Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =.[r]
(1)Chương Bất đẳng thức 2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy - So sánh tổng và tích Cho ba số không âm a, b, c, ta có : a+b √ ≥ ab, dấu xảy a = b ; a + b + c √3 ≥ abc, dấu xảy a = b = c .c om tb 2.1.2 Một số hệ trực tiếp Cho ba số dương a, b, c có : 1 + ≥ ; a b a+b ao tra ng Hệ : So sánh tổng nghịch đảo và tổng 1 + + ≥ a b c a+b+c Hệ : So sánh tổng bình phương và tồng Cho ba số thực a, b, c có : 2(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 ; 3(a2 + b2 + c2 ) ≥ (a + b + c) Hệ : So sánh tổng, tổng bình phương và tích Cho ba số thực a, b, c có : (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) ; a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca 2.1.3 Bài tập đề nghị Bài 2.1 : Cho a, b, > Chứng minh : ab(a + b) a+b ≤ 2 3 ≤ (a + b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 (a2 + b2 )3 ≤ ≤ (a + b)3 Bài 2.2 : Cho a, b > và a + b ≤ Chứng minh : Lop12.net 37 (2) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1 + ≥4; a b 1 + + a + b ≥ a b Bài 2.3 : Cho các số không âm a, b, c có a + b + c ≤ Chứng minh : a + b + c ≥ ab + bc + ca ; √ √ √ a + b + c ≥ ab + bc + ca √ Bài 2.4 : Cho x, y > Chứng minh : (1 + x)(1 + y) ≥ (1 + xy)2 √ 1 √ Bài 2.5 : Cho x, y > Chứng minh : x2 + y2 + + ≥ 2( x + y) x y 1 Bài 2.6 : Cho x, y > và x + y = Tìm giá trị nhỏ P = + x +y xy x y z Bài 2.7 : Cho x, y, z > và x + y + z = Tìm giá trị lớn P = + + x+1 y+1 z+1 a2 b2 + ≥ a+1 b+1 Bài 2.9 : Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh : Bài 2.8 : Cho a, b > và a + b = Chứng minh : 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 1 27 + + ≥ ; a(b + c) b(c + a) c(a + b) 2(a + b + c)2 1 27 + + ≥ a(a + b) b(b + c) c(c + a) 2(a + b + c)2 .c om Bài 2.10 : Chứng minh với a, b, c > có : ab √ a+b ab Bài 2.12 : Cho a, b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = √ + ab a + b 1 Bài 2.13 : Cho a, b, c > và a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = a + b + c + + + a b c √ 2 Bài 2.14 : Chứng minh với số dương x, y, z có : x + y + z ≥ 2(xy + yz) ao tra ng tb Bài 2.11 : Cho a, b > và a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ S = ab + Bài 2.15 : Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh : ab bc ca + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Bài 2.16 : Cho a, b, c > Chứng minh : ab bc ca a+b+c + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b Bài 2.17 : Cho a, b, c > Chứng minh : a+b b+c c+a + + ≥6; c a b a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ ; b+c c+a a+b 2 a b c + + ≥ ; b+c c+a a+b a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + + ≥ b+c c+a a+b Bài 2.18 : Cho a, b, c > và abc = Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau : a2 b2 c2 P = + + ; b+c c+a a+b a3 b3 c3 + + ; b+c c+a a+b TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Q = √ √ √ a2 a b2 b c2 c R = + + ; b+c c+a a+b bc ca ab S = + + ; 2 a b + a c b c + b a c a + c2 b Lop12.net Trang 38 (3) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 2.19 : Cho x, y, z, t > và xyzt = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= x3 (yz 1 1 + + + + zt + ty) y (zt + tx + xz) z (tx + xy + yt) t (xy + yz + zx) Bài 2.20 : Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : P = a b c + + b + 2c c + 2a a + 2b Q = a b c + + , m ∈ N, m > 2.1 b + mc c + ma a + mb Bài 2.21 : Cho a, b, c > Chứng minh : (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc ; bc ca ba + + ≥ a + b + c a b c Bài 2.22 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c + + ≥3; b+c−a c+a−b a+b−c Bài 2.23 : a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c b+c−a c+a−b a+b−c Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi tam giác Chứng minh : om (p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc .c Cho tam giác ABC có chu vi và độ dài ba cạnh tam giác là a, b, c Chứng minh : tb 4(a3 + b3 + c3 ) + 15abc ≥ 27 Bài 2.24 : Cho a, b, c, d > và a + b + c + d = Chứng minh : ng ao tra 1 1 −1 −1 −1 − ≥ 81 a b c d √ √ Bài 2.25 : Cho a, b ≥ Chứng minh : a b − + b a − ≤ ab Bài 2.26 : Cho a, b, c ≥ và a + b + c = Chứng minh : ab + bc + ca + abc ≤ 1 ≤ + a + bc ab ac Cho a, b > và a + b = Chứng minh : + ≥ 16 ab a + b2 1 1 Cho a, b, c > và + + ≥ Chứng minh : abc ≤ 1+a 1+b 1+c 2 √ a +b Cho a > b > và ab = Chứng minh : ≥ 2 a−b 1 Tìm giá trị nhỏ A = (1 + x) + + (1 + y) + với x, y > thỏa mãn x2 + y2 = y x Bài 2.27 : Cho a, b, c > Chứng minh : Bài 2.28 : Bài 2.29 : Bài 2.30 : Bài 2.31 : 10 27 Bài 2.32 : Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ : P= y−2 z−2 x−2 + + x2 y z Bài 2.33 : Cho a, b, c > Chứng minh : √3 alogb c + blogc a + cloga b ≥ abc Một cách tổng quát, tìm giá trị nhỏ R = a b c + + với a, b, c, x, y là số dương xb + yc xc + ya xa + yb Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 39 (4) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 2.34 : Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh : 1+ a Bài 2.35 : Cho a, b > Chứng minh : (a + 1+ b b)2 Bài 2.36 : Cho a, b, c > Chứng minh : 1+ ≥ 64 c 1 + + a b 2 ≥ bc ca ab 1 1 + + ≥ + + 2 2 a b+a c b c+b a c a+c b a b c Bài 2.37 : Cho a, b, c > Chứng minh : ab bc ca a+b+c + + ≤ a+b b+c c+a Bài 2.38 : Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = a + a Bài 2.39 : Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = a + a Bài 2.40 : Cho a, b, c ≥ thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức abc om S =a+b+c+ Bài 2.41 : Cho x, y > và x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = √ √3 √3 a+b+ b+c+ √3 c + a tb S = .c Bài 2.42 : Cho a, b, c ≥ và a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức x y + √ 1−y 1−x ng Bài 2.43 : Cho a, b, c > và a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức È S = È a(b + 2c) + È b(c + 2a) + c(a + 2b) ao tra Bài 2.44 : Cho a ≥ 2; b ≥ 6; c ≥ 12 Tìm giá trị lớn biểu thức √ √3 √4 bc a − + ca b − + ab c − 12 S = abc a b c a+b b+c c+a Bài 2.45 : Chứng minh : + + ≥ + + với a, b, c > b c a c a b Bài 2.46 : Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh : a3 b3 c3 + + ≥ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) Bài 2.47 : Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh : a3 b3 c3 + + ≥ b(2c + a) c(2a + b) c(2b + c) Bài 2.48 : Cho a, b, c > và a2 + b2 + c2 = Chứng minh : a3 b3 c3 + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b Bài 2.49 : Cho a, b, c > và a2 + b2 + c2 = Chứng minh : a3 b3 c3 + + ≥ a+b b+c c+a TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 40 (5) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 2.50 : Cho a, b, c > và ab + bc + ca = Chứng minh : √ a + a2 + √ b + b2 + √ c ≤ + c2 Bài 2.51 : Cho a, b, c > và ab + bc + ca = Chứng minh : 1 + + ≥ a(a + b) b(b + c) c(c + a) Bài 2.52 : Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh : a b c + + ≥ 2 (b + c) (c + a) (a + b) Bài 2.53 : Cho a, b, c > và a2 + b2 + c2 = Chứng minh : Bài 2.54 : Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh : √ ab bc ca + + ≥ c a b bc ca ab + √ + √ ≤ a + bc b + ca c + ab Bài 2.55 : Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh : bc ca ab + √ + √ ≤ 2a + bc 2b + ca 2c + ab .c Bài 2.56 : Cho a, b, c > và abc = Chứng minh : om √ tb a3 b3 c3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) ng Bài 2.57 : Cho a, b, c > và abc = Chứng minh : ao tra 1 + + ≥ a3 (b + c) b3 (c + a) c3 (a + b) 1 1 1 Bài 2.58 : Cho a, b, c > Chứng minh : + + ≥ + + a b c a+b b+c c+a 1 Bài 2.59 : Cho a, b, c > và a + b + c ≤ Chứng minh : + + ≥ a + 2bc b2 + 2ca c2 + 2ab 1 Bài 2.60 : Cho a, b > và a + b ≤ Chứng minh : + ≥ a + b2 ab 1 Bài 2.61 : Cho a, b > và a + b ≤ Chứng minh : + + 4ab ≥ a +b ab Bài 2.62 : Cho a, b, c > và ab + bc + ca = abc Chứng minh : 1 + + < a + 2b + 3c b + 2c + 3a c + 2a + 3b 16 a b c + + với a, b, c > và a + b + c = 1+b−a 1+c−b 1+a−c Bài 2.64 : Cho x, y, z > và x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Bài 2.63 : Tìm giá trị nhỏ : A = P= y2 x y z + + 2 +z z +x x + y2 Bài 2.65 : Cho x, y là hai số thực thay đổi Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức : P= (x + y)(1 − xy) (1 + x2 )2 (1 + y2 )2 Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 41 (6) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 2.66 : Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ P= √ √ √ 2x + + 2y + + 2z + Bài 2.67 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh : 8x + 8y + 8z ≥ 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 Bài 2.68 : Cho < a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e và a + b + c + d + e = Chứng minh : a(bc + be + cd + de) + cd(b + e − a) ≤ 25 Bài 2.69 : Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc Chứng minh : a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ a + bc b + ca c + ab Bài 2.70 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh : b+c È a+ 4(b3 + c3 ) + c+a È b+ 4(c3 + a3 ) + a+b È c+ 4(a3 + b3 ) ≤ Bài 2.71 : Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh : om 1 1 + + ≤ a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc Bài 2.72 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh : tb .c a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 + + ≥ a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 ng Bài 2.73 : Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh : √ √ √ a b c 1 + + ≤ + + 2 a +b b +c c +a a b c ao tra Bài 2.74 : Cho a, b, c > Chứng minh : 1 a+b+c + + ≤ a2 + bc b2 + ca c2 + ab 2abc Bài 2.75 : Cho a, b, c là ba số dương cho ab + bc + ca ≥ Chứng minh : √ a3 b3 c3 + + ≥ b2 + c2 + a2 + 2.2 Bất đẳng thức hình học Bài 2.76 : Cho a, b, c ∈ R Chứng minh : √ a2 + b2 + 4c2 + 4ac + √ √ a2 + b2 + 4c2 − 4ac ≥ a2 + b2 Bài 2.77 : Với a, b, c, d ∈ R Chứng minh : √ a2 + b2 + c2 + d2 + 2ac + 2bd ≤ √ a2 + b2 + √ c2 + d2 Bài 2.78 : Cho x, y, z > Chứng minh : √ È √ √ x + y + z ≤ 14(x + y + z) TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net Trang 42 (7) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 2.79 : Cho bốn số a, b, c, d ∈ R thỏa mãn a2 + b2 = và c + d = Chứng minh : √ 9+6 ac + bd + cd ≤ Bài 2.80 : Với a, b, c ∈ R Chứng minh : √ √ a2 + ab + b2 + √ a2 + ac + c2 ≥ Bài 2.81 : Với x, y ∈ R Chứng minh : È È cos2 x cos2 y + sin2 (x − y) + Bài 2.82 : Với x, y ∈ R Chứng minh : È 4x2 + y2 + 12x + + È b2 + bc + c2 sin2 x sin2 y + sin2 (x − y) ≥ 4x2 + y2 − 4x − 6y + 10 ≥ Bài 2.83 : Cho a + b + c = 1, ax + by + cz = với a, b, c , Chứng minh : 9a2 + a2 x2 + È È 9b2 + b2 y2 + Bài 2.84 : Cho a, b, c > Chứng minh : a2 È √ b2 − ab + + q √ b2 − bc + c2 .c È 9c2 + c2 z2 ≥ om √ È a2 − ac ≥ 2− √ + c2 tb Bài 2.85 : Cho a, b, c > và abc + bc + ca = abc Chứng minh : √ √ √ b2 + 2a2 c2 + 2b2 a2 + 2c2 + + ≥ ab bc ac √ √ √ Bài 2.86 : Cho x2 + y2 = Chứng minh : x2 + 2xy − y2 ≤ Bài 2.87 : Cho ao tra ng √ < x2 + xy + y2 = : y + yz + z2 = 16 và x, y, z là các số thực dương Chứng minh : xy + yz + zx ≤ Bài 2.88 : Cho x, y, z là số dương Chứng minh : È x2 + xy + y2 + È È y2 + yz + z2 + z2 + zx + x2 ≥ √ 3(x + y + z) Bài 2.89 : Cho a + b + c = 12 Chứng minh : È È √ √ √ √ 3a + a + + 3b + b + + 3c + c + ≥ 17 È Bài 2.90 : Cho các số dương x, y, z và x + y + z ≤ Chứng minh : Ê 4x2 + 2+ x Ê 4y2 + 2+ y Ê 4z2 + ≥ z √ 145 Bài 2.91 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn : x2 + y2 = 1; u2 + v2 + 16 = 8u + 4v Tìm giá trị lớn biểu thức P = 8u + 4v − 2(ux + vy) Bài 2.92 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ P = 3x2 + 3y2 + z2 Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 43 (8) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2.3 Phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình hệ phương trình - phương pháp miền giá trị 2x2 + 7x + 23 x2 + 2x + 10 x2 − (x − 4y)2 Bài 2.94 : Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức P = , với x2 + y2 > x2 + 4y2 Bài 2.93 : Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số : f (x) = Bài 2.95 : Cho x là số dương, y là số thực tùy ý Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức : P= xy2 (x2 + 3y2 ) x + È x2 + 12y2 Bài 2.96 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2 , với 2x2 + y2 + xy ≥ √ √ √ √ √ Bài 2.97 : Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện : x( x − 1) + y( y − 1) = xy Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ √ √ √ biểu thức : P = x + y + xy Bài 2.98 : Cho x, y thỏa mãn điều kiện : x2 − xy + y2 = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức : P = x2 + xy − 2y2 √ √ Bài 2.99 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện : x − x + = y + − y Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu om thức P = x + y c Bài 2.100 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x2 + y2 = 2(x + y) + Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức √ √ P = x(x − 2) + y(y − 2) P = x2 + xy − 2y2 √ x+ √ y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = ng Bài 2.102 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : √ √ x + + y + tb Bài 2.101 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : 4x2 − 3xy + 3y2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức ao tra Bài 2.103 : Cho các số thực x, y thỏa mãn : xy + x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = 3x 3y + − x2 − y2 y+1 x+1 Bài 2.104 : Cho a, b ≥ và a2 + b2 + ab = Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn biểu thức P = a4 + b4 + 2ab − a5 b5 Bài 2.105 : Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn P = (x3 + 2)(y3 + 2) 2.4 Bất đẳng thức các kì thi tuyển sinh ĐH Bài 2.106 (CĐ08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x2 + y2 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức: P = 2(x3 + y3 ) − 3xy Bài 2.107 (CĐ10) : Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 A= + √ x xy Bài 2.108 (A03) : Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ Chứng minh : Ê x2 + + x Ê y2 + + y TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Ê z2 + Lop12.net √ ≥ 82 z2 Trang 44 (9) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 2.109 (A05) : Cho x, y, z là các số dương thoả mãn : 1 + + = Chứng minh : x y z 1 + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Bài 2.110 (A06) : Cho hai số thực x , 0, y , thay đổi và thoả mãn điều kiện : (x + y)xy = x2 + y2 − xy Tim giá trị lớn 1 biểu thức A = + x y Bài 2.111 (A07) : Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : x2 (y + z) y2 (z + x) z2 (x + y) √ + √ P= √ √ + √ √ y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y Bài 2.112 (A09) : Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz ta có : (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) ≤ 5(y + z)3 Bài 2.113 (B05) : Chứng minh với x ∈ R, ta có : Khi nào đẳng thức xảy 12 x + 15 x + 20 x ≥ 33 + 4x + 5x Bài 2.114 (B06) : Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : È È (x − 1)2 + y2 + (x + 1)2 + y2 + |y − 2| om A= Bài 2.115 (B07) : Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức : +y y z + +z + xz xy tb x + yz .c P=x ng Bài 2.116 (B08) : Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ 2(x2 + 6xy) biểu thức P = + 2xy + 2y2 ao tra Bài 2.117 (B09) : Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = 3(x4 + y4 + x2 + y2 ) − 2(x2 + y2 ) + Bài 2.118 (B10) : Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = √ 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 Bài 2.119 (D05) : Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = Chứng minh : È È √ √ + x3 + y3 + y3 + z3 + z3 + x3 + + ≥ 3 xy yz zx a b b+ ≤ 2a 2b Bài 2.121 (D08) : Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức : Bài 2.120 (D07) : Cho a ≥ b > Chứng minh : 2a + P= (x − y)(1 − xy) (1 + x)2 (1 + y)2 Bài 2.122 (D09) : Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức : S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy √ √ Bài 2.123 (D10) : Tìm giá trị nhỏ hàm số y = −x2 + 4x + 21 − −x2 + 3x + 10 Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 45 (10) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2.5 Bài tập tổng hợp Bài 2.124 : Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 4 S = + x 4y a c b2 + b + 50 Bài 2.125 : Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên thay đổi thoả mãn ≤ a < b < c < d ≤ 50 Chứng minh + ≥ b d 50b a c và tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = + b d Bài 2.126 : Cho x, y, z là ba số thoả mãn x + y + z = Chứng minh : √ √ √ + 4x + + 4y + + 4z ≥ Bài 2.127 : Chứng minh với x, y > ta có : y (1 + x) + x 1+ √ y 2 ≥ 256 Đẳng thức xảy nào Chứng minh : √3 √3 √3 a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ om Bài 2.128 : Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn a + b + c = Khi nào đẳng thức xảy ra? tb .c √ √ Bài 2.129 : Chứng minh ≤ y ≤ x ≤ thì x y − y x ≤ Đẳng thức xảy nào ? Bài 2.130 : Cho x, y, z là ba số dương và xyz = Chứng minh : ng x2 y2 z2 + + ≥ 1+y 1+z 1+x ao tra Bài 2.131 : Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x2 + xy + y2 ≤ Chứng minh : √ √ −4 − ≤ x2 − xy − 3y2 ≤ − Bài 2.132 : Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 3−x + 3−y + 3−z = Chứng minh : 9x 9y 9z 3x + 3y + 3z + + ≥ 3x + 3y+z 3y + 3z+x 3z + 3x+y Bài 2.133 : Cho hai số dương x, y thay đổi và thoả mãn điều kiện x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3x2 + + y3 + 4x y2 r 11 Bài 2.134 : Tìm giá trị nhỏ hàm số : y = x + + + , x > 2x x Bài 2.135 : Cho x, y, z là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức : È P= 4(x3 + y3 ) + È 4(y3 + z3 ) + È 4(z3 + x3 ) + x y z 2+ 2+ y z x Bài 2.136 : Cho a, b là các số dương thoả mãn ab + a + b = Chứng minh : 3a 3b ab + + ≤ a2 + b2 + b+1 a+1 a+b Bài 2.137 : Cho x, y > và xy = 100 Hãy xác định giá trị nhỏ biểu thức P = TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Lop12.net x2 + y2 x−y Trang 46 (11) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 2.138 : Giả sử phương trình ax2 + bx + c có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 1] Xác định a, b, c để biểu thức P có giá trị nhỏ (a − b)(2a − c) nhất, giá trị lớn nhất, đó P = a(a − b + c) 1 2 Bài 2.139 : Cho x, y > thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + y x Bài 2.140 : Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c là các số nguyên không âm : √ √ √ 1+ a 1+ b 1+ c √ + √ + √ ≤ + a + b + c 3≤ 1+ b 1+ c 1+ a Bài 2.141 (*) : Cho số thực x1 , x2 , , x6 ∈ [0; 1] Chứng minh : (x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x4 )(x4 − x5 )(x5 − x6 )(x6 − x1 ) ≤ Bài 2.142 : Cho x, y, z > Chứng minh : Bài 2.143 : Cho x1 , x2 , x3 , x4 > thỏa mãn P i=1 x6 16 2x 2y 2z 1 + + ≤ + + 4 4 +y y +z z +x x y z P x4 x1 = Hãy tìm giá trị nhỏ T = i=1 P i=1 i x3i om Bài 2.144 : Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn xy = Tìm giá trị lớn biểu thức A = x4 x y + +y x + y4 .c Bài 2.145 : Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 + y2 = x + y Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức tb A = x3 + y3 + x2 y + xy2 ng Bài 2.146 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= 1 + + xy + z2 yz + x2 zx + y2 ao tra Bài 2.147 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2abc Chứng minh 1 1 + + ≥ 2 a(2a − 1) b(2b − 1) c(2c − 1) Bài 2.148 : Cho x, y là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 y3 P = + y x Bài 2.149 : Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức A = xy + yz + zx + x+y+z Bài 2.150 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z2 z3 + xy Bài 2.151 : Cho x, y, z > thỏa mãn 13x + 5y + 12z = Tìm giá trị lớn biểu thức A = x3 y3 + + x2 + yz y2 + zx xy 3yz 6xz + + 2x + y 2y + z 2z + x Bài 2.152 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn A = x3 (y + z) + y3 (z + x) + z3 (x + y) Bài 2.153 : Giả sử x, y, u, v ∈ R thỏa mãn điều kiện x2 + y2 = 1, u2 + v2 + 16 = 8u + 4v Tìm giá trị lớn biểu thức M = 8u + 4v − 2(ux + vy) Lop12.net Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Trang 47 (12) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 2.154 : Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện a + b + c = P= √ a2 + ab + b2 + √ b2 + bc + c2 + √ √ Tính giá trị nhỏ c2 + ca + a2 Bài 2.155 : Cho x, y ∈ R thỏa mãn x2 + y2 − 2x − 4y + = Chứng minh √ √ √ √ x2 − y2 + 3xy − 2(1 + 3)x + (4 − 3)y ≤ − Bài 2.156 : Giả sử x, y, z là các số thực thỏa mãn x + y + z = Chứng minh 8x + 8y + 8z ≥ 4x+1 + 4y+1 + 4z+1 Dấu đẳng thức xảy nào ? Bài 2.157 : Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= x2 (y + z) y2 (z + x) z2 (x + y) + + yz zx xy Bài 2.158 : Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = Hãy tìm giá trị lớn biểu thức 1 + + 2a + b + 2b + c + 2c + a + om P= Bài 2.159 : Cho x, y > và thỏa mãn x + y = Chứng minh √ x − x2 + È y ≥ √ − y2 .c Bài 2.160 : Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x2 + y2 + xy = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức tb P = x3 + y3 − (x2 + y2 ) ng Bài 2.161 : Cho a, b, c là các số thực không âm, khác đôi và thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Chứng minh ao tra 1 + + ≥ 2 (a − b) (b − c) (c − a)2 Bài 2.162 : Cho x, y, z là ba số thực thuộc (0; 1] Chứng minh 1 + + ≤ xy + yz + zx + x + y + z Bài 2.163 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 b c a + + + + < 3a + b 3a + c 2a + b + c 3a + c 3a + b Bài 2.164 : Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh 1 4 + + ≥ + + a + b b + c c + a a2 + b2 + c2 + Bài 2.165 : Cho x, y ∈ R, chứng minh |x − y| |x| |y| ≤ + + |x − y| + |x| + |y| 4x + y 2x − y + xy (1 + a)(1 + b)(1 + c) Bài 2.167 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ P = (1 − a)(1 − b)(1 − c) Bài 2.166 : Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Bài 2.168 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc Chứng minh : √ √ c ab ≥ + + c2 ; Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.comLop12.net Trang 48 (13) CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC ab + bc + ca ≥ + √ a2 + + √ b2 + + √ c2 + Bài 2.169 : Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh : 1 1 + + ≤ + a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b) abc Bài 2.170 : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh : 1 + + ≤ x+y+1 y+z+1 z+x+1 √ √ √ y x z 1 Bài 2.171 : Cho x, y, z > Chứng minh + + ≤ + + 2 2 x +y y +z z +x x y z Bài 2.172 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : 4a 9b 16c + + ≥ 26 b+c−a c+a−b a+b−c Bài 2.173 : Cho các số thực không âm a, b Chứng minh : a +b+ b +a+ ≥ 2a + 2b + om Bài 2.174 : Cho các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b + c = a Chứng minh : .c a2 + b b2 + c c2 + a + + ≥ b+c c+a a+b tb Bài 2.175 : Cho các số thực dương x, y, z Chứng minh : ng x2 − xy y2 − yz z2 − zx + + ≥ x+y y+z z+x ao tra Bài 2.176 : Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh 1 + + + ≥ 2(a + b + c) a b c √ yz 3−3 Bài 2.177 : Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x ≤ (y + z) 3x π π Bài 2.178 : Cho các số thực x, y thỏa mãn ≤ x ≤ và ≤ y ≤ Chứng minh cos x + cos y ≤ + cos(xy) 3 È √ Bài 2.179 : Cho số nguyên n (n > 2) và hai số thực không âm x, y Chứng minh n xn + yn ≥ n+1 xn+1 + yn+1 Đẳng thức xảy nào? Download tài li u h c t p t i : http://aotrangtb.com Lop12.net TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 49 (14)