Bài giảng toán lớp 10 Bài 1: Bàn về Bất đẳng thức55255

Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC Định nghĩa Số thực a gọi lớn b, kí hiệu a > b ab > Khi ta kí hiệu b b  a-b > (bab c>d (hoặc a b  a+c > b+c a > b+ c  ac > b ac  bc neáu c  3) a > b   ac  bc neáu c  (cộng vế bất đẳng thức số) (chuyển vế) (nhân hai vế số) a  b  ac bd c  d a  b  5)   ac  bd c  d  4)  6) Với n nguyên dương: 7) Nếu b>0 a>b  a  b ; a>b  a  b a  b ac b  c 8)  a > b  a2n+1 > b2n+1 a > b>0  a2n > b2n (bắc cầu) 1  a  b neáu ab  9) a > b     neáu ab   a b Nguyễn Văn B DeThiMau.vn -1- Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 10) a > b >  an > bn ( n N  ) 11) a > b >  n a  n b ( n  N  ) Chú ý: Khơng có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức chiều Nguyễn Văn B DeThiMau.vn -2- Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp chung: Một số đảng thức: (ab)2= a2  2ab +b2 (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (ab)3= a3  3a2b+3ab2  b3 a2 b2 = (ab)(a+b) a3b3= (ab)(a2 +ab +b2) a3b3= (a+b)(a2 ab +b2) Ví dụ: Chứng minh a) Nếu a,b  a+b  ab b) Chứng minh a2+b2-ab  Khi đẳng thức xảy Giải a) Cách 1: ta có a+b  ab  a+b- ab   ( a  b )2  với a,b  Dấu '=' xảy a = b Cách 2: ta biết ( a  b )2  a, b   a+b- ab   a+b  ab  đpcm b) Ta có: dấu '=' xảy 4 b a2+b2-ab = a  b  b  ab = (a- ) + b  a 0       3b    a   b  3b  a, b  R  đpcm Bất đẳng thức Côsi Nguyễn Văn B DeThiMau.vn -3- Nguyễn Văn B a/ Định lý: Nếu a  0, b  4:38:04 PM 9/26/2016 ab  ab hay a+b  ab Dấu '=' xảy  a=b b/ Các hệ quả: b.1 Nế a  0,b  có a+b=const (hằng số) a.b max  a = b b.2 Nếu a  0,b  có a.b = const a + b  a = b b.3 Nếu a1, a2, a3,… ,an  thì: b.4 a  a1  a   a n n  a1 a a3 a n n  2, a > a * Ý nghĩa hình học: nhất + Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn + Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ c Ví dụ: Ví dụ 1: cho hai số a, b> Chứng minh Giải a b  2 b a Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a b ,  ,ta có: b a a b a b a b       => đpcm b a b a b a Ví dụ 2: Chứng minh với a,b>0 (a+b)(ab+1)  4ab Giải Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có: a+b  ab (1) Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có: ab +  ab (2) Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1)  4ab => đpcm Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối  x neáu x  ; - x neáu x  Định nghĩa: |x| =  a, b  R ta có a  b  a  b , dấu '=' xảy  a.b  a  b  a  b , dấu '=' xảy a.b  a  b  a  b  a.b  Nguyễn Văn B DeThiMau.vn -4- Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 a  b  a  b  a.b  Ví dụ: chứng minh | x-y | + | y-z |  | x- z| Giải Ta có |x-y|+|y-z|  |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho số thực a, b, c, d thì: (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)  ab  cd  (a  c )(b  d ) Chứng minh: Ta có (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)  a b2+c2d2+2abcd  a2b2+a2d2+b2c2+c2d2  a2d2+b2c2-2abcd   (ad-bc)2  a, b, c, d  R => đpcm Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh   x y Giải Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có: (1.x+1.y)2  (12+12)(x2+y2)  (x+y)2     x  y  => đpcm Ví dụ 2: Cho x+2y = , chứng minh x2+y2  Giải Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Với số thực x, y, z Chứng minh rằng: xyz  x  y z HD: Đưa đẳng thức  a   a  , a  2/ Chứng minh rằng: a Giải Nguyễn Văn B DeThiMau.vn -5- Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 2    a 1  a 1     a 1  a 1 a  a 1   (a  1)  (a  1)  a   a   2a  Vì 2a   nên a a a   1   4(a  1)   2a     a a  Vậy  a   a  , a   đpcm a 1 3/ Tìm Giá trị nhỏ hàm số y=  với 00 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được: 1 x x y= mà 1 1 + 2 2 x 1 x x 1 x x (1  x ) x  (1  x )  x (1  x )   x  (1  x ) 2 x (1  x ) 1 1 1 + 2 2 2 4 x 1 x x  (1  x ) x 1 x x (1  x ) 1 1 1    y= +  Dấu "=" xảy   x  x  x  x 1 x x  (0;1)  y= Vậy giá trị nhỏ hàm số y= 1 + x = x 1 x BÀI TẬP 1/ Cho a, b, c, d số dương; x, y, z số thực tùy ý Chứng minh rằng: a) x  y  x3 y  xy3 Giải 4 (a )  x  x y  y  y x   x ( x  y )  y3 ( y  x)   x3 ( x  y )  y3 ( x  y )   ( x  y )( x3  y3 )   y  3y2   ( x  y ) ( x  xy  y )   ( x  y )  x      ñúng 2   Vậy x  y  x3 y  xy3  đpcm b) x  4y  z  14  x  12 y  z Nguyễn Văn B DeThiMau.vn -6- Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 Giải (b)  x  x   4y  2.2 y.3   z  3.z    2  ( x  1)  (2 y  3)  ( 3.z  3)   ñuùng Vậy x  4y  z  14  x  12 y  z  đpcm a b   a b c)* b a Giải  a  b b (c )  a a b b b a  a  ( a  b )(a  a b  b)  b a  a b b a( a  b)  ( a  b )(a  a b  b)  b a ( a  b )   ( a  b )(a  a b  b  b a )   ( a  b )(a  a b  b)   ( a  b )( a  b )   đpcm 1 d)   a b ab Giải Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: a  b  ab (1) 1 1 (2) , :  2 a b a b ab 1 1 Lấy (1) nhân (2) ta được: (a  b)(  )      đpcm a b a b ab abcd e)*  abcd (bđt Cô-si cho số) Giải Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a  b  ab    a  b  c  d  2( ab  cd )  2.2 ab cd  abcd c  d  cd  abcd   abcd 1 1 16 f)     a b c d abcd Giải Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a, b, c, d ta được: a  b  c  d  4 abcd (1) 1 1 Áp dụng bđt Cô-si cho số dương , , , ta được; a b c d Nguyễn Văn B DeThiMau.vn -7- Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 1 1     44 (2) a b c d abcd 1 1 Nhân (1) với (2) ta được: (a  b  c  d )(    )  16 a b c d 1 1 16 Vậy     a b c d abcd g) a 2b   2a b Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a2b, 1/b h) (a  b)(b  c)(c  a )  8abc Áp dụng bđt Cô-si cho a, b b, c c, a i)  a b   2(a  b) ab Khai triển đẳng thức áp dụng bđt Cô-si cho (a  b) ab 1 j)    a b c abc Giải Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a, b, c ta được: a  b  c  3 abcd (1) 1 Áp dụng bđt Cô-si cho số dương , , ta được; a b c 1 1    33 (2) a b c abc 1 Nhân (1) với (2) ta được: (a  b  c)(   )  a b c 1 Vậy    a b c abc 2/ Chứng minh bất đẳng thức sau a) Với x>3 Chứng minh x4 2 x3 HD: x   x  Áp dụng bđt Cô-si cho x+3 x2 y2 b) Với   Chứng minh |x.y|≤3 x2 y2 HD: Áp dụng bđt Cô-si cho , c)* Với a, b, c0 a+b+c=1 Chứng minh: b+c  16abc HD: b+c  bc  (b+c)2  4bc (1) a+(b+c)  a (b  c)  1 4a(b+c) (2) lấy (1)x(2) ta được đpcm Nguyễn Văn B DeThiMau.vn -8- Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 d) Cho a, b, c, d  Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1)  32abcd HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc 2; bc 2; a d; d a b c e) Cho a,b,c >0 CMR : (1  )(1  )(1  )  b c a a b c HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1, ; 1, ; 1, b c a f) Với a,b,c,d không âm CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)  16abcd HD: b g) Cho a,b,c > CMR : ca   ab c HD: 1 h) Cho a,b,c > CMR : (a+b+c)(   )  a b c HD: 1 k) Cho a,b > CMR : (a+b)(  )  a b HD: a  bc l) Cho a,b,c > CMR :  ab 2c a  bc a HD:  ab   bc  ab c c 1 m) Cho a,b,c > a+b+c =1 CMR : (1  )(1  )(1  )  64 a b c HD: a n) Cho a > CMR : a   HD: bình phươn vế 1 1 1 o) Cho a,b,c >0 CMR :      a b c ab bc ac 3/ Chứng minh bất đẳng thức 1  b a b) a  b  c  ab  bc  ca, a,b,c  ฀ Khi dấu "=" (đẳng thức) xảy ra? c) a  b  ab  0, a, b  ฀ Khi dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.? d) (a+b+c)2  3(a2+b2+c2) với a,b,c  ฀ e) a2b+ab2  a3+b3 , với a, b dương Đẳng thức xảy xảy ? 4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với   x  Xác định x cho f(x) đạt giá trị lớn nhất? 5/ Tìm già trị nhỏ hàm số sau a) Chứng minh a > b > Nguyễn Văn B DeThiMau.vn -9- Nguyễn Văn B a) f(x)= x  4:38:04 PM 9/26/2016 với x  x b) f(x)= x  với x > x 1  với 0 aR a2 + b2 +  ab + 2(a +b) , a, bR a2+ b2 + c2 + d2 + e2  a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR a2 b2 a2  , a  R Suy   , a, bR a 1 b 1 a 1 2 a  b2  c2  abc  , a, b, cR   3    a3 + b3  ab(a+b) , a, b  a3b + ab3  a4 + b4 , a, bR a4 + 16  2a3 + 8a , aR 10 (a  b)(c  d )  ac  bd , a, b, c, d > 11 a b   a  b , a, b > b a 12 a  ab  b  a  b , a, bR  a   a  , a  a a b2 c2 14    a  b  c , a, b, c > b c a 13 15 a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > , aR 16 x8 – x5 + x2 – x + > , xR Hd: BĐT  x5 ( x3  1)  x( x  1)   neáu x    x  x (1  x )  (1  x) neáu x < II.CMR a/ Cho a > 0, b > 0, c > CMR: a a ac   b b bc a b c b/ Cho a > 0, b > 0, c > CMR:    2 ab bc ca i Nếu a  b a ac  b bc ii Nếu Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác CMR: a a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca) b abc  (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > Cho a + b = CMR: a2 + b2  Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 11 - Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 Cho x + y + z = CMR: x  y  z  CMR: a x   x   , xR b x   y   x  y   , x, yR III.CMR abcd  abcd (a, b , c, d  0) abc  abc (a, b , c  0) 1 (a, b , c > 0)    a b c abc a b c 1 (a, b , c > 0)      bc ca ab a b c ab bc ca (a, b , c > 0)    abc c a b 1 x  y    2( x  y ) (x , y > 0) x y (a + b)(b+c)(c+a)  8abc (a, b , c  0)   a  b  c    1   1   1    b c a (a, b , c > 0) (a + 2)(b + 8) (a + b)  32ab (a, b  0) 10 (1 –a)(1 – b)(1 – c)  8abc với a + b + c = a, b, c     1   11 1   1    với x+y =1 x , y > x y 12 (a + 2) (b + 8)  36 với ab = a, b > 13 a b   b a   ab a, b  14 4a   4b   4c   với a + b + c = a, b, c  - IV.CMR: (ab +by)2  (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR Dấu xảy nào? 2 x  y  13 với x2 + y2 = 3x  y  với 9x2 + 4y2 = x  y  35 với 2x2 + 3y2 = biết 4x + 6y = Dấu xảy nào? x  y  biết 4x - 3y = Dấu xảy nào? x  y  V.Tìm GTLN hàm số sau: Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 12 - Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 y = (x + 5)(7 – x) với -5  x  y = (2x - 3)(10 – 3x) với y = (maxy = 36 x = 1) 10 x x4 với x  2x (maxy = (maxy = x =  2) y = x +  x VI.Tìm GTNN hàm số sau: x5 với x > -5  x5 y = x  với x > x2 y = x  với x  x x 1 y = với x  x2 (4  x)(1  x) y = với x > x y = x   x  y = x = 8) (miny = x = -1) (miny = x = 5) (miny = x =  ) (miny = x = 1) (miny = x = 2) (miny = < x < 4) VII Tìm GTLN GTNN biểu thức S = xy + yz + zx biết x2 + y2 + z2 = Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 13 - Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Dùng định nghĩa:Chứng minh bất đẳng thức sau 1/ Cho a,b,c,d > a a + c a) a < b < b b + c a a + c b) a > b > b b + c a b c c) < a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ e) 2abc  a2 + b2c2 f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 i) 4ab(a – b)2  (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b + > a b k) ≥ a + b l) + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b) + b a a + b a2 + b2 a2 m)  n) ( )  2 + a4 a + b + c2 a2 a2 + b2 + c2 o) ≥( ) p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) r) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2 u) a + b + 2a + 2b2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 4/ Cho a ,b  [– 1;1] Chứng minh : |a + b|  |1 + ab| x y a)Chứng minh rằng: x ≥ y ≥ ≥ + x + y Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 14 - Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 b)Chứng minh rằng: với hai số a b tùy ý ta có |a| |a – b| ≤ + + |a – b| + |a| |b| + |b| 5/ Cho a ≥ , b ≥ Chứng minh : ab ≥ a + b 6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x5+ x – x + > 7/ Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh : a + b + c – ab – bc – ca  1 1 1 8/ Cho < a  b  c Chứng minh : b( + ) + (a + c)  ( + )(a + c) a a c b c c + a c + b 9/ Cho a > b > c ≥ ab Chứng minh ≥ c2 + a2 c2 + b2 a3 + b3 + c3 – 3abc 10/ Cho a + b + c  Chứng minh : ≥0 a + b + c 11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh : 1 1 + +  a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc 12/ Cho số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ Chứng minh : a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 1 13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh : ≥ + + a2 + b2 + ab 1 b) Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh : ≥ + + + a3 + b3 + c3 + abc c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh : 1 ≥ + + 4x + 4y + 2x + y 14/  a,b,c,d chứng minh a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 a b c d b) < < + + + a + b + c a + b + d b + c + d a + c + d 15/ Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác ,chứng minh : a b c a c b a) + + – – – a3 + b3 + c3 *d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < *e) (a + b + c)2  9bc với a  b  c Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 15 - Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 *f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc 16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ ,chứng minh : a4 + b4 ≥ a3 + b3 17/ Cho a ,b ,c ≥ , chứng minh : a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 18*/ Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác,với a  b  c Chứng minh : (a + b + c)2  9bc aA + bB + cC  19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh : ≥ a + b + c 20*/ Cho a ,b ,c  [0;2] Chứng minh : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)  1 1 21/ Chứng minh : + + + …+ + ≥2 a,b>0 b b a 2a2 + c) ≥1 d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) 4a2 + e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab a2 g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab)2 h)  a4 + 2 1 1 i) j) + + ≥ + + + ≥ a a b a + b b c a + b b + c c + a a2 + j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab)2 h) ≥2 a2 + a2 + a6 + b9 k) ≥ 3a2b3 – 16 l) ≥4 a2 + Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 16 - Nguyễn Văn B m) 4:38:04 PM 9/26/2016 a2 b2 c2 a c b ≥ + + + + b2 c2 a2 c b a + + ≥ 16 a2 a 3/ Cho số a ,b ,c > tùy ý Chứng minh rằng: a) a2b + ≥ 2a b 1 1 b) a + b + c ≤ ( a2b + b2c + c2a + + + ) a b c a +b 4/ Cho < a < b , chứng minh rằng: a < < ab < + b a 5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ , chứng minh : a b – + b a –  ab 6/ Cho số a,b,c ≥ Chứng minh : c a) ab + ≥ ac (b  0) b b) a + b + c ≥ ab + bc + ca c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( a + b)2 ≥ 2(a + b) ab e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2 g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc h) a2 + b2 + ≥ ab + a + b i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + abc )3 7/ Chứng minh x (0; /2) ta có: 1 cosx + sinx + tgx + cotgx + + >6 sinx cosx 8/ Cho số a ,b ,c thoả a + b + c = Chứng minh : a4 + b4 + c4 ≥ abc 9/ Cho số a,b,c không âm,Chứng minh : a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc bc ac ab b) ≥a+b+c + + a b c a b a c c b c)( + )( + )( + ) ≥ b a c a b c a b c d) (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ b c a ( 2/ Cho a > , chứng minh : (1 + a)2 ) Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 17 - Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 1 + + )≥9 a b c 1 f) (a + b + c)( )≥ + + a + b b + c c + a a + b b + c c + a g) ≥6 + + c a b a b c h) ≥ + + b+ c c + a a + b 3 i) 3a + 7b ≥ 9ab j) 3a + 2b + 4c ≥ ab + bc + ac a + b + c + k) ≥ a+ b + 1+ c + 2 10/ Cho số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh : 1 a) (ab + cd)( + ) ≥ ac bd 2 b) a + b + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) c) + ≥ ab cd (a + b)(c + d) d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2 e) (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c) ≥ abcd 1 f) + + ≥ a b c a + b + c 16 1 1 g) + + + ≥ a b c d a + b + c + d a6 + b9 h) ≥ 3a2b3 – 16 1 a c b i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c + a b c c b a a b 11/ Cho hai số dương a b Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n  N b a 12/ Cho a + b = 1,Chứng minh : 1 a) ab  b)a2 + b2 ≥ 1 b) c)a4 + b4 ≥ d)a3 + b3 ≥ a2 + b2 13/*.Cho a > b ab = ,chứng minh : ≥2 a–b e) (a + b + c)( Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 18 - Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 (a + b)(1 – ab) 1   (1 + a2)(1 + b2) b + c 15/ a) Chứng minh b > , c > : ≥ b + c bc b)Sử dụng kết chứng minh a ,b ,c ba số khơng âm có tổng a + b + c = b + c ≥ 16abc 1 16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: (1 + )(1 + ) ≥ a b 17/ Cho a,b,c > a + b + c = Chứng minh : 1 a) (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ 64 a b c b) (a + b)(b + c)(c + a)abc  729 1 1 18*.Cho số a ,b ,c ,d > thoả mãn + + + ≥3 + a + b + c + d Chứng minh abcd  81 19/ Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác ,chứng minh : a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc c) (p – a)(p – b)(p – c)  1 1 1 d) ≥ 2( + + + + ) a p–a p–b p–c b c e) p < p – a + p – b + p – c < 3p 20/.Cho số a ,b ,c ≥ ,thoả mãn a.b.c = Chứng minh : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 21/ Cho số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = Chứng minh – ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ + 23/ Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an Chứng minh a1 a2 an a) ≥n + + … + a2 a3 a1 1 b) (a1 + a2 + … + an)( + + … + ) ≥ n2 a1 a2 an n c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ với a1.a2….an = 24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an  [0;1] ,chứng minh : (1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ an2) 14/* Chứng minh – Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 19 - Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 ≥ Khi xảy dấu = b(a – b) 26/ Cho hai số a ≥ ; b ≥ Chứng minh : a) a + 33 b≥ 55 ab b) 55 a  1212 b  1717 ab a6 + b9 c) ≥ 3a2b3 – 16 27/ Chứng minh 1.3.5….(2n – 1) < nn 28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh : a + b + c ≥ mn k a m b n c k  mn k a n b k c m  mn k a k b m c n 29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an b1 ,b2 ,….,bn Chứng minh : n a1.a2 an + n b1.b2 bn  n (a1 + b1)(a2 + b2)….(an + bn) (a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3) 30/ Chứng minh : ≤ a + b + c + d  a ≥ – , b ≥ – , c ≥ ,d > 31/*  n  N chứng minh : 25/ Cho a > b > , chứng minh : a + 1 1 a) … < 22 33 44 nn      n 1 n ( n 1)  2n   b) 1.22.33.44…nn <     n ( n 1) 1 m ) > ( + )n n m 33/*.Cho x1,x2,…xn > x1 + x2 + ….+ xn = Chứng minh 1 (1 + )(1 + )…(1 + ) ≥ (n + 1)n x1 x2 xn 34/*.Cho số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 Chứng minh : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2 35/*.Cho số a ,b ,c  (0;1) Chứng minh bất đẳng thức sau phải có bất đẳng thức sai: a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3) 36/*.Cho số a,b,c > Chứng minh : b c a 1 + +  + + a3 + b2 b3 + c2 c3 + a2 a2 b2 c2 81 37/** Cho x ,y ,z  [0;1] ,chứng minh : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z)  (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên) 38/*.Cho a , b , c > Chứng minh : a + b a) log2a + log2b  log2 32/*.Cho m,n  N ;m > n Chứng minh : ( + ( ) Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 20 - ... bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có: a+b  ab (1) Ap dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ab,1>0 ta có: ab +  ab (2) Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1)  4ab => đpcm Bất đẳng. .. z2 = Nguyễn Văn B DeThiMau.vn - 13 - Nguyễn Văn B 4:38:04 PM 9/26/2016 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Dùng định nghĩa:Chứng minh bất đẳng thức sau 1/ Cho a,b,c,d > a a + c a) a < b < b b + c a a + c b)... b c ab bc ac 3/ Chứng minh bất đẳng thức 1  b a b) a  b  c  ab  bc  ca, a,b,c  ฀ Khi dấu "=" (đẳng thức) xảy ra? c) a  b  ab  0, a, b  ฀ Khi dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.? d) (a+b+c)2