Một Số Bài Tập Tổng Hợp Từ Các Đề Hsg

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP TỪ CÁC ĐỀ HSG MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP TỪ CÁC ĐỀ HSG Bài 1 a) Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy Tính số[.]

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP TỪ CÁC ĐỀ HSG Bài 1: a) Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy Tính số giao điểm chúng Giải: Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng cịn lai tạo nên 100 giao điểm Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm, giao điểm tính hai lần nên có: (101.100) : = 5050 (giao điểm) b) Cho 2015 điểm, điểm thẳng hàng Nối cặp hai điểm 2015 điểm thành đoạn thẳng Tính số đoạn thẳng tạo thành c) Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh (a - 1)(a + 4) chia hết cho b) Chọn điểm 2015 điểm cho Qua điểm 2014 điểm lại ta vẽ 2014 đoạn thẳng Làm với tất 2015 điểm ta vẽ số đoạn thẳng ; 2015.2014 = 5058210 ( đoạn thẳng) Nhưng đoạn thẳng tính lần Do số đoạn thẳng có là: 5058210 : = 2029105 ( đoạn thẳng) Vậy với 2015 điểm cho ta vẽ 2029105 ( đoạn thẳng) c) Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh (a - 1)(a + 4) chia hết cho Số nguyên tố lớn số lẻ, nên a có dạng a = 3n + a = 3n + (n N) - Nếu a = 3n +1 => (a - 1)(a+4) = (3n)(3n+5) chia hết cho (vì 3n chia hết cho 3) - Nếu a = 3n + => (a-1)(a+4) = (3n+1)(3n+6) chia hết cho (vì 3n+6 chia hết cho 3) Nên (a-1)(a+4) chia hết cho với số nguyên tố lớn Hơn số nguyên tố lớn số lẻ nên có dạng 2k + Khi a- chia hết cho Mà (2,3)=1 nên (a-1)(a+4) chia hêt cho 2.3 = Bài 2: a.Tính tổng: b Tính tích: Bài 3: a Cho S = + 22 + 23 + … 22011 + 22012.Chứng minh S chia hết cho S =(2 + 22) + ( 23 + 24 ) +…… + ( 22011 + 22012 ) = (2 + 22) +26(2 + 22) + ……….22010(2 + 22) =      6       +      22.6   + ………22010.6     = ( + 22 + ……+ 22010 ) b)Tổng sau bình phương số nào: S = + + + + + 199 Số số hạng tổng : ((199 – ) / 2) + = 100 Suy c) Cho số số ababab Chứng tỏ bội = *10000 + *100 + + +  *10000 , *100  ,  Do *10000 + *100 + hay ababab  Vậy ababab bội Bài : a) Hãy viết thêm đằng sau số 664 ba chữ số để nhận số có chữ số chia hết cho 5, cho cho 11 HD: Viết thêm vào sau số 664 bà chữ số abc ta số ababab = Vì chia hết cho 5, cho 9, cho 11 Nếu Vậy = 495 = 990 Do đó: = 495 – 205 = 290 = 990 – 205 = 785 Bài 5: 1)Tính nhanh: a - + Giải: a) - + = = ( - + )= (1- b) ( + - ) ( =( + - ) 0=0 So sánh: a 3200 2300 b ( + - - )= ) ( - - ) + = - )= ( + - b 7150 3775 ) ( - - ) c Giải: a So sánh 3200 2300 Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23)100 = 8100 mà 8100 < 9100 nên 2300 < 3200 b So sánh 7150 3775 Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 75 75 75 150 150 37 > 36 = (4.9) = (2) 150 150 150 100 mà > (3) 75 50 Từ (1), (2), (3) suy ra: 37 > 71 c So sánh a Cho = + b Cho = 21 + 22 + 23 + … + 230 CMR: Giai: Chứng minh: A = < 22 = - = = = Bài 6: Ta có: Ta có: + 22 + + + 22 = Vậy hai p/s +…+ + CMR: +…+ < < chia hết cho 21 (1) Để x nguyên 3y –  Ư(-55) = +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – = => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = (Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên TM: (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh : Ta có Suy ra: (ĐPCM) Bài 10: Cho biểu thức : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên : Đ/k n  Ta có : (2) A nguyên n – Ư(4) = => n  b/ Tìm n để A phân số tối giản: Ta có : (Thoả mãn) (Theo câu a) ( n  3) TH : n số lẻ => n + n – số chẵn => không tối giản TH : n số chẵn => n + không chia hết cho Gọi d ước chung (n + 1) (n – 3) => d không chia hết cho => (n + 1) d (n – 3) d => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => chia hết cho dƯ(4) ={1 ; 2; 4; -1 ; -2; -4) Vì d khơng chia hết cho => d = ; -  ƯCLN(n + 1; n – 3) = => phân số tối giản  Kết luận : Với n số chẵn A phân số tối giản Bài 11: Tìm số nguyên tố ( a > b > ), cho số phương Ta có : Vì => a,b =>  a- b  Để số phương a – b = 1; +) a – b = (mà a > b) ta có số : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vì số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn +) a – b = (mà a > b) ta có số : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì số nguyên tố nên có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện tốn 43 73 Bài 12: Cho a/ Chứng minh A chia hết cho 24 b/ Chứng minh A khơng phải số phương Cho a/ Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có : (1) Ta lại có số : 10 ; 10 ; 10 ; 10 có tổng tổng chữ số 1, nên số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư Vậy A chia cho có số dư dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vậy A chia hết cho Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh A số phương Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận Nên có chữ số tận Vậy A khơng phải số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; ; ; Bài 12: a) Chứng tỏ 102012 + 17 chia hết cho b) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 30 + ( 2n + 13) c) So sách cặp số sau: A = 275 B = 2433 a)102012 + 17= 10 + 17 = 10 017 (có 2010 chữ số 0) Số 10 17 có tổng chữ số chia hết cho Vậy 102012 + 17 chia hết cho b) 30 + 2n+13 2n+ Ư(30) Ư(30) = Do 2n + 13lẻ 2n + 13 13 Nên 2n + 13 = 15 n=1 c) So sách cặp số sau: A = 275 B = 2433 Ta có A = 275 = (33)5 = 315 B = (35)3 = 315 Vậy A = B Bài 13: Thực phép tính sau cách hợp lý : a) b) 2012 2011 2010 2009 c) d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - + - - + - + + - Bài 14: Tính Bài 15: a) So sánh: b) So sánh: HD: a) b) Vậy: A > B Bài 16: So sánh S với , biết Vì Nên Vậy S>3 Bài 17: a Cho biểu thức : Chứng minh A chia hết cho 2011 b Cho CMR : B bình phương số tự nhiên HD: a Có 2010số hạng chia hết cho 2011 nên A chia hết cho 2011 b Cho Vậy B bình phương số tự nhiên 41 Bài 18: Tính giá trị biểu thức sau HD: Nhận xét : Có 1007 số hạng ; Có 1005 số hạng Có 1006 nhóm Có 1005 số hạng -1 Bài 19: Cho S = 1 1 1 48 49 S            P = Tính 48 49 50 49 48 47 P Bài 20: Thực phép tính: a) b) c) d) Bài 21: Chứng minh rằng: a) b) HD: Ta có 1= 1+ = = = (ĐPCM) b) (1,5 điểm) Ta có: 99 = = = = = (ĐPCM) ... Chứng minh A khơng phải số phương Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận Nên có chữ số tận Vậy A số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; ; ; Bài 12: a) Chứng tỏ 102012... 228) suy B (2) Mà số nguyên tố Kết hợp với (1) (2) suy : B 3.7 hay B 21 Bài 7: Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? Giải: Gọi số cho A Theo... ƯCLN(n + 1; n – 3) = => phân số tối giản  Kết luận : Với n số chẵn A phân số tối giản Bài 11: Tìm số nguyên tố ( a > b > ), cho số phương Ta có : Vì => a,b =>  a- b  Để số phương a – b = 1; +)