Bài tập sức bền vật liệu (Tập 1)

Chủ biên: Vũ Anh Tuấn Nguyễn Hải Yến - Đào Văn Lập – Nguyễn Phan Anh Hiệu đính: Nguyễn Hồng Mai BÀI TẬP SỨC BỀN VẬT LIỆU Tập NHÀ XUẤT BẢN HÀNG HẢI LỜI MỞ ĐẦU Mục đích Sức bền vật liệu nhằm trang bị cho kỹ sư sinh viên kiến thức cần thiết để giải toán kỹ thuật liên quan tới khâu từ thi công, thẩm định đến thiết kế Chính mà đặc trưng cuối trình nghiên cứu khoa học việc áp dụng kết nghiên cứu vào thực tiễn có thơng qua việc ứng dụng vào thực tiễn khoa học đứng vững phát triển Sức bền vật liệu có vị trí đặc biệt quan trọng học, đóng vai trị cầu nối mơn khoa học với môn học chuyên ngành Hơn nữa, lại viên gạch đặt móng cho lĩnh vực học vật rắn biến dạng – Một lĩnh vực chuyên nghiên cứu quy luật tổng quát hình thành phát triển tác dụng học sinh lòng vật rắn thực tác dụng gây Kinh nghiệm làm việc với sinh viên cho thấy, họ gặp nhiều khó khăn vận dụng lý thuyết vốn trừu tượng phức tạp môn học vào giải tập dạng mơ hình dù cho sẵn khó khăn áp dụng vào toán thực tế kỹ thuật Mặt khác, phần lớn số sinh viên say mê nghiên cứu môn khoa học thường không thỏa mãn với tập giải mẫu theo khuôn mẫu cứng nhắc thường làm sách lý thuyết tập Sách biên soạn thành nhiều tập nhằm phục vụ cho công tác dạy học trường đại học kỹ thuật, cho nhu cầu ơn thi cuối khóa, ôn thi tuyển vào hệ cao học phục vụ cho nhu cầu tham khảo nâng cao cán giảng viên trẻ, kỹ sư trực tiếp thi cơng Với mục đích đó, mặt ngồi tốn mức độ dễ trung bình với nhiều phương án giải khác phục vụ cho đông đảo sinh viên chuyên ngành: Cơ khí chế tạo máy, khí tơ, khí đóng tàu, khí giao thơng vận tải, xây dựng, cầu đường, cơng trình thủy lợi Với lòng mong mỏi nâng cao kiến thức, trí tuệ mơn học cho sinh viên, chúng tơi thấy cần giới thiệu Bài tập Sức bền vật liệu bạn Mặc dù sách biên soạn nghiêm túc, công phu, chặt chẽ với cập nhật chọn lọc thông tin nhất, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Nhóm tác giả mong cảm ơn đóng góp, trao đổi ý kiến chuyên gia, thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy Sức bền vật liệu, tất bạn sinh viên sử dụng đọc sách để sách hoàn thiện lần xuất sau Hải Phòng, ngày 15 tháng năm 2018 Nhóm tác giả CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1.NGOẠI LỰC 1.1.1 Định nghĩa Ngoại lực lực môi trường xung quanh hay vật thể khác tác dụng lên vật thể xét 1.1.2 Phân loại ngoại lực Ngoại lực phân thành hai loại chính: tải trọng phản lực liên kết a Tải trọng: Là lực tác dụng lên vật thể xét mà điểm đặt, phương, chiều trị số (độ lớn) coi biết trước b Phản lực liên kết: Phản lực liên kết lực hay ngẫu lực phát sinh chỗ tiếp xúc vật thể xét với vật thể khác có tải trọng tác dụng lên Trị số phương chiều phản lực liên kết việc phụ thuộc vào tải trọng cịn phụ thuộc vào hình thức liên kết Vì xem xét loại liên kết phản lực liên kết ứng với 1.1.3 Các loại liên kết phản lực liên kết a Các loại liên kết phẳng: yA zB A yc yB zC B C MC a) b) c) Hình 1.1 Gối di động (còn gọi khớp di động) Gối di động loại liên kết cho phép quay xung quanh khớp di động theo phương xác định Liên kết hạn chế di chuyển phương Theo phương bị hạn chế phát sinh phản lực liên kết Sơ đồ liên kết hình 1.1a Gối tựa cố định (hay gọi khớp cố định) Gối cố định loại liên kết cho phép quay xung quanh khớp, di động thẳng khác bị hạn chế Tại liên kết xuất phản liên kết có phương xác định Phản lực phân tích thành hai thành phần: thẳng đứng nằm ngang Sơ đồ liên kết biểu diễn hình 1.1b Ngàm Ngàm loại liên kết hạn chế di chuyển Tại liên kết phát sinh mômen hai thành phần lực thẳng đứng nằm ngang Sơ đồ ngàm biểu diễn hình 1.1c Với liên kết khơng gian số phản lực liên kết nhiều b Cách xác định phản lực liên kết Để xác định phản lực liên kết, ta coi vật thể xét vật rắn tuyệt đối tất ngoại lực tác dụng lên vật thể tạo thành hệ lực cân Trường hợp tất ngoại lực nằm mặt phẳng chứa trục gọi toán phẳng Đối với tốn phẳng có ba phương trình cân tĩnh học Cịn tốn khơng gian có sáu phương trình cân tĩnh học Đối với tốn phẳng có ba dạng phương trình cân tĩnh học sau đây: a) Tổng hình chiếu ngoại lực lên phương x, y không song song tổng mômen ngoại lực lấy điểm tuỳ ý không n n  X (P )  i i 1 ;  Y (P )  i i 1 n ;  M (P )  A i 1 i (1.1) b) Tổng hình chiếu lực theo phương u tổng mômen lực hai điểm không nằm phương vng góc với phương u không n n n  U (P )  ;  M ( P )  ;  M ( P )  i i 1 i 1 A i i 1 B i (1.2) c) Tổng mômen lực lấy điểm không thẳng hàng không n n n  M (P )  ;  M (P )  ;  M (P )  i 1 A i i 1 B i i 1 C i (1.3) Ở Pi ngoại lực; i = 1,2, n Khi số phản lực liên kết cần phải tìm số phương trình cân tĩnh học, tốn gọi tốn tĩnh định Khi ta xác định phản lực liên kết phương trình cân tĩnh học Cịn số phản lực liên kết cần phải tìm lớn số phương trình cân tĩnh học, tốn gọi tốn siêu tĩnh Ở tồn siêu tĩnh, muốn xác định phản lực liên kết phải sử dụng thêm phương trình điều kiện biến dạng Vấn đề xem xét kĩ chương sau 1.2 NỘI LỰC 1.2.1 Định nghĩa Độ thay đổi lực liên kết phần tử bên vật thể vật thể biến dạng gọi nội lực Theo định nghĩa ta thấy nội lực xuất vật thể bị biến dạng tức có ngoại lực tác dụng lên vật thể 1.2.2 Phương pháp mặt cắt Để xác định nội lực, ta dùng phương pháp mặt cắt Nội dung phương pháp sau: Xét chịu lực cân Muốn xác định nội lực mặt cắt – hình 1.2a đó: Hình 1.2 Ta tưởng tượng cắt mặt cắt - chia thành phần A, B Xét cân phần, phần phải nằm trạng thái cân tĩnh học nội lực mặt cắt ngoại lực tác dụng lên phần tạo thành hệ lực cân Từ phương trình cân tĩnh học ta xác định thành phần nội lực mặt cắt - 1.2.3 Các thành phần nội lực mặt cắt ngang Trong trường hợp mặt cắt - mặt cắt ngang, mặt cắt ta chọn hệ trục toạ độ sau: pháp tuyến mặt cắt trục Oz, hai trục Ox Oy nằm mặt cắt vng góc với nhau; gốc O trùng với trọng tâm mặt cắt (Hình 1.2b) Tại điểm mặt cắt có nội lực Thu gọn tất nội lực điểm O ta lực R mơmen M có phương chiều trị số xác định Phân R thành thành phần theo phương trục: - Thành phần theo phưong trục z kí hiệu N z gọi lực dọc; - Thành phần theo phưong trục x kí hiệu Qx gọi lực cắt; - Thành phần theo phưong trục y kí hiệu Qy gọi lực cắt Phân tích M thành thành phần quay quanh trục - Thành phần quay quanh trục z kí hiệu M z gọi mômen xoắn; - Thành phần quay quanh trục x kí hiệu M x gọi mômen uốn; - Thành phần quay quanh trục y kí hiệu M y gọi mơmen uốn Như tổng quát mặt cắt ngang có thành phần nội lực Nz, Qx, Qy, M z , M x , M y 1.2.4 Qui ước dấu thành phần nội lực - Lực dọc Nz coi dương có chiều khỏi mặt cắt - Lực cắt Qx, Qy coi dương có chiều trùng với pháp tuyến ngồi quay góc 90o theo chiều kim đồng hồ - Mômen xoắn Mz coi dương ta đứng nhìn vào mặt cắt thấy quay theo chiều kim đồng hồ - Mômen uốn Mx coi dương làm dãn (kéo) phía dương trục y Nếu chiều dương trục y chọn hướng hướng xuống Mx dương làm dãn (kéo) thớ - Mômen uốn My coi dương làm dãn (kéo) phía dương trục x 1.2.5 Cách xác định thành phần nội lực mặt cắt ngang Phần xét nằm trạng thái cân tĩnh học, nội lực mặt cắt ngang ngoại lực tác dụng lên phần tạo thành hệ lực cân Ta lập phương trình cân tĩnh học sau: n Nz   Z ( Pi )  (1) i 1 n Qx   X ( Pi )  (2) i 1 n Qy   Y ( Pi )  (3) i 1 n Mz   Mz ( Pi )  (4) i 1 n Mx   Mx ( Pi )  (5) i 1 n My   My ( Pi )  (6) i 1 Ở Pi ngoại lực tác dụng lên phần xét Sáu phương trình biểu diễn mối quan hệ thành phần nội lực mặt cắt với ngoại lực Chúng ta sử dụng mối quan hệ để xác định thành phần nội lực 1.2.6 Biểu đồ nội lực a Khái niệm: Đồ thị biểu diễn biến thiên thành phần nội lực dọc theo trục b Trình tự vẽ biểu đồ nội lực: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Bước 2: Xác định phản lực liên kết mômen phản lực liên kết 10 Bước 3: Chia thành đoạn nhỏ cho dọc theo đoạn nội lực biến thiên theo qui luật liên tục Qua thực tế người ta thấy điểm chia điểm có ngoại lực tập trung, điểm bắt đầu điểm kết thúc ngoại lực phân bố Bước 4: Sử dụng phương pháp mặt cắt phương trình cân tĩnh học để xác định hàm nội lực dọc theo đoạn Bước 5: Vẽ biểu đồ biểu diễn hàm nội lực xác định trên, đánh dấu, gạch biểu đồ Trong biểu đồ nội lực người ta vạch đoạn thẳng theo phương vng góc với trục để biểu diễn trị số nội lực mặt cắt ngang tương ứng Chú ý: + Khi vẽ biểu đồ nội lực đường chuẩn (trục hoành) lấy song song với trục nội lực mặt cắt ngang biểu thị đoạn thẳng theo phương vng góc với trục + Biểu đồ mômen uốn Mx, My vẽ phía thớ bị kéo 1.2.7 Mối quan hệ vi phân mômen uốn Mx, lực cắt Qy tải trọng phân bố q(z) Tách từ chịu lực đoạn chiều dài dz (hình 1.12a mặt cắt (1-1) (2-2) Khoảng dz nhỏ đến mức coi q(z) = const Các thành phần nội lực mặt cắt dz biểu diễn hình 1.13b Hình 1.3a Xét cân phân tố ta  Y  - Q - q(z)dz  (Q  dQ )  y y  MO  Qy dz  Mx  q(z) y dz  ( Mx  dMx )  z 11 Bỏ qua lượng vô bé bậc cao q( z ) (dz )2 từ phương trình ta được: Hình 1.3b  dQy  dz  q( z )   dMx  Qy   dz  d Mx  dz  q( z )  (1-5) Người ta sử dụng mối quan hệ để vẽ, kiểm tra biểu đồ nội lực 12 * Dựa vào biểu đồ nội lực dầm ta xác định mặt cắt nguy hiểm Mặt cắt B có |Mx|max = 2Pa Điểm nguy hiểm nằm mép mép dầm * Ứng suất pháp lớn mặt cắt C max|σz| = = * Từ điều kiện bền dầm: max|σz| = = suy ra: P ≤ → [P] = ≤ [σ] Tra bảng với mặt cắt I N0 30 có Wx = 472 cm3 Jx = 7080 cm4 Thay số: [P] = * Tạo trạng thái ‘k’ cho dầm cách bỏ hết tải trọng tác dụng lên dầm, đặt mặt cắt A lực tập trung Pk = (hình 6.15d) * Vẽ biểu đồ mơ men uốn Mxk cho dầm (hình 6.15e) * Nhân biểu đồ: Độ võng A: yA = = ( ) yA = Bài 6.7: Cho dầm chịu lực hình 6.16a - Xác định kích thước mặt cắt ngang dầm - Tính góc xoay mặt cắt C Biết: q = 25KN/m, a = 1m, [σ] = 12KN/cm2, E = 2.104 KN/cm2 (Tính tốn bỏ qua ảnh hưởng lực cắt) Giải: * Biểu đồ lực cắt Qy mô men uốn Mx vẽ hình 5.16b, c * Dựa vào biểu đồ nội lực dầm ta xác định mặt cắt nguy hiểm 200 Mặt cắt A có |Mx|max = qa2 Điểm nguy hiểm nằm mép mép dầm * Ứng suất pháp lớn mặt cắt A max|σz| = = * Từ điều kiện bền dầm: max|σz| = → suy ra: b ≤ [σ] = √ a) A C B a 2a qa b) + Qy _ _ qa qa qa2 /2 Mx c) C1 qa d) e) tt 'k' + + C2 C A Mxk 2/3 1/9 + Hình 6.16 201 Chọn b = 5,18 cm * Tạo trạng thái ‘k’ cho dầm cách bỏ hết tải trọng tác dụng lên dầm, đặt mặt cắt C mơ men tập trung Mk = (hình 6.16d) * Vẽ biểu đồ mô men uốn Mxk cho dầm (hình 16e) * Nhân biểu đồ: Góc xoay C: φC = φC = ( )= 77 Bài 6.8: Cho dầm chịu lực hình 6.17a Xác định số hiệu mặt cắt ngang dầm Biết: q = 25KN/m; a = 0,8 m; [σ] = 150MN/m2; [fA] = 0,2cm; E = 2.105 MN/m2 202 A a) C B P = 2qa a 2a qa b) + Qy _ qa qa/2 c) Mx C1 _ C2 3qa/2 a/2 + C3 Pk = d) tt 'k' C A 5a/2 7a/6 3a/4 e) 3a Mxk Hình 5.17 Hình 6.17 * Biểu đồ lực cắt Qy mô men uốn Mx vẽ hình 6.17b, c * Dựa vào biểu đồ nội lực dầm ta xác định mặt cắt nguy hiểm Mặt cắt C có |Mx|max = 3qa2/2 Điểm nguy hiểm nằm mép mép dầm * Ứng suất pháp lớn mặt cắt C max|σz| = = * Từ điều kiện bền dầm: 203 max|σz| = ≤ [σ] = Tra bảng thép chữ [ chọn mặt cắt [ N0 20a có Wx = 166 cm3 * * Tạo trạng thái ‘k’ cho dầm cách bỏ hết tải trọng tác dụng lên dầm, đặt mặt cắt A lực tập trung Pk = (hình 6.17d) * Vẽ biểu đồ mơ men uốn Mxk cho dầm (hình 6.17e) * Nhân biểu đồ: Độ võng A: yA = ( )= * Từ điều kiện cứng: |yA| ≤ [fA] ≤ [fA] Tra bảng thép chữ [ chọn mặt cắt [ N0 33 có Jx = 7980 cm4 Vậy mặt cắt ngang dầm [ N0 33 Bài 6.9: Dầm congxon dài l = 0,5m gang có mặt cắt ngang tam giác (b = 0,6h) Biết: P = KN, , ,n=5 Hỏi nên đặt mặt cắt đáy hướng lên hay xuống dưới? Xác định kích thước mặt cắt? Giải: * Biểu đồ lực cắt Qy mô men uốn Mx vẽ hình 6.18 * Dựa vào biểu đồ nội lực dầm ta xác định mặt cắt nguy hiểm Mặt cắt A có |Mx|max = Pl 204 b h P B x x h A l b y P y + Qy Pl _ Mx Hình 6.18 * Ứng suất lớn dầm σ σ |Mx|max = Pl; | | Jx = Mx k ymax x b yn n ymax x max h h Mx k ymax b y y 205 - Nếu đặt đáy tam giác quay xuống dưới: | | σ | | σ - Nếu đặt đáy tam giác quay lên trên: | | σ | | ;: ;: σ Vật liệu dầm gang, vật liệu giịn có khả chịu nén tốt chịu kéo nên mặt cắt ngang dầm phải bố trí cho σ σ Vậy phải đặt đáy tam giác quay lên σ σ * Từ điều kiện bền dầm σ { σ [σ]k = ≤ ≤ { =5 [σ]n = = 20 Thay số: √ { √ ≤ ≤ { √ √ { Chọn h = 5,58 cm; b =3,35 cm Bài 6.10: Một dầm dài l = 2m gỗ có mặt cắt ngang chữ nhật (5 x cm) 206 E = 1,2.106 N/cm2 Hai gối A B gối cứng Gối tựa C gối lò xo Xác định độ cứng c lò xo để cho dầm chịu tải trọng phân bố q, mô men uốn C (Hình 6.19a) A a) B C l/2 b) l/2 A B C ql2/8 Mx q c) C + d) h b C A B P Pl/4 C Mx e) _ P Pk = f) g) tt 'k' A Mxk 2l 34 B C 5l 84 + l/4 Hình 6.19 - Đây toán siêu tĩnh - Giải phóng liên kết gối lị xo C thay lực P (như hình 6.19d) - Biểu đồ mơ men uốn q P gây hình 6.19c 6.19e Để mô men uốn C 207 - Tạo trạng thái k cho dầm cách bỏ hết tải trọng, đặt C lưc tập trung Pk = đơn vị - Vẽ biểu đồ mơ men uốn Mxk cho dầm (hình 6.19g) Nhân biểu đồ độ võng C: yC = ( yC = ( Độ cứng lò xo: c = Mặt cắt chữ nhật có Jx = E = 1,2.103 KN/cm2 l = 200cm Thay số: c = 208 ) ) 6.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 6.10: Xác định tải trọng cho phép cho dầm sau biết: [] = 160 MN/m2; a = 1m; d = 6cm M=qa2 q A B C a d 2a Bài 6.11: Xác định độ võng C, góc xoay A cho dầm chịu lực hình vẽ Biết: P = 40 KN; l = 2,4 m; a = 1m; b = 10 cm; E = 2.105 MN/m2; d = cm; M= 20 KNm; q = 20 KN/m P (a) A (c) C B 2a 2b q a A N 030 C l/3 l (d) N 14 P A C a d C B b q l (b) B 2a 209 Bài 6.12: Chọn số hiệu thép chữ I cho dầm biết: P = 2qa; q = 40 KN/m; a = f 1m; [] = 150 MN/m2;    ; [] = 2,40; E = 2.105 MN/m2  l  300 P q x 2a a y Bài 6.13: Xác định tải trọng cho phép biết: [] = 150 MN/m2; b = cm; a =1m; [fc] = 0,8 cm; [A] = 2,4o; E = 2.104 KN/cm2, a= 1m P 3b 2P A B a a C b a Bài 6.14: Xác định dường kính biết : P = 60 KN; a = 1,5 m; [] = 150 MN/m2; [fA] = 1,2 cm; E = 2.1011 N/m2 P A a 4P 2a Bài 6.15: Kiểm tra bền cho dầm biết: q = 20 KN/m; l = 4m; [] = 150 MN/m2 E = 2.105 MN/m2 -Tính độ võng m/c C , góc xoay B 210 d q No12 B C A l/2 x y l/2 Bài 6.16: Dầm mặt cắt ngang gồm hai thép chữ I ghép chồng sát lên nhau, chịu lực hình vẽ - Kiểm tra bền cho dầm biết P = 40 KN ; a = 1,5 m; [] = 160 MN/m2; E = 2.104 KN/cm2 - Tính độ võng mặt cắt C, góc xoay B P 2P a D B C A No14 a a Bài 6.17: Cho dầm thép chịu lực hình vẽ: - Hãy xác đinh tải trọng cho phép tác dụng lên dầm biết b = cm, a = 1,5 m, [] = 160 MN/m2, E = 2.105 MN/m2 - Với tải trọng cho phép, tính độ võng B, goc xoay A b q A 4b b P = 2qa B C 2b 2a a 211 MỤC LỤC NỘI DUNG STT TRANG LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU I TÓM TẮT LÝ THUYẾT II CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU 13 III BÀI TẬP TỰ GIẢI 30 ĐÁP SỐ 33 CHƯƠNG 2: KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM THANH THẲNG 28 I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 28 II CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU 39 10 III BÀI TẬP TỰ GIẢI 60 11 CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ CÁC LÝ THUYẾT BỀN 73 12 I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 73 13 II CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU 78 14 III BÀI TẬP TỰ GIẢI 93 15 CHƯƠNG 4: ĐẶC TRƯNG HINH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 104 16 I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 104 17 II CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU 108 18 III BÀI TẬP TỰ GIẢI 118 19 20 212 CHƯƠNG 5: XOẮN THUẦN TUÝ THANH TRON I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 134 134 21 II CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU 139 22 III BÀI TẬP TỰ GIẢI 161 23 CHƯƠNG 6: UỐN PHẲNG THANH THẲNG 178 24 I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 178 25 II CÁC BÀI TẬP GIẢI MẪU 189 26 III BÀI TẬP TỰ GIẢI 209 27 MỤC LỤC 212 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 214 213 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Bá Đường (Chủ biên) tác giả – Sức bền vật liệu Nhà xuất Xây dựng 2002 Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vượng – Bài tập sức bền vật liệu Nhà xuất Giáo dục 1999 Thái Thế Hùng (Chủ biên), Đặng Việt Cương tác giả – Bài tập sức bền vật liệu Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội 2005 Vũ Đình Lai (Chủ biên) tác giả – Bài tập sức bền vật liệu Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội 1976 Hội học việt Nam tác giả - 20 năm Olympic học toàn quốc (1989 – 2008) Sức bền vật liệu Nhà xuất Xây dựng 214 ... kiện bền Đối với làm vật liệu dẻo, ta có điều kiện bền: max  Z  max Trong đó: NZ    F [] – Ứng suất cho phép vật liệu     ch n ch – Giới hạn chảy n – Hệ số an toàn Đối với làm vật liệu. .. lịng mong mỏi nâng cao kiến thức, trí tuệ mơn học cho sinh viên, thấy cần giới thiệu Bài tập Sức bền vật liệu bạn Mặc dù sách biên soạn nghiêm túc, công phu, chặt chẽ với cập nhật chọn lọc thông... toán Từ điều kiện bền điều kiện cứng ta có ba dạng toán bản: - Bài toán kiếm tra - Bài toán xác định tải trọng cho phép - Bài tốn xác định kích thước mặt cắt Bài toán siêu tĩnh Bài toán siêu tĩnh