50 bài tập chứng minh về đường tròn40694

50 BÀI TẬP CHỨNG MINH VỀ ĐƯỜNG TRÒN Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P Chứng minh rằng: Các tứ giác AEHF, nội tiếp Bốn điểm B, C, E, F nằm đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn 3.Chứng minh ED = BC/2 Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = cm, AH = cm Bài Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C vàà D Các đường thẳng AD vàà BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD · Chứng minh COD  900 Chứng minh: AC.BD  AB Chứng minh OC // BM Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD Chứng minh MN ⊥ AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K nằm đường tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn (O) Tính bán kính đường trịn (O) Biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Bài Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K DeThiMau.vn trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn Chứng minh OI OM  R ; OI IM  IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH Gọi HD đường kính đường trịn (A; AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn Chứng minh BM // OP Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm M nửa đường tròn ( M khác A, B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường trịn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K a) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh rằng: AI  IM IB c) Chứng minh BAF tam giác cân d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC vàà AD cắt Bx E, F (F B E) Chứng minh AC AE không đổi · Chứng minh: ·ABD  DFB DeThiMau.vn Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Bài 10 Cho đường trịn tâm O đường kính AB vàà điểm M nửa đường trịn cho AM < MB Gọi M’ điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P chân đường vng góc từ S đến AB Chứng minh bốn điểm A, M, S, P nằm đường tròn Gọi S’ giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PS’M cân Chứng minh PM tiếp tuyến đường tròn Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Tam giác DEF có ba góc nhọn DF // BC Tứ giác BDFC nội tiếp Bài 12 Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB vàà CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác CMPO hình bình hành CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định nào? Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A , Vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE làà hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đường tròn (I), (K) DeThiMau.vn Chứng minh EC = MN Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I), (K) Tính MN Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn Bài 15 Cho tam giác ABC vàuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn (O) có đường kính MC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D, đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A, vàà điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường tròn CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FG đồng quy Bài 17 Cho tam giác ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M khơng trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vng góc với cạnh AB AC Chứng minh: Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp xác định tâm O đường trịn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH Chứng minh OH ⊥PQ Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Chứng minh MI tiếp tuyến đường trịn đường kính BC Bài 18 Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H khơng trùng O, B); đường thẳng vng góc vàới OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn ; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đường tròn AD, BC, MH đồng quy I DeThiMau.vn Bài 19 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vng góc với AB CD cắt đường trịn đường kính BC I Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD Chứng minh I, B, E thẳng hàng Bài 20 Cho đường tròn (O; R) (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc C Gọi AC BC hai đường kính qua điểm C (O) (O’) DE dây cung (O) vng góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai DC với (O’) F, BD cắt (O’) G Chứng minh rằng: Tứ giác MDGC nội tiếp Bốn điểm M, D, B, F nằm đường tròn Tứ giác ADBE hình thoi B, E, F thẳng hàng DF, AG, AB đồng quy MF = 1/2 DE MF tiếp tuyến (O’) Bài 21 Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi I trung điểm OA đường tròn tâm I qua A, (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) Q Chứng minh đường tròn (I) (O) tiếp xúc A Chứng minh IP // OQ Chứng minh AP = PQ Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn Bài 22 Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K Chứng minh: Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp Tính góc CHK Chứng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyển cạnh BC H di chuyển đường nào? Bài 23 Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền tam giác ABC hình vng ABHK, ACDE Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC F, Chứng minh FBC tam giác vuông cân DeThiMau.vn Cho biết ·ABC  450 gọi M giao điểm BF ED, Chứng minh điểm B, K, E, M, C nằm đường tròn Chứng minh MC tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 24 Cho tam giác nhọn ABC có ·ABC  450 Vẽ đường trịn đường kính AC có tâm O, đường trịn cắt BA BC D E Chứng minh AE = EB Gọi H giao điểm CD AE, Chứng minh đường trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH Chứng minh OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE Bài 25 Cho đường tròn (O), BC dây (BC< 2R) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh tương ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q Chứng minh tam giác ABC cân Các tứ giác BIMH, CIMH nội tiếp Chứng minh MI  MH MK Chứng minh PQ ⊥ MI Bài 26 Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R Vẽ dây cung CD ⊥ AB H Gọi M điểm cung CB, I giao điểm CB OM K giao điểm AM CB Chứng minh : KC AC  KB AB AM tia phân giác góc CMD Tứ giác OHCI nội tiếp Chứng minh đường vng góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đường tròn M Bài 27 Cho đường tròn (O) điểm A ngồi đường trịn, tiếp tuyến với đường trịn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn (O) B C Gọi M điểm tuỳ ý đường tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH ⊥ BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB Chứng minh Tứ giác ABOC nội tiếp · · Chứng minh BAO  BCO Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK Chứng minh MI MK  MH DeThiMau.vn Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; E điểm đối xứng H qua BC; F điểm đối xứng H qua trung điểm I BC Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành E, F nằm đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BCFE hình thang cân Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Bài 29 BC dây cung đường tròn (O; R) (BC ≠ 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H Chứng minh tam giác AEF đồng dạng vàới tam giác ABC Gọi A’ trung điểm BC, Chứng minh AH = 2OA’ Gọi A1 trung điểm EF, Chứng minh R.AA1 = AA’ OA’ Chứng minh R  EF  FD  DE   2S ABC suy vị trí A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đường cao AH bán kính OA Chứng minh AM phân giác góc OAH µ C µ Giả sử Bµ  Cµ Chứng minh: · AOH  B · · Cho BAC  600 OAH  200 Tính: a) Bµvà Cµcủa tam giác ABC b) Diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC theo R · Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O; R), biết BAC  600 Tính số đo góc BOC độ dài BC theo R Vẽ đường kính CD (O; R); gọi H giao điểm ba đường cao tam giác ABC Chứng minh BD // AH AD // BH Tính AH theo R Bài 32 Cho đườngtrịn (O), đường kính AB = 2R Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB Chứng minh MN di động, trung điểm I MN ln nằm đường trịn cố định Từ A kẻ Ax ⊥ MN, tia Bi cắt Ax C Chứng minh tứ giác CMBN hình bình hành Chứng minh C trực tâm tam giác AMN Khi MN quay quanh H C di động đường DeThiMau.vn Cho AM AN  3R ; AN  R Tính diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi tam giác AMN Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đường tròn M Chứng minh: Chứng minh OM ⊥ BC Chứng minh MC  MI MA Kẻ đường kính MN, tia phân giác góc B C cắt đường thẳng AN P Q Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q thuộc đường tròn Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = cm, chiều cao AH = cm, nội tiếp đường trịn (O) đường kính AA’ Tính bán kính đường trịn (O) Kẻ đường kính CC’, tứ giác CAC’A’ hình gì? Tại sao? Kẻ AK ⊥ CC’ tứ giác AKHC hình gì? Tại sao? Tính diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi tam giác ABC Bài 35 Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3AO Kẻ dây MN vng góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chứng minh AM  AE AC Chứng minh AE AC  AI IB  AI Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ đường cao AD, BE, CF Gọi H trực tâm tam giác Gọi M, N, P, Q hình chiếu vng góc D lên AB, BE, CF, AC Chứng minh: Các tứ giác DMFP, DNEQ hình chữ nhật Các tứ giác BMND; DNHP; DPQC nội tiếp Hai tam giác HNP HCB đồng dạng Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng Bài 37 Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung BC, B ∈(O), C ∈ (O’) tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I Chứng minh tứ giác OBIA, AICO’ nội tiếp DeThiMau.vn · Chứng minh BAC  900 Tính số đo góc OIO’ Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm Bài 38 Cho hai đường tròn (O) ; (O’) tiếp xúc A, BC tiếp tuyến chung ngo i, B∈(O), C∈ (O’) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm O’M AC Chứng minh : Chứng minh tứ giác OBMA, AMCO’ nội tiếp Tứ giác AEMF hình chữ nhật ME.MO = MF.MO’ OO’ tiếp tuyến đường trịn đường kính BC BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO’ Bài 39 Cho đườngtrịn (O) đường kính BC, dấy AD vng góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi ( I ), (K) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF Hãy xác định vị trí tương đối đường tròn (I) (O); (K) (O); (I) (K) Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao? Chứng minh AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (K) Xác định vị trí H để EF có độ dài lớn Bài 40 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Trên Ax lấy điểm M kẻ tiếp tuyến MP cắt By N Chứng minh tam giác MON đồng dạng vàới tam giác APB Chứng minh AM AN  R Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường trịn (O) (I) Tính thể tích hình nửa hình trịn APB quay quanh cạnh AB sinh Bài 41 Cho tam giác ABC , O trung điển BC Trên cạnh AB, AC · lấy điểm D, E cho DOE  600 Chứng minh tích BD CE khơng đổi Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường trịn ln tiếp xúc với DE DeThiMau.vn Bài 42 Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến B C cắt AB, AC D E Chứng minh : MD  AD.CD Tứ giác BCDE nội tiếp BC song song với DE Bài 43 Cho đường trịn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN cắt (O) C Gọi E giao điểm AC BM Chứng minh tứ giác MNCE nội tiếp Chứng minh NE ⊥ AB Gọi F điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA tiếp tuyến (O) Chứng minh FN tiếp tuyến đường tròn (B; BA) Bài 44 Cho hai đườngtròn (O) (O’) cắt A B Dây AC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) A Dây AD đường tròn (O’) tiếp xúc với đườntròn (O) A Gọi K điểm đối xứng với A qua trung điểm I OO’, E điểm đối xứng với A qua B Chứng minh rằng: AB ⊥ KB Bốn điểm A, C, E, D nằm đường tròn Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi D trung điểm AC; tiếp tuyến đường tròn (O) A cắt tia BD E Tia CE cắt (O) F Chứng minh BC // AE Chứng minh ABCE hình bình hành Gọi I trung điểm CF G giao điểm BC OI So sánh · · BAC BGO Bài 46 Cho đường tròn (O) đường kính AB , đường trịn ta lấy hai điểm C D cho cung AC = cung AD Tiếp tuyến với đường tròn (O) vẽ từ B cắt AC F Chứng minh hệ thức : AB  AC AF Chứng minh BD tiếp xúc với đường trịn đường kính AF Khi C chạy nửa đường trịn đường kính AB (không chứa điểm D ) Chứng minh trung điểm I đoạn chạy tia cố định , xác định tia cố định DeThiMau.vn Bài 47 Cho điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đườngtròn (O) qua B C ( BC khơng đường kính (O) Kẻ từ tiếp tuyến AE AF đến (O) (E; F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC; K trung điểm EF, giao điểm FI với (O) D Chứng minh: AE  AB AC Tứ giác AEOF Năm điểm A; E; O; I; F nằm đường tròn ED song song với AC Khi (O) thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK thuộc đường thẳng cố định Bài 48 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB; AC E D BD cắt CE H; AH cắt BC I Vẽ tiếp tuyến AM AN (O) Chứng minh: Các tứ giác ADHE; ADIB nội tiếp CD.CA  BE.BA  BC M; H; N thẳng hàng Tính chu vài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE tam giác ABCD tam giác có cạnh 2a Bài 49 Cho đườngtrịn (O; R) điểm M nằm ngồi (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB; BC (O) tia Mx nằm hai tia MO MC Qua B kẻ đường thẳng song song với Mx, đườngthẳng cắt (O) điểm thứ hai A; AC cắt Mx I Vẽ đường kính BB’ Qua O kẻ đườngthẳng vng góc với BB’ đường cắt ; BC K E Chứng minh: Tứ giác MOIC nội tiếp OI vng góc với Mx ME có độ dài khơng phụ thuộc vị trí điểm M Khi M di động m OM = 2R K chuyển động đườngn o? Tại sao? Bài 50 Cho (O; R) điểm A ∈ (O) Một góc vng xAy quay quanh A thoả mãn Ax; Ay cắt (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax; Ay với (O) B; C Đường trịn đường kính AO cắt AB; AC điểm thứ hai tương ứng M; N Tia OM cắt (O) P Gọi H trực tâm tam giác AOP Chứng minh: Tứ giác AMON hình chữ nhật MN // BC Tứ giác PHOP nội tiếp Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn DeThiMau.vn ... O đường trịn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH Chứng minh OH ⊥PQ Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Chứng minh MI tiếp tuyến đường trịn đường. .. góc với AB CD cắt đường trịn đường kính BC I Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD Chứng minh I, B, E thẳng hàng Bài 20 Cho đường tròn (O; R)... BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn Chứng minh OI OM  R ; OI IM  IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M