1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

50 Bài tập về bất đẳng thức28812

15 10 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 15
Dung lượng 288,22 KB

Nội dung

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 50 Bài tập bất đẳng thức: a 8a a 24 a 10 Giải: S  a    (  )  2  a 9 a 9 a Bài 2: Cho a  , tìm giá trị nhỏ S  a  a 6a a a 12 a a 12 Giải: S  a    (   )   33    a 8 a 8 a 4 Bài 3: Cho a,b >0 a  b  , tìm giá trị nhỏ S  ab  ab 1 15 15 17  (ab  )  ab   Giải: S  ab  ab 16ab 16ab 16ab  ab 16     Bài 4: Cho a,b,c>0 a  b  c  Tìm giá trị nhỏ 1 S  a   b2   c2  b c a Giải: Cách 1: Bài 1: Cho a  , tìm giá trị nhỏ S  a  Cách 2: S  a2  1  b2   c2  2 b c a (12  42 )(a  1 1 )  (1.a  ) 2 a   (a  ) b b b b 17 Tương tự 1 1 b2   (b  ); c   (c  ) c c a a 17 17 Do đó: ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn S 4 36 (a  b  c    )  (a  b  c  ) a b c abc 17 17  17  135 (a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c)   17   Bài 5: Cho x,y,z ba số thực dương x  y  z  Chứng minh rằng:  x2  1  y   z   82 y z x Giải: 1 1 (1.x  )  (12  92 )( x  )  x   (x  ) y y y y 82 1 1 ( y  ); z   (z  )  z z x x 82 82 9 81 S (x  y  z    )  (x  y  z  ) x y z x yz 82 82 TT : y    80  ( x  y  z  x  y  z )  x  y  z   82 82   Bài 6: Cho a,b,c>0 a  2b  3c  20 Tìm giá trị nhỏ S  abc   a 2b c Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4 12 18 16 12   18   16   S  4a  4b  4c     a  2b  3c   3a     2b     c    a b c a  b  c   20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13 1 Bài 7: Cho x,y,z>    Tìm giá trị lớn x y z 1 P   2x  y  z x  y  z x  y  2z Giải: Ta có 1 1   ;   x y x y y z yz 1 1 4 16 1 1 1              x y y z x  y y  z x  2y  z x  y  z 16  x y z  ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn TT : 1 2 1 1 1 2     ;      x  y  z 16  x y z  x  y  z 16  x y z  4 4 S      1 16  x y z  Bài x x x  12   15   20  Chứng minh với x  R , ta có          3x  x  x  5  4   Giải: x x x x x x x x  12   15   12   15   15   12  x  20  x  20  x            2.3 ;       2.5 ;       2.4 5 4                 Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: Cho x,y,z>0 x+y+z =6 Chứng minh x  y  z  x 1  y 1  z 1 Giải: Dự đoán x=y=z = x.8 x  64 x  x nên : x  x  82  3 x.8 x.82  12.4 x ; y  y  82  3 y.8 y.82  12.4 y ; z  z  82  3 z.8 z.82  12.4 z x  y  z  3 x.8 y.8 z  3 82.82.82  192 Cộng kết => đpcm Bài 10: Cho x,y,z>0 xyz = Hãy chứng minh  x3  y  y3  z3  z  x3   3 xy yz zx Giải: x3  y  xy x  y    x3  y  xyz  xy x  y   xy x  y  z   xy xyz  xy  x3  y 3 xy   xy xy yz  y3  z3 ;   xy yz yz  1  S  3   3  xy yz zx   x y2 z2 3 Bài 11 ThuVienDeThi.com  z  x3 zx ;   yz zx zx zx Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x  y 1  xy  biểu thức P  2 1  x  1  y  Giải:  x  y   xy   x  y 1  xy  x  y 1  xy       1  P  P    2 2 1  x  1  y  1  x  1  y  x  y   xy  4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy ra.hoctoancapba.com Bài 12 a b3 c    ab  bc  ca Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: b c a Giải: a b3 c a b c (a  b  c ) ab  bc  ac  Cách 1:         ab  bc  ac b c a ab bc ca ab  bc  ac ab  bc  ac a3 b3 c3 Cách 2:  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2a b c a a b3 c    2(a  b  c )  ab  bc  ac  ab  bc  ac b c a Bài 13 Cho x,y >0 x  y  Tìm giá trị nhỏ A  3x   y  4x y2 Giải: Dự đoán x=y=2 3x   y 3x 1 x  y y  x y A      y         4x y x y 4    x 4  y 1 Bài 14: Cho x,y>0 x+y = Chứng minh P    42 3 x y xy Giải: Ta có x  y   x3  y  3xy(x+y)  x3  y  3xy=1 x3  y  3xy x3  y  3xy 3xy x3  y      42 x3  y x3  y xy xy 1 1    Chứng minh xyz  Bài 15: Cho x,y,z >0 1 x 1 y 1 z Giải: P= ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 1 1 y z  2   1 1   2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z TT : 2 1 y xz ; 2 1  x 1  z   z yz 1  y 1  z  xy 1  x 1  y  Nhân vế BĐT => đpcm Bài 16: Cho x,y,z>0 x+y+z = Tìm giá trị lớn S  Giải: x y z   x 1 y 1 z 1  x y z 1  9    3    3    3 x 1 y 1 z 1 x y z 3 4  x 1 y 1 z 1  Bài 17: 4a 5b 3c    48 Cho a,b,c >1 Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 Giải: 4a a  1 4   a  1   a  1      16 a 1 a 1 a 1 a 1 5b 3c  b  1   10  20;  c  1    12 dpcm b 1 b 1 c 1 c 1 Bài 18 Cho a,b,c >0, chứng ming : 1 1      3    a b c  a  2b b  2c c  2a  Giải: 1 1 1    ;    ;    cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a Bài 19 Với a,b,c >0 chứng minh rằng: 36    a b c abc Giải: S 1   3 36     a b c abc abc Bài 20: Cho a,b,c,d>0 chứng minh : 1 16 64     a b c d abcd Giải: 1 16 16 16 64    ;   a b c abc abc d abcd ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cần nhớ: a b c a  b  c     x y z x yz Bài 21 Với a,b,c>0 chứng minh rằng:      4    a b c  ab bc ca  Giải 1 3 1 2 1      ;      ;   a b ab a b ab b c bc b c bc c a ca Bài 22 Với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác 1 1 1    2    Chứng minh p a p b p c a b c Giải: 1 2      p  a p  b p  c a  b  c a  b  c a  b  c 1 1 1 1 1       2    a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c a b c Bài 23 x2 y2 z2 Cho x,y,z>0 x  y  x  Tìm giá trị nhỏ P    yz zx x y hoctoancapba.com Giải:  x  y  z   x  y  z   x2 y2 z2    y  z z  x x  y x  y  z  2 Cách1: P  Cách 2: x2 yz y2 zx z2 x y   x;   y;  z yz zx x y 4 x yz x yz  P x yx    2 2 Bài 24 Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y  3z  z  x  x  y  51    1 x 1 y  3z Giải: ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn y  3z  z  x  x  y    1 x 1 y  3z y  3z  3z  x  x  2y   1 1 1 1 x 1 y  3z  1   x  y  3z     3    24 x  y  3z    x  y  3z  51  24   21 Bài 25 Chứng minh bất đẳng thức: a  b   ab  a  b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26 Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p  a  p b  p  c  3p Giải: Bu- nhi -a ta có : p  a  p  b  p  c  (12  12  12 )( p  a  p  b  p  c)  3(3 p  p )  p Bài 27 1 Cho hai số a, b thỏa mãn : a  1; b  Tìm giá trị nhỏ tổng A  a   b  a b 1 15b  b  15.4 17 21 Giải: a   2; b          A  a b 16  16 b  16 4 Bài 28 Chứng minh a  b  a 3b  ab3 Giải: a 2  b 2  (12  12 )  a  b 2  a  b a  b  2ab a  b  a  b  a 3b  ab3   Bài 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A ( x  y  1) xy  y  x  (Với x; y số thực dương) xy  y  x ( x  y  1) Giải: ( x  y  1) Đặt  a; a   A  a  Có xy  y  x a Aa 8a a a 10 10   (  )       A  a 9 a 9 a 3 3 ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Bài 30 Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2   2 (b  c) (c  a ) (a  b) Giải: a b b c c a    1 (b  c) (c  a ) (c  a ) (a  b) (a  b) (b  c)  a b c  VT      0 b c c a a b (  ) (  ) (  )   (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =) Bài 31 Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c  Chứng ming 2009   670 2 a b c ab  bc  ca Giải: 2009  2 a  b  c ab  bc  ca 1 2007 2007        670 2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca a  b  c  a  b  c 2 Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  b2  c2  ab  bc  ca a 2b  b c  c a Giải: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) >  (a  b  c ) ab  bc  ca 2 Suy P  a  b  c  Pa b c  2(a  b  c ) a  b2  c2 2 t = a2 + b2 + c2, với t  Suy P  t  9t t t     3    P  2t 2t 2 2 a=b=c=1 Bài 33 Ch x,y,z số thực dương thỏa mãn x+y+z = tìm giá trị nhỏ ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 1   16 x y z Giải:  1 1 1  y x   z x   z y  21 P=    x  y  z           16x y z  16x y z   16 x y   16 x z   y z  16 y x z x z y   có =khi y=2x;   z=4x;   z=2y =>P  49/16 16 x y 16 x z 4y z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34 P=   23 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B  8x   18y  x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: Giải:  2  2 4 5  18y    8x    18y         12  23  43 x y  x  y x y 1 1 1 1 Dấu xảy x; y    ;  Vậy Min B 43 x; y    ;   3  3 B  8x  Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng khơng vượt q Chứng minh x2 + y2 + z2  Gải:  x   x   x    ( x  1)( x  2)   x  3x  Tương tự y  3y  z  3z   x2 + y2 + z2  3( x + y +z) –  – = Bài 36 Cho a,b,c số thuộc 1; 2 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = Chứng minh a bc  Giải: a  1a     a  a   0; b2  b   0; c  c    a  b  c  a  b2  c2   Bài 37 Cho số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1 97 a   b2   c2   b c a Giải: ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn   81       1.a    1    a    a    a  ; b  16   b  b 4b  97   cộng vế lại     b   b  ; c   c   c 4c  a 4a  97  97  Bài 38 Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p   9 p a p b p c Giải: 1 9 p p p        hay p a p b p c p a  p b p c p p a p b p c Bài 39 Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a  b  c )  2abc  52 Giải: abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (6  2a) 6  2b 6  2c   abc  24  ab  bc  ac  2 16  36  (a  b  c )   2abc  48    (a  b  c )  2abc  48 (1)    a    b    c   2 a  b2  c2 0  (2) (1)and(2)  dpcm Có chứng minh 3(a  b  c )  2abc  18 hay không? Bài 40 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ 3 biểu thức P  4(a  b  c )  15abc Giải: 2 2 2 Có a  a  (b  c)  (a  b  c)(a  b  c) (1) , b  b  (c  a )  (b  c  a )(b  c  a ) (2) c  c  (a  b)  (c  a  b)(c  a  b) (3) Dấu ‘=’ xảy  a  b  c Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có : abc  (a  b  c)(b  c  a )(c  a  b) (*) hoctoancapba.com Từ a  b  c  nên (*)  abc  (2  2a)(2  2b)(2  2c)   8(a  b  c)  8(ab  bc  ca)  9abc    9abc  8(ab  bc  ca )   9abc  8(ab  bc  ca )  8 (*) 3 3 Ta có a  b  c  (a  b  c)  3(a  b  c)(ab  bc  ca )  3abc   6(ab  bc  ca )  3abc 10 ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 3 Từ 4(a  b  c )  15abc  27 abc  24(ab  bc  ca)  32  39abc  8(ab  bc  ca)  32 (**) 3 Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a  b  c )  15abc  3.(8)  32  Dấu “=” xảy a  b  c  Từ giá trị nhỏ P đạt a  b  c  Bài 41 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh  a  b3  c3  3abc  Giải: *P  a  b3  c3  3abc Ta có a  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ac)  a  b3  c3  3abc  (a  b  c  ab  bc  ac) (1) có abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  2 1  4(ab  bc  ca )  8abc  6abc   ab  bc  ca  (2) 3 (1)and(2)  a  b3  c3  3abc  a  b  c   ab  bc  ca  3 mà ab  bc  ca    a  b2  c2 2  P  a   b2  c2  1  1  1 1 1  2  a    b    c     a  b  c   P    3  3  3 6  *P  a  b3  c3  3abc abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4(ab  bc  ca )  8abc  (3)  ab  bc  ca )  2abc  P  a  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ac)  6abc  a  b  c  ab  bc  ac  6abc  a  b  c   ab  bc  ca   6abc 1   ab  bc  ca  2abc     4 11 ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x  y  z  xy  yz  zx  xyz  Giải: Chứng minh xyz   x  y  z x  y  z x  y  z   (6  x)(6  y )(6  z )  216  72( x  y  z )  24( xy  yz  zx)  8xyz  xyz  24  ( xy  yz  zx) (1) mà x  y  z    x  y  z  2xy  yz  2xz  (2)  x  y  z  xy  yz  xz  36  3xy  yz  3xz Nên xyz  x  y  z  xy  yz  xz   24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  yz  3xz  xyz  x  y  z  xy  yz  xz   12  ( xy  yz  zx) mà x  y  z   3( xy  yz  zx) x  y  z  36  xyz  x  y  z  xy  yz  xz   12   12  8 3 2 2 Bài 43 Cho a  1342; b  1342 Chứng minh a  b  ab  2013 a  b  Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau: a  1342   b  1342  2  0; a  1342 b  1342   0; a  1342  b  1342  Thật vậy: (1) a  1342   b  1342    a  b2  2.1342 a  b   2.13422  (2) a  1342 b  1342    ab  1342a  1342b  13422   a  b  2.1342 a  b   2.13422  ab  1342a  1342b  13422   a  b  ab  3.1342 a  b   3.13422  2.2013 a  b   3.13422  2013 a  b   2013 a  b   2.2013.1342  2013 a  b   2013 a  b  1342  1342   2013 a  b  2 Bài 44 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  1  x  3  x  1 x  3 4 2 12 ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Giải: Cách 1: Cách : A  x  1  x  3  x  1 x  3 4 2 2 2 A  x  1  x  3   x  1 x  3   A   2x  8x  10   x  4x  3 2 A   2( x  2)    ( x  2)  1 2 A  4( x  2)  8( x  2)   4( x  2)  8( x  2)  A  8( x  2)   Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca    c 1 a 1 b 1 Giải: 13 ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Bài 46 Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 1 x  y  1  1 3  y  z  z  x3 Giải: x  y  2xy  x  y x  y  2xy x  y   x  y  xy x  y    x  y  xy x  y  z    1 x  y 3  1 x  y 3  xy x  y  z  z x y 1    dpcm ; ; 3 3 x  y  z 1 y  z x  y  z 1 z  x x yz Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh : a  b   ab  2a b  2b a  ab 1  1     a  b  a  b    a  b   a     b     ab a  b   2a b  2b a 2 4     Giải: a  b  Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1  8a  1   8b3  8c3 1 Giải: 1  8a ;   2a  14a  2a  1 1    2 2a   4a  2a  4a  2a  1  8c3 2c  1 1  VT     1 2a  2b  2c  2a   2b   2c  1  8b3 2b  ;  2 Bài 49 Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh : Giải: Cách 1: 14 ThuVienDeThi.com a b3 c    a  b2  c2 b c a Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 2 2 2 2 a b3 c3 a b c a  b  c  a  b  c a  b  c          a  b2  c2 b c a ab bc ca ab  bc  ca ab  bc  ca Cách 3 a3 b c  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2c  VT  a  b  c  (ab  bc  ca )  a  b  c b c a Bài 50 Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2    y 1 z 1 x 1 Giải: x2 y 1 y2 z 1 z2 x 1 3 3   x;   y;   z  VT  x  y  z      y 1 z 1 x 1 4 4 15 ThuVienDeThi.com ... Bài 18 Cho a,b,c >0, chứng ming : 1 1      3    a b c  a  2b b  2c c  2a  Giải: 1 1 1    ;    ;    cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2a Bài. .. y  3z    x  y  3z  51  24   21 Bài 25 Chứng minh bất đẳng thức: a  b   ab  a  b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26 Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam... c a Bài 13 Cho x,y >0 x  y  Tìm giá trị nhỏ A  3x   y  4x y2 Giải: Dự đoán x=y=2 3x   y 3x 1 x  y y  x y A      y         4x y x y 4    x 4  y 1 Bài 14:

Ngày đăng: 29/03/2022, 04:18

w