pháp vận dụng toán phân số
-Phương pháp vận dụng toán giá trị tuyệt đối
-Phương pháp vận dụng BĐT “Liên hệ tổng bình phương,tổng tích” Ví du5ï:Cho a, b , c độ dài cạnh tam giác C/mR:
1 a+b − c+
1 b+c − a+
1 c +a − b≥
1 a+
1 b+
1 c
Ta ý mẫu phân thức dương Nên ta Áp dụng BĐT:1 x+
1 y≥
4
x+ y(x ; y>0) HS:Tự c/m tiếp
3-Phương pháp Vận dụng tính chất đặc biệt biến +Phương pháp đổi biến
+Phương pháp dùng toạ độ , hình học +Phương pháp Quy nạp toán học +Phương pháp “C/m BĐT riêng”
+Phương pháp xét khoảng Giá trị biến v.v…
Ví du6ï:Cho a+b+c=1 C/mR: a2+b2
+c2≥1 Bài giải
Đặt a=1
3+x ;b=
3+y ; c=
3+z ;Do¿a+b+c=1 Neânx+ y+ z=0 Ta coù : a2+b2
+c2=(1 3+x)
2
+(1 3+y)
2
+(1 3+z)
2
= =1 3+
2
3( x + y + z )+ x
2
+y2+z2
3+x
2
+y2+z2≥1 Đẳng thức xẩy ⇔ a=b=c=1
3 C-Tieát 4,5,6,7
Giải tập Bài 1:C/mR:với x,y,z thõa mãn ĐK:x2+y2+z2=1 ta có −1
2≤ xy +xz+yz ≤1 HD:Bất đẳng thức cần C/m ⇔−1
2(x
2
+y2+z2)≤ xy+xz+yz ≤ x2
+y2+z2
Bài 2:C/mR:với số a,b,c,d,e ta có :a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d+e)
HD:Biến đổi BĐT cần C/m
a −2 e¿2≥ 0
a− d¿2+¿
a −2 c¿2+¿
a −2 b¿2+¿
⇔¿
Bài 3:C/mR:Với a,b,c dương ta có : a3 a2
+ab+b2+ b3 b2
+bc+c2+ c3 a2
+ac+c2≥
(5)a+b+c
3 =
2 a −b +
2 b− c +
2 c − a
3 Vaø C/m: a3 a2+ab+b2≥
2 a − b ⇔( a+b) (a − b)2
≥ 0 Và C/m tương tự cho biểu thức lại Bài 4: Cho a+b=2 C/mR:a4+b4 2
HD:Trước hr6t1 ta C/m BĐT: x2+y2
2 ≥( x+ y
2 )
2
HS Tự C/m Áp dụng BĐT vừa C/ mTa có :a
2
+b2 ≥(
a+b )
2
=1 ⇒ a2
+b2≥2 Thực lần ta có Đpcm Bài 5:Cho a ≥ b ≥ c>0¿C /mR :a
b+ b c+ c a≤ c b+ b a+ a c HD:ta biến đổi BĐT cầ C/m
⇔( a− b) (a − c) (b − c )≥ 0 Baøi 6:Chon a,b,c >0 C/mR: a2
b + b2
c + c2
a ≥ a+b+c HD:Từ a2+b2≥ ab⇔ a2
b ≥ −b+2a Tương tự cho trương hợp lại Bài 7:Cho a,b,c>0 C/mR: a2
a+b+ b2 b+c+ c2 a+c≥ a+b+c HD:Aùp duïng BĐT cô si ta có : a2+(a+b
2 )
2
≥ a.a+b ⇔
a2 a+b≥ a −
a+b Aùp dụng cho trường hợp cị lại
Bài 8:C/mR:3(a2+b2+c2)
(a+b +c)2 HD:Ta coù (a+b+c)2+(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2
(a+b +c )2⇒3(a2+b2+c2)≥ (a+b+c )2 HS:Tự đưa toán Tổng quát nào?
Baøi 9:Cho a,b,c>0 C/mR:
¿
a+b+c a¿(a+ b)(1
a+
b)≥ b (¿)( a+
1 b+
1 c)≥9¿
HD:Biến đổi Tương đương dùng BĐT ab+b
a≥2 (a ;b >0) HS:Tự đua tốn Tổng qt
Bài 10:Cho a,b,c>0 C/mR: b+ca + b c +a+
c a+b≥
3 HD:Biến đổi vế trái =
(b+ca +1)+( b
a+c+1)+( c
b +c+1)−3= =
1
2[(b+c)+(c+a)+(a+ b)](
b+c+
1
c+ a+
1
a+b)−3
1
2 −3=
Baøi 11:Cho a+b=1C/mR:
¿ ¿ ¿
a a¿2+b2≥1
2b a¿
4
+b4≥1 8c a
8
+b8≥
128 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿HD :Vận dụng BĐT:2(a
2
+b2)≥ (a+b )2¿
(6)Bài 13:C/mR:Với a,b,c ,d R Ta có a4+b4+c4+d4 4 abcd
HD:Vận dụng BĐT a4+b4
2 a2b2 p dụng hai lần BĐT ta có Đpcm Baøi 14:Cho a+b+c+d=2 C/mR:a2+b2+c2+d2 1
HD:Vận dụng BĐT:a2+b2 2 ab Tương tự cho trương hợp a2+c2;a2+d2;b2+c2;c2+d2 ;b2+d2.
Và biến đổi Tương đương BĐT: 4(a2+b2+c2+d2 )
(a+b +c +d)2=4 Ta có Đpcm
Bài 15 :C/mR :nếu a,b,c độ dài cạnh Tam giác ta có a2+b2+c2 <2(ab+ac+bc)
HD:Vận dụng tính chất BĐT tam giác 0<a<b+c ⇒ a2 <a(b+c) Tương tự cho trường hợp cịn
lại.Cộn BĐT chiều Ta có Đpcm
Bài 16 :a,b,c độ dài cạnh tam giác 2p chu vi C/mR:
¿
a¿( p −a )( p −b )( p −c ) ≤abc
8 b 1 p −a¿ + p− b+
1 p − c≥2(
1 a+
1 b+
1 c)❑❑¿ HD:Câu a:Thay p=a+b +c
2 vào BĐT cần C/m ta có :(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) abc Và c/m:a> |b − c|⇒ a2≥ a2−(b −c)2>0
Tương tự cho trường hợp b;c
Nhân vế cho ba BĐT chiều không âm a2b2c2
≥( a+b −c )2(a+c −b )2(b+ c − a)2⇒abc≥ (a+b − c)( a+c − b) (b+c − a) Câub :Dùng BĐT: 1x+1
y ≥
x+ y(x ; y>0) Baøi 17:CmR: 19+
25 + 49+ .+
1 (2 n+1)2<
1
4(n∈ Z) HDTa biến đổi số hạng tổng quát :
(2 k +1 )2= 4 k2+4 k +1<
1 4 k (k+1)=
1 4(
1 k−
1 k +1) Bài 18:Cho a,b,c [−1 ; 2] thoã mãn :a+b+c=0C/mR:a2+b2+c2
HD:Từ –1 a ;b ;c ≤2⇒a+1≥ ;a −2 ≤ 0⇒ (a+1) (a −2) ≤ 0⇒ a2−a − 2≤ 0⇒a2≤ a+2
Tương tự cho trương hợp cịn lại
Bài 19:Cho a;b;c [0 ;2]a+b+c=3 CmR : a2+b2+c2≤5 HD:Xeùt (a-2)(b-2)(c-2) 0⇔abc− (ab+ac+b)+5 ≤ 0(1) (a+b+c)2 =3 ⇔ a2
+b2+c2+2( ab+ac+bc )=9⇔− (ab+ac+bc)=a2+b2+c2− 9 Từ (1) (2) Suy abc +a2b2+c2 -4 0⇔a2
+b2+c2≤ +abc¿(abc >1) Neân a2+b2+c2 5
Bài 20 Cho a,b,c > thõa mãn a2+b2+c2 =
3CmR : a+
1 b−
1 c<
1 abc HD:Từ (a+b-c)2 0 Biến đổi Tương đương –ab+ac+bc
2(a
2
+b2+c2)=1
5 3<1
CÁC BAØI TÓAN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC. Bài 1: Cho a, b, c, d số dương.
Chứng minh:
*
1 a b c d
a b c a b d b c d a c d
Từ chứng minh số
a b c d
x
a b c a b d b c d a c d
(7)a a a b c a b
b b
a b d a b
c c
b c d c d
d d
a c d c d
x2 1 Mặt khác:
a a
a b c a b c d
b a
a b d a b c d
c a
b c d a b c d
d d
a c d a b c d
x1 2 Từ (1) (2) ta có kết quả:
*
1 a b c d
a b c a b d b c d a c d
, x Z
Bài 2: Chứng minh với số a, b, c, ta ln có: a2 b2 c2 ab bc ca
Dấu “=” xảy nào?
Bài 3: Gọi a, b, c độ dài cạnh tam giác.
Chứng minh rằng: a2b2c2 2ab bc ca
Bài 4: Cho x y dương, chứng minh rằng:
1
x yx y Dấu “=” bất đẳng thức xảy khi nào? (TS vào 10 Ban A-B trường chuyên Lê Hồng Phong)
Baøi 5:
1 Chứng minh a b 2 4ab
2 Cho a, b, c không âm a b c 1 Chứng minh rằng: a b 16abc
Bài 6: Chứng minh n N n, 2, ta có
1 1
2 2
2
n n
n
(ÑS06_51-65)
Bài 7: Chứng minh a2b2 c2d2 a c 2b d 2 , (ĐS 06_53)
Bài 8: a b c , , Chứng minh
2 2
*
2
a b c a b c
b c c a a b
(ÑS 06_55)
Bài 9: Cho a3b3 2 1 Chứng minh a b 2 2 (ĐS 06_58)
Bài 10: Cho a1a2 a1995 1 1 Chứng minh
2 2
1 1995
1
1995 a a a
(8)Bài 11: Chứng minh x y R x, ; 0,y0 ta có
2
* 2
x y x y
y x y x
(HSG Tp Buoân ma thụôt 1995-1996)
HD: Đặt
x y t
y x
, Vì x y
y
x dấu nên ta có:
*
2 2
x y x y
t t t
y x y x
Khi * t2 3t 2 t 1 t 2 0 ** , rõ ràng với (*) ta thấy (**) thỏa.
Bài 12: Chứng minh khơng thể có số a b c, , mà thỏa đồng thời bất đẳng thức
; ;
a b c b c a c a b (Choïn HSG L9 Tp BMT 1996-1997)
Bài 13: Cho số dương a b c, , Chứng minh
2 2
*
a b c
a b c
b c a (HSG Daklak 2003)
Bài 14: Cho a b R, Chứng minh
2 2 *
2 1 2
a b a b ab a b (HSG Daklak 2001-2002)
Bài 15: Cho x0,y0 thỏa x y , 1 Chứng minh
*
1
1
1 x
x y
xy
.(Choïn HSG L9 Tp
BMT 1995-1996) Baøi 16:
Bài 17: Cho a b c R, , thỏa 0a b c, , 2 Chứng minh a b c 3a2b2c2 5 * (TS 10 Chuyên Nuyễn Du 1997-1998)
HD: Theo giả thiết ta có
1
2 2
2 2
2
a b c
ab bc ca a b c
Khi 1 4 a b c 2ab bc ca abc 0 a2b2c2 abc5
2 2 5
a b c
, abc 0
Bài 17: (Vào khối chuyên ĐHKHTN_ĐHQG Hà nội 1998) Cho a b c , , 0;1 Chứng minh a3b3c3 ab bc c 1 * . HD:
Vì a b c, , 0;1 1 a0; 1 b0; 1 c0 1 a 1 b 1 c0
1
1
a b c ab bc ca abc
, a b c, , 0;1 a31; b31; c3 1 Suy a3 b3 c3 ab bc ca 1
Chú ý: Nếu số x 0;1
1
0 n n
x
x x x x
(9)