Một số bài tập nâng cao về sức bền vật liệu

LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập, nghiên cứu giảng dạy môn Sức bền vật liệu trường đại học, Bộ môn Cơ học, Khoa Xây dựng Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật TP HCM xuất Bài bập sức bền vật liệu nâng cao Cuốn sách tổng hợp toán Sức bền vật liệu kỳ thi Olympic Cơ học toàn quốc từ năm 1989 đến năm 2018, đề thi đầu vào cao học môn Sức bền vật liệu trường đại học kỹ thuật lớn số toán Sức bền vật liệu nâng cao Sách dùng cho sinh viên ngành Cơ khí, Xây dựng có nhu cầu tìm hiểu sâu mơn học Sức bền vật liệu, tham gia vào kỳ thi Olympic Cơ học thi đầu vào cao học Trong q trình biên soạn, có nhiều cố gắng khơng thể tránh thiếu sót Các tác giả vui mừng nhận đóng góp bạn đọc để sách ngày hoàn thiện Các tác giả MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU PHẦN A: TUYỂN TẬP OLYMPIC TOÀN QUỐC PHẦN B: TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC 242 PHẦN C: TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP CHỌN LỌC 340 PHỤ LỤC: MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN THIẾT TRONG SỨC BỀN VẬT LIỆU 352 TÀI LIỆU THAM KHẢO 359 PHẦN A: TUYỂN TẬP OLYMPIC TOÀN QUỐC Bài A1 (Olympic 1989) a) C B A M=qa2 P=3qa q 3a a D 2a Hình A1 Vẽ biểu đồ nội lực dầm AD hình A1a Giải Xác định phản lực: m A  M  P.4a  1 a) C B A 3a a D 2a YD NA a.3a.2a  YD 6a  qz/3a  YD  qa b) A NA  mD  M  P.2a  q.3a.4a  N A 6a  z O Mx Qy 4qa/3 a Qy c)  N A   qa Dùng mặt cắt 1-1 cắt qua đoạn AB, khảo sát phần bên trái (hình A1b)  Y  Qy  N A qz z  3a q qa  Qy  z  6a dQ y q  z 0 z 0 dz 3a  P=3qa q M=qa2 qa/6 5qa/3 qa2 qa2/9 Mx d) 3a qa2 Hình A1 7qa2/3 d 2Qy q   Bề lõm quay phía dương 3a dz qa qa z   Q y   ; z  3a  Q y  Từ vẽ biểu đồ lực cắt đoạn AB, đoạn lại vẽ theo nhận xét qz z q qa  mO  M x  3a z  qa.z   M x  18a z  z d 2M x q dM x q qa  z   Bề lõm quay  z  0  z  a; 3a dz dz 6a phía dương M x  qa ; z  3a  M x  qa Căn vào trên, vẽ biểu đồ moment uốn đoạn AB, đoạn lại vẽ theo nhận xét Biểu đồ lực cắt (hình A1c), biểu đồ moment uốn (hình A1d) M x   z  0; z  3a ; z  a  M x   Bài A2 (Olympic 1989) Một tròn AB chịu xoắn hình Trên mặt ngồi đoạn AC CB theo phương 45 so với trục ta đo biến dạng dài tỉ đối AC    ; BC     Biết số vật liệu E, G  M0 a) 2d A d 450 450 C a1 B a2 Hình A2 1) Vẽ biểu đồ nội lực AB xác định giá trị M 2) Xác định tỷ số a1 / a2 để thỏa mãn điều kiện Giải 1) Vẽ biểu đồ, xác định M Vì trịn chịu xốn túy nên điểm có trạng thái ứng suất trượt túy, có phương nghiêng góc 450 (hình A2c)      max 1  E  AC   0         max     max 1  E E CB   Theo giả thiết, đoạn CB có:  max Mặt khác:  max   E 0 1  Mz W Đoạn AC có đường kính 2d :  AC   Mz   AC   AC    max W E 0 1,6 Ed   ,22d   1  1  Đoạn CB có đường kính d : CB   Mz CB  CB    max W E 0 ,2 Ed   ,2d   1  1  Biểu đồ moment xoắn hình A2b M0 a) 45 2d A d 450 C a1 B a2 1,6 Ed  1  b) ,2 Ed  Mz 1  c)  1 3 Hình A2 2) Xác định tỷ số a1 / a2 Để thỏa mãn điều kiện góc xoay C đoạn phải (liên tục):  AC  C CB   C M z AC  a1 M zCB  a2 a1 ,2 2d    2  AC   CB   GJ  GJ  a2 1,6 d 4 Bài A3 (Olympic 1989) Dầm cứng tuyệt đối AB, đầu B tựa cột bê tơng BE có kích thước liên kết hình A3a Cột bê tơng có module đàn hồi E2 , diện tích mặt cắt ngang F2 , chiều dài a2 moment quán tính trục x J Thanh CD có module E1 , diện tích mặt cắt ngang F1 chiều dài a1 Hãy khảo sát giá trị lớn ứng suất mặt cắt ngàm cột BE lực P di chuyển từ A đến B Biết: E2 J a a1  a2  ; E2 F2  E1 F1  a2 D a) a1 z P B a/2 C a/2 A b/4 a2 E b/4 b B x b y Hình A3 Giải Đây hệ siêu tĩnh bậc Xét AB (hình A3e): a  mA  N B a  NC  P.z  (1)  N B  N C  P.z a Tách gối B dầm cột (hình 3b) Tương thích chuyển vị B dầm cột: (2) dB  cB Liên hệ chuyển vị B dầm chuyển vị C (hình A3d): N a N a dB  2C  C  c (3) E1 F1 E1 F1 10 D a) D b) a1 P B C a/2 a/2 A NB B NB.b/4 NB B NB b/4 E b/4 a2 a2 E NC b d) b/4 c) E y B x a/2 A C a/2 B b C B A  z P e) B C d B z P b/4 a2 a1 z Hình A3 NB a/2 C a/2 A YA Dời lực N B tâm cột (hình A3c), chuyển vị B cột biến dạng dọc cột góc xoay mặt cắt B cột: b b a a N B a2 NB NB N a b b  2   cB  LBE  B  B  E2 F2 E2 J 2E1 F1 E1 F1 a 8a  b N B  32a F1 F1 (4) Thay (3), (4) vào (2): N c a a  b N B 8a  b2   NC  N B thay vào (1): E1 F1 32a F1 F1 32a  8a  b2  64 Pa    N B  Pz  N B  z 2 32 a a 72 a  b   Ứng suất pháp cực trị mặt cắt E (chân cột):  max     M xE Wx  N zE F2 M xE Wx  N zE F2 ; 11 b 16 Pab Với: M xE  N B  z; 72a  b N zE  N B  64 Pa z; 72a  b b.b Wx  ; F2  b , đó: 16 Pab 64 Pa 32 Pa  max  z 3 z  z 2 2 72a  b b 72a  b b 72a  b b      16 Pab 64 Pa 160 Pa z 3 z  z 2 2 72a  b b 72a  b b 72a  b b   Khi z  :  max  0;   32 Pa 160 Pa Khi z  a :  max  ;   72a  b b 72a  b b    Vậy, với  z  a thì:   max     32 Pa  ; 72a  b b   160 Pa 72a  b b   Bài A4 (Olympic 1990) Thanh OD tuyệt đối cứng treo khớp A D, dây kim loại ABCD qua ròng rọc B C, chịu lực hình 4a Biết dây có diện tích mặt cắt ngang F, module đàn hồi E, bỏ qua ma sát rịng rọc 1) Tính mặt cắt dây kim loại không bị dịch chuyển theo phương dọc trục dây? Vị trí có phụ thuộc vào điểm đặt lực P OD không? 2) Hãy xác định chuyển vị điểm đặt lực P 3) Cho P  15 KN , tìm vị trí điểm đặt lực P để dây kim loại đẩm bảo điều kiện bền Cho F  1cm ,    10kN / cm B C a) a O a a/2 P E a A Hình A4 12 D K 14 2  L  4 xy2    2  4. 2  ,23KN / cm 2 2 K 14      L2  4 xy2    22  4. 22  ,77 KN / cm 2 2 Phương chính: 2 xy tg 2    2  2  630 44' ;   31072' L    max  Bài C4 (Chọn lọc) Cho ba khối hình hộp vật liệu khác có mơ đun đàn hồi E1 , E , E ; hệ số poisson 1 ,  ,  , đặt khít vào khối tuyệt đối cứng chịu lực hình C4 Xác định ứng suất pháp tác dụng lên mặt ba khối z q x Hình C4 y Giải Phương trình biểu diễn ứng suất theo phương z:  z1  (1)  z2   q (2)  z3   (3) Phương trình biểu diễn biến dạng theo phương y: 1  y  1  z1   x1   y1   E1 346       (5)    (6)  y2    2   y    z2    x2   E2  y3    3   y  3  z3    x3   E3 (4) Phương trình quan hệ ứng suất theo phương x:  x1   x2   x3    x2  Phương trình biểu diễn quan hệ biến dạng theo phương x:  x1   x2    x3     1   2  x  1 z1  y1    x   z2  y2       E1 E2 E3     (7) (8)  (9)    x  3  z   y     Từ (7) (8) ta đặt:  x   x1   x2    x3 , thay giá trị (1), (2), (3) vào (4), (5), (6) (9) nhận hệ phương trình sau:  y1  1 x    y1  1 x (4’)  3  3  3  y2   2 q  2 x    y2    2 x   q (5’)  y3   3 x    y3   3 x (6’)       1  x  1 y1   x   q   2 y2    x  3 y3   (9’) E1 E2 E3 Thay (4’), (5’), (6’) vào (9’): 1  x  12 x   x   q    2 x   q    x  32 x  E1 E2 E3    x 1  12 E1      1     q 1      1      2 x E2   2 x E2     12  32   22 x   E2 E3  E1  E E  12  E3 E1   22 x E1 E2 E3   E3    q 1    2  E2   E1 E2  32  q 1     E2  E1 E3 q 1      x1   x2    x3    x   E2 E3  1  E3 E1   22  E1 E2  32 Thay vào (4’), (5’), (6’):        y1  1 x         E1 E3 q1  1    E2 E3    E3 E1   22  E1 E2  32  y2    2 x   q         E1 E3 q 22 1     2 q E2 E3  12  E3 E1   22  E1 E2  32       347  y3   3 x   E1 E3 q 3 1    E2 E3    E3 E1   22  E1 E2  32       Và ứng suất theo phương z:  z1  ;  z2   q ;  z3   Bài C5 (Chọn lọc) Một thép mặt cắt ngang hình vng cạnh a, ngàm hai đầu có kích thước hình C5a Trên đoạn chiều dài 2b chịu áp lực phân bố q Tại vị trí D trục cách ngàm phải đoạn 2b tác dụng lực tập trung P Xác định giá trị lực P để mặt cắt ngang C khơng có chuyển vị dọc trục Xác định ứng suất pháp dọc trục lớn tính chuyển vị dọc trục mặt cắt ngang 1-1 cách ngàm trái đoạn 3b Cho biết:   ,3 ; b  20cm ; a  2cm ; E  2.107 N / cm ; q  15000 N / cm q a) q P A B C a E D a q b 2b b 2b 2b Hình C5 Giải Giải phóng liên kết ngàm E thêm vào phản lực liên kết N E hình C5b Ký hiệu: lk : chuyển vị mặt cắt k lkm  : chuyển vị mặt cắt k nguyên nhân m gây Phương trình tương thích biến dạng E: lE  lEq   lEP   lE N E   348 P.5b N E 7b   z    y   x .2b    E EF EF Các ứng suất  x ,  y ,  z lực phân bố q gây ra:  x   y  q ;   z  F  a ta được:  4 N E   qa  P   7 Để C khơng có chuyển vị dọc trục ta có phương trình tương thích biến dạng C: P.4b N E 4b   (2) lC  lCq   lCP   lC N E    2q  E Ea Ea Giải (1) (2): P  qa ; N E  qa 2 Vậy, P  qa mặt cắt ngang C khơng có chuyển vị q a) q P A B C a E D a q b 2b q b) b 2b 2b NE P A B C q D z E qa2/2 Nz c) qa2 Hình C5 Biểu đồ nội lực hình C5c:  z,max   qa  q  0,3.15000  4500 N / cm a 349 l11  l1q1  l1P1  l1N1E   Thay P N E vào: 2q.b P.3b N E 3b   E Ea Ea 2q.b qa 3b qa 3b qb    2 E Ea Ea E Thay:  , q , b , E vào ta được: l11  l11  4,5.103 cm Mặt cắt 1-1 dịch chuyển sang trái Bài C6 Tính yD , D , yE , E theo q, a, E, J Hình C6 Giải  m / F  Y 6a  M B  YB   M  P1.5a  P2 a  q.3a a  q.3a.2a  2 35 qa 12  m / B  Y 6a  M F qa 12 Các thông số ban đầu: y  Vị trí A yA z0  M  P1.a  P2 5a  q.3a a  a.3a.4a  2  YE   M  M1  qa Q q q' 0 q 35 qa 12 z a 0 YB  z  2a 0  P1  qa 0 z  4a 0 M2  2qa 0 q 3a z  6a 0 P2  3qa 0 350 Độ võng đoạn theo khai triển chuỗi Taylo: y1  y A   A z  qa z EJ 2! 35 qa  z  a  q  z  a y2  y1   12 EJ 3! EJ 4! qa  z  2a  y3  y2  EJ 3! 2qa  z  4a  q  z  4a  y4  y3   EJ 2! 3a.EJ 5! 3qa  z  6a  y5  y4  EJ 3! Điều kiện biên: y1 z  a    y5 z 7 a  0  yA ,  A Kết quả: yD  y3 z 4 a ; D  y3, z 4a ; yE  y4 z 6 a ; E  y4, z 6 a 351 PHỤ LỤC: MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN THIẾT TRONG SỨC BỀN VẬT LIỆU 1/ Liên hệ nội lực tải trọng dQy dM x dNz dM z  qngang ;  qdoc ;  mxoan ;  Qy  muon ; dz dz dz dz d M x dQy   qngang (1) dz dz 2/ Trạng thái ứng suất - Trạng thái ứng suất đơn Phân tố vật liệu có thành phần ứng suất pháp toán chịu kéo-nén; chịu uốn (mép trên, cùng) 352 - Trạng thái ứng suất trượt túy Phân tố vật liệu có thành phần ứng suất tiếp gặp toán chịu xoắn túy; chịu cắt; chịu uốn phẳng (trên đường trung hòa) - Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Phân tố có thành phần ứng suất pháp thành phần ứng suất tiếp Tổng hợp hai trạng thái ứng suất - - Ứng suất mặt cắt nghiêng   y  x  y u  x  cos 2   xy sin 2 2   y  uv  x sin 2   xy cos 2 Bất biến ứng suất pháp u v   x  y (2) (3) (4) - Phương có ứng suất pháp cực trị (là ứng suất chính) giá trị ứng suất pháp cực trị 2xy   y tg2   ;  max    x   x   y   4 xy2 (5)  x  y 2 - Phương có ứng suất tiếp cực trị giá trị ứng suất tiếp cực trị  x  y  x   y  4 xy2 ;  max   (6) tg 2  2 xy   3/ Trạng thái biến dạng - Biến dạng phương u       u  x y  x y cos 2  xy sin 2 2     uv  x y sin 2  xy cos 2 2 - Bất biến biến dạng dài u  v   x   y (7) (8) (9) 353 - Phương có biến dạng dài cực trị (là biến dạng chính) giá trị ứng biến dạng dài cực trị  xy  y ;  max  1  x (10) tg 2     x   y    xy2  x y 2 - Phương có biến dạng góc cực trị giá trị biến dạng góc cực trị x y  x   y   xy2 ;  max   (11) tg 2   xy   4/ Biến dạng tính theo ứng suất (định luật Hooke tổng quát) - Liên hệ biến dạng dài - ứng suất pháp  x   x    y   z   E  y   y   x   z   E  z   z   x   y   E - Liên hệ biến dạng góc - ứng suất tiếp  xy  -  xy ;  xz   xz ;  yz  G G Liên hệ E, G,  G  yz (12) (13) G E 1    (14) 5/ Đặc trưng hình học mặt cắt ngang - Moment tĩnh S x   ydF  yC F (15) F - Tọa độ trọng tâm yC  ydF  y F   dF F  F Ci i (16) i F - Moment quán tính J x   y dF ; F 354 J xy   xydF ; F J     dF F (17) - - Mặt cắt hình chữ nhật bh3 bh Jx  ; Wx  12 Mặt cắt hình trịn J  D4 Jx  Jy     0, 05D 64  D4 J   2J x   0,1D ; 32 Wx  0,1D ; -  d4  W  0, D 1    D  Mặt cắt hình tam giác - bh3 bh3 J  ; xC 36 12 Công thức đổi trục song song (18) (19) Jx  (20) J u  J x  2uxS x  ux F ; J u  J xC  uxC F Công thức xoay trục Jx  J y Jx  Jy Ju   cos 2  J xy sin 2 ; 2 Jx  J y J uv   sin 2  J xy cos 2 4/ Ứng suất tính theo nội lực - Thanh chịu kéo nén tâm N  z F - Thanh chịu xoắn túy M M td   z  ;  max  z J W (21) - - - Thanh chịu cắt không uốn (bỏ qua uốn) Q  F (22) (23) (24) (25) Thanh chịu uốn ngang phẳng (uốn cắt) 355 Mx M td y ;  max  x Jx Wx   - Qy S xc J xbc CN  ;  max (26) Qy O Qy ;  max  F F (27) Thanh chịu lực phức tạpPhức tạp M N M   z  x y y x F Jx Jy (28) 5/ Các thuyết bền - Thuyết bền ứng suất pháp  max    - Thuyết bền ứng suất tiếp (Thuyết bền 3)  tdtb3    4    ;  - (29) max    (30) Thuyết bền biến dạng đàn hồi hình dáng (Thuyết bền 4)  tdtb    3    (31) 6/ Lò xo - Ứng suất Q M P 16 PD  max    2 F W  d 2 d - (32) Độ cứng Gd 8nD3 7/ Biến dạng tính theo nội lực C z  (33) Mz M Nz dz ; y   x  ; ; L    z dz ;  xoan  GJ  EJ x R EF  dy  uon dz 9/ Chuyển vị tính theo Mohr  (34)       M kuon  M Puon M kxoan  M Pxoan N ki  N Pi  kp   Li   Ei Fi EJ x GJ  i 1 n 10/ Giải hệ siêu tĩnh phương pháp lực 11X1   1P  1Z  356  (35) (36) 1z   X chiều cưỡng (chiều nối ráp lại) (37) 11/ Phương trình đường đàn hồi độ võng thiết lập theo phương pháp thông số ban đầu 11.1/ Khi độ cứng chống uốn EJ thay đổi yi  yi 1  ya  a  z  a    M a ,i  1!   Ei J i M a ,i 1   z  a   Qa ,i Qa ,i 1   z  a       Ei 1 J i 1  2!  Ei J i Ei 1 J i 1  3!   z  a   qaII,i q qI q II   z  a  q   z  a   qaI ,i   a ,i  a ,i 1    a ,i 1    a ,i 1   E J E J  5!   i 1 i 1   Ei J i Ei 1 J i 1  4!  i i  Ei J i Ei 1 J i 1  6! y1  y0  0 q z4 q I z q0I I z z M z Q0 z      1! E1 J1 2! E1 J1 3! E1 J1 4! E1 J1 5! E1 J1 6!   (39) 11.2/ Khi độ cứng chống uốn EJ không đổi y1  y0  0 yi  yi 1  ya  a z M z Q0 z q0 z q0I z q0II z       1! EJ 2! EJ 3! EJ 4! EJ 5! EJ 6!  z  a  Ma  z  a 1! EJ 2! (40) Q  z  a  qa  z  a  qaI  z  a   a    EJ 3! EJ 4! EJ 5! (41) 12/ Ổn định chịu nén tâm - Phương pháp lý thuyết (cho nod ; E ) Pth  -  EJ P ; N z   P od  th nod   L (42) Phương pháp thực hành (cho bảng tra    ;  n ) rmin  J L ;  ; N z  F . n F rmin (43) 357 13/ Tải trọng động - Chuyển động có gia tốc a kđ   ; S  kđ St  P  g - Dao động  - n 30 ; 358 g ; kđ  t ; S  St  P   kđ St  F0  2 1 (45)  Va chạm đứng kđ    - (44) v02 2H  1 1 ;  P  P g t 1   t 1    Q  Q S  St  P   kđ St  Q  (46) Va chạm ngang v0 ; S  kđ St  Q  kđ   P g t 1    Q (47) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Kiến Quốc, Sức bền vật liệu, NXB ĐHGQ TPHCM, 2004 [2] Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vượng, Bài tập sức bền vật liệu, NXB Giáo dục, 1999 [3] 20 năm Olympic Cơ học toàn quốc 1989-2008, NXB Xây Dựng, 2009 [4] Các đề thi Olympic Sức bền vật liệu 2008-2018, Hội Cơ học Việt Nam 359 ... TUYỂN TẬP OLYMPIC TOÀN QUỐC PHẦN B: TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC 242 PHẦN C: TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP CHỌN LỌC 340 PHỤ LỤC: MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN THIẾT TRONG SỨC BỀN VẬT... ; z  a  M x   Bài A2 (Olympic 1989) Một trịn AB chịu xoắn hình Trên mặt đoạn AC CB theo phương 45 so với trục ta đo biến dạng dài tỉ đối AC    ; BC     Biết số vật liệu E, G  M0...  EJ / a Các kích thước khác cho hình A16a 1) Tính trị số moment uốn cực đại dầm AD Q đặt tĩnh D 2) Tính hệ số động hệ vật Q rơi từ độ cao h  a lên mặt cắt D dầm 3) Xác định chiều dài BM CN