Một số bài tập về Bất đẳng thức46197

BẤT ĐẲNG THỨC o000o Dạng 1: Chứng minh BĐT tính chất A CẦN NHỚ: Nhóm 1: a>b a–b>  [(a > b)(b > c)]  (a > c) a > b + c  a  c > b  a > b  a + c > b + c Nhoùm 4:  a>b>0 Nhoùm 2: a > b    a.c > b.c c >  a > b    a.c < bc c <  1 < a b Nhoùm 3: a > b   a + c > b + d c > d a > b > 0    a.c > b.d c > d > 0 Nhoùm 5: a>b  a n > bn   n  N*  n leû   n a > n b n n a>b>0  a > b   n  N  n chaün   n a > n b  Chú ý: Từ kết trên, suy kết tương tự cho A < B; A  B; A  B B BÀI TẬP: Bài 1: CMR 1  b) a2 + ab + b2  c) a2 + b2 + c2  ab+bc+ca a b 2 d) 2(1  a)  – 2a e) (1+ a2)(1+ b2)  (1 + ab)2 f) 4(a3+ b3) (a + b)3 a, b  2 3 1 ab a b a b g) (a3 + b3)2 (a2 + b2)(a4 + b4) h) a, b  i) +  a,b>0  a b a+b 2 j) a2+b2+c2+d2  (a+b)(c+d) k) a2+ b2+ c2+ d2+ e2  a(b+c+d+e) l) 3(a2+ b2+c2)  (a+b+c)2 2 n) a > 3a + b2 a>b>0 o) a  < a a>2 m) (a3+ b3)  ab(a+ b) a, b b 3b + a p) a + + a + > a + a + a 0 1 1 1 q) r) + + +  n  N + + +  n  N 1.2 2.3 n  n + 1 n a) Nếu (a>b  ab>0) x2 = y2 + z2 x > y x2 + y  2 s) Nếu  x3 > y3 + z3 t) Nếu  xy x ; y ; z > xy = Dạng 2: Dùng bất đẳng thức đặc biệt A CẦN NHỚ: 1/ Bất đẳng thức CAUCHY: (So sánh trung bình cộng & trung bình nhân) a) Định lý: Cho a  0; b  0; c  Ta coù: a+b   ab Dấu xảy  a = b  a + b + c  abc Dấu xảy  a = b = c b) Hệ quả:  Nếu số dương có tổng không đổi tích chúng lớn chúng  Nếu số dương có tích không đổi tổng chúng nhỏ chúng 2/ Bất đẳng thức BOUNIACOVSKY: (B.C.S) Cho a; b; c; dR Ta coù: ac + bd  a2 + b2 c2 + d2 hoaëc (ac + bd)2  (a2+ b2).(c2+ d2) Dấu xảy  ad = bc DeThiMau.vn 3/ Bất đẳng thức TRỊ TUYỆT ĐỐI: Cho a, bR Ta coù:   a  a  a ab  a + b  a+b Daáu xảy  ab  4/ Bất đẳng thức TAM GIÁC: Cho a, b, c cạnh tam giác Ta có: bc< a a) 2b c) a + b +  a + b + ab a; b  a,bR b) (a+b)(ab+4) 8ab a,b  d) a b  1+ b a   ab a,b  a  b  c d e)    abcd a,b,c,d  f) Neáu a; b; c  0; a+b+c=1 (1a)(1–b)(1–c)8abc   Baøi 4: CMR a b c4 1 32 a) + +  3abc a; b; c > b) + +  a; b; c > c) x2 +  12 x > b c a a b c a+b+c x Bài 5: CMR a)15sinx + 8cosx 17 b) Nếu a + b  2a2 + 2b2  1 c) Neáu a; b  c  c(a  c) + c(b  c)  ab d) Nếu 4x  y = x2 + y2  ; 4x2 + y2  17 Bài 6: Cho ABC có cạnh a, b, c  p nửa chu vi  S diện tích CMR: a) p > a; p > b; p > c b) abc  (a + b – c)(b+ c – a)(c + a – b) c) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) d) a4 + b4 + c4  16S2 Trong bất đẳng thức trên, dấu xảy ? Bài 7: Tìm gtnn hàm số sau đây: 16 a) y = f(x) = x + ; x  x b) y = f  x    x + 2 ;x > x2 Bài 8: Tìm gtln hàm số sau đây: a) y = f(x) = x(3 – x) x[0; 3] d) y= f(x)= x + c) y = f(x) = x ; x>1 c) y = f(x) = x + e) y = f  x  = x  x (2  x) ; x   0; 2 ; x>0 x ; x   ;   x3 b) y = f(x)= x(8 – 2x) x[0; 4] d) y = f(x) = sin2x.cosx x[0o; o] Bài 9: Tìm gtln & gtnn hàm số: y = f(x) = x    x x[1; 4] Baøi 10: a) Tìm hcn có chu vi lớn & nội tiếp nửa đường tròn tâm O, bán kính R cho trước b) Người ta cắt bỏ hình vuông nhỏ góc bìa hình vuông cạnh a để làm hộp không nắp Tính cạnh hình vuông nhỏ để hộp tích V lớn ? c) Cho ABC cạnh a Người ta dựng hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm cạnh BC & đỉnh P, Q theo thứ tự nằm cạnh AC & AB Xác định vị trí điểm M cho dt(MNPQ) lớn ? Tính gtln Gv: Đỗ Khánh Giang DeThiMau.vn ... + b4 + c4  16S2 Trong bất đẳng thức trên, dấu xảy ? Bài 7: Tìm gtnn hàm số sau đây: 16 a) y = f(x) = x + ; x  x b) y = f  x    x + 2 ;x > x2 Bài 8: Tìm gtln hàm số sau đây: a) y = f(x)...3/ Bất đẳng thức TRỊ TUYỆT ĐỐI: Cho a, bR Ta coù:   a  a  a ab  a + b  a+b Dấu xảy  ab  4/ Bất đẳng thức TAM GIÁC: Cho a, b, c cạnh...  ab  4/ Bất đẳng thức TAM GIÁC: Cho a, b, c cạnh tam giác Ta có: bc< a