Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
288,22 KB
Nội dung
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 50 Bài tập bất đẳng thức: a 8a a 24 a 10 Giải: S a ( ) 2 a 9 a 9 a Bài 2: Cho a , tìm giá trị nhỏ S a a 6a a a 12 a a 12 Giải: S a ( ) 33 a 8 a 8 a 4 Bài 3: Cho a,b >0 a b , tìm giá trị nhỏ S ab ab 1 15 15 17 (ab ) ab Giải: S ab ab 16ab 16ab 16ab ab 16 Bài 4: Cho a,b,c>0 a b c Tìm giá trị nhỏ 1 S a b2 c2 b c a Giải: Cách 1: Bài 1: Cho a , tìm giá trị nhỏ S a Cách 2: S a2 1 b2 c2 2 b c a (12 42 )(a 1 1 ) (1.a ) 2 a (a ) b b b b 17 Tương tự 1 1 b2 (b ); c (c ) c c a a 17 17 Do đó: ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn S 4 36 (a b c ) (a b c ) a b c abc 17 17 17 135 (a b c 4(a b c) ) 4(a b c) 17 Bài 5: Cho x,y,z ba số thực dương x y z Chứng minh rằng: x2 1 y z 82 y z x Giải: 1 1 (1.x ) (12 92 )( x ) x (x ) y y y y 82 1 1 ( y ); z (z ) z z x x 82 82 9 81 S (x y z ) (x y z ) x y z x yz 82 82 TT : y 80 ( x y z x y z ) x y z 82 82 Bài 6: Cho a,b,c>0 a 2b 3c 20 Tìm giá trị nhỏ S abc a 2b c Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4 12 18 16 12 18 16 S 4a 4b 4c a 2b 3c 3a 2b c a b c a b c 20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 S 13 1 Bài 7: Cho x,y,z> Tìm giá trị lớn x y z 1 P 2x y z x y z x y 2z Giải: Ta có 1 1 ; x y x y y z yz 1 1 4 16 1 1 1 x y y z x y y z x 2y z x y z 16 x y z ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn TT : 1 2 1 1 1 2 ; x y z 16 x y z x y z 16 x y z 4 4 S 1 16 x y z Bài x x x 12 15 20 Chứng minh với x R , ta có 3x x x 5 4 Giải: x x x x x x x x 12 15 12 15 15 12 x 20 x 20 x 2.3 ; 2.5 ; 2.4 5 4 Cộng vế tương ứng => đpcm Bài 9: Cho x,y,z>0 x+y+z =6 Chứng minh x y z x 1 y 1 z 1 Giải: Dự đoán x=y=z = x.8 x 64 x x nên : x x 82 3 x.8 x.82 12.4 x ; y y 82 3 y.8 y.82 12.4 y ; z z 82 3 z.8 z.82 12.4 z x y z 3 x.8 y.8 z 3 82.82.82 192 Cộng kết => đpcm Bài 10: Cho x,y,z>0 xyz = Hãy chứng minh x3 y y3 z3 z x3 3 xy yz zx Giải: x3 y xy x y x3 y xyz xy x y xy x y z xy xyz xy x3 y 3 xy xy xy yz y3 z3 ; xy yz yz 1 S 3 3 xy yz zx x y2 z2 3 Bài 11 ThuVienDeThi.com z x3 zx ; yz zx zx zx Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cho x, y hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x y 1 xy biểu thức P 2 1 x 1 y Giải: x y xy x y 1 xy x y 1 xy 1 P P 2 2 1 x 1 y 1 x 1 y x y xy 4 Khi cho x=0 y= P = -1/4 Khi cho x=1 y = P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy ra.hoctoancapba.com Bài 12 a b3 c ab bc ca Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: b c a Giải: a b3 c a b c (a b c ) ab bc ac Cách 1: ab bc ac b c a ab bc ca ab bc ac ab bc ac a3 b3 c3 Cách 2: ab 2a ; bc 2b ; ca 2a b c a a b3 c 2(a b c ) ab bc ac ab bc ac b c a Bài 13 Cho x,y >0 x y Tìm giá trị nhỏ A 3x y 4x y2 Giải: Dự đoán x=y=2 3x y 3x 1 x y y x y A y 4x y x y 4 x 4 y 1 Bài 14: Cho x,y>0 x+y = Chứng minh P 42 3 x y xy Giải: Ta có x y x3 y 3xy(x+y) x3 y 3xy=1 x3 y 3xy x3 y 3xy 3xy x3 y 42 x3 y x3 y xy xy 1 1 Chứng minh xyz Bài 15: Cho x,y,z >0 1 x 1 y 1 z Giải: P= ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 1 1 y z 2 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z TT : 2 1 y xz ; 2 1 x 1 z z yz 1 y 1 z xy 1 x 1 y Nhân vế BĐT => đpcm Bài 16: Cho x,y,z>0 x+y+z = Tìm giá trị lớn S Giải: x y z x 1 y 1 z 1 x y z 1 9 3 3 3 x 1 y 1 z 1 x y z 3 4 x 1 y 1 z 1 Bài 17: 4a 5b 3c 48 Cho a,b,c >1 Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 Giải: 4a a 1 4 a 1 a 1 16 a 1 a 1 a 1 a 1 5b 3c b 1 10 20; c 1 12 dpcm b 1 b 1 c 1 c 1 Bài 18 Cho a,b,c >0, chứng ming : 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a Giải: 1 1 1 ; ; cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a Bài 19 Với a,b,c >0 chứng minh rằng: 36 a b c abc Giải: S 1 3 36 a b c abc abc Bài 20: Cho a,b,c,d>0 chứng minh : 1 16 64 a b c d abcd Giải: 1 16 16 16 64 ; a b c abc abc d abcd ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Cần nhớ: a b c a b c x y z x yz Bài 21 Với a,b,c>0 chứng minh rằng: 4 a b c ab bc ca Giải 1 3 1 2 1 ; ; a b ab a b ab b c bc b c bc c a ca Bài 22 Với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác , p nửa chu vi tam giác 1 1 1 2 Chứng minh p a p b p c a b c Giải: 1 2 p a p b p c a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c Bài 23 x2 y2 z2 Cho x,y,z>0 x y x Tìm giá trị nhỏ P yz zx x y hoctoancapba.com Giải: x y z x y z x2 y2 z2 y z z x x y x y z 2 Cách1: P Cách 2: x2 yz y2 zx z2 x y x; y; z yz zx x y 4 x yz x yz P x yx 2 2 Bài 24 Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y 3z z x x y 51 1 x 1 y 3z Giải: ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn y 3z z x x y 1 x 1 y 3z y 3z 3z x x 2y 1 1 1 1 x 1 y 3z 1 x y 3z 3 24 x y 3z x y 3z 51 24 21 Bài 25 Chứng minh bất đẳng thức: a b ab a b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26 Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a p b p c 3p Giải: Bu- nhi -a ta có : p a p b p c (12 12 12 )( p a p b p c) 3(3 p p ) p Bài 27 1 Cho hai số a, b thỏa mãn : a 1; b Tìm giá trị nhỏ tổng A a b a b 1 15b b 15.4 17 21 Giải: a 2; b A a b 16 16 b 16 4 Bài 28 Chứng minh a b a 3b ab3 Giải: a 2 b 2 (12 12 ) a b 2 a b a b 2ab a b a b a 3b ab3 Bài 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A ( x y 1) xy y x (Với x; y số thực dương) xy y x ( x y 1) Giải: ( x y 1) Đặt a; a A a Có xy y x a Aa 8a a a 10 10 ( ) A a 9 a 9 a 3 3 ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Bài 30 Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt Chứng minh a2 b2 c2 2 (b c) (c a ) (a b) Giải: a b b c c a 1 (b c) (c a ) (c a ) (a b) (a b) (b c) a b c VT 0 b c c a a b ( ) ( ) ( ) (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 xảy dấu =) Bài 31 Cho số dương a; b; c thoả mãn a + b + c Chứng ming 2009 670 2 a b c ab bc ca Giải: 2009 2 a b c ab bc ca 1 2007 2007 670 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c 2 Bài 32: Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b2 c2 ab bc ca a 2b b c c a Giải: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > (a b c ) ab bc ca 2 Suy P a b c Pa b c 2(a b c ) a b2 c2 2 t = a2 + b2 + c2, với t Suy P t 9t t t 3 P 2t 2t 2 2 a=b=c=1 Bài 33 Ch x,y,z số thực dương thỏa mãn x+y+z = tìm giá trị nhỏ ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 1 16 x y z Giải: 1 1 1 y x z x z y 21 P= x y z 16x y z 16x y z 16 x y 16 x z y z 16 y x z x z y có =khi y=2x; z=4x; z=2y =>P 49/16 16 x y 16 x z 4y z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34 P= 23 x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B 8x 18y x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: Giải: 2 2 4 5 18y 8x 18y 12 23 43 x y x y x y 1 1 1 1 Dấu xảy x; y ; Vậy Min B 43 x; y ; 3 3 B 8x Bài 35 Cho x, y z ba số thực thuộc đoạn [1;2] có tổng khơng vượt q Chứng minh x2 + y2 + z2 Gải: x x x ( x 1)( x 2) x 3x Tương tự y 3y z 3z x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – – = Bài 36 Cho a,b,c số thuộc 1; 2 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = Chứng minh a bc Giải: a 1a a a 0; b2 b 0; c c a b c a b2 c2 Bài 37 Cho số dương a,b,c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: 1 97 a b2 c2 b c a Giải: ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 81 1.a 1 a a a ; b 16 b b 4b 97 cộng vế lại b b ; c c c 4c a 4a 97 97 Bài 38 Cho tam giác có ba cạnh a,b,c chu vi 2p Chứng minh p p p 9 p a p b p c Giải: 1 9 p p p hay p a p b p c p a p b p c p p a p b p c Bài 39 Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a b c ) 2abc 52 Giải: abc (a b c)(a b c)(a b c) (6 2a) 6 2b 6 2c abc 24 ab bc ac 2 16 36 (a b c ) 2abc 48 (a b c ) 2abc 48 (1) a b c 2 a b2 c2 0 (2) (1)and(2) dpcm Có chứng minh 3(a b c ) 2abc 18 hay không? Bài 40 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ 3 biểu thức P 4(a b c ) 15abc Giải: 2 2 2 Có a a (b c) (a b c)(a b c) (1) , b b (c a ) (b c a )(b c a ) (2) c c (a b) (c a b)(c a b) (3) Dấu ‘=’ xảy a b c Do a,b,c độ dài cạnh tam giác nên vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có : abc (a b c)(b c a )(c a b) (*) hoctoancapba.com Từ a b c nên (*) abc (2 2a)(2 2b)(2 2c) 8(a b c) 8(ab bc ca) 9abc 9abc 8(ab bc ca ) 9abc 8(ab bc ca ) 8 (*) 3 3 Ta có a b c (a b c) 3(a b c)(ab bc ca ) 3abc 6(ab bc ca ) 3abc 10 ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 3 Từ 4(a b c ) 15abc 27 abc 24(ab bc ca) 32 39abc 8(ab bc ca) 32 (**) 3 Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a b c ) 15abc 3.(8) 32 Dấu “=” xảy a b c Từ giá trị nhỏ P đạt a b c Bài 41 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a b3 c3 3abc Giải: *P a b3 c3 3abc Ta có a b3 c3 3abc (a b c)(a b c ab bc ac) a b3 c3 3abc (a b c ab bc ac) (1) có abc (a b c)(a b c)(a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 2 1 4(ab bc ca ) 8abc 6abc ab bc ca (2) 3 (1)and(2) a b3 c3 3abc a b c ab bc ca 3 mà ab bc ca a b2 c2 2 P a b2 c2 1 1 1 1 1 2 a b c a b c P 3 3 3 6 *P a b3 c3 3abc abc (a b c)(a b c)(a b c) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 1 4(ab bc ca ) 8abc (3) ab bc ca ) 2abc P a b3 c3 3abc (a b c)(a b c ab bc ac) 6abc a b c ab bc ac 6abc a b c ab bc ca 6abc 1 ab bc ca 2abc 4 11 ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x y z xy yz zx xyz Giải: Chứng minh xyz x y z x y z x y z (6 x)(6 y )(6 z ) 216 72( x y z ) 24( xy yz zx) 8xyz xyz 24 ( xy yz zx) (1) mà x y z x y z 2xy yz 2xz (2) x y z xy yz xz 36 3xy yz 3xz Nên xyz x y z xy yz xz 24 ( xy yz zx)+ 36 3xy yz 3xz xyz x y z xy yz xz 12 ( xy yz zx) mà x y z 3( xy yz zx) x y z 36 xyz x y z xy yz xz 12 12 8 3 2 2 Bài 43 Cho a 1342; b 1342 Chứng minh a b ab 2013 a b Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau: a 1342 b 1342 2 0; a 1342 b 1342 0; a 1342 b 1342 Thật vậy: (1) a 1342 b 1342 a b2 2.1342 a b 2.13422 (2) a 1342 b 1342 ab 1342a 1342b 13422 a b 2.1342 a b 2.13422 ab 1342a 1342b 13422 a b ab 3.1342 a b 3.13422 2.2013 a b 3.13422 2013 a b 2013 a b 2.2013.1342 2013 a b 2013 a b 1342 1342 2013 a b 2 Bài 44 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x 1 x 3 x 1 x 3 4 2 12 ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Giải: Cách 1: Cách : A x 1 x 3 x 1 x 3 4 2 2 2 A x 1 x 3 x 1 x 3 A 2x 8x 10 x 4x 3 2 A 2( x 2) ( x 2) 1 2 A 4( x 2) 8( x 2) 4( x 2) 8( x 2) A 8( x 2) Bài 45: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca c 1 a 1 b 1 Giải: 13 ThuVienDeThi.com Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn Bài 46 Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 1 x y 1 1 3 y z z x3 Giải: x y 2xy x y x y 2xy x y x y xy x y x y xy x y z 1 x y 3 1 x y 3 xy x y z z x y 1 dpcm ; ; 3 3 x y z 1 y z x y z 1 z x x yz Bài 47 Cho a,b số thực dương Chứng minh : a b ab 2a b 2b a ab 1 1 a b a b a b a b ab a b 2a b 2b a 2 4 Giải: a b Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 8a 1 8b3 8c3 1 Giải: 1 8a ; 2a 14a 2a 1 1 2 2a 4a 2a 4a 2a 1 8c3 2c 1 1 VT 1 2a 2b 2c 2a 2b 2c 1 8b3 2b ; 2 Bài 49 Với a,b,c ba số thực dương Chứng minh : Giải: Cách 1: 14 ThuVienDeThi.com a b3 c a b2 c2 b c a Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm biên soạn 2 2 2 2 a b3 c3 a b c a b c a b c a b c a b2 c2 b c a ab bc ca ab bc ca ab bc ca Cách 3 a3 b c ab 2a ; bc 2b ; ca 2c VT a b c (ab bc ca ) a b c b c a Bài 50 Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 y 1 z 1 x 1 Giải: x2 y 1 y2 z 1 z2 x 1 3 3 x; y; z VT x y z y 1 z 1 x 1 4 4 15 ThuVienDeThi.com ... Bài 18 Cho a,b,c >0, chứng ming : 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a Giải: 1 1 1 ; ; cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a Bài. .. y 3z x y 3z 51 24 21 Bài 25 Chứng minh bất đẳng thức: a b ab a b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26 Chứng minh a,b,c độ dài ba cạnh tam... c a Bài 13 Cho x,y >0 x y Tìm giá trị nhỏ A 3x y 4x y2 Giải: Dự đoán x=y=2 3x y 3x 1 x y y x y A y 4x y x y 4 x 4 y 1 Bài 14: